精品解析：山东省聊城市东昌府区水城双语学校2021-2022学年八年级下学期数学期中试题

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2021-2022学年第二学期期中考试
一、选择题（36分）
1. 下列各数中，属于无理数的是（ ）
A. B. 1.414 C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据无理数的定义：无限不循环小数是无理数即可求解；
【详解】A.，是无限循环小数，是有理数，
是有限小数，是有理数，
C.是开方开不尽的数，是无理数；
D.，是有理数；
故选C．
【点睛】本题考查无理数；能够化简二次根式，理解无理数的定义是解题的关键．
2. 下列各数中，与﹣2互为相反数的是（　　）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先根据二次根式的性质、立方根进行化简，再根据相反数的定义直接求解即可．
【详解】解：A、，由可知，该选项符合题意；
B、，该选项不符合题意；
C、与互为倒数，该选项不符合题意；
D、是无理数，不是的相反数，该选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查相反数的概念与性质，涉及到二次根式的性质、立方根进行化简等知识，熟练掌握相关定义是解决问题的关键．
3. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求出不等式的解集，再根据“大于向右，小于向左，不包括端点用空心，包括端点用实心”的原则将解集在数轴上表示出来．
【详解】解：解不等式，
去分母得：，
去括号得：，
移项合并得：，
系数化为得：，
表示在数轴上如图：

故选：B．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式以及在数轴上表示不等式的解集，不等式的解集在数轴上表示的方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
4. 计算的结果估计在（　　）
A. 6到7之间 B. 7到8之间 C. 8到9之间 D. 9到10之间
【答案】C
【解析】
【详解】试题解析：原式=4×+2
=4+2，
2=
∵4＜＜5，
∴8＜4+2＜9．
故选C．
5. 如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，AB＝5．点E是CD的中点，连接OE，则OE的长是（ ）

A. 2 B. C. 3 D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】根据菱形的性质可得，，由点E是CD的中点，根据三角形中位线的性质即可求解．
【详解】解：∵四边形是菱形，
∴，，
点E是CD的中点，
，
故选:B．
【点睛】本题考查了菱形的性质，三角形中位线的性质，掌握菱形的性质以及三角形中位线的性质是解题的关键．
6. 不等式组的解集是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据不等式的性质解不等式组即可.
【详解】解：
化简可得：
因此可得
故选D.
【点睛】本题主要考查不等式组的解，这是中考的必考点，应当熟练掌握.
7. 将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF．若AB＝3，则BC的长为（ ）

A. 1 B. 2 C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据菱形及矩形的性质可得到∠BAC的度数，从而根据直角三角形的性质求得BC的长．
【详解】解：∵四边形AECF为菱形，
∴∠FCO=∠ECO，EC=AE，
由折叠的性质可知，∠ECO=∠BCE，
又∠FCO+∠ECO+∠BCE=90°，
∴∠FCO=∠ECO=∠BCE=30°，
在Rt△EBC中，EC=2EB，
又∵EC=AE，AB=AE+EB=3，
∴EB=1，EC=2，
∴Rt△BCE中，，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质以及矩形的性质，解决问题的关键是根据折叠以及菱形的性质发现特殊角，根据30°的直角三角形中各边之间的关系求得BC的长．
8. 如图，以长方形ABCD的顶点A为圆心，AD长为半径画弧，交AB于点F；再以顶点C为圆心，CD长为半径画弧，交AB于点E．若AD＝5，CD＝，则EF的长度为（　　）

A. 2 B. 3 C. D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】连接CE，可得出CE＝CD，由矩形的性质得到BC＝AD，在直角三角形BCE中，利用勾股定理求出BE的长，由AB﹣AF求出BF的长，由BE﹣BF求出EF的长即可．
【详解】解：如图，连接CE，

则CE＝CD＝，BC＝AD＝5，
∵△BCE为直角三角形，
∴BE＝，
∵BF＝AB﹣AF＝﹣5＝，
∴EF＝BE﹣BF＝﹣＝2．
故选A．
【点睛】本题主要查了矩形的性质和勾股定理，解决本题的关键是要熟练掌握矩形的性质和勾股定理．
9. 下列式子中二次根式的个数有（　　）
（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）．
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
【答案】D
【解析】
【分析】二次根式必须满足两个条件：被开方数大于等于0，且根指数必须是2；根据上述信息，对题中的各个式子进行判断即可．
【详解】解：①中＞0，故是二次根式；
②中3＞0，故是二次根式；
③中＞0，故是二次根式；
④是立方根，故不是二次根式；
⑤中＞0，故是二次根式；
⑥中x>1，则1-x<0，故不是二次根式；
⑦中7＞0，故是二次根式；
根据二次根式的定义可知，①②③⑤⑦是二次根式，共5个，
故选：D．
【点睛】本题主要考查的是二次根式的判断，掌握二次根式的定义是解题的关键．一般地，我们把形如的式子叫做二次根式．
10. 实数a在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（　　）

A. 1 B. ﹣1 C. 2a﹣3 D. 3﹣2a
【答案】A
【解析】
【分析】先根据数轴上点的位置推出，再根据绝对值和二次根式的性质化简即可．
【详解】解：由数轴上点的位置可知，
∴，
∴，
故选A．
【点睛】本题主要考查了实数与数轴，实数的性质，二次根式的性质，正确得到是解题的关键．
11. 如图所示，四边形OABC是正方形，边长为4，点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，点P在OA上，且P点的坐标为（3，0），Q是OB上一动点，则PQ+AQ的最小值为（　　）

A. 5 B. C. 4 D. 6
【答案】A
【解析】
【分析】要求PQ+AQ和的最小值，PQ， AQ不能直接求，可考虑通过作辅助线转化PQ， AQ的值，从而找出其最小值求解．
【详解】解：如图，连接PC，交OB于．
∵四边形OABC是正方形，
∴四边形OABC关于OB所在直线对称，
∴QA=QC，
∵两点之间，线段最短，
∴当Q点在时，PQ+AQ和的最小值，最小值是PC的长，
∵在直角△OCP中，∠COP=90°，OP=3，OC=4，
∴PC=，
∴PQ+AQ和的最小值是5．
故选：A．

【点睛】考查正方形的性质和轴对称及勾股定理等知识的综合应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
12. 如图，在正方形ABCD中，点O为对角线AC的中点，过O点的射线OM，ON分别交AB，BC于点E，F，且∠EOF=90°，BO，EF交于点P，则下面结论：
①图形中全等的三角形只有三对；②△EOF是等腰直角三角形；③正方形ABCD的面积等于四边形OEBF面积的4倍；④BE＋BF=OA．
其中正确结论的个数是（ ）

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】由正方形的性质和已知条件得出图形中全等的三角形有四对，得出①不正确；由△AOE≌△BOF，得出对应边相等OE=OF，得出②正确；由△AOE≌△BOF，得出四边形OEBF的面积=△ABO的面积=正方形ABCD的面积，③正确；由△BOE≌△COF，得出BE=CF，得出BE+BF=AB=OA，④正确；
【详解】解：①不正确；
图形中全等的三角形有四对：△ABC≌△ADC，△AOB≌△COB，△AOE≌△BOF△BOE≌△COF；
理由如下：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=DA，∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠D=90°，∠BAO=∠BCO=45°，
在△ABC和△ADC中， ，
∴△ABC≌△ADC（SSS）；
∵点O为对角线AC的中点，
∴OA=OC，
在△AOB和△COB中，
，
∴△AOB≌△COB（SSS）；
∵AB=CB，OA=OC，∠ABC=90°，
∴∠AOB=90°，∠OBC=45°，
又∵∠EOF=90°，
∴∠AOE=∠BOF，
在△AOE和△BOF中，

∴△AOE≌△BOF（ASA）；
同理：△BOE≌△COF；
②正确；理由如下：
∵△AOE≌△BOF，
∴OE=OF，
∴△EOF等腰直角三角形；
③正确．理由如下：
∵△AOE≌△BOF，
∴四边形OEBF的面积=△ABO的面积=正方形ABCD的面积；
④正确．理由如下：
∵△BOE≌△COF，
∴BE=CF，
∴BE+BF=CF+BF=BC=AB=OA；
故选：C．
【点睛】此题参考四边形综合题目，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，本题难度较大，综合性强，解题关键在于需要证明三角形全等才能得出结论．
二、填空题（15分）
13. 已知矩形长和宽分别为cm，cm，则它的周长是_______．
【答案】cm##厘米
【解析】
【分析】根据矩形周长的求法得到，再结合二次根式的性质及加减运算法则直接运算即可得到结论．
【详解】解：矩形的长和宽分别为cm，cm，
矩形的周长为


（cm），
故答案为：cm．
【点睛】本题考查矩形周长及二次根式性质及加减运算，熟练掌握二次根式的性质及运算法则是解决问题的关键．
14. 若实数x，y满足，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是______．
【答案】15
【解析】
【分析】根据绝对值与二次根式的非负性即可求出x与y的值．由于没有说明x与y是腰长还是底边长，故需要分类讨论．
【详解】因为实数x，y满足，
所以，解得∶，，
因为x，y的值是等腰三角形的两边长，
所以等腰三角形的三边可能是：3，3，6或3，6，6，
又因为3+3=6， 所以等腰三角形三边是：3，6，6，
所以等腰三角形的周长是15，
故答案为：15．
【点睛】本题主要考查绝对值和二次根式的非负性和三角形三边关系，等腰三角形的性质．
15. 在四边形ABCD中，AC⊥BD，AB＝AD，要使四边形ABCD是菱形，只需添加一个条件，这个条件可以是_____（只要填写一种情况）．
【答案】（本题答案不唯一）
【解析】
【分析】首先根据条件可得∠AOD=∠AOB=90°，再证明Rt△ABO≌Rt△ADO，从而得到BO=DO，再证明△ABO≌Rt△CDO，进而得到AB=CD，再加上条件AB∥CD可得到四边形ABCD是平行四边形，又有AB=AD可证出四边形ABCD是菱形．
【详解】∵AC⊥BD， ∴∠AOD=∠AOB=90°，
在Rt△ABO和Rt△ADO中 AO=AO，AB=AD， ∴Rt△ABO≌Rt△ADO， ∴BO=DO，
∵AB∥CD， ∴∠ABO=∠CDO，
在△ABO和Rt△CDO中 ∠AOB=∠DOC，∠CDO=∠ABO ，BO=DO，
∴△ABO≌Rt△CDO， ∴AB=CD， ∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵AB=AD， ∴四边形ABCD是菱形．
【点睛】此题主要考查了菱形的判定，属于基础题型．解决问题的关键是证明AB=CD，从而得到四边形ABCD是平行四边形．
16. 若关于的一元一次不等式组有个整数解，则的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】先求出每个不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集，根据已知得出答案即可．
【详解】解：
解不等式①得：x>1，
解不等式②得：x<，
∴不等式组的解集是1＜x＜，
∵x的一元一次不等式组有2个整数解，
∴x只能取2和3，
∴，
解得：
故答案为：．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组的应用，解此题的关键是能得出关于a的取值范围．
17. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AH⊥BC于点H，已知BO＝4， ，则AH＝_____．

【答案】
【解析】
【分析】先根据菱形的面积求出对角线的长度，然后根据菱形的性质求出边长，再利用面积公式即可求解．
【详解】解：∵四边形ABCD为菱形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：．
【点睛】本题考查菱形的性质，以及菱形的两种求面积的方法，熟记相关知识点是解题的关键．
三、解答题
18. 计算：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据立方根、平方根的定义及性质化简后，结合有理数的加减运算法则求解即可得到结论；
（2）根据零指数幂、去绝对值和二次根式性质化简后，结合二次根式的加减运算法则求解即可得到结论．
【小问1详解】
解：



；
【小问2详解】
解：


．
【点睛】本题考查有理数加减运算及二次根式的加减运算，涉及到立方根、平方根的定义及性质、零指数幂和去绝对值运算等知识，熟练掌握相关定义、性质及运算法则是解决问题的关键．
19. 解不等式（组）
（1）
（2）
【答案】（1）x≥﹣1
（2）﹣3≤x＜2
【解析】
【分析】（1）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，化系数为1的步骤解一元一次不等式即可求解；
（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【小问1详解】
3（3x+1）﹣8≥2（2x﹣5），
9x+3﹣8≥4x﹣10，
9x﹣5≥4x﹣10，
5x≥﹣5，
x≥﹣1
【小问2详解】
，
解不等式①，得x＜2，
解不等式②，得x≥﹣3，
∴原不等式组的解集为﹣3≤x＜2．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式（组），正确地计算是解题的关键．
20. 古诗赞美荷花“竹色溪下绿，荷花镜里香”，平静的湖面上，一朵荷花亭亭玉立，露出水面10 cm,忽见 它随风斜倚，花朵恰好浸入水面，仔细观察，发现荷花偏离原地40 cm(如图).请部：水深多少？

【答案】水深为75cm
【解析】
【详解】试题分析：设水深为，则荷花的高 因风吹花朵齐及水面，且水平距离为40cm，那么水深与水平40组成一个以为斜边的直角三角形，根据勾股定理即可求出答案．
试题解析：设水深为h，则荷花的高h+10，且水平距离为40cm，
则
解得h=75.
答：水深75cm.
21. 如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E、F在AC上，且AF=CE．
求证：BE=DF．

【答案】证明见解析.
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质可得OA＝OC，OD＝OB，再由全等三角形的判定证△BEO≌△DFO即可；
【详解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OD＝OB，
∵AF＝CE，
∴AF-OA＝CE-OC，
即OF＝OE，
在△BEO和△DFO中，
，
∴△BEO≌△DFO（SAS），
∴BE＝DF．
【点睛】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
22. 如图，在矩形ABCD中，E，F分别是BC，AD边上的点，且AE＝CF．

（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）当AC⊥EF时，四边形AECF是菱形吗？请说明理由．
【答案】（1）见解析 （2）当AC⊥EF时，四边形AECF是菱形，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据矩形的性质得∠B＝∠D＝90°，AB＝CD，AD＝BC，，利用HL即可证明；
（2）根据全等三角形的性质得BE＝DF，即可得CE＝AF，根据可证四边形AECF是平行四边形，根据可得四边形AECF是菱形．
【小问1详解】
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠D＝90°，AB＝CD，AD＝BC，，
在Rt△ABE和Rt△CDF中，
，
∴（HL）；
【小问2详解】
当时，四边形AECF是菱形，理由如下：
解：∵△ABE≌△CDF，
∴BE＝DF，
∵BC＝AD，
∴CE＝AF，
∵，
∴四边形AECF是平行四边形，
又∵，
∴四边形AECF是菱形．
【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，菱形的判定，熟练掌握矩形的性质和菱形的判定，证明三角形全等是解题的关键
23. 2020年5月，全国“两会”召开以后，应势复苏的“地摊经济”带来了市场新活力，小丹准备购进A、B两种类型的便携式风扇到地摊一条街出售．已知2台A型风扇和5台B型风扇进价共100元，3台A型风扇和2台B型风扇进价共62元．
（1）求A型风扇、B型风扇进货的单价各是多少元？
（2）小丹准备购进这两种风扇共100台，根据市场调查发现，A型风扇销售情况比B型风扇好，小丹准备多购进A型风扇，但数量不超过B型风扇数量的3倍，购进A、B两种风扇的总金额不超过1170元．根据以上信息，小丹共有哪些进货方案？
【答案】（1）A型风扇、B型风扇进货的单价各是10元和16元；（2）丹4种进货方案分别是：①进A型风扇72台，B型风扇28台；②进A型风扇73台，B型风扇27台；③进A型风扇74台，B型风扇26台；①进A型风扇75台，B型风扇24台．
【解析】
【分析】（1）设A型风扇、B型风扇进货的单价各是x元和y元，再根据“2台A型风扇和5台B型风扇进价共100元”和“ 3台A型风扇和2台B型风扇进价共62元”两个等量关系列二元一次方程组解答即可；
（2）设购进A型风扇a台、则B型风扇购进（100-a）台，再根据 “购进A、B两种风扇的总金额不超过1170元”和“A型风扇不超过B型风扇数量的3倍”两个不等关系列不等式组求出a的整数解的个数即可．
【详解】解：（1）设A型风扇、B型风扇进货的单价各是x元和y元
由题意得： ，解得
答：A型风扇、B型风扇进货的单价各是10元和16元；
（2）设购进A型风扇a台、则B型风扇购进（100-a）台
有题意得，解得：
∴a可以取72、73、74、75
∴小丹4种进货方案分别是：①进A型风扇72台，B型风扇28台；②进A型风扇73台，B型风扇27台；③进A型风扇74台，B型风扇26台；①进A型风扇75台，B型风扇24台．
【点睛】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式组的应用，根据题意确定等量关系和不等关系是解答本题的关键．
24. 如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．

（1）概念理解：如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由；
（2）性质探究：经探究发现，垂美四边形ABCD两组对边AB，CD与BC，AD之间有这样的数量关系：AB2+CD2＝AD2+BC2，请写出证明过程；（先画出图形，写出已知，求证）
（3）问题解决：如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE，BG和GE．已知AC＝4，AB＝5，求GE长．
【答案】（1）四边形ABCD是垂美四边形．理由见解析
（2）见解析 （3）GE＝
【解析】
【分析】（1）连接AC、BD，根据垂直平分线的判定定理证明即可；
（2）设AC交BD于点O，根据题意得，由勾股定理得，，，即可得；
（3）连接CG、BE，根据正方形的性质得，AG＝AC，AB＝AE，∠CAG＝∠BAE＝90°，即可得∠CAG+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，即∠GAB＝∠CAE，利用SAS可证，即∠ABG＝∠AEC，根据角之间的关系得CE⊥BG，即可得四边形CGEB是垂美四边形，由（2）得，，根据AC＝4，AB＝5，即可求出BC的长，根据勾股定理可求出CG，BE的长，即可求出CE的长．
【小问1详解】
四边形ABCD是垂美四边形．理由如下：
解：如图2，连接AC、BD，

∵AB＝AD，
∴点A在线段BD的垂直平分线上，
∵CB＝CD，
∴点C在线段BD的垂直平分线上，
∴直线AC是线段BD的垂直平分线，
∴，
即四边形ABCD是垂美四边形；
【小问2详解】
已知，如图1，垂美四边形ABCD的对角线交于点O，求证：AB2+CD2＝AD2+BC2

证明：∵四边形ABCD垂美四边形，
∴，
∴，
由勾股定理得，，
，
∴；
小问3详解】
解：如图3，连接CG、BE，

∵正方形ACFG和正方形ABDE，
∴AG＝AC，AB＝AE，∠CAG＝∠BAE＝90°，
∴∠CAG+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，
即∠GAB＝∠CAE，
在△GAB和△CAE中，
，
∴（SAS），
∴∠ABG＝∠AEC，
∵∠AEC+∠AME＝90°，
∴∠ABG+∠AME＝90°，
∵∠AME＝∠BMN，
∴∠ABG+∠BMN＝90°，
即CE⊥BG，
∴四边形CGEB是垂美四边形，
由（2）得，，
∵AC＝4，AB＝5，
∴，
∵，
，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了四边形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，垂线的定义，勾股定理，正确理解垂美四边形的定义，灵活运用勾股定理是解题的关键．