2023年中考数学二轮复习 动点问题 拓展练习

2023年中考数学二轮复习《动点问题》拓展练习

一、单选题

1．如图，在正方形ABCD中，点M是AB上一动点，点E是CM的中点，AE绕点E顺时针旋转90°得到EF，连接DE，DF．给出结论：①DE＝EF；②∠CDF＝45°；③若正方形的边长为2，则点M在射线AB上运动时，CF有最小值．其中结论正确的是（　　）

A．①②③ B．①② C．①③ D．②③

2．如图，点O为矩形ABCD的对称中心，点E从点A出发沿AB向点B运动，移动到点B停止，延长EO交CD于点F，则四边形AECF形状的变化依次为（　　） 

A．平行四边形→正方形→平行四边形→矩形

B．平行四边形→菱形→平行四边形→矩形

C．平行四边形→正方形→菱形→矩形

D．平行四边形→菱形→正方形→矩形

3．如图，AB是⊙O的一条弦，P是⊙O上一动点（不与点A，B重合），C，D分别是AB，BP的中点．若AB＝4，∠ APB＝45°，则CD长的最大值为（　　） 

A．2 B．2  C．4 D．4

4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝6cm，点P从点A出发，沿AB方向以每秒 cm的速度向终点B运动；同时，动点Q从点B出发沿BC方向以每秒1cm的速度向终点C运动，将△PQC沿BC翻折，点P的对应点为点P′.设点Q运动的时间为t秒，若四边形QPCP′为菱形，则t的值为（　　） 

A． B．2 C．2  D．3

5．如图所示，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，D是线段BC上的动点(不含端点B，C)。若线段AD长为正整数，则点D的个数共有(　　)

A．5个 B．4个 C．3个 D．2个

6．如图，在圆 中，半径 ，弦 ，点 是劣弧 上的一个动点，连接 ，作 ，垂足为 ．在点 移动的过程中，线段 的最小值是（　　） 

A．6 B．7 C．8 D．9

7．如图，等边的边长为，射线，点E从点A出发沿射线以的速度运动，点F从点B出发沿射线以的速度运动．设运动时间为，当t=（　　）s时，以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形．

A．1或2 B．2或3 C．2或4 D．2或6

8．如图，电子蚂蚁 在边长为1个单位长度的正方形 的边上运动，电子蚂蚁 从点 出发，以 个单位长度/秒的速度绕正方形作顺时针运动，电子蚂蚁 从点 出发，以 个单位长度/秒的速度绕正方形作逆时针运动，则它们第2019次相遇在（　　） 

A．点  B．点  C．点  D．点

9．如图1，在矩形 中，对角线 与 相交于点 ，动点 从点 出发，在线段 上匀速运动，到达点 时停止.设点 运动的路程为 ，线段 的长为 ，如果 与 的函数图象如图2所示，则矩形 的面积是（　　） 

A．12 B．24 C．48 D．60

10．如图所示，在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=2，E，F两点分别从A，B两点同时出发，以相同的速度分别向终点B，C移动，连接EF，在移动的过程中，EF的最小值为(　　)

A．1 B． C． D．

11．已知中，，，D是边的中点，点E、F分别在、边上运动，且保持．连接、、得到下列结论：①是等腰直角三角形；②面积的最大值是2；③的最小值是2．其中正确的结论是（　　）

A．②③ B．①② C．①③ D．①②③

12．如图，在△ABC中，AC=BC=8，∠BCA=60°，直线AD⊥BC于点D，E是AD上的一个动点，连接EC，将线段EC绕点C按逆时针方向旋转60°得到FC，连接DF，则在点E的运动过程中，DF的最小值是（　　）

A．1 B．1.5 C．2 D．4

二、填空题

13．如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=4，M是AD的中点，N是AB边上的动点，将△AMN沿MN所在直线折叠，得到△ ，连接 ，则 的最小值是　     　

14．如图所示，在平行四边形ABCD中，AB＝5cm，AD＝9cm．点P在AD边上以1cm/s的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上以4cm/s的速度从点C出发，在CB间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时，P、Q同时停止运动，设运动时间为t（s）且t＞0，当以P，D，Q，B为顶点的四边形是平行四边形时，则t的所有可能值为 　               　．

15．如图，在□ABCD中，，，M为AB的中点，，点E是线段CM上一个动点，以CD为对角线作□CEDF，则EF的最小值是　     　．

16．在 中， ， ， ，动点P从点B出发，沿射线BC以每秒1个单位长度的速度运动，若 是以AB为腰的等腰三角形，则点P的运动时间为　     　秒．

17．如图， 中， ， ， ， 是 上的动点，将线段 绕点 逆时针旋转 ，得到线段 ，连接 ． 

（1）点 到 的最短距离是　     　； 

（2） 的最小值是　     　． 

18．如图，正方形ABCD中， ，O是BC边的中点，点E是正方形内一动点， ，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得DF，连接AE、CF．则线段OF长的最小值为　     　． 

三、综合题

19．如图，在△ABC中，BC=7cm，AC=24cm，AB=25cm，P点在BC上，从B点到C点运动(不包括C点)，点P运动的速度为2cm/s；Q点在AC上从C点运动到A点(不包括A点)，速度为5cm/s.若点P、Q分别从B、C同时运动，请解答下面的问题，并写出探索主要过程：

（1）经过多少时间后，P、Q两点的距离为5 cm？  

（2）经过多少时间后， 的面积为15cm2？  

（3）设运动时间为t，用含t的代数式表示△PCQ的面积，并用配方法说明t为何值时△PCQ的面积最大，最大面积是多少？  

20．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=3，CD=5，AB=4 ，∠B=45°，动点M从点B出发沿线段BC以每秒1个单位长度的速度向终点C运动；同时动点N从点D出发沿线段DC- CB向终点B运动．设运动的时间为t秒．
 

（1）直接写出BM=　     　（用含t的代数式表示），BC= 　     　

（2）如果当四边形ABMD是平行四边形时，点M与点N恰好相遇，求点N的运动速度：

（3）在（2）的条件下，求出t为何值时，以点A、M、N、D为项点的四边形是平行四边形．

21．已知如图，在矩形ABCD中，AB=4cm，BC=7cm，

（1）点F在边BC上，且 BF=3，若点P从点A出发，以每秒1cm的速度沿A→D→C→F运动，设点P运动的时间为t秒，求当t为何值时，△AFP为等腰三角形？

（2）如图2，将长方形ABCD折叠，折痕为MN，点A的对应点A′落在线段BC上，当点A′ 在BC上移动时，点M、N也随之移动，若限定点M、N分别在线段AB、AD上移动，则点A′ 在线段BC上可移动的最大距离是　          　．

22．如图，在△ABC中，D为AB的中点，AB＝AC＝10cm，BC＝8cm，动点P从点B出发，沿BC方向以每秒3cm的速度向点C运动；同时动点Q从点C出发，沿CA方向以每秒3cm的速度向点A运动，运动时间是t秒．

（1）在运动过程中，当点C位于线段PQ的垂直平分线上时，求出t的值；

（2）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使△BPD和△CQP全等，若存在，求出t的值．若不存在，请说明理由．

23． 在平面直角坐标系中的位置如图所示，与轴交于点，点的坐标为，线段，的长分别是方程的两根，．

（1）求线段的长；

（2）动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿轴负半轴向终点运动，过点作直线与轴垂直，设点运动的时间为秒，直线扫过四边形的面积为，求与的关系式；

（3） 为直线上一点，在平面内是否存在点，使以，，，为顶点的四边形为正方形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

24．如图，在矩形ABCD中，AB=16cm，BC=6cm，动点P、Q分别以3cm/s、2cm/s的速度从点A、C同时出发，点Q从点C向点D移动.

（1）若点P从点A移动到点B停止，点Q随点P的停止而停止移动，点P、Q分别从点A、C同时出发，问经过多长时间P、Q两点之间的距离是10cm？  

（2）若点P沿着AB→BC→CD移动，点P、Q分别从点A、C同时出发，点Q从点C移动到点D停止时，点P随点Q的停止而停止移动，试探求经过多长时间△PBQ的面积为12cm2？  

答案解析部分

1．【答案】A

2．【答案】B

3．【答案】B

4．【答案】B

5．【答案】C

6．【答案】C

7．【答案】D

8．【答案】D

9．【答案】C

10．【答案】D

11．【答案】B

12．【答案】C

13．【答案】

14．【答案】或 6或

15．【答案】

16．【答案】5或8

17．【答案】（1）

（2）

18．【答案】

19．【答案】（1）解：连接PQ， 

∵在△ABC中，BC=7cm，AC=24cm，AB=25cm，

∴BC2＋AC2=625=AB2

∴△ABC为直角三角形，∠C=90°

设x秒后，P、Q两点的距离为5 cm

根据题意可得BP=2x,CQ=5x

∴CP=BC－BP=7－2x

根据勾股定理可得CP2＋CQ2=PQ2

即（7－2x）2＋（5x）2=（5 ）2

解得： （不符合实际，舍去）

答：经过1秒后，P、Q两点的距离为5 cm.

（2）解：设y秒后， 的面积为15cm2

根据题意可得BP=2y,CQ=5y

∴CP=BC－BP=7－2y

∴

解得：

答：经过 或2秒后， 的面积为15cm2.

（3）解：根据题意可得BP=2t,CQ=5t 

∴CP=BC－BP=7－2t

∴ =

=

=

=

=

=

∵

∴

∴ （当且仅当 取等号），即  

∴当 时， 最大，最大面积为 .

20．【答案】（1）t；10

（2）解：∵当四边形ABMD是平行四边形时，BM＝AD＝3，BM＝t，
∴t＝3，
∴t＝3时，点M与点N相遇，
∴点N运动的距离为：CD＋CM＝CD＋BC−BM＝5＋10−3＝12，
∴点N的运动速度为：12÷3＝4，
∴点N的运动速度为每秒4个单位长度；

（3）解：点M与点N在BC边时，以点A、M、N、D为顶点的四边形可以是平行四边形，
①点M在点N左边时，如图，

∵以点A、M、N、D为顶点的四边形可以是平行四边形，
∴MN＝AD＝3，
∵BM＝t，CN＝4t−CD＝4t−5，BC＝10，
∴10−t−（4t−5）＝3，解得：t＝，
∴t＝时，以点A、M、N、D为顶点的四边形是平行四边形；
②点M在点N右边时，如图，

∵以点A、M、N、D为顶点的四边形可以是平行四边形，
∴NM＝AD＝3，
∵CM＝10−t，BN＝BC＝BC＋CD−4t＝15−4t，BC＝10，
∴10−t＋（15−4t）＝10−3，解得：t＝，
∴t＝时，以点A、M、N、D为顶点的四边形是平行四边形．
∴t的值或时，以点A、M、N、D为顶点的四边形是平行四边形．

 

21．【答案】（1）解：①如图，以A为圆心，AF长为半径画圆，交AD于   ,则AF=A

在Rt△ABF中，AB=4cm,BF=3cm, 

∴AF=   =5cm; 

∴AP1=AF=5cm; 

∴t1=5s; 

∴当t1=5s时， 

②如图，以F为圆心，AF长为半径画圆，交AD于   ,则FA=F ,交DC于   ，则FA=F

∵BF=3cm， AB=4cm, 

∴FA=   =5cm; 

∴FP2=FP3=FA=5cm, 

作FG⊥AD于G，则AP2=2AG=2BF=6cm， 

∴t2=6s; 

又∵BC=7cm, 

∴FC=7-3=4cm, 

∴CP3=   =3cm, 

∴DP3=1cm， 

∴AD+DP3=8cm, 

∴t3=8s; 

③作AF的垂直平分线，交AD于   ，交AF于Ｈ，连接F

∵ABCD为矩形， 

∴AD∥BC，∠B=90°， 

∴∠DAF=∠AFB， 

又∠AHP4=∠B=90°， 

∴△AHP4∽△ABF, 

  ,  

∴AP4= , 

∴t4= s; 

综上，当t=5s，6s，8s， s时，△AFP为等腰三角形。

（2）( -3)cm；

22．【答案】（1）解：由题意得，

∵点C位于线段PQ的垂直平分线上，

∴CP=CQ，

∴，

解得

（2）解：∵AB=AC，

∴∠B=∠C，

又∵，

∴当BD=CP时，△BPD≌△CQP，

∵AB=10cm，D为AB的中点，

∴BD=5cm，

∴，

解得；

当PB=PC，BD=CQ时，△BPD≌△CPQ，

∴，此方程组无解，

∴不存在△BPD≌△CPQ这种情况，

综上所述，当时，△BPD≌△CQP．

23．【答案】（1）解：解方程 可得 或 ，

线段 ， 的长分别是方程 的两根，且 ，

， ，

，

线段 的长为：7；

（2）解：①如图，当 时，点 ，

；

②如图，当 时，

设直线 解析式为： ，

，点 的坐标为 ，代入得 ，解得： ，

直线 解析式为： ；

设 ，

，

，

或 ；

（3）解：存在满足条件的 点，其坐标为(2，3) 或 (-4，0) 或 （-1，-3） ．

24．【答案】（1）解：过点 作 于 .  

则根据题意，得

设 秒后，点 和点 的距离是

，即

经过 或 点 和点 的距离是

（2）解：连接 .设经过 后的 面积为 .  

①当 时，则

即

解得

②当 时，

则

解得 （舍去）.

③ 时，

则

解得 （舍去）.

综上所述，经过 秒或 秒 的面积为 .