高考数学一轮复习策略

1、揣摩例题。

课本上和老师讲解的例题，一般都具有一定的典型性和代表性。要认真研究，深刻理解，要透过“样板”，学会通过逻辑思维，灵活运用所学知识去分析问题和解决问题，特别是要学习分析问题的思路、解决问题的方法，并能总结出解题的规律。

2、精练习题

复习时不要搞“题海战术”，应在老师的指导下，选一些源于课本的变式题，或体现基本概念、基本方法的基本题，通过解题来提高思维能力和解题技巧，加深对所学知识的深入理解。在解题时，要独立思考，一题多思，一题多解，反复玩味，悟出道理。

3、加强审题的规范性

每每大考过后，总有同学抱怨没考好，纠其原因是考试时没有注意审题。审题决定了成功与否，不解决这个问题势必影响到高考的成败。那么怎么审题呢? 应找出题目中的已知条件 ;善于挖掘题目中的隐含条件 ;认真分析条件与目标的联系，确定解题思路 。

4、重视错题

“错误是最好的老师”，但更重要的是寻找错因，及时进行总结，三五个字，一两句话都行，言简意赅，切中要害，以利于吸取教训，力求相同的错误不犯第二次。

专题9.1   直线与直线方程

【知识清单】

知识点1．直线的倾斜角与斜率

1．直线的倾斜角

①定义．当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴的正方向与直线l 向上的方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.

②范围：倾斜角的范围为．

2．直线的斜率

①定义．一条直线的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即，倾斜角是90°的直线没有斜率．当直线与x轴平行或重合时, , .

②过两点的直线的斜率公式．经过两点的直线的斜率公式为.

3.每一条直线都有唯一的倾斜角，但并不是每一条直线都存在斜率．倾斜角为90°的直线斜率不存在．

4.直线的倾斜角、斜率k之间的大小变化关系：

（1）当时，越大，斜率越大；

（2）当时，越大，斜率越大.

知识点2．直线的方程

1.直线的点斜式方程：直线经过点，且斜率为，则直线的方程为：

.这个方程就叫做直线点斜式方程.

特别地，直线过点，则直线的方程为：.这个方程叫做直线 的斜截式方程.

2.直线的两点式方程

直线过两点其中，则直线的方程为：

.这个方程叫做直线的两点式方程.

当时，直线与轴垂直，所以直线方程为：；当时，直线与轴垂直，直线方程为：.

特别地，若直线过两点，则直线的方程为：

，这个方程叫做直线的截距式方程.

3.直线的一般式方程

关于的二元一次方程（A，B不同时为0）叫做直线的一般式方程.

由一般式方程可得，B不为0时，斜率，截距.

知识点3．两条直线平行与垂直

1．两直线的平行关系

(1) 对于两条不重合的直线，其斜率为，有.

 (2)对于两条直线，有

.

2．两条直线的垂直关系

(1) 对于两条直线，其斜率为，有.

(2)对于两条直线，有.

知识点4．距离问题

1．两点间的距离公式

设两点，则.

2．点到直线的距离公式

设点，直线，则点到直线的距离

.

3．两平行线间的距离公式

设两条平行直线，则这两条平行线之间的距离

.

知识点5．两条直线的交点

1.两条直线相交：对于两条直线，若，则方程组有唯一解，两条直线就相交，方程组的解就是交点的坐标.

2.两条直线，联立方程组，

若方程组有无数组解，则重合．

知识点6．对称问题

1.中点坐标公式

2．两条直线的垂直关系

(1) 对于两条直线，其斜率为，有.

(2)对于两条直线，有.

【考点分类剖析】

考点一 ：直线的倾斜角与斜率

【典例1】（2021·全国高二课时练习）已知直线的斜率为，倾斜角为，若，则的取值范围为（    ）．

A． B．

C． D．

【典例2】（2020·宝山·上海交大附中开学考试）“若一条直线的斜率为”是“此直线的倾斜角为”的（    ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【典例3】（2021·浙江绍兴市·高二期末）已知直线，若，则__________：若曲线：与直线有两个公共点，则实数的取值范围是__________.

【规律方法】

1.求直线的斜率与倾斜角.若已知两点的坐标，则直接利用斜率公式求斜率；若条件中给出一条直线，则求出直线上的两点的坐标，然后利用斜率公式求斜率.求直线的倾斜角，则先求出直线的斜率，再利用求倾斜角.

2. 求直线的斜率与倾斜角的范围.若斜率k是含参数的一个式子，则利用函数或不等式的方法求其范围；若是给出图形求斜率与倾斜角的范围，则采用数开结合的方法求其范围．

【变式探究】

1.（2021·云南省下关第一中学高二月考）已知，两点，若直线与线段恒有交点，则的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

2.（2020·涟水县第一中学高一开学考试）已知点A(1,2)，B(2,1)，则线段AB的长为_______，过A、B两点直线的倾斜角为_________

【易错提醒】

1.由斜率取值范围确定直线倾斜角的范围要利用正切函数y＝tan x的图象，特别要注意倾斜角取值范围的限制；

2.求解直线的倾斜角与斜率问题要善于利用数形结合的思想，要注意直线的倾斜角由锐角变到直角及由直角变到钝角时，需依据正切函数y＝tan x的单调性求k的范围．

考点二 ：  直线的方程

【典例4】（2020·鸡泽县第一中学高二开学考试）的三个顶点为，则不是三角形各边上中线所在直线方程的是（    ）

A． B．

C． D．

【典例5】（2021·全国）已知直线l过点，并且点和点到直线l的距离相等，求直线l的方程．

【规律方法】

求直线方程的常用方法：

1.直接法：根据已知条件灵活选用直线方程的形式，写出方程．

2.待定系数法：先根据已知条件设出直线方程，再根据已知条件构造关于待定系数的方程(组)求系数，最后代入求出直线方程．

3.直线在x(y)轴上的截距是直线与x(y)轴交点的横(纵)坐标，所以截距是一个实数，可正、可负，也可为0，而不是距离．

【变式探究】

1.（2021·全国高三专题练习）（1）已知一条直线经过点，且在两坐标轴上的截距之和为6，求这条直线的方程；

（2）直线l经过点且与x，y轴正半轴交于A，B两点，当面积最小时求直线l的方程（O为坐标原点）.

2.已知点A（-3，-1），B（1，5），直线过线段AB的中点，且在轴上的截距是它在轴上的截距的2倍.求直线的方程．

【易错提醒】

1.求直线方程的注意事项

(1)在求直线方程时，根据题目的条件选择适当的形式．

(2)对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类与整合思想的运用(若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况；若采用截距式，应先判断截距是否为零)．

2.涉及直线在两坐标轴上截距相等问题，要特别注意截距均为的情况；另外，某些涉及直线问题中，往往要讨论直线的斜率是否存在的情况，也应特别注意.

考点三 ：  两条直线平行与垂直

【典例6】（2021·台州市书生中学高二期中）已知直线：，直线：，若，则_________若，则________

【典例7】（2021·福建省永春第一中学高二月考）已知为实数，直线：，：，则“”是“”的___________条件.（“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”选一个填）

【易错提醒】

当直线方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况．同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件．

【变式探究】

1.（2019·天津静海一中高三期末（理））设，直线：，直线：，则“”是“”的（　　）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

2. （2021·浙江温州·高二期中）设两直线与，则直线恒过定点_________，若，则__________．

考点四 ：  距离问题

【典例8】（2019·江苏高考真题）在平面直角坐标系中，P是曲线上的一个动点，则点P到直线x+y=0的距离的最小值是_____.

【典例9】（2021·全国高二单元测试）已知直线和，则原点到的距离的最大值是______；若，则实数=______.

【规律方法】

两种距离的求解思路

(1)点到直线的距离的求法

可直接利用点到直线的距离公式来求，但要注意此时直线方程必须为一般式．

(2)两平行线间的距离的求法

①利用“转化法”将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离．

②利用两平行线间的距离公式(利用公式前需把两平行线方程中x，y的系数化为相同的形式)．

【变式探究】

1.（2019·广东高三月考（理））设点P在曲线上，点Q在曲线上，点R在直线上，则的最小值为　　

A． B． C． D．

2.（2020·天津市梧桐中学高二月考）已知直线．

（1）若直线在轴上的截距为，求实数的值；

（2）若直线与直线平行，求两平行直线与之间的距离．

考点五 ：  两条直线的交点

【典例10】（四川高考真题（理））设，过定点A的动直线和过定点B的动直交于点，则的最大值是      ．

【典例11】（2021·全国高三专题练习）求过直线和的交点P，且与直线垂直的直线l的方程.

【规律方法】

1.两直线交点的求法

求两直线的交点坐标，就是解由两直线方程联立组成的方程组，得到的方程组的解，即交点的坐标．

2.求过两直线交点的直线方程的方法

求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程．也可借助直线系方程，利用待定系数法求出直线方程，这样能简化解题过程．

【变式探究】

1.经过两条直线和=0的交点，且斜率为的直线方程是（　　）

A．2x+y﹣7=0        B．2x﹣y﹣7=0

C．2x+y+7=0         D．2x﹣y+7=0

2.（2019·云南高考模拟（理））已知坐标原点为O，过点作直线n不同时为零的垂线，垂足为M，则的取值范围是______．

【总结提升】

1.解决两直线的位置关系问题要根据已知直线方程的形式灵活选用相应的条件，显然该题中直接利用一般式方程对应的条件更为简洁．另外利用直线的斜率和截距讨论时，不要忘记斜率不存在时的讨论．

2.可将方程化成斜截式，利用斜率和截距进行分析；也可直接利用一般式套用两直线垂直与平行的条件求解．一般式方程化成斜截式方程时，要注意直线的斜率是否存在（即的系数是否为0）.

3.涉及两直线的交点问题，往往需借助于图形，应用数形结合思想，探索解题思路，这也是解析几何中分析问题、解决问题的重要特征.

考点六 ：  对称问题

【典例12】（2020·山东高考真题）直线关于点对称的直线方程是（    ）

A． B．

C． D．

【典例13】（2019·河北高考模拟（理））设点为直线：上的动点，点，，则的最小值为（  ）

A． B． C． D．

【规律方法】

涉及对称问题，主要有以下几种情况：

1．若点关于直线对称，设对称点是，则线段的中点在直线上且直线，由此可得一方程组，解这个方程组得：的值，从而求得对称点的坐标.

2．若直线关于点对称，由于对称直线必与直线平行，故可设对称直线为.因为直线间的距离是点到直线的距离的二倍，则有，解这个方程可得的值（注意这里求出的有两个），再结合图形可求得对称直线的方程．

3．若直线关于直线对称，则在直线上取两点，求出这两点关于直线对称的两点的坐标，再由两点式便可得直线关于直线对称的直线的方程．

【变式探究】

1.（2019·四川高考模拟（文））与直线关于x轴对称的直线的方程是（　　）

A． B．

C． D．

2.（2020·宝山·上海交大附中开学考试）已知，从点射出的光线经x轴反射到直线上，又经过直线反射到P点，则光线所经过的路程为（    ）

A． B．6 C． D．

【规律方法】

1.中心对称问题的两种类型及求解方法

2.轴对称问题的两种类型及求解方法

【变式探究】

1.（2019·山东高考模拟（理））在中，，，，是边上的点，，关于直线的对称点分别为，，则面积的最大值为（   ）

A. B. C. D.

2．（2020·浙江高一期中）已知直线l：，则点到直线l的距离等于________；直线l关于点M对称的直线方程为________．