专题9-6 圆锥曲线大题：非韦达定理形式归类-高考数学一轮复习热点题型归纳与变式演练（全国通用）

专题9-6 圆锥曲线大题：非韦达定理形式归类

【题型一】椭圆“点代入”型

【典例分析】

已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的左焦点分别为F1（-c，0），F2（c，0），过F2作垂直于x轴的直线l交椭圆C于A、B两点，满足|AF2|=c．

（1）椭圆C的离心率；

（2）M、N是椭圆C短轴的两个端点，设点P是椭圆C上一点（异于椭圆C的顶点），直线MP、NP分别和x轴相交于R、Q两点，O为坐标原点，若|OR|•|OQ|=4，求椭圆C的方程．

【变式演练】

已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，且椭圆的离心率为.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）直线交椭圆于､两点，线段的中点为，直线是线段的垂直平分线，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标.

【题型二】双曲线“点代入”型

【典例分析】

已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，且椭圆的离心率为.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）直线交椭圆于､两点，线段的中点为，直线是线段的垂直平分线，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标.

【变式演练】

已知双曲线：，，，，，五点中恰有三点在上.

（1）求的方程；

（2）设是上位于第一象限内的一动点，则是否存在定点，使得,若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.

【题型三】抛物线“点代入”型

【典例分析】

已知抛物线，圆的圆心为点．

（1）求点到抛物线的准线的距离；

（2）已知点是抛物线上一点（异于原点），过点作圆的两条切线，交抛物线于，两点，若过，两点的直线垂直于，求直线的方程．

【变式演练】

已知抛物线的顶点为原点，其焦点，到直线的距离为．

（1）求抛物线的方程；

（2）设点，为直线上一定点，过点作抛物线的两条切线，，其中，为切点，求直线的方程，并证明直线过定点．

【题型四】知道一根或者求根公式硬算

【典例分析】

已知抛物线方程为焦点，为抛物线准线上一点，为线段与抛物线的交点，定义：.

（1）当时，求；

（2）证明：存在常数，使得；

（3）为抛物线准线上三点，且，判断与的关系.

【变式演练】

如图所示，椭圆的离心率为，其右准线方程为，A、B分别为椭圆的左、右顶点，过点A、B作斜率分别为、，直线AM和直线BN分别与椭圆C交于点M，N（其中M在x轴上方，N在x轴下方）.

（1）求椭圆C的方程；

（2）若直线MN恒过椭圆的左焦点，求证：为定值.

【题型五】非对称型：韦达定理代入消去

【典例分析】

已知点坐标为，点分别为椭圆的左、右顶点，直线交于点是等腰直角三角形，且.

（1）求椭圆的方程；

（2）过点的直线交椭圆于两点，其中点在轴上方.设直线的斜率为，直线的斜率为，探究是否为定值，若为定值，求出定值；若不是定值，说明理由.

【变式演练】

已知椭圆的离心率为.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设直线过点且与椭圆相交于两点.过点作直线的垂线，垂足为.证明直线过轴上的定点.

【题型六】非对称型：韦达定理线性“互函”

【典例分析】

设椭圆C的左、右顶点为A，，过右焦点作非水平直线与椭圆C交于P，Q两点，记直线AP，BQ的斜率分别为，，试证：为定值，并求此定值（用a的函数表示）

【变式演练】

已知椭圆的离心率为，其短轴长为，设直线，过椭圆右焦点的直线（不与轴重合）与椭圆相交于、两点，过点作，垂足为．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）求证：直线过定点，并求出定点的坐标．

【题型七】无韦达

【典例分析】

已知过点，圆心在抛物线上运动，若为在轴上截得的弦，设，.

（1）当运动时，是否变化？证明你的结论.

（2）求的最大值，并求出此时方程.

【变式演练】

已知椭圆经过点，离心率为，为坐标原点.

（1）求椭圆的方程；

（2）设、分别为椭圆的左、右顶点，为椭圆上一点（不在坐标轴上），直线交轴于点，为直线上一点，且，求证：、、三点共线.

1.（四川高考理科21）椭圆有两顶点、，过其焦点的直线与椭圆交于两点，并与轴交于点．直线与直线交于点．

（I）当时，求直线的方程；

（II）当点异于两点时，求证： 为定值。

2.（江苏高考理科）在平面直角坐标系中，如图，已知椭圆的左、右顶点为A、B，右焦点为F。设过点的直线TA、TB与椭圆分别交于点M、，其中m>0,。

（1）设动点P满足,求点P的轨迹；

（2）设，求点T的坐标；

（3）设,求证：直线MN必过x轴上的一定点（其坐标与m无关）。

3.（辽宁高考理20）如图，椭圆，动圆.点分别为的左、右顶点，与相交于四点

（1）求直线与直线交点的轨迹方程；

（2）设动圆与相交于四点，其中，.若矩形与矩形的面积相等，证明：为定值。

4.、（新课标1理文20题）设抛物线的焦点为，准线为，，已知以为圆心，为半径的圆交于两点；（1）若，的面积为；求的值及圆的方程；（2）若三点在同一直线上，直线与平行，且与只有一个公共点，

求坐标原点到距离的比值。

5..（2022年新高考2卷）设双曲线的右焦点为，渐近线方程为
求的方程
经过的直线与的渐近线分别交于，两点，点，在上，且，过且斜率为的直线与过且斜率为的直线交于点，从下面三个条件中选择两个条件，证明另一个条件成立：在上．

1.．已知椭圆的左顶点为A，右焦点为F，过点A作倾斜角为的直线与C相交于A，B，且，其中O为坐标原点．

（1）求椭圆的离心率e；

（2）若，过点F作与直线平行的直线l，l与椭圆C相交于P，Q两点．

①求的值；

②点M满足，直线与椭圆的另一个交点为N，若，求的值．

2.已知椭圆的右焦点为F，长轴长为4，离心率为．过点的直线与椭圆C交于A，B两点．

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)设直线的斜率分别为，求证：为定值．

3.已知椭圆的左右顶点分别为，，右焦点的坐标为，点坐标为，且直线轴，过点作直线与椭圆交于，两点（，在第一象限且点在点的上方），直线与交于点，连接.

（1）求椭圆的方程；

（2）设直线的斜率为，直线的斜率为，问：的斜率乘积是否为定值，若是求出该定值，若不是，说明理由.

4.椭圆：的焦点，是等轴双曲线：的顶点，若椭圆与双曲线的一个交点是P，的周长为.(1)求椭圆的标准方程；

(2)点M是双曲线上任意不同于其顶点的动点，设直线、的斜率分别为，，求证，的乘积为定值；

(3)过点任作一动直线l交椭圆与A，B两点，记，若在直线AB上取一点R，使得，试判断当直线l运动是，点R是否在某一定直线上运动？若是，求出该直线的方程；若不是，请说明理由.

5.如图，在平面直角坐标系中，焦点在轴上的鞘园C:经过点，且经过点作斜率为的直线交椭圆C与A、B两点(A在轴下方).

(1)求椭圆C的方程；

(2)过点且平行于的直线交椭圆于点M、N，求的值；

(3)记直线与轴的交点为P，若，求直线的斜率的值.

6.如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆的离心率为，右准线的方程为x＝4，F1，F2分别为椭圆C的左、右焦点，A，B分别为椭圆C的左右顶点.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）过T（t，0）（t＞a）作斜率为k（k＜0）的直线l交椭圆C与M，N两点（点M在点N的左侧），且F1M∥F2N.设直线AM，BN的斜率分别为k1，k2，求k1•k2的值.

7.如图，过点作两条直线和，分别交抛物线于，和，（其中，位于轴上方），直线，交于点．

（1）试求，两点的纵坐标之积，并证明：点在定直线上；

（2）记的面积为，的面积为，若，求的最小值．