2023年北京市海淀区第五十七中学九年级下学期二模数学试题（含详细答案）

这是一份2023年北京市海淀区第五十七中学九年级下学期二模数学试题（含详细答案），共30页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年北京市海淀区第五十七中学九年级下学期二模数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．下列立体图形中，主视图是圆的是（  ）
A． B． C． D．
2．中国空间站俯瞰地球的高度约为400000米，将400000用科学记数法表示应为（    ）
A． B． C． D．
3．如图，已知，，平分，则的度数是（    ）

A． B． C． D．
4．若正多边形的一个外角是，则该正多边形的内角和为（  ）
A． B． C． D．
5．一个布袋里装有5个球，其中3个红球，2个白球，每个球除颜色外其余都相同，则从布袋里任意摸出一个球是红球的概率是（　　）
A． B． C． D．
6．实数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，下列结论正确的是（    ）

A． B． C． D．
7．如图，由图案（1）到图案（2）再到图案（3）的变化过程中，不可能用到的图形变换是 （   ）

A．轴对称 B．旋转 C．中心对称 D．平移
8．如图，用绳子围成周长为的矩形，记矩形的一边长为，它的邻边长为，矩形的面积为．当在一定范围内变化时，和都随的变化而变化，则与与满足的函数关系分别是（    ）

A．一次函数关系，二次函数关系 B．反比例函数关系，二次函数关系
C．一次函数关系，反比例函数关系 D．反比例函数关系，一次函数关系

二、填空题
9．若分式有意义，则x的取值范围是___．
10．写出一个比大且比4小的无理数_______．
11．分解因式：= ______.
12．如图，AB为⊙O的直径，点P在AB的延长线上，PC，PD分别与⊙O相切于点C，D，若∠CPA=40°，则∠CAD的度数为______°．

13．若关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0没有实数根，则m的取值范围是_____．
14．在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x与双曲线y＝交于点A（2，m），则k的值是 _____．
15．如图，点在直线外，点、、、均在直线上，如果，只需添加一个条件即可证明，这个条件可以是________（写出一个即可）．

16．如图，在8个格子中依次放着分别写有字母a～h的小球．

甲、乙两人轮流从中取走小球，规则如下：
①每人首次取球时，只能取走2个或3个球；后续每次可取走1个，2个或3个球；
②取走2个或3个球时，必须从相邻的格子中取走；
③最后一个将球取完的人获胜．
（1）若甲首次取走写有b，c，d的3个球，接着乙首次也取走3个球，则______（填“甲”或“乙”）一定获胜；
（2）若甲首次取走写有a，b的2个球，乙想要一定获胜，则乙首次取球的方案是______．

三、解答题
17．计算：（）﹣1﹣2cos30°+|﹣|﹣（3.14﹣π）0．
18．解分式方程：．
19．已知，求代数式的值．
20．已知：如图，△ABC为锐角三角形，AB＝AC．
求作：点P，使得AP＝AB，且．
作法：①以点A为圆心，AB长为半径画圆；
②以点B为圆心，BC长为半径画弧，交于点D（异于点C）；
③连接DA并延长交于点P．
所以点P就是所求作的点．

(1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
(2)完成下面的证明．
证明：连接PC．
∵AB＝AC，
∴点C在上．
∵，
∴（____________________）（填推理的依据），
由作图可知，，
∴______．
∴．
21．如图，在矩形中，，相交于点O，，．

(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，求四边形的面积．
22．在平面直角坐标系中，一次函数的图象平行于直线，且经过点．
(1)求这个一次函数的表达式；
(2)当时，对于x的每一个值，一次函数的值大于一次函数的值，直接写出m的取值范围．
23．某景观公园内人工湖里有一组喷泉，水柱从垂直于湖面的水枪喷出，水柱落于湖面的路径形状是抛物线．现测量出如下数据，在距水枪水平距离为d米的地点，水柱距离湖面高度为h米．
d（米）
0
0.7
2
3
4
…
h（米）
2.0
3.49
5.2
5.6
5.2
…

请解决以下问题：
(1)在下边网格中建立适当的平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑的曲线连接；

(2)请结合表中所给数据或所画图象，估出喷泉的落水点距水枪的水平距离约为 　 　米（精确到0.1）；
(3)公园增设了新的游玩项目，购置了宽度4米，顶棚到水面高度为4.2米的平顶游船，游船从喷泉正下方通过，别有一番趣味，请通过计算说明游船是否有被喷泉淋到的危险．
24．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，过C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，连接AC、BC，过O作OF∥AC，交BC于G，交DC于F．

(1)求证：∠DCB＝∠DOF；
(2)若tan∠A＝，BC＝4，求OF、DF的长．
25．2022年是中国共产主义青年团成立100周年，某中学为普及共青团知识，举行了一次知识竞赛（百分制）．为了解七、八年级学生的答题情况，从中各随机抽取了20名学生的成绩，并对数据（成绩）进行了整理、描述和分析．下面给出部分信息．
a．七年级学生竞赛成绩的频数分布表及八年级学生竞赛成绩的扇形统计图：
分组/分数
频数
频率
50≤x＜60
1
0.05
60≤x＜70
2
0.10
70≤x＜80
5
0.25
80≤x＜90
7
m
90≤x＜100
5
0.25
合计
20
1


b．七年级学生竞赛成绩数据在这一组的是：
80  80  82  85  85  85  89
c．七、八两年级竞赛成绩数据的平均数、中位数、众数以及方差如下：
年级
平均数
中位数
众数
方差
七年级
82.0

85
109.9
八年级
82.4
84
85
72.1

根据以上信息，回答下列问题：
(1)写出表中m，n的值：______，______；八年级学生竞赛成绩扇形统计图中，表示这组数据的扇形圆心角的度数是______°；
(2)在此次竞赛中，竞赛成绩更好的是______（填“七”或“八”）年级，理由为______；
(3)竞赛成绩90分及以上记为优秀，该校七、八年级各有200名学生，估计这两个年级成绩优秀的学生共约______人．
26．在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点A．点是抛物线上的任意一点，且不与点A重合，直线经过A，B两点．
(1)求抛物线的顶点坐标（用含m的式子表示）；
(2)若点，在抛物线上，则a_______b（用“<”，“=”或“>”填空）；
(3)若对于时，总有，求m的取值范围．
27．已知等边，其中点D、E是过顶点B的一条直线l上两点

(1)如图1，，求证：
(2)如图2，，，，求AD的长．
28．在平面直角坐标系中，的半径为1．对于线段给出如下定义：若线段与有两个交点M，N，且，则称线段是的“倍弦线”．

(1)如图，点A，B，C，D的横、纵坐标都是整数．在线段，，，中，的“倍弦线”是_____________；
(2)的“倍弦线”与直线交于点E，求点E纵坐标的取值范围；
(3)若的“倍弦线”过点，直线与线段有公共点，直接写出b的取值范围．

参考答案：
1．D
【分析】分别得出棱柱，圆柱，圆锥，球体的主视图，得出结论．
【详解】解：棱柱的主视图是矩形（中间只有一条线段），不符合题意；
圆柱的主视图是矩形，不符合题意；
圆锥的主视图是等腰三角形，不符合题意；
球体的主视图是圆，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．
2．A
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可．
【详解】解：400000=4×105．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，确定a与n的值是解题的关键．
3．D
【分析】线线求出，再根据角平分线的定义求得，把对应的数值代入即可求解．
【详解】∵，，
∴，
又∵平分，
∴，
∴
故选：D
【点睛】本题主要考查了角平分线的定义和角的运算，找到等量关系是解题的关键．
4．C
【分析】根据正多边形的外角度数求出多边形的边数，根据多边形的内角和公式即可求出多边形的内角和.
【详解】由题意，正多边形的边数为，
其内角和为．
故选C.
【点睛】考查多边形的内角和与外角和公式，熟练掌握公式是解题的关键.
5．C
【分析】一般地，对于一件事情，所有可能出现的结果数为 其中满足某个条件的事件A出现的结果数为 那么事件A发生的概率为： 根据概率公式直接计算即可．
【详解】解：∵布袋里装有5个球，其中3个红球，2个白球，从袋中任意摸出一个球共有5种结果，其中出现红球的情况有3种可能，
∴从袋中任意摸出一个球是红球的概率是．
故选：C．
【点睛】本题考查的是简单随机事件的概率，掌握“简单随机事件的概率公式”是解题的关键．
6．D
【分析】由数轴可知，，可判断A的正误；根据，可判断B的正误；根据，可判断C的正误；根据，，可判断D的正误．
【详解】解：由数轴可知，，
∴，故A错误，不符合题意；
∵，
∴，故B错误，不符合题意；
∵，
∴，故C错误，不符合题意；
∵，，
∴，故D正确，符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查了利用数轴比较有理数的大小，根据点在数轴的位置判断式子的正负，不等式的性质等知识．解题的关键在于明确．
7．D
【分析】观察本题中图案的特点，根据对称、平移、旋转的特征进行判断作答．
【详解】解：图（2）将图形绕着中心点旋转90°的整数倍后均能与原图形重合，图案包含旋转变换和中心对称．图（3）中有4条对称轴，本题图案包含轴对称变换．不符合题意；
图（1）三角形沿某一直线方向移动不能与图（2）（3）中三角形重合，故没有用到平移．
故选：D．
【点睛】考查图形的对称、平移、旋转等变换．对称有轴对称和中心对称，轴对称的特点是一个图形绕着一条直线对折，直线两旁的图形能够完全重合；中心对称的特点是一个图形绕着一点旋转180°后与另一个图形完全重合，它是旋转变换的一种特殊情况．
平移是将一个图形沿某一直线方向移动，得到的新图形与原图形的形状、大小和方向完全相同．旋转是指将一个图形绕着一点转动一个角度的变换．观察时要紧扣图形变换特点，认真判断．
8．A
【分析】由题意及矩形的面积及周长公式可直接列出函数关系式，然后由函数关系式可直接进行排除选项．
【详解】解：由题意得：
，整理得：，
，
∴y与x成一次函数的关系，S与x成二次函数的关系；
故选A．
【点睛】本题主要考查一次函数与二次函数的应用，熟练掌握一次函数与二次函数的应用是解题的关键．
9．
【分析】根据分式有意义的条件，分母不为0，即可求解
【详解】若分式有意义，
x的取值范围是，
故答案为：
【点睛】本题考查了分式有意义的条件，理解分式有意义的条件是解题的关键．
10．（答案不唯一）
【分析】根据实数的大小比较即可求出答案．
【详解】解：∵11＜13＜16，
∴
∴比大且比4小的无理数为，
故答案为：．
【点睛】本题考查实数比较大小，解题的关键是熟练运用实数比较大小的法则，本题属于基础题型．
11．
【分析】先提取公因式2，再根据平方差公式进行二次分解即可求得答案．
【详解】2x2-2y2=2（x2-y2）=2（x+y）（x-y）．
故答案为2（x+y）（x-y）．
【点睛】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二次分解，注意分解要彻底．
12．50
【分析】连接OC、OD，利用切线的性质得到OC⊥CP，OD⊥DP，利用四边形内角和定理得到∠COD，根据圆周角定理即可求得到∠CAD．
【详解】解：连接OC、OD，如图，

∵PC，PD与⊙O相切，切点分别为C，D，
∴OC⊥CP，OD⊥DP，
∵OP=OP，OC=OD，
∴△POC≌△POD(HL)，
∴∠CPO=∠DPO，
∵∠CPA=40°，
∴∠CPD=80°，
∴∠COD=360°-80°-90°-90°=100°，
∵∠CAD=∠COD=50°，
故答案为：50．
【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，四边形内角和定理，熟练掌握圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．
13．m＞4
【分析】根据根的判别式即可求出答案．
【详解】解：由题意可知：△＜0，
∴，
∴m＞4
故答案为m＞4
【点睛】本题考查根的判别式，解题的关键是熟练运用根的判别式．
14．4
【分析】将代入中得，，将代入求解即可．
【详解】解：将代入中得，
∴
将代入得，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数综合．解题的关键在于求出点坐标．
15．∠A＝∠ B##∠B＝∠A
【分析】根据证明的全等的方法，添加适当的条件即可．
【详解】解：条件是∠A＝∠ B
理由是：∵∠A＝∠ B
∴PA＝PB
在和中，

∴（SAS）
故答案为：∠A＝∠ B
【点睛】本题考查了全等三角形的判定方法，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．
16．     乙     e，f．
【分析】（1）乙首次也取走3个球，但必须相邻，有两种取法，分类讨论即可判断；
（2）分乙取三个球和乙取二个球两种情况讨论，再在乙取二个球的情况下，再分乙取c，d，乙取d，e，乙取e，f，三种情况讨论；当乙取e，f时，再分三种情况讨论即可求解．
【详解】解：（1）∵甲首次取走写有b，c，d的3个球，
∴还剩下a，，e，f，g，h，
又∵乙首次也取走3个球，但必须相邻，
∴乙可以取e，f，g或f，g，h，
若乙取e，f，g，只剩下a，，h，
∵它们不相邻，
∴甲只能拿走一个，故乙拿走最后一个，故乙胜；
同理，若乙取f，g，h，只剩下a，，e，
∵它们不相邻，
∴甲只能拿走一个，故乙拿走最后一个，故乙胜；
枚答案为：乙；
（2）∵甲首次取走a，b二个球，还剩下c，d，e，f，g，h，
①若乙取三个球:
若乙取c，d，e或f，g，h，那么剩下的球是连着的，故若甲取走剩下的三个，则甲胜；
若乙取d，e，f，此时甲取g，则c，h，不相邻，则甲胜；
若乙取e，f，g，此时甲取d，则c，h，不相邻，则甲胜；
②若乙取二个球:
若乙取c，d，此时甲取f，g，那么剩下e，h，不相邻，则甲胜；
若乙取d，e，此时甲取f，g，则c，h，不相邻，则甲胜；
若乙取e，f，
此时甲取c，d或g，h，则乙胜；
若甲取c或d，那么乙取g或h，则乙胜；
若甲取g或h，那么乙取c或d，那么剩下2个球不相邻，则乙胜；
因此，乙一定要获胜，那么它首次取e，f，
故答案为：e，f．
【点睛】本题考查了逻辑推理，关键是明确最后一个将球取完的人获胜．
17．
【分析】分别根据负整数指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值的性质、零指数幂计算出各数，再根据混合运算的法则进行计算；
【详解】解：（）﹣1﹣2cos30°+|﹣|﹣（3.14﹣π）0
＝2﹣2×+2﹣1
＝2﹣+2﹣1
＝+1
【点睛】此题考查了负整数指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值的性质、零指数幂，掌握相关运算法则是解题的关键．
18．
【分析】根据解分式方程的步骤，因式分解、去分母、移项、合并同类项、系数化“1”、验根、下结论即可．
【详解】解：
整理得，
方程两边同乘最简公分母得，
移项得，
合并同类项得，
系数化“1”得，
检验：当时，，
是原分式方程的解．
【点睛】本题考查解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤，不要忘记验根是解决问题的关键．
19．2
【分析】先根据完全平方公式和平方差公式化简，再把变形整体代入即可求解．，
【详解】解：



∵
∴=2．
【点睛】本题主要考查完全平方差公式、平方差公式的化简，去括号得到最简结果，再把已知等式变形后代入计算求值，解题的关键是学会整体代入的思想解决问题．
20．(1)见解析
(2)圆周角定理或同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半，∠BAC

【分析】（1）根据作法按步骤作图即可；
（2）根据圆周角定理进行证明即可
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；


（2）证明：连接PC．

∵AB＝AC，
∴点C在上．
∵，
∴（_圆周角定理 或同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半__）（填推理的依据），
由作图可知，，
∴_∠BAC__．
∴．
故答案为：圆周角定理或同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半，∠BAC．
【点睛】本题考查了尺规作图作圆，圆周角定理，掌握圆周角定理是解题的关键．
21．(1)见解析
(2)

【分析】(1)根据矩形的性质得出OA=OB，进而利用菱形的判定解答即可；
(2)根据菱形的性质及面积公式，解直角三角形即可求得．
【详解】（1）证明：，
四边形AEBO是平行四边形
又四边形ABCD是矩形
，，

四边形AEBO是菱形
（2）解：如图：连接EO，交AB于点F

四边形ABCD是矩形
，，

又

是等边三角形，
四边形AEBO是菱形
，

四边形的面积为：

【点睛】本题考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，解直角三角形，作出辅助线是解决本题的关键．
22．(1)
(2)

【分析】（1）根据一次函数图象平移时k不变可知，再把点A（2，2）代入求出b的值，进而可得出结论．
（2）由函数解析式可知其经过点（0，-1），由题意可得临界值为当，两条直线都过点A（2，2），将点A（2，2）代入到一次函数，可求出m的值，结合函数图象的性质即可得出m的取值范围．
【详解】（1）解：∵一次函数 的图象与函数的图象平行，
∴，
∵一次函数的图象过点A（2，2），
∴，
∴，
∴这个一次函数的表达式为；
（2）对于一次函数，当时，有，可知其经过点（0，-1）．
当时，对于x的每一个值，一次函数的值大于一次函数的值，即一次函数图象在函数的图像上方，由下图可知：

临界值为当时，两条直线都过点A（2，2），
将点A（2，2）代入到函数中，
可得 ，解得，
结合函数图象及性质可知，当，时，一次函数的值大于一次函数的值，
又∵如下图，当时，，根据一次函数的图象可知，不符合题意．

∴m的取值范围为：．
【点睛】本题考查的是一次函数的图象与几何变换、待定系数法求函数解析式等知识，熟练掌握一次函数的图象与性质，学会运用数形结合的思想思考问题是解题关键．
23．(1)作图见解析
(2)6.7
(3)游船有被喷泉淋到的危险

【分析】（1）以左下角的点为原点，建立平面直角坐标系如图，然后描点，最后用平滑的曲线连接即可；
（2）根据图象中米时，估算值即可；
（3）由点坐标可知，该二次函数图象的顶点坐标为，设二次函数的解析式为，将代入，解得，可得二次函数顶点式，由平顶游船宽度4米，顶棚到水面高度为4.2米，可将代入二次函数解析式中求得的值，然后与比较大小，进而可得出结论．
【详解】（1）解：建立如图坐标系，描点后用平滑的曲线连接即可，

（2）解：米时，由图象可估出喷泉的落水点距水枪的水平距离约为6.7米
故答案为：6.7．
（3）解：由点坐标可知，该二次函数图象的顶点坐标为
设二次函数的解析式为
将代入，解得
∵平顶游船宽度4米，顶棚到水面高度为4.2米
∴将代入二次函数解析式中得米
∵
∴游船有被喷泉淋到的危险．
【点睛】本题考查了二次函数的图象，二次函数与坐标轴的交点，二次函数的应用．解题的关键在于熟练掌握二次函数的知识并灵活运用．
24．(1)见解析
(2)，

【分析】（1）如图所示，连接OC，先证明∠DCB=∠OCA，由OC=OA，可证∠OAC=∠OCA=∠DCB，再由，可证∠DOF=∠OAC，即可证明∠DOF=∠DCB；
（2）先证△OBG∽△ABC，∠BGO=∠ACB=90°得到，则CG=2，再由∠BCD=∠OAC，，求出，则，，即可得到，可证△OFD∽△ACD，得到，则．
【详解】（1）解：如图所示，连接OC，
∵CD是圆O的切线，AB是圆O的直径，
∴∠OCD=∠ACB=90°，
∴∠DCB+∠OCB=∠OCA+∠OCB，
∴∠DCB=∠OCA，
∵OC=OA，
∴∠OAC=∠OCA=∠DCB，
∵，
∴∠DOF=∠OAC，
∴∠DOF=∠DCB；

（2）解：设OF与BC交于点G，
∵，
∴△OBG∽△ABC，∠BGO=∠ACB=90°
∴，∠CGF=90°
∴，
∴CG=2，
∵∠BCD=∠OAC，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
同理可证△OFD∽△ACD，
∴，
∴，
∴．

【点睛】本题主要考查了圆切线的性质，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，平行线的性质，等腰三角形的性质，直径所对的圆周角是直角等等，正确作出辅助线是解题的关键．
25．(1)0.35；81；90°；
(2)八；从平均数、中位数、众数来看，八年级成绩都高于七年级，从方差来看，八年级的方差小于七年级的方差，说明八年级学生的成绩比八年级稳定；
(3)110

【分析】（1）由得出m的值，再根据中位数的定义求出七年级竞赛成绩数据的中位数，最后再求出表示这组数据的扇形圆心角的度数；
（2）从平均数、中位数、众数、方差四个方面进行比较；
（3）各用200去乘七、八年级90以上学生所占的比例即可．
【详解】（1）∵七年级所抽取的20名学生竞赛成绩数据在80≤x＜90这一组的频数是7，频率是m，
∴，解得：m=0.35，
∵七年级学生竞赛成绩数据的中位数是第10位及第11位同学的平均数，即在这一组的第2个与第3个数的平均成绩，
∴，
∵从扇形统计图看，七年级所抽取的20名学生竞赛成绩数据在这一组占比为25%，
∴七年级表示这组数据的扇形圆心角的度数是，
故答案为：0.35；81；90°；
（2）在此次竞赛中，竞赛成绩更好的是八年级，
理由是：从平均数、中位数、众数来看，八年级成绩都高于七年级，从方差来看，八年级的方差小于七年级的方差，说明八年级学生的成绩比八年级稳定，故竞赛成绩更好的是八年级；
故答案为：八；从平均数、中位数、众数来看，八年级成绩都高于七年级，从方差来看，八年级的方差小于七年级的方差，说明八年级学生的成绩比八年级稳定；
（3）估计这两个年级成绩优秀的学生共约：（人），
故答案为：110．
【点睛】本题考查中位数、众数、平均数以及频数分布表、扇形统计图，理解中位数、众数、平均数的定义是解决问题的前提．
26．(1)
(2)
(3)

【分析】（1）由，可得抛物线的顶点坐标；
（2）由（1）可知，抛物线的对称轴为直线，可知关于对称轴对称的点坐标为，进而可知的关系；
（3）将代入，得，则，过A，B两点的直线解析式为，当时，由题意知，当时，随的增大而减小，，即，可得，可得；当时，由题意知，当时，随的增大而减小，点关于直线的对称点为，则，计算求出此时的取值范围；进而可得的取值范围．
【详解】（1）解：∵，
∴抛物线的顶点坐标为．
（2）解：由（1）可知，抛物线的对称轴为直线，
∴关于对称轴对称的点坐标为，
∴，
故答案为：．
（3）解：将代入，得，
∴，
将代入，解得，
∴，
当时，由题意知，当时，随的增大而减小，
∵，
∴，即，
解得，
∴，
∴；
当时，由题意知，当时，随的增大而减小，
点关于直线的对称点为，
∵对于时，总有，
∴，
解得，
∴；
综上所述，的取值范围为．
【点睛】本题考查了二次函数的顶点式，二次函数的图象与性质，二次函数与一次函数的综合等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
27．(1)见解析
(2)

【分析】（1）由等边三角形的性质结合题意易证，即得出；
（2）分别作，且角的顶点落在直线l上．由（1）可知，即得出，．设，则．在中，利用锐角三角形函数可求出，，从而可求出．再在中，利用锐角三角形函数可得出，即可列出关于x的等式，解出x的值，即可求出的长．
【详解】（1）证明：∵为等边三角形，
∴，，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）如图，分别作，且角的顶点落在直线l上．

由（1）可知，
∴，．
设，则．
∵在中，
，
，
∴．
∵在中，，
∴，即，
解得：，
∴．
【点睛】本题考查等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质，解直角三角形等知识．掌握三角形全等的判定定理是解题关键．在解（2）时作出辅助线构造全等三角形也是关键．
28．(1)，；
(2)；
(3)

【分析】（1）依次连接线段，，，，通过“倍弦线”的定义判断即可；
（2）通过M、N均在圆上，可以求得MN的取值范围，进而可以求出PQ的取值范围，结合图形，就可以求出点E纵坐标的取值范围；
（3）先画出P、Q两点的运动轨迹，分别求出直线与两个圆相切时对应的P、S坐标，进而就可以去就出b的取值范围．
【详解】（1）解：如图，连接AB分别交于点E、F，连接AD分别交于点G、H，连接CD分别交于点K、F，连接CB，

∵CB与没有交点，故CB不符合题意；
观察图像，，故AD不符合题意；
，∴线段AB是的“倍弦线”；
，∴线段CD是的“倍弦线”，
故的“倍弦线”是，；
（2）由题意，可得，

∵M、N在圆上，
∴，
∴，
如图，当且点P在直线上时，
∵，
，
∴，
结合图形，点E的纵坐标取值范围为；
（3）由题意可得，P、Q的运动轨迹分别是以M为圆心，1为半径的圆和以N为圆心，2为半径的圆，如图所示，

当直线与圆N相切时，如图中的直线RP，切点为Q，
连接NQ，∵直线RP与相切，，
因为R、P在直线上，∴，
∴△QRN是等腰直角三角形，
过点Q作轴垂足为E，则，
设，则，即，解得（负值舍去），
，
则，将其代入中，解得，
∴直线RP的解析式为，
当时，解得，
故，
当直线与圆M相切时，如图中的直线SW，切点为T，
连接MT，∵直线SW与相切，，
因为S、W在直线上，∴，
∴△TWM是等腰直角三角形，
过点T作轴垂足为F，则，
设，则，即，解得（负值舍去），
，
则，将其代入中，解得，
∴直线SW的解析式为，
当时，解得，
故，
综上，b的取值范围为．
【点睛】本题考查了坐标与图形的新定义问题，涉及到的知识点较多，勾股定理解三角形，等腰直角三角形的判定与性质，圆的切线性质，一次函数的应用等，解题的关键在于正确作出辅助线，理解“倍弦线”的定义是解题的关键．