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第37练 等差数列-高考数学一轮复习小题多维练（新高考专用）
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1．（2022·新疆·三模（理））设为等差数列的前n项和，已知，，则（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】C
【解析】由已知可得， ，解可得，
故选：C.
2．（2022·北京东城·三模）在公差不为零的等差数列中，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】∵，则
∴
故选：B．
3．（2022·湖北武汉·模拟）设公差不为零的等差数列的前n项和为，，则（ ）
A．B．-1C．1D．
【答案】C
【解析】解：在等差数列中，，，故，
又，故，
则，故.
故选：C.
4．（2022·山东威海·三模）等差数列的前n项和为，若，则公差( )
A．1B．C．2D．
【答案】B
【解析】由题可知．
故选：B．
5．（2022·上海市嘉定区第二中学模拟）若等差数列满足，则_______．
【答案】
【解析】解：是等差数列，
，
．
故答案为：8．
6．（2022·北京·101中学三模）已知等差数列中，则_______．
【答案】4
【解析】设公差为，则，
解得：，所以
故答案为：4
7．（2022·四川·模拟（文））已知为等差数列的前n项和，若，则数列的通项公式为___________．
【答案】
【解析】由题意得：，解得：，
所以，
故答案为：
8．（2022·黑龙江·大庆实验中学模拟）在等差数列中，，设数列的前项和为，则______.
【答案】143
【解析】∵，则
∴
故答案为：143．
1．（2022·广东·华南师大附中三模）已知数列满足，，，数列的前n项和为，则（ ）
A．351B．353C．531D．533
【答案】B
【解析】依题意，，
显然，当n为奇数时有，
即有，，…，，
令，故，
所以数列是首项为1，公差为3的等差数列，
故；
当n为偶数时有，
即，，…，，
于是，
，
故选：B．
2．（2022·河北·石家庄二中模拟）记为等差数列的前项和.若，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】设等差数列的公差为，
由得：，解得：，
.
故选：D.
3．（2022·海南海口·二模）设公差不为0的等差数列的前n项和为，已知，则（ ）
A．9B．8C．7D．6
【答案】C
【解析】因为，又，
所以，
所以，即，
设等差数列的公差为，
则，
所以，又，
所以，
所以．
故选：C.
4．（2022·北京·北师大实验中学模拟）设等差数列的前n项和为，若，，则当取最大值n等于（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】B
【解析】设公差为则，
因此，所以当时，取最大值
故选：B
5．（2022·江苏·模拟）已知数列的首项，，前n项和满足，则数列的前n项和为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由得，
即，
所以，所以，
两式作差，得，即，
所以，
所以或，又，
故，
所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列，
所以数列的前n项和.
故选：A.
6．（2022·广西桂林·模拟（文））若等差数列{an}的前7项和S7=49，且a3=5，则a9=____．
【答案】17
【解析】由等差数列性质知，，则，
故公差，
故
故答案为：17.
7．（2022·上海·模拟）已知等差数列的公差不为零，为其前n项和，若，则中不同的数值有___________个.
【答案】98
【解析】解：等差数列的公差不为零，为其前项和，，
，解得，
，
，，1，，中，，，
其余各项均不相等，
，1，，中不同的数值有：．
故答案为：98．
8．（2022·广东茂名·二模）某校有一社团专门研究密码问题，社团活动室用的也是一把密码锁，且定期更换密码，都是以当日值班社员的姓氏为依据编码的，密码均为的小数点后前6位数字，编码方式如下：
①x为某社员的首拼声母对应的英文字母在26个英文字母中的位置；
②若x为偶数，则在正偶数数列中依次插入数值为 的项得到新数列 ，即2，3，4，6，8， ，10，12，14，…；若x为奇数，则在正奇数数列中依次插入数值为的项得到新数列{an}，即1，2，3，，5，7， ，9，11，13，…；
③N为数列{an}的前x项和．如当值社员姓康，则K在26个英文字母中排第11位，所以x＝11，前11项中有 ，所以有8个奇数， ，所以密码为282051，若今天当值社员姓徐，则当日密码为_____．
【答案】199600
【解析】当值社员姓徐，则x在26个英文字母中排第24位，故 ，
前24项中 ，所以有21个偶数，
所以 ，
计算，则当日密码为：199600，
故答案为：199600．
9．（2022·安徽·合肥一六八中学模拟（文））设数列的前n项和为，已知，则_________.
【答案】960
【解析】由，
当n为奇数时，有；当n为偶数时，，
∴数列的偶数项构成以2为首项，以2为公差的等差数列，
则
，
故答案为：960.
10．（2022·湖南衡阳·三模）已知各项均为正数的数列的前项和为，且满足，则__________．
【答案】1122
【解析】由于数列的各项均为正数，即，
当时，，即，∴，
当时，由，可得，
两式相减得，
又∵，∴，
∴为一个以2为首项，2为公差的等差数列，
∴.
故
故答案为：1122
1．（2022·浙江省新昌中学模拟）设等差数列的前n项和为，首项，公差，若对任意的，总存在，使．则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题意得
则得，即，
令得，即①，即得.
因为首项，公差，则得，即.
又因为，所以，代入①得.
当时，由得
即，所以
即
因此当或11时，的最小值为.
故选：C
2．（2022·湖北·襄阳五中模拟）已知数列满足，，且，若表示不超过x的最大整数（例如，）.则（ ）
A．2018B．2019C．2020D．2021
【答案】D
【解析】由题设，，，
故是首项为4，公差为2的等差数列，则，
则，
所以，故，又，
当时，当时，
所以2021.
故选：D
3．（2022·安徽省舒城中学一模（理））对任一实数序列，定义序列，它的第项为.假定序列的所有项都为1，且，则（ ）
A．1000B．2000C．2003D．4006
【答案】D
【解析】依题意知是公差为的等差数列,设其首项为,通项为，
则，于是
由于,即,解得.故.
故选：D
4．（2022·山东·济南一中模拟）在数列中，，，则以下结论正确的为（ ）．
A．数列为等差数列
B．
C．当取最大值时，n的值为51
D．当数列的前n项和取得最大值时，n的值为49或51
【答案】ACD
【解析】对于A，由，得，
两式作差得，即，所以数列为等差数列，故A正确；
对于B，令，知，故B错误；
对于C，由等差数列的性质知，即，又，
可得公差，所以，知数列的前51项为正，从第52项开始为负，当取最大值时，n的值为51，故C正确；
对于D，由数列的前51项为正，从第52项开始为负，又，
知，，，所以数列前49项和最大，
又，所以数列前51项和最大，当时，，
所以当或51时，的前n项和取得最大值，D正确．
故选：ACD
5．（2022·辽宁·沈阳二中模拟）数列首项，对一切正整数，都有，则（ ）
A．对一切正整数都有B．数列单调递减
C．存在正整数，使得D．都是数列的项
【答案】ABD
【解析】对于A，由，得，即，
所以，又，
所以数列是首项为1，公差为1的等差数列，
所以，
所以.因为，故A正确；
对于B，由，得，故B正确；
对于C，因为对任意正整数都有，即，
所以，所以不存在正整数，使得，故C错误；
对于D，因为，且，所以都是数列的项，故D正确.故选：ABD.
6．（2022·上海浦东新·二模）若各项均为正数的有穷数列满足，（，，），2022，则满足不等式的正整数的最大值为________．
【答案】109
【解析】解：因为，
所以，
，
，
，
故，
因为2022，
所以，
则，
要使不等式，
只要即可，
而，
，
因为，
当且仅当，即时，取等号，
又因，，，
当时，，
当时，，
所以，
所以，
所以正整数，
即正整数的最大值为109.
故答案为：109.
7．（2022·河南·模拟（理））已知等差数列的各项均为正数，其前n项和满足，则其通项______．
【答案】
【解析】设等差数列的首项为，公差为，
令得： ，即，
令得：
则，
由，两式相减得：，
即，
因为等差数列的各项均为正数，所以，
解得：，代入中，解得：，
所以.
故答案为：
8．（2022·辽宁·抚顺一中模拟）已知等差数列的前n项和为，若，则______，______．
【答案】 0 0
【解析】等差数列中，，
所以，
即，
所以，
故答案为：①0；②0.
9．（2022·湖北·荆门市龙泉中学一模）在数列中，，，，则_______；的前2022项和为_______．
【答案】3 1023133
【解析】由，得，又，
所以，，，，，
，，，，，，
，，；
因为，
所以，明显可见，规律如下：
，成各项为1的常数数列，其和为，
，成首项为2，公差为的等差数列，其和为，
，成各项为0的成常数数列，其和为，
，成首项为3，公差为4的等差数列，其和为，
故.
故答案为：①3；②1023133.
10．（2022·湖南·长沙一中一模）已知数列的各项都是正数，.若数列各项单调递增，则首项的取值范围是___________；当时，记，若，则整数___________.
【答案】（0，2）
【解析】由题意，正数数列是单调递增数列，且，
，解得，
．
．
，
．
又由，可得：．
．
，
．
，且数列是递增数列，
，即，
．
整数．
故答案为：；4．
1．（2022·新疆·三模（理））设为等差数列的前n项和，已知，，则（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】C
【解析】由已知可得， ，解可得，
故选：C.
2．（2022·北京东城·三模）在公差不为零的等差数列中，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】∵，则
∴
故选：B．
3．（2022·湖北武汉·模拟）设公差不为零的等差数列的前n项和为，，则（ ）
A．B．-1C．1D．
【答案】C
【解析】解：在等差数列中，，，故，
又，故，
则，故.
故选：C.
4．（2022·山东威海·三模）等差数列的前n项和为，若，则公差( )
A．1B．C．2D．
【答案】B
【解析】由题可知．
故选：B．
5．（2022·上海市嘉定区第二中学模拟）若等差数列满足，则_______．
【答案】
【解析】解：是等差数列，
，
．
故答案为：8．
6．（2022·北京·101中学三模）已知等差数列中，则_______．
【答案】4
【解析】设公差为，则，
解得：，所以
故答案为：4
7．（2022·四川·模拟（文））已知为等差数列的前n项和，若，则数列的通项公式为___________．
【答案】
【解析】由题意得：，解得：，
所以，
故答案为：
8．（2022·黑龙江·大庆实验中学模拟）在等差数列中，，设数列的前项和为，则______.
【答案】143
【解析】∵，则
∴
故答案为：143．
1．（2022·广东·华南师大附中三模）已知数列满足，，，数列的前n项和为，则（ ）
A．351B．353C．531D．533
【答案】B
【解析】依题意，，
显然，当n为奇数时有，
即有，，…，，
令，故，
所以数列是首项为1，公差为3的等差数列，
故；
当n为偶数时有，
即，，…，，
于是，
，
故选：B．
2．（2022·河北·石家庄二中模拟）记为等差数列的前项和.若，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】设等差数列的公差为，
由得：，解得：，
.
故选：D.
3．（2022·海南海口·二模）设公差不为0的等差数列的前n项和为，已知，则（ ）
A．9B．8C．7D．6
【答案】C
【解析】因为，又，
所以，
所以，即，
设等差数列的公差为，
则，
所以，又，
所以，
所以．
故选：C.
4．（2022·北京·北师大实验中学模拟）设等差数列的前n项和为，若，，则当取最大值n等于（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】B
【解析】设公差为则，
因此，所以当时，取最大值
故选：B
5．（2022·江苏·模拟）已知数列的首项，，前n项和满足，则数列的前n项和为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由得，
即，
所以，所以，
两式作差，得，即，
所以，
所以或，又，
故，
所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列，
所以数列的前n项和.
故选：A.
6．（2022·广西桂林·模拟（文））若等差数列{an}的前7项和S7=49，且a3=5，则a9=____．
【答案】17
【解析】由等差数列性质知，，则，
故公差，
故
故答案为：17.
7．（2022·上海·模拟）已知等差数列的公差不为零，为其前n项和，若，则中不同的数值有___________个.
【答案】98
【解析】解：等差数列的公差不为零，为其前项和，，
，解得，
，
，，1，，中，，，
其余各项均不相等，
，1，，中不同的数值有：．
故答案为：98．
8．（2022·广东茂名·二模）某校有一社团专门研究密码问题，社团活动室用的也是一把密码锁，且定期更换密码，都是以当日值班社员的姓氏为依据编码的，密码均为的小数点后前6位数字，编码方式如下：
①x为某社员的首拼声母对应的英文字母在26个英文字母中的位置；
②若x为偶数，则在正偶数数列中依次插入数值为 的项得到新数列 ，即2，3，4，6，8， ，10，12，14，…；若x为奇数，则在正奇数数列中依次插入数值为的项得到新数列{an}，即1，2，3，，5，7， ，9，11，13，…；
③N为数列{an}的前x项和．如当值社员姓康，则K在26个英文字母中排第11位，所以x＝11，前11项中有 ，所以有8个奇数， ，所以密码为282051，若今天当值社员姓徐，则当日密码为_____．
【答案】199600
【解析】当值社员姓徐，则x在26个英文字母中排第24位，故 ，
前24项中 ，所以有21个偶数，
所以 ，
计算，则当日密码为：199600，
故答案为：199600．
9．（2022·安徽·合肥一六八中学模拟（文））设数列的前n项和为，已知，则_________.
【答案】960
【解析】由，
当n为奇数时，有；当n为偶数时，，
∴数列的偶数项构成以2为首项，以2为公差的等差数列，
则
，
故答案为：960.
10．（2022·湖南衡阳·三模）已知各项均为正数的数列的前项和为，且满足，则__________．
【答案】1122
【解析】由于数列的各项均为正数，即，
当时，，即，∴，
当时，由，可得，
两式相减得，
又∵，∴，
∴为一个以2为首项，2为公差的等差数列，
∴.
故
故答案为：1122
1．（2022·浙江省新昌中学模拟）设等差数列的前n项和为，首项，公差，若对任意的，总存在，使．则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题意得
则得，即，
令得，即①，即得.
因为首项，公差，则得，即.
又因为，所以，代入①得.
当时，由得
即，所以
即
因此当或11时，的最小值为.
故选：C
2．（2022·湖北·襄阳五中模拟）已知数列满足，，且，若表示不超过x的最大整数（例如，）.则（ ）
A．2018B．2019C．2020D．2021
【答案】D
【解析】由题设，，，
故是首项为4，公差为2的等差数列，则，
则，
所以，故，又，
当时，当时，
所以2021.
故选：D
3．（2022·安徽省舒城中学一模（理））对任一实数序列，定义序列，它的第项为.假定序列的所有项都为1，且，则（ ）
A．1000B．2000C．2003D．4006
【答案】D
【解析】依题意知是公差为的等差数列,设其首项为,通项为，
则，于是
由于,即,解得.故.
故选：D
4．（2022·山东·济南一中模拟）在数列中，，，则以下结论正确的为（ ）．
A．数列为等差数列
B．
C．当取最大值时，n的值为51
D．当数列的前n项和取得最大值时，n的值为49或51
【答案】ACD
【解析】对于A，由，得，
两式作差得，即，所以数列为等差数列，故A正确；
对于B，令，知，故B错误；
对于C，由等差数列的性质知，即，又，
可得公差，所以，知数列的前51项为正，从第52项开始为负，当取最大值时，n的值为51，故C正确；
对于D，由数列的前51项为正，从第52项开始为负，又，
知，，，所以数列前49项和最大，
又，所以数列前51项和最大，当时，，
所以当或51时，的前n项和取得最大值，D正确．
故选：ACD
5．（2022·辽宁·沈阳二中模拟）数列首项，对一切正整数，都有，则（ ）
A．对一切正整数都有B．数列单调递减
C．存在正整数，使得D．都是数列的项
【答案】ABD
【解析】对于A，由，得，即，
所以，又，
所以数列是首项为1，公差为1的等差数列，
所以，
所以.因为，故A正确；
对于B，由，得，故B正确；
对于C，因为对任意正整数都有，即，
所以，所以不存在正整数，使得，故C错误；
对于D，因为，且，所以都是数列的项，故D正确.故选：ABD.
6．（2022·上海浦东新·二模）若各项均为正数的有穷数列满足，（，，），2022，则满足不等式的正整数的最大值为________．
【答案】109
【解析】解：因为，
所以，
，
，
，
故，
因为2022，
所以，
则，
要使不等式，
只要即可，
而，
，
因为，
当且仅当，即时，取等号，
又因，，，
当时，，
当时，，
所以，
所以，
所以正整数，
即正整数的最大值为109.
故答案为：109.
7．（2022·河南·模拟（理））已知等差数列的各项均为正数，其前n项和满足，则其通项______．
【答案】
【解析】设等差数列的首项为，公差为，
令得： ，即，
令得：
则，
由，两式相减得：，
即，
因为等差数列的各项均为正数，所以，
解得：，代入中，解得：，
所以.
故答案为：
8．（2022·辽宁·抚顺一中模拟）已知等差数列的前n项和为，若，则______，______．
【答案】 0 0
【解析】等差数列中，，
所以，
即，
所以，
故答案为：①0；②0.
9．（2022·湖北·荆门市龙泉中学一模）在数列中，，，，则_______；的前2022项和为_______．
【答案】3 1023133
【解析】由，得，又，
所以，，，，，
，，，，，，
，，；
因为，
所以，明显可见，规律如下：
，成各项为1的常数数列，其和为，
，成首项为2，公差为的等差数列，其和为，
，成各项为0的成常数数列，其和为，
，成首项为3，公差为4的等差数列，其和为，
故.
故答案为：①3；②1023133.
10．（2022·湖南·长沙一中一模）已知数列的各项都是正数，.若数列各项单调递增，则首项的取值范围是___________；当时，记，若，则整数___________.
【答案】（0，2）
【解析】由题意，正数数列是单调递增数列，且，
，解得，
．
．
，
．
又由，可得：．
．
，
．
，且数列是递增数列，
，即，
．
整数．
故答案为：；4．
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