2023年北京丰台高三一模数学试题及答案解析

2023 年北京市丰台区高三一模数学试卷

本试卷共 9 页，150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题 共 40 分）

一、选择题：共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1. 已知集合 A  x 1  x  1， B x 0  x  2 ，则 A

A. x 1  x 1

B. x 0  x  1

C. x 0  x  2

D. x 1  x  2

2. 若 a,b,c  R ， a  b ，则
   1. 1  1

a b

2. a2  b2

3. ac  bc

4. a  c  b  c

3. 已知圆(x  2)2  ( y  3)2  r 2 (r  0) 与 y 轴相切，则 r 

1. ​

2. ​

3. 2 D. 3

4. 已知 f (x) 是定义在 R 上的奇函数，当 x  0 时， f (x)  log2 x ，则 f (2) 

1. 1

2. 0 C.1 D. 2

5. 在平面直角坐标系 xOy 中，若角 以 x 轴非负半轴为始边，其终边与单位圆交点的横坐

标为 3 ，则 的一个可能取值为

2

A. 60 B. 30 C. 45 D. 60

6. 在△ABC 中，若2 cos Asin B  sin C ，则该三角形的形状一定是
   1.                                                                                                                                       等腰三角形 B.等边三角形

C.直角三角形 D.等腰直角三角形

7. 设无穷等差数列a  的前 n 项和为 S ，则“对任意 n  N* ，都有 a  0 ”是“数列S  为

n n n n

递增数列”的

1.                                                                                                                                       充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

8. 已知抛物线C : y2  2 px (p  0) 的顶点是坐标原点O ，焦点为 F ，A 是抛物线C 上的一点，

点 A 到 x 轴的距离为2 2 ，过点 A 向抛物线C 的准线作垂线，垂足为 B . 若四边形 ABOF 为等腰梯形，则 p 的值为

A.1 B. C. 2 D. 2

9. 已知函数 f (x) 的定义域为 R ，存在常数t (t  0) ，使得对任意 x  R ，都有 f (x  t)  f (x) .

当 x [0, t) ， f (x) | x  t | . 若 f (x) 在区间(3, 4) 上单调递减，则t 的最小值为

2

1. 3 B. 8

3

C. 2 D. 8

5

10. 如图，在直三棱柱 ABC  A1B1C1 中， AC  BC ， AC  2 ， BC  1 ， AA1  2 ，点 D 在棱

AC 上，点 E 在棱 BB1 上，给出下列三个结论：

①三棱锥 E  ABD 的体积的最大值为 2 ；

3

② A1D  DB 的最小值为  ；

③点 D 到直线C E 的距离的最小值为 2 5 .

1 5

其中所有正确结论的个数为

A. 0 B.1 C. 2 D. 3

第二部分（非选择题 共 110 分）二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。

11. 若复数 a  i (a  R) 是纯虚数，则 a  . 1 i

12. 已知正方形 ABCD 的边长为 2 ，则 AB  AC           .

13. 从2, 1,1, 2,3 这5 个数中任取2 个不同的数，记“两数之积为正数”为事件 A ，“两数均为负数”为事件 B ，则 P(B A)                .

a  x, x  a

14. 设函数 f (x)  x3  x, x  a ，若 f (x) 存在最小值，则 a 的一个取值为         .

15. 三等分角是“古希腊三大几何问题”之一，目前尺规作图仍不能解决这个问题.  古希腊数学家Pappus （约300~350 前后）借助圆弧和双曲线给出了一种三等分角的方法：如图，以角的顶点C 为圆心作圆交角的两边于 A, B 两点；取线段 AB 的三等分点O, D ；以 B 为焦点， A, D 为顶点作双曲线W .

双曲线W 与弧 AB 的交点记为 E ，连接CE ，则BCE  1 ACB .

3

①双曲线W 的离心率为        ；

②若ACB  π ， | AC | 3

2

， CE 交 AB 于点 P ，则| OP | .

三、解答题共 6 小题，共 85 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

16.（本小题 13 分）

已知函数 f (x)  2sin( x  ) (  0, 0    π) 的部分图像如图所示.

（I）     求 f (x) 的解析式；

（II）  若函数 g(x)  f (x) sin x ，求 g (x) 在区间 π

4

上的最大值和最小值.

17.（本小题 14 分）

如图，在四棱锥 P  ABCD 中，底面是边长为 2 的菱形，AC 交 BD 于点O ，BAD  60 ，

PB  PD ，点 E 是棱 PA 的中点，连接OE,OP .

（I）     求证： OE // 平面 PCD ；

（II） 若平面 PAC 与平面 PCD 的夹角的余弦值为 15 ，再从条件①、条件②这两个条件中

5

选择一个作为已知，求线段OP 的长.

条件①：平面 PBD  平面 ABCD ；条件②： PB  AC .

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.

18.（本小题 14 分）

交通拥堵指数（TPI）是表征交通拥堵程度的客观指标，TPI 越大代表拥堵程度越高. 某

平台计算 TPI 的公式为：TPI  实际行程时间，并按 TPI 的大小将城市道路拥堵程度划分为

畅通行程时间

如下表所示的4 个等级：

某市2023 年元旦及前后共7 天与2022 年同期的交通高峰期城市道路 TPI 的统计数据如下图：

（I）     从2022 年元旦及前后共7 天中任取1 天，求这一天交通高峰期城市道路拥堵程度为 “拥堵”的概率；

（II）  从2023 年元旦及前后共7 天中任取3 天，将这3 天中交通高峰期城市道路 TPI 比

2022 年同日 TPI 高的天数记为 X ，求 X 的分布列及数学期望 E( X ) ；

（III）                      把12 月 29 日作为第1 天，将2023 年元旦及前后共7 天的交通高峰期城市道路 TPI 依次记为 a1, a2 , , a7 ，将2022 年同期 TPI 依次记为b1 ,b2 , ,b7 ，记ci  ai  bi (i  1, 2,  , 7) ，

c  c ，请直接写出| c  c | 取得最大值时i 的值.

i i

i 1

19.（本小题 15 分）

x2 y2

已知椭圆 E : a2  b2  1 (a  b  0) 的一个顶点为 A(0,1) ，焦距为2 .

（I）     求椭圆 E 的方程；

（II）  过点 P(2, 0) 的直线与椭圆 E 交于 B,C 两点，过点 B,C 分别作直线l : x  t 的垂线（点

B,C 在直线l 的两侧），垂足分别为 M , N ，记△BMP,△MNP,△CNP 的面积分别为 S1 , S2 , S3 .

试问：是否存在常数t ，使得说明理由.

1

S1 , 2 S2 , S3

总成等比数列？若存在，求出t 的值；若不存在，请

20.（本小题 15 分）

已知函数 f (x)  x  a

ex

(a  0) .

（I）     求函数 f (x) 的极值；

（II）  若函数 f (x) 有两个不相等的零点 x1 , x2 ，

（i）     求 a 的取值范围；

（ii）  证明： x1  x2  2ln a .

21.（本小题 14 分）

已知集合 S  1, 2, 3,  , 2n (n  N*, n  4) ，对于集合 S 的非空子集 A ，若

Sn 中存在三个

互不相同的元素 a,b, c ，使得 a  b,b  c,c  a 均属于 A ，则称集合 A 是集合 Sn 的“期待子集”.

（Ⅰ）试判断集合 A1  3, 4, 5 ， A2  3, 5, 7 是否为集合 S4 的“期待子集”；

（直接写出答案，不必说明理由）

（II） 如果一个集合中含有三个元素 x, y, z ，同时满足① x  y  z ；② x  y  z ；③ x  y  z

为偶数. 那么称该集合具有性质 P . 对于集合 Sn 的非空子集 A ，证明：集合 A 是集合 Sn 的 “期待子集”的充要条件是集合 A 具有性质 P ；

（III）                      若 Sn (n  4) 的任意含有 m 个元素的子集都是集合 Sn 的“期待子集”，求 m 的最小值.