专题9.2 椭圆、双曲线、抛物线方程的基本性质（~）-高考数学满分训练必做题：基础+提升题（新高考专用）

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专题9.2 椭圆、双曲线与抛物线方程的基本性质


【1222】．（2020·天津高考真题·★★★★）设双曲线的方程为，过抛物线的焦点和点的直线为．若的一条渐近线与平行，另一条渐近线与垂直，则双曲线的方程为（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由抛物线的焦点可求得直线的方程为，即得直线的斜率为，再根据双曲线的渐近线的方程为，可得，即可求出，得到双曲线的方程．
【详解】由题可知，抛物线的焦点为，所以直线的方程为，即直线的斜率为，
又双曲线的渐近线的方程为，所以，，因为，解得．
故选：．
【点睛】本题主要考查抛物线的简单几何性质，双曲线的几何性质，以及直线与直线的位置关系的应用，属于基础题．
【1223】．（2022·全国·高考真题·多选题·★★★★）已知O为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交C于P，Q两点，则（       ）
A．C的准线为 B．直线AB与C相切
C． D．
【答案】BCD
【分析】求出抛物线方程可判断A，联立AB与抛物线的方程求交点可判断B，利用距离公式及弦长公式可判断C、D.
【详解】将点的代入抛物线方程得，所以抛物线方程为，故准线方程为，A错误；
，所以直线的方程为，
联立，可得，解得，故B正确；
设过的直线为，若直线与轴重合，则直线与抛物线只有一个交点，
所以，直线的斜率存在，设其方程为，，
联立，得，
所以，所以或，，
又，，
所以，故C正确；
因为，，
所以，而，故D正确.
故选：BCD
【1224】．（2022·全国·高考真题·多选题·★★★★）双曲线C的两个焦点为，以C的实轴为直径的圆记为D，过作D的切线与C交于M，N两点，且，则C的离心率为（       ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【分析】依题意不妨设双曲线焦点在轴，设过作圆的切线切点为，利用正弦定理结合三角变换、双曲线的定义得到或，即可得解，注意就在双支上还是在单支上分类讨论.
【详解】解：依题意不妨设双曲线焦点在轴，设过作圆的切线切点为，
若分别在左右支，
因为，且，所以在双曲线的右支，
又，，，
设，，
在中，有，
故即，
所以，
而，，，故，
代入整理得到，即，
所以双曲线的离心率

若均在左支上，

同理有，其中为钝角，故，
故即，
代入，，，整理得到：，
故，故，
故选：AC.
【1225】．（2017·全国·高考真题·★★★）已知双曲线满足，且与椭圆有公共焦点，则双曲线的方程为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据题意，结合椭圆与双曲线的几何性质，列出方程，求得的值，即可求解.
【详解】由椭圆的标准方程为，可得，即，
因为双曲线的焦点与椭圆的焦点相同，所以双曲线中，半焦距，
又因为双曲线满足，即，
又由，即，解得，可得，
所以双曲线的方程为.
故选：A．
【1226】．（2022·天津·高考真题·★★★）已知抛物线分别是双曲线的左、右焦点，抛物线的准线过双曲线的左焦点，与双曲线的渐近线交于点A，若，则双曲线的标准方程为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由已知可得出的值，求出点的坐标，分析可得，由此可得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，即可得出双曲线的标准方程.
【详解】抛物线的准线方程为，则，则、，
不妨设点为第二象限内的点，联立，可得，即点，
因为且，则为等腰直角三角形，
且，即，可得，
所以，，解得，因此，双曲线的标准方程为.
故选：C.
【1227】．（2021·天津·高考真题·★★★★）已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C、D两点，若．则双曲线的离心率为（       ）
A． B． C．2 D．3
【答案】A
【分析】设公共焦点为，进而可得准线为，代入双曲线及渐近线方程，结合线段长度比值可得，再由双曲线离心率公式即可得解.
【详解】设双曲线与抛物线的公共焦点为，
则抛物线的准线为，
令，则，解得，所以,
又因为双曲线的渐近线方程为，所以，
所以，即，所以，
所以双曲线的离心率.
故选：A.
【1228】．（2019·天津·高考真题·★★★）已知抛物线的焦点为，准线为.若与双曲线的两条渐近线分别交于点A和点B，且（为原点），则双曲线的离心率为
A． B． C．2 D．
【答案】D
【分析】只需把用表示出来，即可根据双曲线离心率的定义求得离心率．
【详解】抛物线的准线的方程为，
双曲线的渐近线方程为，
则有
∴，，，
∴．
故选D．
【点睛】本题考查抛物线和双曲线的性质以及离心率的求解，解题关键是求出AB的长度．
【1229】．（2020·浙江·高考真题·★★★★）已知点O（0，0），A（–2，0），B（2，0）．设点P满足|PA|–|PB|=2，且P为函数y=图像上的点，则|OP|=（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意可知，点既在双曲线的一支上，又在函数的图象上，即可求出点的坐标，得到的值．
【详解】因为，所以点在以为焦点，实轴长为，焦距为的双曲线的右支上，由可得，，即双曲线的右支方程为，而点还在函数的图象上，所以，
由，解得，即．
故选：D.
【点睛】本题主要考查双曲线的定义的应用，以及二次曲线的位置关系的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题．
【1230】．（2017·全国·高考真题·★★★）过抛物线C：y2＝4x的焦点F，且斜率为的直线交C于点M(M在x轴的上方)，l为C的准线，点N在l上且MN⊥l，则M到直线NF的距离为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】联立方程解得M(3，)，根据MN⊥l得|MN|＝|MF|＝4，得到△MNF是边长为4的等边三角形，计算距离得到答案.
【详解】依题意得F(1,0)，则直线FM的方程是y＝(x－1)．由得x＝或x＝3.
由M在x轴的上方得M(3，)，由MN⊥l得|MN|＝|MF|＝3＋1＝4
又∠NMF等于直线FM的倾斜角，即∠NMF＝60°，因此△MNF是边长为4的等边三角形
点M到直线NF的距离为
故选：C.
【点睛】本题考查了直线和抛物线的位置关系，意在考查学生的计算能力和转化能力.
【1231】．（2019·全国·高考真题·★★★）设F为双曲线C：（a>0，b>0）的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P、Q两点．若|PQ|=|OF|，则C的离心率为
A． B．
C．2 D．
【答案】A
【分析】准确画图，由图形对称性得出P点坐标，代入圆的方程得到c与a关系，可求双曲线的离心率．
【详解】设与轴交于点，由对称性可知轴，
又，为以为直径的圆的半径，
为圆心．
，又点在圆上，
，即．
，故选A．

【点睛】本题为圆锥曲线离心率的求解，难度适中，审题时注意半径还是直径，优先考虑几何法，避免代数法从头至尾，运算繁琐，准确率大大降低，双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题，需强化练习，才能在解决此类问题时事半功倍，信手拈来．
【1232】．（2015·福建·高考真题·★★★）已知椭圆的右焦点为．短轴的一个端点为，直线交椭圆于两点．若，点到直线的距离不小于，则椭圆的离心率的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】试题分析：设是椭圆的左焦点，由于直线过原点，因此两点关于原点对称，从而是平行四边形，所以，即，，设，则，所以，，即，又，所以，．故选A．
考点：椭圆的几何性质．
【名师点睛】本题考查椭圆的离心率的范围，因此要求得关系或范围，解题的关键是利用对称性得出就是，从而得，于是只有由点到直线的距离得出的范围，就得出的取值范围，从而得出结论．在涉及到椭圆上的点到焦点的距离时，需要联想到椭圆的定义．
【1233】．（2014·全国·高考真题·★★）已知椭圆C：的左右焦点为F1,F2离心率为，过F2的直线l交C与A,B两点，若△AF1B的周长为，则C的方程为
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】若△AF1B的周长为4,
由椭圆的定义可知,,
,,
，
所以方程为，故选A.
考点：椭圆方程及性质
【1234】．（2008·湖北·高考真题·★★★★★）如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道I绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P点第三次变轨进入以F为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用2c1和2c2分别表示椭轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子：
①a1+c1=a2+c2；②a1-c1=a2-c2；③c1a2＞a1c1；④＜．
其中正确式子的序号是

A．①③ B．②③ C．①④ D．②④
【答案】B
【详解】由焦点到顶点的距离可知②正确，由椭圆的离心率知③正确，故应选B．
【1235】．（2022·全国·高考真题·★★★★★）已知椭圆，C的上顶点为A，两个焦点为，，离心率为．过且垂直于的直线与C交于D，E两点，，则的周长是________________．
【答案】13
【分析】利用离心率得到椭圆的方程为，根据离心率得到直线的斜率，进而利用直线的垂直关系得到直线的斜率，写出直线的方程：，代入椭圆方程，整理化简得到：，利用弦长公式求得，得，根据对称性将的周长转化为的周长，利用椭圆的定义得到周长为.
【详解】∵椭圆的离心率为，∴，∴，∴椭圆的方程为，不妨设左焦点为，右焦点为，如图所示，∵，∴，∴为正三角形，∵过且垂直于的直线与C交于D，E两点，为线段的垂直平分线，∴直线的斜率为，斜率倒数为， 直线的方程：，代入椭圆方程，整理化简得到：，
判别式，
∴，
∴ ， 得，
∵为线段的垂直平分线，根据对称性，，∴的周长等于的周长，利用椭圆的定义得到周长为.
故答案为：13.


【1236】．（2019·全国·高考真题·★★★★）设为椭圆的两个焦点，为上一点且在第一象限.若为等腰三角形，则的坐标为___________.
【答案】
【分析】根据椭圆的定义分别求出，设出的坐标，结合三角形面积可求出的坐标.
【详解】由已知可得，
又为上一点且在第一象限,为等腰三角形，
．∴．
设点的坐标为，则，
又，解得，
，解得（舍去），
的坐标为．
【点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好的落实了直观想象、逻辑推理等数学素养．
【1237】．（2015·陕西·高考真题·★★★）如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型（图中虚线表示），则原始的最大流量与当前最大流量的比值为_____．

【答案】
【详解】试题解析：如图：建立平面直角坐标系，设抛物线方程为：，因为抛物线经过，可得，
所以抛物线方程：，横截面为等腰梯形的水渠，泥沙沉积的横截面的面积为：
，等腰梯形的面积为：，当前最大流量的横截面的面积，原始的最大流量与当前最大流量的比值为：．

考点：直线与圆锥曲线的关系．
【1238】．（2018·全国·高考真题·★★★）已知点和抛物线，过的焦点且斜率为的直线与交于，两点．若，则________．
【答案】2
【分析】利用点差法得到AB的斜率，结合抛物线定义可得结果.
【详解】详解：设
则
所以
所以
取AB中点,分别过点A,B作准线的垂线，垂足分别为
因为,
，
因为M’为AB中点，
所以MM’平行于x轴
因为M(-1,1)
所以，则即
故答案为2.
【点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系，考查了抛物线的性质，设，利用点差法得到，取AB中点, 分别过点A,B作准线的垂线，垂足分别为，由抛物线的性质得到，进而得到斜率．
【1239】．（2017·全国·高考真题·★★★）已知是抛物线的焦点，是上一点，的延长线交轴于点．若为的中点，则____________．
【答案】6
【分析】如图所示，不妨设点M位于第一象限，设抛物线的准线与轴交于点，作与点，与点，由抛物线的解析式可得准线方程为，则，在直角梯形中，中位线，由抛物线的定义有：，结合题意，有，故．

点睛:抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离)进行等量转化．如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线定义就能解决问题．因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简单化．
【1240】．（2014·山东·高考真题·★★）已知双曲线（）的焦距为，右顶点为，抛物线的焦点为,若双曲线截抛物线的准线所得线段长为，且，则双曲线的渐近线方程为___________.
【答案】
【详解】由已知，所以，把代入双曲线方程得，所以，直线被双曲线截得的线段长为，从而，所以，，所求渐近线方程为.

考点：双曲线的几何性质，直线与双曲线的位置关系..
【1241】．（2016·浙江·高考真题·★★★）设双曲线x2–=1的左、右焦点分别为F1，F2．若点P在双曲线上，且△F1PF2为锐角三角形，则|PF1|+|PF2|的取值范围是_______．
【答案】．
【详解】试题分析：由已知得，则，设是双曲线上任一点，由对称性不妨设在双曲线的右支上，则，，，为锐角，则，即，解得，所以，则．
【考点】双曲线的几何性质.
【思路点睛】先由对称性可设点在右支上，进而可得和，再由为锐角三角形可得，进而可得的不等式，解不等式可得的取值范围．

【1242】．（2016·江苏·高考真题·★★★★）如图，在平面直角坐标系中，是椭圆的右焦点，直线与椭圆交于两点，且，则该椭圆的离心率是__________．

【答案】
【详解】由题意得，故，，
又，所以
【考点】椭圆离心率
【名师点睛】椭圆离心率的考查，一般分两个层次，一是由离心率的定义，只需分别求出，这注重考查椭圆标准方程中量的含义，二是整体考查，求的比值，这注重于列式，即需根据条件列出关于的一个等量关系，通过解方程得到离心率的值.
【1243】．（2015·山东·高考真题·★★★）过双曲线的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交于点.若点的横坐标为,则的离心率为­ .
【答案】
【详解】双曲线的右焦点为.不妨设所作直线与双曲线的渐近线平行，其方程为，代入求得点的横坐标为，由，得，解之得，（舍去，因为离心率），故双曲线的离心率为.
考点：1.双曲线的几何性质；2.直线方程.
【1244】．（2015·山东·高考真题·★★★★）平面直角坐标系中，双曲线的渐近线与抛物线交于点.若的垂心为的焦点，则的离心率为_______________
【答案】
【详解】设 所在的直线方程为 ,则 所在的直线方程为,
解方程组 得： ，所以点 的坐标为 ,
抛物线的焦点 的坐标为: .因为是 的垂心，所以 ,
所以， .
所以， .
考点：1、双曲线的标准方程与几何性质；2、抛物线的标准方程与几何性质.
【1245】．（2014·江西·高考真题·★★★★）过点作斜率为的直线与椭圆：相交于，若是线段的中点，则椭圆的离心率为_____．
【答案】
【详解】试题分析：设A ，B ，则①，②，
∵M是线段AB的中点，∴，∵直线AB的方程是，
∴，∵过点M（1，1）作斜率为的直线与椭圆C：（a＞b＞0）相交于A，B两点，M是线段AB的中点，∴①②两式相减可得，即．
考点：椭圆的简单性质

【1246】．（2022·辽宁·渤海大学附属高级中学模拟预测·★★★★）已知，是双曲线的左、右焦点，过作倾斜角为的直线分别交y轴、双曲线右支于点M、点P，且，下列判断不正确的是（       ）
A．
B．E的离心率等于
C．若A，B为E上的两点且关于原点对称，则PA，PB的斜率存在时其乘积为2
D．的内切圆半径
【答案】D
【分析】根据已知条件可得出轴，可判断A项，根据双曲线的定义结合直角三角形的性质，构造齐次方程可求解离心率，故可判断B项；设点的坐标得出的表达式，结合双曲线方程即可求解C项；利用三角形等面积法得到内切圆半径的表达式与有关，故内切圆的半径不是定值，可判断D项错误.
【详解】如图所示，


因为M，O分别是，的中点，所以中，，所以轴，
A选项中，因为直线的倾斜角为，所以，故A正确；
B选项中，中，，，，
所以，得：，故B正确；
C选项中，A，B关于原点对称，可设，，，根据得：，所以当斜率存在时，，，，因为A，B在双曲线上，所以，即，得：，所以，故C正确；
D选项中，的周长为，设内切圆为r，根据三角形的等面积法，有，得：，是与c有关的式子，所以D错误.
故选：D.
【1247】．（2021·福建·福州三中模拟预测-多选题·★★★★★）一块斯里兰卡月光石的截面可近似看成由半圆和半椭圆组成，如图所示，在平面直角坐标系中，半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的右焦点，椭圆的短轴与半圆的直径重合．若直线与半圆交于点A，与半椭圆交于点，则下列结论正确的是（       ）


A．椭圆的离心率是
B．线段长度的取值范围是
C．面积的最大值是
D．的周长存在最大值
【答案】AC
【分析】由题意可求得椭圆的a,b,c，即可求得离心率，判断A；由图可直接确定线段长度的取值范围，判断B；求出面积的表达式，利用基本不等式可求得其最值，判断C；表示出的周长，根据其表达式结合参数的范围可确定其是否存在最大值，判断D.
【详解】由题意得半圆的方程为，
设半椭圆的方程为，由题意知，∴，
∴半椭圆的方程为．
对于A，，A正确；
对于B，由图可知，当时，；当时，，
所以线段长度的取值范围是，B错误．
对于C，，设，则，
∴，设，∴，∴，
∴，
∴，
当且仅当时等号成立，C正确．
对于D，的周长为，
所以当时，的周长最大，但是不能取零，
所以的周长没有最大值，D错误，
故选：AC
【1248】．（2022·湖南·长沙县第一中学模拟预测-多选题·★★★★★）“脸谱”是戏曲舞台演出时的化妆造型艺术，更是中国传统戏曲文化的重要载体如图，“脸谱”图形可近似看作由半圆和半椭圆组成的曲线C，其方程为．则下列说法正确的是（       ）

A．曲线C包含的封闭图形内部(不含边界)有11个整数点(横、纵坐标均为整数)
B．曲线C上任意一点到原点距离的最大值与最小值之和为5
C．若A(0，－)、B(0，)，P是曲线C下半部分中半椭圆上的一个动点，则cos∠APB的最小值为－
D．画法几何的创始人加斯帕尔·蒙日发现：椭圆中任意两条互相垂直的切线，其交点都在与椭圆同中心的圆上，称该圆为椭圆的蒙日圆；那么曲线C中下半部分半椭圆扩充为整个椭圆C'：后，椭圆C'的蒙日圆方程为：
【答案】BCD
【分析】选项A需要对曲线C中x分5类讨论，由x判断对应y的范围，从而得到整数点个数；选项B借助参数方程求解椭圆中两点间距离问题；选项C由椭圆定义可得到|PA|、|PB|之和为定值，由基本不等式可以得到、|PB|乘积的最大值，结合余弦定理即可求出cos∠APB的最小值；选项D中分析蒙日圆的关键信息，圆心是原点，找两条特殊的切线，切线交点在圆上，求得圆半径得圆方程．
【详解】对于A：曲线中，，当时，
分5类讨论：，分别代入曲线方程，可得：
整数点为(－1，1)，(－1，0)，(－1，－1)．(－1，－2)，(0，0)，(1，1)，(1，0)、(1，－1)，(1，－2)，
所以：整数点有9个，选项A错误；
对于B：曲线C中，当时，此时与原点距离为2，
当，时，设半椭圆上动点P坐标为(2cosθ，3sinθ)，
则，
最大值与最小值之和为5，选项B正确；
对于C：又A(0，－)、B(0，)恰为椭圆的两个焦点．
那么，
当且仅当，即P在x轴上时，等号成立，
在△PAB中，，由余弦定理知：

，选项C正确；
对于D：由题意知：蒙日圆的圆心O坐标为原点(0，0)，在椭圆：中取两条切线：和，它们交点为(2，3)，
该点在蒙日圆上，半径为
此时蒙日圆方程为：，选项D正确．
故选：BCD．
【1249】．（2022·上海徐汇·三模·★★★★★）已知一簇双曲线：，设双曲线的左､右焦点分别为､，是双曲线右支上一动点，的内切圆与轴切于点，则___________.
【答案】
【分析】分析得到为右顶点，从而，利用等差数列求和公式进行计算.
【详解】如图，由双曲线定义可知：，
而根据切线长定理得：，，，
所以，
即，解得：，即为右顶点，
，故，
所以

故答案为：
【1250】．（2022·江西·上饶市第一中学模拟预测·★★★★★）①已知点，直线，动点P满足到点A的距离与到直线l的距离之比为；
②已知圆C的方程为，直线l为圆C的切线，记点，到直线l的距离分别为，，动点P满足，；
③点S，T分别在x轴，y轴上运动，且，动点P满足；
在①，②，③这三个条件中，动点P的轨迹W为椭圆的是______．
【答案】①②③
【分析】由①可采用直接法可得轨迹方程；②根据椭圆定义可得轨迹方程；③采用代入法，化简即可得轨迹方程；
【详解】对于①，
设，根据题意，，整理得，
所以轨迹方程为；
对于②，
设，直线l与圆相切于点H，则，
由椭圆定义知点P的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，所以，，
故，所以轨迹方程为；
对于③，
设，，，则，
因为，所以，整理得，
代入得，
所以轨迹方程为；
故答案为：①②③
【1251】．（2022·浙江·镇海中学模拟预测·★★★★）油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史，为宣传和推广这一传统工艺，北京市文化宫于春分时节开展油纸伞文化艺术节．活动中，某油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该伞的伞沿是一个半径为的圆，圆心到伞柄底端距离为，阳光照射抽纸伞在地面形成了一个椭圆形影子（春分时，北京的阳光与地面夹角为），若伞柄底正好位于该椭圆的焦点位置，则该椭圆的离心率为______________．


【答案】##
【分析】根据左焦点到右顶点距离可得；在中，利用正弦定理可求得，由此可得，进而求得离心率.
【详解】如图所示，

伞柄底端应该位于椭圆的左焦点，且左焦点到右顶点的距离为，即；
在中，由正弦定理得：，
，
，该椭圆的离心率为.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题考查椭圆离心率的求解，解题关键是能够提炼出基本图形，结合正弦定理可求得椭圆的，由此可得离心率.
【1252】．（2021·四川内江·三模·★★★★★）数学中有许多形状优美､寓意美好的曲线，如图：四叶草曲线就是其中一种，其方程为.给出下列四个结论：

①曲线有四条对称轴；
②曲线上的点到原点的最大距离为；
③在第一象限内，过曲线上一点作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形面积的最大值为；
④四叶草面积小于.
其中，所有正确结论的序号是___________.
【答案】①③④
【分析】①：根据图形的性质结合方程进行判断即可；
②：利用图形结合对称性进行求解判断即可；
③：利用基本不等式进行判断即可；
D：根据图形的特征结合圆的面积公式进行判断即可.
【详解】①；以代，不变代入方程中得，，
所以图形关于纵轴对称；
以代，不变代入方程中得，，所以图形关于横轴对称；
以代，以代代入方程中得：，所以图象关于直线对称；
以代，以代代入方程中得：
，所以图象关于直线对称，因此图象有四个对称轴，故结论正确；
②：由对称轴性不妨设四叶草曲线与直线在第一象限的交点为，
，
所以曲线上的点到原点的最大距离为，故本结论不正确；
③：在第一象限内，设曲线上一点，
因为，所以（当且仅当时，取等号），所以本结论正确；
④：通过②可知：四叶草曲线在以原点为圆心半径为的圆内及圆上，所以四叶草的面积小于圆的面积，故本结论正确，
故答案为：①③④
【点睛】关键点睛：根据图形的特征，结合方程、基本不等式进行判断是解题的关键.


【1253】．（2022·河南河南·模拟预测·★★★★）过抛物线的焦点且斜率为的直线交于、（其中在轴上方）两点，交的准线于点，且，为坐标原点，则（     ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】将直线的方程与抛物线的方程联立，利用韦达定理结合抛物线的焦点弦长公式求出的值，可求得点的坐标，再利用平面间两点间的距离公式可求得的值.
【详解】抛物线的焦点为，准线方程为，
直线的方程为，设点、，
联立可得，，
由韦达定理可得，则，可得，
联立可得，即点，
因此，.
故选：D.
【1254】．（2022·河南河南·模拟预测·★★★）设双曲线的左、右焦点分别为点，过点且斜率为的直线与双曲线的左、右两支分别交于两点，若 ，且直线的斜率为 3，则的离心率为（     ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】通过题意可以得到直线和直线的方程，两条方程联立可以得到的坐标，代入双曲线即可求出答案
【详解】解：由题意可得直线的方程为，直线的方程为，
所以，解得，即，
将代入双曲线可得即，
所以，因为所以
故选：B
【1255】．（2022·山东青岛·二模·★★★★）设O为坐标原点，抛物线与双曲线有共同的焦点F，过F与x轴垂直的直线交于A，B两点，与在第一象限内的交点为M，若，，则双曲线的离心率为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用向量的运算建立方程，转化为离心率e的方程求解.
【详解】因为抛物线的焦点，
由题可知，，即抛物线方程为，
令代入抛物线方程，可得，
代入双曲线方程，可得，
可设，，，
由有
两边平方相减可得， ，
由有：，又
即，由有：
由，解得.故A，B，D错误.
故选：C.
【1256】．（2022·四川内江·模拟预测·★★★★）已知是椭圆上的点，、分别是椭圆的左、右焦点，若，则的面积为（       ）
A． B． C． D．9
【答案】A
【分析】由已知可得，然后利用余弦定理和椭圆定义列方程组可解.
【详解】因为，
所以，
又
记，则，
②2-①整理得：，所以
故选：A

【1257】．（2022·全国·模拟预测·★★★）设M是椭圆C：的上顶点，P是C上的一个动点，当P运动到下顶点时，取得最大值，则C的离心率的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设，由，求出消元可得，，再根据以及二次函数的性质可知，，即可解出．
【详解】设，，因为，，
所以，，由题意知当时，取得最大值，所以，可得，即．
故选：C．
【1258】．（2022·河南·开封市东信学校模拟预测·★★★★）已知分别为双曲线的左焦点和右焦点，过的直线l与双曲线的右支交于A，B两点，的内切圆半径为，的内切圆半径为，若，且直线l的倾斜角为，则的值为（       ）
A．2 B．3 C． D．
【答案】B
【分析】根据内切圆的性质及双曲线的定义求出两内切圆圆心的横坐标，由正切函数求解即可.
【详解】记的内切圆圆心为C，边上的切点分别为M，N，E，

则C，E横坐标相等，则，
由，即，得，即，记C的横坐标为，则，
于是，得，同理的内心D的横坐标也为a，
则有轴，由直线的倾斜角为，则，，
在中，，可得，
在中，，可得，
可得．
故选：B
【1259】．（2022·天津市武清区杨村第一中学模拟预测·★★★★）已知第一象限内的点既在双曲线的渐近线上，又在抛物线上，设的左、右焦点分别为、，若的焦点为，且是以为底边的等腰三角形，则双曲线的离心率为（       ）
A．2 B．
C． D．
【答案】B
【分析】由题意可得抛物线的准线方程为：，过M作MA垂直准线，利用抛物线的定义得到，则四边形是正方形，从而是等腰直角三角形，然后结合图形和离心率公式即可求解.
【详解】因为的左、右焦点分别为、，的焦点为，
所以抛物线的准线方程为：，
又因为是以为底边的等腰三角形，
过M作MA垂直准线，如图所示：

则，所以四边形是正方形，
则是等腰直角三角形，所以，
，，
.
故选：B
【1260】．（2022·浙江·杭师大附中模拟预测·★★★★）椭圆的左右焦点为为椭圆上一点，直线分别交椭圆于M，N两点，则当直线的斜率为时，（       ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【分析】写出直线的方程，与椭圆联立求出点的坐标，同理可得点坐标，通过计算直线的斜率即可得结果.
【详解】由已知得，
所以直线的方程为：（其中），
与椭圆方程联立得，
由韦达定理，所以，
故；
类似得，，
所以，
故选：D．
【1262】．（2022·四川成都·模拟预测·★★★★★）已知抛物线的焦点为，直线过焦点与交于、两点，为线段的中点，以为直径的圆与轴交于、两点，若上存在一点到焦点的距离为，则的最小值为（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由抛物线的定义求出的值，可得出抛物线的方程，分析可知直线的斜率存在，设直线的方程为，设点、，将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，求出以及点的坐标，可得出的表达式，即可求得的最小值.
【详解】抛物线的准线方程为，由抛物线的定义可得，可得，
所以，抛物线的方程为，则，
若直线与轴重合，则直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意，
所以，直线的斜率存在，设直线的方程为，设点、，
联立可得，，
由韦达定理可得，，则，
，所以，以线段为直径的圆的半径为，
线段的中点为，所以，，
当且仅当时，等号成立，即的最小值为.
故选：D.
【1263】．（2022·四川省泸县第二中学模拟预测·★★★★）已知椭圆的左右焦点为，若椭圆C上恰好有6个不同的点P，使得为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由题可知六个点，有两个是短轴端点，因此在四个象限各一个，设是第一象限内的点，分或，列方程组求得点横坐标，由可得离心率范围；或结合椭圆的性质列出不等关系即得．
【详解】法一：显然，是短轴端点时，，满足为等腰三角形，因此由对称性，还有四个点在四个象限内各有一个，
设是第一象限内使得为等腰三角形的点，
若，则，又，
消去整理得：，
解得(舍去)或，
由得，
所以，即，
若，则，又，
消去整理得：，
解得或，舍去．
所以，
所以，即，
时，，是等边三角形，只能是短轴端点，只有2个，不合题意．
综上，的范围是．
法二：①当点与短轴的顶点重合时，构成以为底边的等腰三角形，此种情况有2个满足条件的；
②当构成以为一腰的等腰三角形时，根据椭圆的对称性，只要在第一象限内的椭圆上恰好有一点满足为等腰三角形即可，则或
当时，则，即，则，
当时，则有，则，
综上所述，椭圆的离心率取值范围是.
故选：A.
【1264】．（2022·河南·模拟预测·★★★）若函数是定义域和值域均为的单调递增函数，我们称曲线为洛伦兹曲线，它在经济学上用来描述一个国家的家庭收入分布情况．如图，设曲线与直线所围成的区域面积为A，曲线与直线，x轴围成的区域面积为B，定义基尼系数，基尼系数可以衡量一个国家家庭收入分布不平均的程度．若某个国家的洛伦兹曲线为，则该国家的基尼系数为（       ）．

A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由，可得（），则洛伦兹曲线是圆心为，半径为1的圆周，从而可求出，进而可求出
【详解】由，可得（），
所以洛伦兹曲线是圆心为，半径为1的圆周，
所以，
，
所以，
故选：D
【1265】．（2022·河南·汝州市第一高级中学模拟预测·★★★）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线，点，，过A且垂直于x轴的直线与抛物线交于点C，过C作BC的垂线，交x轴于点D，则下列命题正确的个数为（       ）．
①点C的坐标为；②的面积为8；③；④直线CD与抛物线相切．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】由题可得或可判断①，进而可求直线的方程及点可判断②，求出可判断③，利用直线的方程及抛物线方程可判断④，即得.
【详解】将代入抛物线，可得或，故①错误；
若，则，
则直线的方程为，即，则，
若，则，
则直线的方程为，则，
故无论或，都有，则，故②正确；
由，故③错误；
若，直线的方程为，联立抛物线方程可得，
，故直线与抛物线相切，
若，直线的方程为，联立抛物线方程可得，
，故直线与抛物线相切，故④正确；
综上，②④正确.
故选：B.
【1266】．（2022·河南·汝州市第一高级中学模拟预测·★★★）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，双曲线的左、右顶点分别为A，B，过其右焦点F作x轴的垂线与E交于C，D两点，四边形BCDG为平行四边形，过O作AG的平行线，分别与直线BG，CD交于点P，Q，设梯形BFQP的面积为S，则（       ）．

A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由题，利用几何关系及双曲线性质，由参数可表示等线段以及，比较即可得出结果
【详解】由题，，将代入双曲线得，，故，又，故为中位线，故，
在中，，有，故，故有，
故选：D
【1267】．（2022·河北·石家庄二中模拟预测·★★★★）已知为抛物线上的动点，为直线上的动点，过点作圆的切线，切点为，则的最小值为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设，知，利用圆的切线长的求解方法可表示出；利用点到直线距离公式可知，加和后，可将表示为关于的二次函数的形式，利用二次函数最小值的求法可求得结果.
【详解】设，则，
，
，
，
则当时，，即的最小值为.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题考查直线与抛物线综合应用中的最值问题的求解，解题关键是能够结合圆的切线长的求解方法、点到直线距离公式，将所求距离表示为关于某一变量的函数的形式，从而利用函数最值的求法得到结果.
【1268】．（2022·辽宁实验中学模拟预测·多选题·★★★★★）若曲线C的方程为，则（       ）
A．当时，曲线C表示椭圆，离心率为
B．当时，曲线C表示双曲线，渐近线方程为
C．当时，曲线C表示圆，半径为1
D．当曲线C表示椭圆时，焦距的最大值为4
【答案】BC
【分析】根据方程研究曲线的性质，由方程确定曲线形状，然后求出椭圆的得离心率，得焦距判断AD，双曲线方程中只要把常数1改为0，化简即可得渐近线方程，判断B，由圆的标准方程判断C．
【详解】选项A，时，曲线方程为，表示椭圆，其中，，则，离心率为，A错；
选项B，时曲线方程为表示双曲线，渐近线方程为，即，B正确；
选项C，时，曲线方程为，表示圆，半径为1，C正确；
选项D，曲线C表示椭圆时，或，
时，，，，
时，，，，
所以，即，无最大值．D错．
故选：BC．
【1269】．（2022·湖南·模拟预测·多选题·★★★）已知双曲线，的左右焦点分别为，，双曲线C上两点A，B关于坐标原点对称，点P为双曲线C右支上上一动点，记直线PA，PB的斜率分别为，，若，，则下列说法正确的是（       ）
A． B．
C．的面积为 D．的面积为1
【答案】BD
【分析】根据点差法，结合双曲线的定义逐一判断即可.
【详解】，，因为A，B关于坐标原点对称，则，曲已知得，，两式相减得，所以，因为，所以，得，所以选项B正确A错误；
因为P在右支上，记，则，因为，所以，解得或（舍去），所以的面积为．所以选项D正确C错误．
故选：BD．
【点睛】关键点睛：应用点差法和双曲线的定义是解题的关键.
【1270】．（2022·全国·模拟预测·多选题·★★★★）已知为坐标原点，双曲线的右焦点为，是的一条渐近线，以为圆心，为半径的圆与交于，两点，则（       ）
A．过点且与圆相切的直线与双曲线没有公共点
B．的离心率的最大值是
C．若，则的离心率的取值范围是
D．若，则的离心率为
【答案】ACD
【分析】选项A.   双曲线的渐近线与圆交于，两点，所以过点且与圆相切的直线与没有公共点从而可判断；选项B. 过点作,则，故可得，从而可得离心率的范围，从而可判断；选项C. 由条件可得，即，从而，从而可得离心率的范围，从而可判断；选项D. 由条件可得为线段的中点，由勾股定理得出的关系，从而可得离心率的范围，从而可判断.
【详解】对于A，因为双曲线的渐近线与圆交于，两点，所以过点且与圆相切的直线与没有公共点（如图），故选项A正确．
对于B，过点作，垂足为，易知，
因为圆与直线相交，所以，又，
所以，即，所以的离心率的取值范围是，故选项B错误．
对于C，若，则，故，故，
所以，即，，，
得，又由B知，所以，故选项C正确．
对于D，因为，所以为线段的中点，
设，则，，
在和中，由勾股定理得，
，消去得，，
即，所以，故选项D正确．
故选：ACD

【1271】．（2022·河南洛阳·模拟预测·★★★★）已知F是椭圆：（）的右焦点，A为椭圆的下顶点，双曲线：（，）与椭圆共焦点，若直线与双曲线的一条渐近线平行，，的离心率分别为，，则的最小值为______．
【答案】
【分析】根据直线与的一条渐近线平行，得到，再结合双曲线与椭圆共焦点得到，再利用基本不等式求解.
【详解】解：设的半焦距为c（），则，又，
所以，又直线与的一条渐近线平行，
所以，所以，
所以，
所以，
所以，
又，
当且仅当，即，时等号成立，
即的最小值为．
故答案为：
【1272】．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测·★★★）已知F是双曲线的右焦点，过点F的直线l与双曲线C的一条渐近线垂直，垂足为A，且直线l与双曲线C的左支交于点B，若，则双曲线C的渐近线的方程为______．
【答案】
【分析】设C的左焦点为，连接，过作于D，根据已知及双曲线性质有为线段FB的中垂线，结合双曲线定义及参数关系求a、b的数量关系，即可得渐近线方程.
【详解】设C的左焦点为，连接，过作于D，易知：，

在曲线C中，易知：，则，则D为线段FB的中点．
又，，即，得，则，
又，得，渐近线方程为．
故答案为：
【1273】．（2022·上海徐汇·三模·★★★）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九卷“勾股”讲述了“勾股定理”及一些应用，其中直角三角形的三条边长分别称“勾”“股”“弦”，设点是抛物线的焦点，直线是该抛物线的准线，过抛物线上一点作准线的垂线，垂足为，射线交准线于点，若的“勾”，“股”，则抛物线方程为___________.
【答案】
【分析】由，得到，然后由抛物线的定义得到是等边三角形求解.
【详解】解：当抛物线开口向右时，如图所示：

因为，
所以，
由抛物线的定义得，
所以是等边三角形，
所以，
所以抛物线的方程是，
同理，当抛物线开口向左时，抛物线方程为：，
综上：抛物线的方程为：，
故答案为：
【1274】．（2022·河南省杞县高中模拟预测·★★★）如图，已知，分别为椭圆C：的左、右焦点，A为C上位于第一象限内的一点，与y轴交于点B，若，则C的离心率为______．

【答案】
【分析】根据线段的垂直平分线及锐角三角函数，再利用椭圆的定义，结合椭圆的离心率公式即可求解.
【详解】由题意知, ，设，
由，得，,
,,
在中，，，
在中，；
根据椭圆的定义，，
所以．
故答案为：
【1275】．（2022·河南安阳·模拟预测·★★★★）已知双曲线的左、右焦点分别为，点A是C左支上一点，点B是C渐近线上一点，O为坐标原点．若，则C的离心率为_________．
【答案】
【分析】先由求出，再由求出，再代入双曲线即可求出离心率.
【详解】
如图，不妨设在第三象限，则在上，，又，则，则，
则的纵坐标为，代入得，则，由可得，，
又为中点，则为中点，则，又在上，则，
整理得，则离心率为.
故答案为：.
【1276】．（2022·浙江绍兴·模拟预测·★★★）已知双曲线，直线l交双曲线两条渐近线于点A、B，M为线段的中点，设直线l、的斜率分别为，若，则渐近线方程为________．
【答案】
【分析】设点，结合线段AB的中点为，求出，即可得到结论.
【详解】设，
则，可得，
设分别为双曲线的渐近线方程分是的点，
所以有，从而有，
又，，
所以，
则，所以渐近线方程为.
故答案为：.
【1277】．（2022·江苏·南京市天印高级中学模拟预测·★★★★）已知椭圆的左、右焦点分别为，点P为椭圆C上一点，满足，的面积为，直线交椭圆C于另一点Q，且，则椭圆C的标准方程为________．
【答案】
【分析】设椭圆半焦距为，由已知可得为直角三角形，利用通径可得，再根据可得点的坐标，进而求得的值，即可得答案；
【详解】设椭圆半焦距为，由已知可得为直角三角形，易知，
，整理得①，
设点P在第一象限，则，而，
由，可得在椭圆上，
代入椭圆的方程得②．又③，
由①②③可得，所以椭圆的标准方程为．
故答案为：.
【1278】．（2022·广东·潮州市瓷都中学三模·★★）已知点为双曲线：（，）在第一象限上一点，点为双曲线的右焦点，为坐标原点，，则双曲线的离心率为___________.
【答案】
【分析】根据题意得，再分析求出点坐标，再代入双曲线即可求解.
【详解】因为，且，所以，
所以三角形为等腰三角形，底边的高为：，
所以，因为点在双曲线上，所以，又，
所以，解得（舍去）或，所以.
故答案为：.
【1279】．（2022·浙江·乐清市知临中学模拟预测·★★★）经过原点的直线交椭圆于P，Q两点，点P在第一象限，若点P关于x轴的对称点称为M，且，直线与椭圆交于点B，且满足，则椭圆的离心率为_______．
【答案】
【分析】设，的坐标，由题意可得，，的坐标，将，的坐标代入椭圆的方程可得直线，的直线的斜率之积，再由点的坐标可得的斜率，由，可得，的关系，进而求出椭圆的离心率．
【详解】解：设，则，设，，
由题意可得，而，所以，
所以，而，
所以可得，
因为，在椭圆上，所以，
两式相减整理可得：，
即，可得，
因为，所以，即，
所以，
离心率，
故答案为： ．
【1280】．（2022·山东省实验中学模拟预测·★★★★）已知圆，定点，动点Q满足以为直径的圆与y轴相切．过点F的直线l与动点Q的轨迹E，圆C顺次交于A，M，N，B四点．则的最小值为________．
【答案】23
【分析】设，即可得到的中点坐标，再根据距离公式求出动点的轨迹方程，由抛物线的焦点弦性质，求得，根据抛物线的性质及基本不等式，即可求得答案．
【详解】解：设，则的中点为，所以，整理得，
即动点的轨迹为抛物线，焦点为，

由直线过抛物线的焦点，则，
其中的证明过程如下：
当不垂直于轴时，可设直线的方程为，，，显然．
由得:，∴，．
当轴时，直线方程为，则，，∴，同上也有．
由抛物线的定义知：，，又，所以，且．
所以

圆圆心为，半径1，


，
当且仅当，即，时取等号；
的最小值为23，
故答案为：．
【1281】．（2022·黑龙江·大庆实验中学模拟预测·★★★★）已知焦距为6的双曲线的左､右焦点分别为，其中一条渐近线的斜率为，过右焦点的直线l与双曲线C的右支交于A，B两点，设M为的内切圆圆心，则的最大值为___________.
【答案】6
【分析】由焦距和渐近线的斜率求得得双曲线方程，根据双曲线的定义和内切圆性质得，然后用内切圆半径表示出和的面积及面积比，由弦长的最小值是通径长得出结论．
【详解】由题知，且2c＝6，根据，解得，，所以双曲线C的标准方程为．
如图，设的内切圆与三角形三边的切点分别是，由切线长性质，可得
，
因为，所以，所以与重合，因此是的内切圆在AB边上的切点，所以．
因为，
,则，
所以的的最大值为: 6.
故答案为：6.