中考一轮综合复习导学案（15）三角形与勾股定理

中考一轮综合复习导学案（15）

模块十五：三角形与勾股定理

【教材涉及章节：初二上第11章  三角形  初二下第17章 勾股定理】

涉及到2021大连中考题题：

【知识网络】

【要点梳理】

要点一、三角形的有关概念和性质

1.三角形三边的关系：

定理：三角形任意两边之和大于第三边；三角形任意两边的之差小于第三边.

❤重点讲解❤：（1）理论依据：两点之间线段最短.（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围．

2.三角形按“边”分类：

3.三角形的重要线段：

（1）三角形的高

从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高．

❤重点讲解❤：三角形的三条高所在的直线相交于一点的位置情况有三种：锐角三角形交点在三角形内；直角三角形交点在直角顶点；钝角三角形交点在三角形外.

（2）三角形的中线

三角形的一个顶点与它的对边中点的连线叫三角形的中线．

❤重点讲解❤：一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点，叫做三角形的重心．中线把三角形分成面积相等的两个三角形.

（3）三角形的角平分线

三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线.

❤重点讲解❤：一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点，这一点叫做三角形的内心.

要点二、三角形的稳定性
　　如果三角形的三边固定，那么三角形的形状大小就完全固定了，这个性质叫做三角形的稳定性．
    ❤重点讲解❤：(1)三角形的形状固定是指三角形的三个内角不会改变，大小固定指三条边长不改变．(2)三角形的稳定性在生产和生活中很有用．例如，房屋的人字梁具有三角形的结构，它就坚固而稳定；在栅栏门上斜着钉一条(或两条)木板，构成一个三角形，就可以使栅栏门不变形．大桥钢架、输电线支架都采用三角形结构，也是这个道理．(3)四边形没有稳定性，也就是说，四边形的四条边长确定后，不能确定它的形状，它的各个角的大小可以改变．四边形的不稳定性也有广泛应用，如活动挂架，伸缩尺．有时我们又要克服四边形的不稳定性，如在窗框未安好之前，先在窗框上斜着钉一根木板，使它不变形．

要点三、三角形的内角和与外角和

1.三角形内角和定理：三角形的内角和为180°．

推论：1.直角三角形的两个锐角互余

       2.有两个角互余的三角形是直角三角形

2.三角形外角性质：

（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．

 （2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角．

3.三角形的外角和： 三角形的外角和等于360°.

要点四、多边形及有关概念
1. 多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形. 
　　❤重点讲解❤：多边形通常还以边数命名，多边形有n条边就叫做n边形．三角形、四边形都属于多边形，其中三角形是边数最少的多边形.

2.正多边形：各个角都相等、各个边都相等的多边形叫做正多边形.如正三角形、正方形、正五边形等．

❤重点讲解❤：各角相等、各边也相等是正多边形的必备条件，二者缺一不可. 如四条边都相等的四边形不一定是正方形，四个角都相等的四边形也不一定是正方形，只有满足四边都相等且四个角也都相等的四边形才是正方形.

3.多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.
　　　　　　　　　　　　　　　　
   ❤重点讲解❤：(1)从n边形一个顶点可以引(n－3)条对角线，将多边形分成(n－2)个三角形；

(2)n边形共有 条对角线．
要点五、勾股定理

1.勾股定理：

直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.（即：）

 2.勾股定理的应用

勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用是：

（1）已知直角三角形的两边，求第三边；

（2）利用勾股定理可以证明有关线段平方关系的问题；

（3）求作长度为的线段.

要点六、勾股定理的逆定理

1.原命题与逆命题

　　如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题.

2.勾股定理的逆定理

　　 勾股定理的逆定理：

如果三角形的三边长，满足，那么这个三角形是直角三角形.

应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的基本步骤：

（1）首先确定最大边，不妨设最大边长为；

（2）验证与是否具有相等关系，若，则△ABC是以∠C为直角的直角三角形，反之，则不是直角三角形.

3.勾股数

满足不定方程的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以为三边长的三角形一定是直角三角形.

常见的勾股数：①3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41.

如果()是勾股数，当t为正整数时，以为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.

观察上面的①、②、④、⑤四组勾股数，它们具有以下特征：

1.较小的直角边为连续奇数；

2.较长的直角边与对应斜边相差1.

3.假设三个数分别为，且，那么存在成立.（例如④中存在＝24＋25、＝40＋41等）

要点七、勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系

区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；

联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，两者互为逆定理，都与直角三角形有关.

【2021中考汇编】

一、选择题

1. （2021•江苏省扬州）如图，在的正方形网格中有两个格点A、B，连接，在网格中再找一个格点C，使得是等腰直角三角形，满足条件的格点C的个数是（    ）

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

2. （2021•山东省临沂市）如图，点A，B都在格点上，若BC＝，则AC的长为（　　）

A． B． C．2 D．3

3. （2021•山西）在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用以下图形，验证著名的勾股定理.这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”.实际上它也可用于验证数与代数，图形与几何等领域中的 许多数学公式和规律，它体现的数学思想是（              ）

A.统计思想     B.分类思想        C.数形结合思想         D.函数思想

4. （2021•浙江省杭州）已知线段AB，按如下步骤作图：①作射线AC，使AC⊥AB；②作∠BAC的平分线AD，③以点A为圆心，AB长为半径作弧,交AD于E；④过点E作EP⊥AB于点P，则AP：AB＝（　　）

A．1： B．1：2 C．1： D．1：

5. （2021•四川省乐山市）如图，已知点是菱形的对角线延长线上一点，过点分别作、延长线的垂线，垂足分别为点、．若，，则的值为（    ）

A.  B.  C. 2 D.

6. (2021•四川省自贡市)如图，，，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交y轴正半轴于点B，则点B的坐标为（    ）

A.  B.  C.  D.

7. （2021•浙江省绍兴市）如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，点P从点B出发，沿折线BC﹣CD方向移动，移动到点D停止．在△ABP形状的变化过程中（　　）

A．直角三角形→等边三角形→等腰三角形→直角三角形 

B．直角三角形→等腰三角形→直角三角形→等边三角形 

C．直角三角形→等边三角形→直角三角形→等腰三角形 

D．等腰三角形→等边三角形→直角三角形→等腰三角形

8. （2021•新疆）如图，在Rt中，，，，于点D，E是AB的中点，则DE的长为（   ）

A. 1 B. 2 C. 3D. 4

9. （2021•浙江省宁波市）如图，在中，于点D，．若E，F分别为，中点，则的长为（    ）

A.  B.  C. 1 D.

10. （2021•甘肃省定西市）如图1，在△ABC中，AB＝BC，BD⊥AC于点D（AD＞BD）．动点M从A点出发，沿折线AB→BC方向运动，运动到点C停止．设点M的运动路程为x，△AMD的面积为y，y与x的函数图象如图2，则AC的长为（　　）

A．3 B．6 C．8 D．9

11. （2021•广西玉林市）图（1），在中，，点从点出发，沿三角形边以/秒的速度逆时针运动一周，图（2）是点运动时，线段的长度（）随运动时间（秒）变化的关系图象，则图（2）中点的坐标是（    ）

A.  B.  C.  D.

12. （2021•江苏省无锡市）在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，点P是△ABC所在平面内一点，则PA2+PB2+PC2取得最小值时，下列结论正确的是（　　）

A．点P是△ABC三边垂直平分线的交点 B．点P是△ABC三条内角平分线的交点 

C．点P是△ABC三条高的交点 D．点P是△ABC三条中线的交点

13. （2021•贵州省铜仁市）如图，在中，，，，按下列步骤作图：步骤1：以点为圆心，小于的长为半径作弧分别交、于点、．步骤2：分别以点、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点．步骤3：作射线交于点．则的长为（      ）

A. 6 B.  C.  D.

14. （2021•襄阳市）我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问题：“今有池方一丈，葭（jiǎ）生其中，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．间水深几何．”（丈、尺是长度单位，1丈尺，）其大意为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，水的深度是多少？则水深为（    ）

A. 10尺 B. 11尺 C. 12尺 D. 13尺

15.（2021•吉林省长春市）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB≠AC．用无刻度的直尺和圆规在BC边上找一点D，使△ACD为等腰三角形．下列作法不正确的是（　　）

A．             B．               C．                 D．

16. （2021•湖北省黄石市）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，按以下步骤作图：①以B为圆心，任意长为半径作弧，分别交BA、BC于M、N两点；②分别以M、N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，两弧相交于点P；③作射线BP，交边AC于D点．若AB=10，BC=6，则线段CD的长为（    ）

A. 3 B.  C.  D.

17. （2021•绥化市）已知在中，，．点为边上的动点，点为边上的动点，则线段的最小值是（    ）

A.  B.  C.  D.

18. （2021•辽宁省本溪市）如图，在中，，由图中的尺规作图痕迹得到的射线与交于点E，点F为的中点，连接，若，则的周长为（    ）

A.  B.  C.  D. 4

二．填空题

1. （2021•湖北省黄冈市）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，适当长为半径画弧，分别交AC，F；再分别以点E，F为圆心EF的长为半径画弧，两弧交于点P,作射线AD交BC于点D，则BD与CD的数量关系为：　   　．

2. （2021•江苏省苏州市）如图，在Rt△ABC中，∠C = 90°.AF = EF.若∠CFE = 72°.则∠B =       °．

3. （2021•江苏省扬州） 如图，在中，，点D是的中点，过点D作，垂足为点E，连接，若，，则________．

4. （2021•湖南省娄底市）如图，中，是上任意一点，于点于点F，若，则________．

5. （2021•四川省成都市）如图，数字代表所在正方形的面积，则A所代表的正方形的面积为　　．

6. （2021•四川省眉山市）如图，△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD平分∠BAC交BC于点D，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN，交AD于点E，则DE的长为 　　．

7. （2021•浙江省杭州）如图，在直角坐标系中，以点A（3，1），AC，AD（1，1），点C（1，3），点D（4，4）（5，2），则∠BAC　　∠DAE（填“＞”、“＝”、“＜”中的一个）．

8. （2021•浙江省绍兴市））如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝70°，以点C为圆心，CA长为半径作弧，交直线BC于点P，连结AP，则∠BAP的度数是　　．

9. （2021•江苏省盐城市）如图，在Rt△ABC中，CD为斜边AB上的中线，若CD＝2，则AB＝　．

10. （2021•齐齐哈尔市）若直角三角形其中两条边的长分别为3，4，则该直角三角形斜边上的高的长为________．

11. （2021•贵州省铜仁市）如图，将边长为1的正方形ABCD绕点顺时针旋转到的位置，则阴影部分的面积是______________；

12. （2021•深圳）如图，已知，是角平分线且，作的垂直平分线交于点F，作，则周长为________．

13. （2021•江苏省南京市） 如图，在四边形中，．设，则______（用含的代数式表示）．

14. （2021•广西贺州市）如图，一次函数与坐标轴分别交于，两点，点，分别是线段，上的点，且，，则点的标为________．

三、解答题

1. （2021•江西省）如图，在△ABC中，∠A＝40°，∠ABC＝80°，BE平分∠ABC交AC于点E，ED⊥AB于点D，求证：AD＝BD．

2. （2021•浙江省杭州）如图，在△ABC中，∠ABC的平分线BD交AC边于点D，∠C＝45°．

（1）求证：AB＝BD；

（2）若AE＝3，求△ABC的面积．

3. （2021•长沙市）如图，在中，，垂足，，延长至，使得，连接．

（1）求证：；

（2）若，，求的周长和面积．