江西省九江市2023届高三高考二模数学（理）试题及答案

九江市2023年第二次高考模拟统一考试

数学试题（理科）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．全卷满分150分，考试时间120分钟．

考生注意：

1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名等内容填写在答题卡上．

2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，第Ⅱ卷用黑色签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效．

第Ⅰ卷（选择题60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知复数z满足，则（    ）

A．     B．      C．         D．

2．已知集合，，则（    ）

A．         B．        C．        D．

3．已知实数x，y满足条件，则的最大值为（    ）

A．         B．1          C．2           D．3

4．已知命题p:，，若p为假命题，则实数a的取值范围为（    ）

A．         B．        C．         D．

5．已知，，则（    ）

A．           B．        C．          D．

6．执行下边的程序框图，如果输入的是，，输出的结果为，则判断框中“”应填入的是（    ）

A．        B．         C．       D．

7．已知变量的关系可以用模型拟合，设，其变换后得到一组数据如下．由上表可得线性回归方程，则（    ）

A．          B．         C．         D．

8．如图，正方体的棱长为2，M是面内一动点，且，则的最小值为（    ）

A．         B．         C．         D．2

9．青花瓷又称白地青花瓷，常简称青花，中华陶瓷烧制工艺的珍品，是中国瓷器的主流品种之一，属釉下彩瓷．一只内壁光滑的青花瓷大碗水平放置在桌面上，瓷碗底座高为，瓷碗的轴截面可以近似看成是抛物线，碗里不慎掉落一根质地均匀、粗细相同长度为的筷子，筷子的两端紧贴瓷碗内壁．若筷子的中点离桌面的最小距离为，则该抛物线的通径长为（    ）

A．16         B．18          C．20             D．22

10．在中，三内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知，．当B取最小值时，的面积为（    ）

A．         B．1         C．            D．

11．已知双曲线的左右焦点分别为，M双曲线C左支上一点，且，点F关于直线对称的点在y轴上，则C的离心率为（    ）

A．         B．        C．       D．

12．设，，，则a，b，c的大小关系为（    ）

A．        B．         C．          D．

第Ⅱ卷（非选择题90分）

本卷包括必考题和选考题两部分．第13-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22-23题为选考题，学生根据要求作答．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．的展开式中，常数项为______．

14．已知非零向量，满足，且，则，的夹角为______．

15．函数的所有零点之和为______．

16．根据祖暅原理，界于两个平行平面之间的两个几何体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等．如图1所示，一个容器是半径为R的半球，另一个容器是底面半径和高均为R的圆柱内嵌一个底面半径和高均为R的圆锥，这两个容器的容积相等．若将这两容器置于同一平面，注入等体积的水，则其水面高度也相同．如图2，一个圆柱形容器的底面半径为，高为，里面注入高为的水，将一个半径为的实心球缓慢放入容器内，当球沉到容器底端时，水面的高度为______．（注：）

三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分12分）

已知公差不为零的等差数列中，，且成等比数列，记．

（1）求的通项公式；

（2）求前n项和的最值．

18．（本小题满分12分）

如图，在三棱柱中，平面，，，，D为棱的中点．

（1）求证：平面；

（2）在棱BC上是否存在异于点B的一点E，使得DE与平面所成的角为？若存在，求出的值若存在，请说明理由．

19．（本小题满分12分）

现有编号为2至5号的黑色、红色卡片各一张．从这8张卡片中随机抽取三张，若抽取的三张卡片的编号和等于10且颜色均相同，得2分；若抽取的三张卡片的编号和等于10但颜色不全相同，得1分；若抽取的三张卡片的编号和不等于10，得0分．

（1）求随机抽取三张卡片得0分的概率；

（2）现有甲、乙两人从中各抽取三张卡片，且甲抽到了红色3号卡片和红色5号卡片，乙抽到了黑色2号卡片，求两人的得分和X的分布列和数学期望．

20．（本小题满分12分）

如图，已知椭圆的离心率为，直线l与圆相切于第一象限，与椭圆C相交于A，B两点，与圆相交于M，N两点，．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）当的面积取最大值时（O为坐标原点），求直线l的方程．

21．（本小题满分12分）

已知函数，．

（1）若直线与曲线相切，求a的值；

（2）用表示m，n中的最小值，讨论函数的零点个数．

请考生在第22-23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．

22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy中，已知直线l的方程为，曲线C的参数方程为（α为参数）．以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．

（1）求直线l的极坐标方程和曲线C的普通方程；

（2）设直线与曲线C相交于点A，B，与直线l相交于点C，求的最大值．

23．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲

已知函数．

（1）若的最小值为1，求a的值；

（2）若恒成立，求a的取值范围．

九江市2023年第二次高考模拟统一考试

数学试题（理科）参考答案

第Ⅰ卷（选择题60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．C  解:∵，∴，故选C．

2．A  解：∵，或，∴，故选A．

3．D  解：作出不等式组表示的平面区域，如图所示，

平移直线，当过点时，，故选D．

4．D  解：依题意，得，∴，故选D．

5．B  解：∵，且，∴，，，∴，故选B．

6．C  解：执行循环体后，当时，，故选C．

7．B  解：由表格数据知：，．由，得，

∴，∴，∴，，故选B．

8．C  解：连接BD，，，易知平面，∵，∴平面，即M在线段上．将沿着展开，使得D，B，C，四点共面，则，故选C．

9．C  解：如图，建立平面直角坐标系，设抛物线的方程为，焦点，设，，

∵，，∴，

设线段AB中点为M，则，由题意可知，的最小值为6，∴，，∴该抛物线的通径长为，故选C．

10．C  解：由正弦定理得，即，∴，

∴．∵，∴，∴A，C为锐角．

又，即B取最小值时，取最小值，

此时，为等腰三角形，，，

∴，故选C．

11．A  解：设点关于直线对称的点为P，连接，则为正三角形，∴

又，∴，

，由双曲线的定义知，解得，故选A．

12．B  解：将用变量x替代，则，，，其中，易证，

∴．令，则，，

易知在上单调递减，且，，∴，使得，

当时，，单调递增；当时，，单调递减．

又，，∴，∴在上单调递增，

∴，即，∴，

综上，，故选B．

第Ⅱ卷（非选择题90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．60

解：展开式的通项为，令，得，故的展开式中，常数项为．

14．

解：设向量，的夹角为θ，∵，∴，即，∴．

15．6

解：令，得，问题等价于函数与图象的所有交点的横坐标之和．∵两函数的图象关于直线对称，且有且仅有6个交点，

∴．

16．1.48

解：设铁球沉到容器底端时，水面的高度为h．由图2知，容器内水的体积加上球在水面下的部分体积等于圆柱的体积，由图1知相应圆台的体积加上球在水面下的部分体积也等于相应圆柱的体积，故容器内水的体积等于相应圆台的体积．容器内水的体积为，相应圆台的体积为

，∴，解得

．

三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17． 解：（1）∵，∴            2分

∵，，成等比数列，∴，即，

化简得         4分

由解得或（舍去）           5分

∴             6分

（2）由（1）可知       7分

设的前n项和为，

∴  8分

当n为奇数时，，单调递减，∴           9分

当n为偶数时，，单调递增，∴             10分

∴前n项和的最大值为，最值为          12分

18． 证明：（1）∵平面，平面，∴，       1分

∵，∴            2分

由已知得，，∴，同理可得       3分

∴，即           4分

又，平面，∴平面           5分

解：（2）连接，∵，，，∴，

∵平面，∴，           6分

以A为原点，AB，AC，所在的直线分别为x，y，z轴，建立如图空间直角坐标系，则             7分

设，则，∴        8分

由（1）知平面的一个法向量为                9分

∴            10分

化简得，解得或（舍去）                   11分

故在棱BC上存在异于点B的一点E，使得DE与平面所成的角为，且      12分

19．解：（1）三张卡片编号和等于10有3种可能，分别为：，，       1分

其中，三张卡片编号均不同的情况共有：种             2分

有两张卡片编号相同的情况共有：种                   3分

设“随机抽取三张卡片得分为0分”为事件A，∴，

即随机抽取三张卡片得0分的概率为            4分

（2）得分和X的可能值为0，1，2，3，4                     5分

①若，则甲乙各得2分．

即甲为2（红）+3（红）+5（红），乙为2（黑）+3（黑）+5（黑），有1种情况．

∴           6分

②若，则甲得2分乙得1分．

即甲为2（红）+3（红）+5（红），乙为2（黑）+4（红）+4（黑）有1种情况．

∴             7分

③若，则甲得2分乙得0分或乙得2分甲得0分．

若甲得2分乙得0分，则甲为2（红）+3（红）+5（红），对应乙有4种情况；

若乙得2分甲得0分，则乙为2（黑）+3（黑）+5（黑），对应甲有2种情况．

∴              8分

④若，则乙得1分甲得0分．

即乙为2（黑）+4（红）+4（黑），对应甲有2种情况．

∴          9分

⑤若，则甲和乙均得0分．

∴                  10分

∴得分和X的分布列为：

∴            12分

20．解：（1）依题意得，∴              1分

又，∴，                2分

∵，∴，              3分

∴椭圆C的标准方程为                   4分

（2）解法一：依题意可设直线l的方程为，，，

∵直线l与圆C相切，∴，即             5分

联立方程组消去y整理得          6分

∴，              7分

∴

    9分

∵，∴，即        10分

当日仅当时取等号          11分

∴直线l的方程为，即            12分

解法二：依题意知直线l的斜率存在，设切点P的坐标为，，，

∵直线OP的斜率为，，∴直线l的方程为，

又∵，∴                5分

联立方程消去y整理得         6分

∴，           7分

∴，

∴     9分

∵，∴，∴             10分

当且仅当，时取等号                  11分

∴直线l的方程为，即        12分

21． 解：（1）设切点为，∵，∴        1分

∴（*）             2分

消去a整理，得，∴             3分

∴          4分

（2）①当时，，，∴在上无零点    5分

②当时，，．

若，，此时，是的一个零点，

若，，此时，不是的零点           6分

③当时，，此时的零点即为的零点．

令，得，令，则，

当时，；当时，，∴在上单调递减，在上单调递增，且当时，          7分

（i）若，即时，在上无零点，即在上无零点     8分

（ii）若，即时，在上有一个零点，即在上有一个零点     9分

（iii）若，即时，在上有两个零点，即在上有两个零点    10分

（iv）若，即时，在上有一个零点，即在上有一个零点    11分

综上所述，当或时，在上有唯一零点；当或时，在上有两个零点；当时，在上有三个零点            12分

22． 解：（1）令，，得，

即直线l的极坐标方程为，即          2分

∵，∴，

即曲线C的普通方程为             5分

（2）解法一：直线的极坐标方程为       6分

设，则，，

曲线C的极坐标方程为，∴，

∴                7分

又，∴       8分

∴     9分

∴的最大值为             10分

解法二：联立方程组解得其中       6分

∴             7分

联立方程组解得∴       8分

∴           9分

令，则，

当且仅当，即时取等号，

即的最大值为          10分

23．解：（1）∵，当且仅当时，等号成立，    2分

∴，当且仅当时，等号成立           4分

∴，解得或             5分

（2）令，依题意恒成立．

当且时，      6分

要使恒成立，则必须，即         7分

当时，          8分

∴，∴             9分

综上所述，a的取值范围是           10分