中考数学精选真题实战测试26 二次函数 B

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 中考数学精选真题实战测试26 二次函数 B一、单选题（每题3分，共30分）(共10题；共30分)1．（3分）（2022·郴州）关于二次函数 ，下列说法正确的是（　　）A．函数图象的开口向下B．函数图象的顶点坐标是 C．该函数有最大值，是大值是5D．当 时，y随x的增大而增大2．（3分）（2021·毕节）如图，已如抛物线 开口向上，与 轴的一个交点为 ，对称轴为直线   .下列结论错误的是（　　）  A． B． C． D．3．（3分）（2022·衢州）已知二次函数，当时，y的最小值为，则a的值为（　　）A．或4 B．或 C．或4 D．或44．（3分）（2022·襄阳）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y＝bx+c和反比例函数y＝在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　）A． B．C． D．5．（3分）（2022·通辽）在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得函数的解析式为（　　）A． B．C． D．6．（3分）（2022·烟台）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，其对称轴为直线x＝﹣，且与x轴的一个交点坐标为（﹣2，0）．下列结论：①abc＞0；②a＝b；③2a+c＝0；④关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣1＝0有两个相等的实数根．其中正确结论的序号是（　　）A．①③ B．②④ C．③④ D．②③7．（3分）（2022·广安）已知抛物线y=ax2 +bx +c的对称轴为x=1，与x轴正半轴的交点为A（3，0），其部分图象如图所示，有下列结论：①abc >0；②2c﹣3b <0；③5a +b+2c=0；④若B（，y1）、C（，y2）、D（，y3）是抛物线上的三点，则y1<y2<y3.其中正确结论的个数有（　　）A．1 B．2 C．3 D．48．（3分）（2022·南通）如图，在中，对角线相交于点O，，若过点O且与边分别相交于点E，F，设，则y关于x的函数图象大致为（　　） A． B．C． D．9．（3分）（2022·恩施）已知抛物线，当时，；当时，.下列判断：①；②若，则；③已知点，在抛物线上，当时，；④若方程的两实数根为，，则.其中正确的有（　　）个.A．1 B．2 C．3 D．410．（3分）（2022·日照）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，对称轴为，且经过点（-1，0）．下列结论：①3a+b=0；②若点，（3，y2）是抛物线上的两点，则y1<y2；③10b-3c=0；④若y≤c，则0≤x≤3．其中正确的有（　　）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题（每空3分，共18分）(共6题；共18分)11．（3分）（2022·徐州）若二次函数的图象上有且只有三个点到x轴的距离等于m，则m的值为　     　．12．（3分）（2021·贵州）如图，二次函数 的函数图象经过点（1，2），且与 轴交点的横坐标分别为 、 ，其中 －1＜ ＜0，1＜ ＜2，下列结论：① ；② ；③ ；④当 时， ；⑤  ，其中正确的有 　     　.（填写正确的序号）  13．（3分）（2022·武威）如图，以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线.若不考虑空气阻力，小球的飞行高度 （单位：m）与飞行时间 （单位：s）之间具有函数关系： ，则当小球飞行高度达到最高时，飞行时间 　     　s.  14．（3分）（2022·盐城）若点在二次函数的图象上，且点到轴的距离小于2，则的取值范围是　         　．15．（3分）（2022·长春）已知二次函数，当时，函数值y的最小值为1，则a的值为　     　．16．（3分）（2022·枣庄）小明在学习“二次函数”内容后，进行了反思总结．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图像的一部分与x轴的一个交点坐标为（1，0），对称轴为直线x＝﹣1，结合图像他得出下列结论：①ab＞0且c＞0；②a+b+c＝0；③关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根分别为﹣3和1；④若点（﹣4，y1），（﹣2，y2），（3，y3）均在二次函数图象上，则y1＜y2＜y3；⑤3a+c＜0，其中正确的结论有 　     　．（填序号，多选、少选、错选都不得分）三、解答题（共7题，共72分）(共7题；共72分)17．（10分）（2022·温州）根据以下素材，探索完成任务．如何设计拱桥景观灯的悬挂方案？素材1图1中有一座拱桥，图2是其抛物线形桥拱的示意图，某时测得水面宽 20m ，拱顶离水面 5m ．据调查，该河段水位在此基础上再涨 1.8m 达到最高．素材2为迎佳节，拟在图1桥洞前面的桥拱上悬挂 40cm 长的灯笼，如图3．为了安全，灯笼底部距离水面不小于 1m ；为了实效，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为 1.6m ；为了美观，要求在符合条件处都挂上灯笼，且挂满后成轴对称分布．问题解决任务1确定桥拱形状在图2中建立合适的直角坐标系，求抛物线的函数表达式．任务2探究悬挂范围在你所建立的坐标系中，仅在安全的条件下，确定悬挂点的纵坐标的最小值和横坐标的取值范围．任务3拟定设计方案给出一种符合所有悬挂条件的灯笼数量，并根据你所建立的坐标系，求出最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标．18．（10分）（2022·丹东）丹东是我国的边境城市，拥有丰富的旅游资源．某景区研发一款纪念品，每件成本为30元，投放景区内进行销售，规定销售单价不低于成本且不高于54元，销售一段时间调研发现，每天的销售数量y（件）与销售单价x（元/件）满足一次函数关系，部分数据如下表所示：销售单价x（元/件）…354045…每天销售数量y（件）…908070…（1）（3分）直接写出y与x的函数关系式；（2）（3分）若每天销售所得利润为1200元，那么销售单价应定为多少元？（3）（4分）当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？19．（10分）（2022·资阳）如图，平行四边形中，边上的高，点E为边上的动点（不与B、C重合，过点E作直线的垂线，垂足为F，连接．（1）（3分）求证：；（2）（3分）当点E为的中点时，求的长；（3）（4分）设的面积为y，求y与x之间的函数关系式，并求当x为何值时，y有最大值，最大值是多少？20．（10分）（2022·济南）抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，直线y＝kx－6经过点B．点P在抛物线上，设点P的横坐标为m．（1）（3分）求抛物线的表达式和t，k的值；（2）（3分）如图1，连接AC，AP，PC，若△APC是以CP为斜边的直角三角形，求点P的坐标；（3）（4分）如图2，若点P在直线BC上方的抛物线上，过点P作PQ⊥BC，垂足为Q，求的最大值．21．（10分）（2022·鄂尔多斯）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2经过A（，0），B（3，）两点，与y轴交于点C．（1）（3分）求抛物线的解析式；（2）（3分）点P在抛物线上，过P作PD⊥x轴，交直线BC于点D，若以P、D、O、C为顶点的四边形是平行四边形，求点P的横坐标；（3）（4分）抛物线上是否存在点Q，使∠QCB＝45°？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．22．（10分）（2022·南通）定义：函数图象上到两坐标轴的距离都不大于的点叫做这个函数图象的“n阶方点”．例如，点是函数图像的“阶方点”；点是函数图像的“2阶方点”．（1）（3分）在①；②；③三点中，是反比例函数图像的“1阶方点”的有　     　（填序号）；（2）（3分）若y关于x的一次函数图像的“2阶方点”有且只有一个，求a的值；（3）（4分）若y关于x的二次函数图像的“n阶方点”一定存在，请直接写出n的取值范围．23．（12分）（2022·黔西）如图，在平面直角坐标系中，经过点的直线AB与y轴交于点．经过原点O的抛物线交直线AB于点A，C，抛物线的顶点为D．（1）（4分）求抛物线的表达式；（2）（4分）M是线段AB上一点，N是抛物线上一点，当轴且时，求点M的坐标；（3）（4分）P是抛物线上一动点，Q是平面直角坐标系内一点．是否存在以点A，C，P，Q为顶点的四边形是矩形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
答案解析部分1．【答案】D2．【答案】C3．【答案】D4．【答案】D5．【答案】D6．【答案】D7．【答案】B8．【答案】C9．【答案】C10．【答案】C11．【答案】412．【答案】②④⑤13．【答案】214．【答案】1≤n＜1015．【答案】16．【答案】①②③17．【答案】解：【任务1】 以拱顶为原点，建立如图1所示的直角坐标系，则顶点为 ，且经过点 ．设该抛物线函数表达式为 ，则 ，∴ ，∴该抛物线的函数表达式是 ．【任务2】∵水位再上涨 达到最高，灯笼底部距离水面至少 ，灯笼长 ，∴悬挂点的纵坐标 ，∴悬挂点的纵坐标的最小值是 ．当 时， ，解得 或 ，∴悬挂点的横坐标的取值范围是 ．【任务3】有两种设计方案．方案一：如图2（坐标系的横轴，图3同），从顶点处开始悬挂灯笼．∵ ，相邻两灯笼悬挂点的水平间距均为 ，∴若顶点一侧挂4盏灯笼，则 ，若顶点一侧挂3盏灯笼，则 ，∴顶点一侧最多可挂3盏灯笼．∵挂满灯笼后成轴对称分布，∴共可挂7盏灯笼．∴最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标是-4.8．方案二：如图3，从对称轴两侧开始悬挂灯笼，正中间两盏与对称轴的距离均为 ，∵若顶点一侧挂5盏灯笼，则 ，若顶点一侧挂4盏灯笼，则 ，∴顶点一侧最多可挂4盏灯笼．∵挂满灯笼后成轴对称分布，∴共可挂8盏灯笼．∴最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标是-5.6．注：以下为几种常见建系方法所得出的任务答案．方法任务1任务2任务3建立坐标系函数表达式最小值取值范围灯笼数量横坐标一3.275.284.4二3.27-4.88-5.6三3.27-14.88-15.618．【答案】（1）解：设每天的销售数量y（件）与销售单价x（元/件）之间的关系式为y＝kx+b，把（35，90），（40，80）代入得：，解得，∴y＝﹣2x+160；（2）解：根据题意得：（x﹣30）•（﹣2x+160）＝1200，解得x1＝50，x2＝60，∵规定销售单价不低于成本且不高于54元，∴x＝50，答：销售单价应定为50元；（3）解：设每天获利w元，w＝（x﹣30）•（﹣2x+160）＝﹣2x2+220x﹣4800＝﹣2（x﹣55）2+1250，∵﹣2＜0，对称轴是直线x＝55，而x≤54，∴x＝54时，w取最大值，最大值是﹣2×（54﹣55）2+1250＝1248（元），答：当销售单价为54元时，每天获利最大，最大利润，1248元．19．【答案】（1）证明：∵是边上的高，∴，又∵，∴；（2）解：过点E作于点N，在平行四边形中，，又∵是边上的高，∴AM⊥AD，∴，∴四边形为矩形，∴，在中，，又∵E为的中点，∴，∴，∴，在中，；（3）解：延长交的延长线于点G．∵，∴，∴，∵ABCD，∴，∠EGC=∠BFE=90°，又∵，∴，∴，∴，∴，∴．∴，∴当时，y有最大值为．20．【答案】（1）解：∵在抛物线上，∴，∴，∴抛物线解析式为，当时，，∴，（舍），∴．∵在直线上，∴，∴，∴一次函数解析式为．（2）解：如图，作轴于点，对于，令x=0，则y=-6，∴点C（0，-6），即OC=6，∵A（3，0），∴OA=3，∵点P的横坐标为m．∴，∴，，∵∠CAP=90°，∴，∵，∴，∵∠AOC=∠AMP=90°，∴，∴，∴，即，∴（舍），，∴，∴点．（3）解：如图，作轴交于点，过点作轴于点，∵，∴点，∴，∵PN⊥x轴，∴PN∥y轴，∴∠PNQ=∠OCB，∵∠PQN=∠BOC=90°，∴，∴，∵，，∴，∴，，∵EN⊥y轴，∴EN∥x轴，∴，∴，即∴，∴，∴，∴当时，的最大值是．21．【答案】（1）解：将点代入得：，解得，则抛物线的解析式为．（2）解：设点，对于二次函数，当时，，即，设直线的解析式为，将点代入得：，解得，则直线的解析式为，，，轴，轴，，∴当时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形，，解得或或或，则点的横坐标为1或2或或．（3）解：①如图，当Q在BC下方时，过B作BH⊥CQ于H，过H作MN⊥y轴，交y轴于M，过B作BN⊥MH于N，∴∠BHC＝∠CMH＝∠HNB＝90°，∴∠CHM+∠BHN＝∠HBN+∠BHN＝90°，∴∠CHM＝∠HBN，∵∠QCB＝45°，∴△BHC是等腰直角三角形，∴CH＝HB，∴△CHM≌△HBN（AAS），∴CM＝HN，MH＝BN，设点的坐标为，则，解得，即，设直线的解析式为，将点代入得：，解得，则直线的解析式为，联立直线与抛物线解析式得，解得或（即为点），则此时点的坐标为；②如图，当Q在BC上方时，过B作BH⊥CQ于H，过H作MN⊥y轴，交y轴于M，过B作BN⊥MH于N，同理可得：此时点的坐标为，综上，存在这样的点，点的坐标为或．22．【答案】（1）②③（2）解：∵y＝ax−3a＋1＝a（x−3）＋1，
∴函数经过定点（3，1），
在以O为中心，边长为4的正方形ABCD中，当直线与正方形区域只有唯一交点时，图象的“2阶方点”有且只有一个，

由图可知，C（2，−2），D（2，2），
∵一次函数y＝ax−3a＋1图象的“2阶方点”有且只有一个，
当直线经过点C时，
2a-3a+1=-2
解之：a＝3，
∴a=3时此时图象的“2阶方点”有且只有一个；
当直线经过点D时，
2a-3a+1=2
解之：a=-1
∴a＝-1，此时图象的“2阶方点”有且只有一个，
∴a的值为3或-1.（3）解：在以O为中心，边长为2n的正方形ABCD中，当抛物线与正方形区域有公共部分时，二次函数y＝−（x−n）2−2n＋1图象的“n阶方点”一定存在，

当n＞0时，A（n，n），B（n，−n），C（−n，−n），D（−n，n），
当抛物线经过点D时，
n=（-n-n）2-2n+1
解之：n1＝−1（舍），；
当抛物线经过点B时，
-n=（n-n）2-2n+1
解之：n＝1；
∴≤n≤1时，二次函数y＝−（x−n）2−2n＋1图象有“n阶方点”；
综上所述：≤n≤1时，二次函数y＝−（x−n）2−2n＋1图象的“n阶方点”一定存在.23．【答案】（1）解：∵抛物线过点，∴，解得，∴抛物线的表达式为．（2）解：设直线AB的解析式为：，∵直线AB经过，，∴，∴，∴直线AB的表达式为． ∵轴，可设，，其中．当M在N点上方时，．解得，（舍去）．∴．当M在N点下方时， ．解得，．∴，．综上所述，满足条件的点M的坐标有三个，，．（3）解：解：(3)存在．满足条件的点Q的坐标有4个．，，，．理由如下：①如图，若AC是四边形的边． 当时，∴拋物线的对称轴与直线AB相交于点．过点C，A分别作直线AB的垂线交抛物线于点，，∵，，∴，，．∵，∴．∴．∴点与点D重合．当时，四边形是矩形．∵向右平移1个单位，向上平移1个单位得到．∴向右平移1个单位，向上平移1个单位得到．此时直线的解析式为．∵直线与平行且过点，∴直线的解析式为．∵点是直线与拋物线的交点，∴．解得，（舍去）．∴．当时，四边形是矩形．∵向左平移3个单位，向上平移3个单位得到．∴向左平移3个单位，向上平移3个单位得到．②如图，若AC是四边形的对角线，当时．过点作轴，垂足为H，过点C作，垂足为K．可得，．∴．∴．∴．∵点P不与点A，C重合，∴和．∴．∴．∴如图，满足条件的点P有两个．即，．当时，四边形是矩形．∵向左平移个单位，向下平移个单位得到．∴向左平移个单位，向下平移个单位得到．当时，四边形是矩形．∵向右平移个单位，向上平移个单位得到．∴向右平移个单位，向上平移个单位得到．综上，满足条件的点Q的坐标为或或或 ．