专题9-5 圆锥曲线大题基础：定点归类-高考数学一轮复习热点题型归纳与变式演练（全国通用）

专题9-5 圆锥曲线大题基础：定点归类

【题型一】直线过定点基础：y=kx+m型

【典例分析】

设椭圆C：（）过点，离心率为，椭圆的右顶点为A.

(1)求椭圆C的方程；

(2)若直线与椭圆交于两点M，N（M，N不同于点A），若，求证：直线l过定点，并求出定点坐标

【变式演练】

已知椭圆E：的离心率为，且过点.

(1)求椭圆E的标准方程；

(2)已知定点，直线l：满足且与椭圆E相交于不同的两点A，B，始终满足，证明：直线l过一定点T，并求出定点T的坐标.

【题型二】直线过定点基础：x=tx+m型

【典例分析】

已知椭圆的焦距为，且经过点，

(1)求椭圆的标准方程；

(2)设为坐标原点，在椭圆短轴上有两点(不与短轴端点重合)满足，直线分别交椭圆于两点，求证：直线过定点.

【变式演练】

如图，平面直角坐标系内，为坐标原点，点在轴正半轴上，点在第一象限内，.

(1)若过点，且为线段的中点，求直线的方程；

(2)若，求的面积取得最大值时直线的方程；

(3)设，，若，求证：直线过一定点，并求出此定点的坐标.

【题型三】定点转化1：斜率积型

【典例分析】

已知圆C的圆心坐标为，与y轴的正半轴交于点A且y轴截圆C所得弦长为8．

(1)求圆C的标准方程；

(2)直线n交圆C于的M，N两点（点M，N异于A点），若直线AM，AN的斜率之积为2，求证：直线n过一个定点，并求出该定点坐标．

【变式演练】

已知抛物线：（）的焦点为，点在上，且．

(1)求的方程；

(2)若不过点的直线与相交于两点，且直线，的斜率之积为1，证明：直线过定点．

【题型四】定点转化2：斜率和型

【典例分析】

在平面直角坐标系中，已知等轴双曲线过点

(1)求双曲线的方程；

(2)已知点，斜率为的直线与双曲线交于两点（不同于点），且，求证直线过定点.

【变式演练】

．在平面直角坐标系中，已知动圆与圆内切，且与直线相切，设动圆圆心的轨迹为曲线．

(1)求曲线的方程；

(2)曲线上存在一点，不经过点的直线与交于，两点，若直线，的斜率之和为，证明：直线过定点．

【题型五】斜率转化3：斜率比值型

【典例分析】

已知双曲线的左焦点坐标为，直线与双曲线交于两点，线段中点为.

(1)求双曲线的方程；

(2)经过点与轴不重合的直线与双曲线交于两个不同点，点，直线与双曲线分别交于另一点.

①若直线与直线的斜率都存在，并分别设为.是否存在实常数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

②证明：直线恒过定点.

【变式演练】

在一张纸上有一个圆：，定点，折叠纸片使圆上某一点好与点重合，这样每次折叠都会留下一条直线折痕，设折痕与直线的交点为．

(1)求证：为定值，并求出点的轨迹方程；

(2)设，为曲线上一点，为圆上一点（，均不在轴上）．直线，的斜率分别记为，，且，求证：直线过定点，并求出此定点的坐标．

【题型六】订单转化4：三斜率型

【典例分析】

已知椭圆：（）的离心率为，的长轴的左、右端点分别为、，与圆上点的距离的最大值为.

(1)求椭圆的方程；

(2)一条不垂直坐标轴的直线交于C、D两点（C、D位于x轴两侧），设直线、、、的斜率分别为、、、，满足，问直线是否经过定点，若过定点，求出该定点，否则说明理由.

【变式演练】

且椭圆的离心率为，左顶点和上顶点分别为A、B．

(1)求椭圆C的方程；

(2)点P在椭圆上，求线段的长度的最大值及取最大值时点P的坐标；

(3)不过点A的直线l交椭圆C于M，N两点，记直线l，的斜率分别为，若，证明：直线l过定点，并求出定点的坐标．

【题型七】圆过定点

【典例分析】

已知双曲线经过点，两条渐近线的夹角为，直线交双曲线于两点.

(1)求双曲线的方程.

(2)若动直线经过双曲线的右焦点，是否存在轴上的定点，使得以线段为直径的圆恒过点？若存在，求实数的值；若不存在，请说明理由.

【变式演练】

.已知双曲线：与双曲线有相同的渐近线，直线被双曲线所截得的弦长为6．

(1)求双曲线的方程；

(2)过双曲线右焦点的直线与双曲线相交于，两点，求证：以为直径的圆恒过轴上的定点，并求此定点坐标．

【题型八】切线型定点

【典例分析】

动点到定点的距离和到直线的距离之比为，

(1)求动点的轨迹；

(2)设点，动点的轨迹方程为，过点作曲线的两条切线，切点为，求证：直线过某一个定点.

【变式演练】

已知双曲线的渐近线方程为，且经过点.

(1)求双曲线的方程；

(2)若点Q是直线上一动点，过点Q引双曲线两条切线，切点为A，B，试探究：直线AB是否恒过定点.若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由.

【题型九】圆切线切点弦定点

【典例分析】

已知直线，O为坐标原点，动点Q满足，动点Q的轨迹为曲线C．

(1)求曲线C的方程；

(2)若直线l与圆交于不同的两点A，B，当时，求k的值；

(3)若 ，P是直线l上的动点，过点P作曲线C的两条切线PC、PD，切点为C、D，探究：直线CD是否过定点.

【变式演练】

．已知圆 ​， 点​是直线​上一动点， 过点​作圆​的切线​， 切点分别是​和​.

(1)当点​的横坐标为 3 时， 求切线的方程;

(2)试问直线​是否恒过定点， 若是求出这个定点， 若否说明理由.

1.（·北京·高考真题）如图，为椭圆的两个顶点，为椭圆的两个焦点．

(1)写出椭圆的方程及准线方程；

(2)过线段上异于O，A的任一点K作的垂线，交椭圆于P，两点，直线与交于点M．求证：点M在双曲线上．

2．（·重庆·高考真题（理））如图，和是平面上的两点，动点P满足：．

(1)求点P的轨迹方程；

(2)若，求点P的坐标．

3．（·上海·高考真题）设分别为椭圆的左、右两个焦点．

(1)若椭圆C上的点到两点的距离之和等于4，写出椭圆C的方程；

(2)设K是（1）中所得椭圆上的动点，求线段的中点的轨迹方程；

(3)已知椭圆具有性质：若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，当直线的斜率都存在，并记为、时，那么与之积是与点P位置无关的定值．试对双曲线写出具有类似特性的性质，并加以证明．

4（·江苏·高考真题）在平面直角坐标系xOy中，设二次函数的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C.

(1)求实数b的取值范围；(2)求圆C的方程；

(3)请问圆C是否经过某定点（其坐标与b无关）？请证明你的结论.

5．（2020·山东·高考真题）已知椭圆C：的离心率为，且过点．

（1）求的方程：

（2）点，在上，且，，为垂足．证明：存在定点，使得为定值．

1．已知直线：，，为坐标原点，动点满足，动点的轨迹为曲线

(1)求曲线的方程；

(2)若直线与圆：交于不同的两点，当∠时，求的值；

(3)若，是直线上的动点，过点作曲线的两条切线，切点为，探究：直线是否过定点．

2．已知圆C的圆心坐标为C（3，0），且该圆经过点A（0，4）．

(1)求圆C的标准方程；

(2)直线n交圆C于的M，N两点（点M，N异于A点），若直线AM，AN的斜率之积为2，求证：直线n过一个定点，并求出该定点坐标．

3．已知点在椭圆上，椭圆C的左右焦点分别为，，的面积为.(1)求椭圆C的方程；

(2)设点A，B在椭圆C上，直线PA，PB均与圆相切，记直线PA，PB的斜率分别为，.

（i）证明：；

（ii）证明：直线AB过定点.

4．在平面直角坐标系xOy中，已知点，点P到点F的距离比点P到x轴的距离大2，记P的轨迹为C．

(1)求C的方程；

(2)A、B是C上的两点，直线OA、OB的斜率分别为 且，求证直线过定点．

5．在平面直角坐标系xOy中，已知点，点P到点F的距离比点P到直线的距离小1，记P的轨迹为C．

(1)求曲线C的方程；

(2)在直线上任取一点M，过M作曲线C的切线，切点分别为A、B，求证直线AB过定点．

6．已知椭圆的离心率为，、分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上在第一象限内的任意一点，且的周长为．

(1)求的方程；

(2)已知点，若不过点的直线与交于、两点，且，证明：直线过定点．