山西太原市三年（2021-2023）年中考数学一模试题分层-04方程与不等式（基础题）

山西太原市三年（2021-2023）年中考数学一模试题分层-04方程与不等式（基础题）

一、单选题

1．（2023·山西太原·统考一模）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的值可能为（    ）．

A．6 B．5 C．4 D．3

2．（2023·山西太原·统考一模）某商场将进货价为45元的某种服装以65元售出，平均每天可售30件，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现：每件降价1元，则每天可多售5件，如果每天要盈利800元，每件应降价（    ）

A．12元 B．10元 C．11元 D．9元

3．（2022·山西太原·统考一模）古代一歌谣：栖树一群鸦，鸦树不知数：三个坐一棵，五个地上落；五个坐一棵，闲了一棵树．请你动脑筋，鸦树各几何？若设乌鸦有x只，树有y棵，由题意可列方程组（　　）

A． B．

C． D．

4．（2021·山西太原·统考一模）山西交城骏枣是山西四大名枣之一，誉为“枣后”，素有“八个一尺，十个一斤”之称，畅销山西乃至全国各地．甲、乙两辆运输车将骏枣运往距离180千米的A地，已知乙车的速度是甲车的速度的1.5倍甲车比乙车早出发0.5小时，结果甲车比乙车晚到0.5小时．求甲、乙两车的速度分别是多少？设甲车的速度是千米时，则根据题意列方程为（    ）

A． B．

C． D．

5．（2021·山西太原·统考一模）把不等式组的解集表示在数轴上，正确的是（　　）

A． B．

C． D．

6．（2021·山西太原·统考一模）用配方法解方程x2﹣10x﹣1＝0时，变形正确的是（　　）

A．（x﹣5）2＝24 B．（x﹣5）2＝26 C．（x+5）2＝24 D．（x+5）2＝26

二、填空题

7．（2022·山西太原·统考一模）不等式组的解集是____________．

8．（2021·山西太原·统考一模）不等式组，的解集为__________．

三、解答题

9．（2023·山西太原·统考一模）用配方法解下列关于x的方程

（1）                   （2）

10．（2022·山西太原·统考一模）（1）计算：.

（2）解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来．

11．（2022·山西太原·统考一模）疫情期间，为满足市民防护需求，某药店想要购进A、B两种口罩，B型口罩的每盒进价是A型口罩的两倍少10元．用6000元购进A型口罩的盒数与用10000元购进B型口罩盒数相同．

(1)A、B型口罩每盒进价分别为多少元？

(2)经市场调查表明，B型口罩受欢迎，当每盒B型口罩售价为60元时，日均销量为100盒，B型口罩每盒售价每增加1元，日均销量减少5盒．当B型口罩每盒售价多少元时，销售B型口罩所得日均总利润最大？最大日均总利润为多少元？

12．（2022·山西太原·统考一模）（1）计算：；

（2）下面是小明同学解方程的过程，请认真阅读，并完成相应的任务．

任务一：①解答过程中，第________步开始出现了错误，产生错误的原因是_________；

②第三步变形的依据是__________．

任务二：①该一元一次方程的解是_______；

②写出一条解一元一次方程时应注意的事项．

13．（2022·山西太原·统考一模）北京冬奥会和冬残奥会期间，吉祥物冰嫩嫩和雪融融成了名副其实的国民顶流．最近，小李从某网站上发现正在预售A，B两种印有吉祥物图案的挂件．如果定购3件A种挂件和2件B种挂件，需支付360元；如果定购2件A种挂件和3件B种挂件，需支付370元．求这两种挂件每件的售价．

14．（2021·山西太原·统考一模）茶为国饮，茶文化是中国传统文化的重要组成部分，这也带动了茶艺、茶具、茶服等相关文化的延伸及产业的发展，在“春季茶叶节”期间，某茶具店老板购进了A、B两种不同的茶具．若购进A种茶具1套和B种茶具2套，需要250元：若购进A种茶具3套和B种茶具4套需要600元．

（1）A、B两种茶具每套进价分别为多少元？

（2）由于茶具畅销，茶具店老板决定再次购进A、B两种茶具共80套茶具厂对这两种类型的茶具进行了价格调整，A种茶具的进价比第一次购进时提高了8%，B种茶具的进价按第一次购进时进价的八折．如果茶具店老板此次用于购进A、B两种茶具的总费用不超过6240元，则茶具店老板最多能购进A种茶具多少套？

15．（2021·山西太原·统考一模）太原市是山西省政府命名的“山西省园林城市”，从2018年起，我市围绕“一核”“三圈”，以“两个百万亩森林建设”为重点建设十大骨干工程，到2018年底，林地面积约350万亩，为持续保护和改善生态环境，建设整洁、优美、宜居的现代化城市，再现锦绣太原城盛景，经过两年的努力，到2020年底我市林地面积约423.5万亩．

（1）求这两年林地面积的年平均增长率；

（2）若要实现到2021年底林地面积至少为508.2万亩的目标，求2021年林地面积的增长率不低于多少．

参考答案：

1．D

【分析】根据方程有两个不相等的实数根得出Δ=42-4×1×c＞0，解之可得答案．

【详解】解：根据题意，得：Δ=42-4×1×c＞0，

解得c＜4，

故选：D．

【点睛】本题主要考查根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与Δ=b2-4ac有如下关系：

①当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；

②当Δ=0时，方程有两个相等的两个实数根；

③当Δ＜0时，方程无实数根．

2．B

【分析】设应降价x元，根据题意列写方程并求解可得答案．

【详解】设应降价x元

则根据题意，等量方程为：(65－x－45)(30+5x)=800

解得：x=4或x=10

∵要尽快较少库存，∴x=4舍去

故选：B．

【点睛】本题考查一元二次方程利润问题的应用，需要注意最后有2个解，需要按照题干要求舍去其中一个解．

3．D

【分析】根据“三个坐一棵，五个地上落；五个坐一棵，闲了一棵树”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．

【详解】解：设乌鸦有x只，树有y棵，

依题意，得：．

故选：D．

【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．

4．D

【分析】设甲车的速度是千米，则乙车的速度是千米，根据“甲车比乙车早出发0.5小时，结果甲车比乙车晚到0.5小时”列出关于的分式方程即可得出答案．

【详解】解：设甲车的速度是千米，则乙车的速度是千米，由题意得：

故选D．

【点睛】本题考查了分式方程的应用，根据题意找到相应的等量关系式是解题的关键．

5．A

【分析】先求出不等式组的解集，再根据解集画图即可．

【详解】解：，

由①得，x＜3，

由②得，x≥－2，

故不等式组的解集为－2≤x＜3．

故选 ：A．

【点睛】本题考查了解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式的解集，每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．

6．B

【分析】先移项、再配方即可解答

【详解】解：，

，

，

．

故选B．

【点睛】本题主要考查了配方法，解题关键是正确利用完全平方公式配方，方程两边同时加上一次项系数一半的平方．

7．

【分析】解出不等式②，即可求解．

【详解】解∶ ，

解不等式②得∶，

∴不等式组的解集为，

故答案为∶ .

【点睛】本题主要考查了求不等式组的解集，熟练掌握求不等式组的解集的基本步骤是解题的关键．

8．

【分析】分别求出各个不等式的解集，再求出它们的解的公共部分，即可．

【详解】解：解不等式得：，

解不等式得：，

∴不等式组的解集为：，

故答案是：．

【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解不等式组的基本步骤，是解题的关键．

9．（1），；（2），

【分析】（1）根据配方法，先把常数项移到等式右边，再两边同时加上36，等式左边凑成完全平方形式，再直接开平方得出结果；

（2）根据配方法，先把二次项系数化为1，然后把常数项移到等式右边，再两边同时加上1，等式左边凑成完全平方形式，再直接开平方得出结果．

【详解】（1）

，；

（2）

，．

【点睛】本题考查一元二次方程的解法——配方法，解题的关键是熟练掌握配方法的方法．

10．（1）；（2），解集在数轴上表示见解析

【分析】（1）根据负指数幂、二次根式化简、绝对值，特殊角三角函数依次计算即可；(2)分别解不等式，再求出它们公共的部分，然后把解集表示在数轴上即可．

【详解】（1）原式

；

（2）解，

解不等式①得，

解不等式②得．

故原不等式组的解集为，

解集在数轴上表示为：

【点睛】本题考查了实数的混合运算和解不等式组，熟练掌握实数的运算法则和解不等式组找解集的规律是解题的关键．

11．(1)A型口罩每盒进价是30元，则B型口罩每盒进价为50元

(2)当B型口罩每盒售价为65元时，最大日均总利润为1125元

【分析】(1) 设A型口罩每盒进价是x元，则B型口罩每盒进价为(2x-10)元，根据题意即可列出分式方程，解方程即可求得；

(2) 设B型口罩每盒售价为m元，销售B型口罩所得日均总利润为w元，根据题意即可得出w关于m的二次函数，再根据二次函数的性质，即可解答．

（1）

解：设A型口罩每盒进价是x元，则B型口罩每盒进价为(2x-10)元，

根据题意得：

解得x=30，

经检验，x=30是原方程的解，

2x-10=60-10=50，

答：A型口罩每盒进价是30元，则B型口罩每盒进价为50元；

（2）

解：设B型口罩每盒售价为m元，销售B型口罩所得日均总利润为w元，

根据题意得：w=(m-50)[100-5(m-60)]=-5m2+650m-20000=-5(m-65)2+1125，

，

时w取得最大值，最大值为1125元，

答：当B型口罩每盒售价为65元时，销售B型口罩所得日均总利润最大，最大日均总利润为1125元．

【点睛】本题考查了分式方程的应用，二次函数的应用与性质，根据题意列出方程和函数关系式是解决本题的关键．

12．（1）

（2）任务一：①一，等式右边的1漏乘以6（或去分母时漏乘了6）；②移项法则（或等式的基本性质一）；任务二：①； ②去括号时，括号前面是“-”时各项都要变号

【分析】（1）先计算乘方，再计算乘法，最后计算加减即可；

（2）任务一：①判断小明解方程的方法，再找出出错的步骤和分析出错的原因即可；②找出第三步变形依据的性质或法则即可；任务二：①正确求出一元一次方程的解即可；②写出解一元一次方程时应注意的事项即可．

【详解】解：（1）原式=1-9+

．

（2）任务一：①一；等式右边的1漏乘以6（或去分母时漏乘了6），

②移项法则（或等式的基本性质一），

任务二：①，

去分母，得3(x+3)-(5x-3)=6，

去括号，得3x+9-5x+3=6，

移项，得3x-5x=6-9-3，

合并同类项，得-2x=-6，

系数化为，得，

故答案为：x=3；

②答案不唯一如：

Ⅰ．去分母时，注意不要漏乘（或正确运用等式的基本性质）．

Ⅱ．移项时，注意变号（或正确运用等式的基本性质）．

Ⅲ．去括号时，括号前面是“-”时各项都要变号．

【点睛】此题考查了解一元一次方程，实数的运算，熟练掌握实数的运算法则和解一元一次方程是解本题的关键．

13．种挂件每件的售价为68元，种挂件每件的售价为78元

【分析】设种挂件每件的售价为元，种挂件每件的售价为元，根据“定购3件种挂件和2件种挂件，需支付360元；如果定购2件种挂件和3件种挂件，需支付370元”建立方程组，解方程组即可得．

【详解】解：设种挂件每件的售价为元，种挂件每件的售价为元，

由题意得：，

解得，

答：种挂件每件的售价为68元，种挂件每件的售价为78元．

【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，正确建立方程组是解题关键．

14．（1）A、B两种茶具每套进价分别为100元和75元；（2）最多可购进A种茶具30套．

【分析】（1）找到总价等量关系和公式（单价数量=总价）构建二元一次方程组求解即可；

（2）计算A种茶具提高后的单价为元，B种茶具的原进价的八折为元，然后分别算出A、B两种茶具的总费用的和建立不等量关系求解即可．

【详解】解：（1）设A种茶具每套进价为元，B两种茶具每套进价元，

根据题意得

解得：

A、B两种茶具每套进价分别为100元和75元；

（2）设最多购进A种茶具套，则B种茶具为套，

根据题意得

解得：

a取正整数

的最大值为30

最多可购进A种茶具30套．

【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用及一元一次不等式的应用，找到等量关系式和不等量关系式建立方程和不等式是解题的关键．

15．（1）这两年林地面积的年平均增长率为 10%；（2）2021 年林地面积的增长率不低于 20%．

【分析】（1）依据增长率公式列出方程即可求解；

（2）设 2021 年林地面积的增长率为 y，列出一元一次不等式进行求解即可．

【详解】（1）解：设这两年林地面积的年平均增长率为x.

350(1+x )2= 423.5 ， x1= 0.1 =10%; x2=2.1(舍);

答：这两年林地面积的年平均增长率为 10%.

（2）设 2021 年林地面积的增长率为 y. 根据题意得， 423.5 (1+y )  508.2，

y  0.2 ；

答：2021 年林地面积的增长率不低于 20%.

【点睛】本题考查了平均增长率的问题，要求学生能从题干中找出相等关系或不等关系，列出方程或不等式进行求解，解题的关键是牢记增长率公式．