专题07 极坐标与参数方程——【备考2023】高考数学大题精练 （全国通用）（原卷版+解析版）

专题07   极坐标与参数方程  

极坐标与参数方程试题是处于高考全国甲乙卷的二选一22题位置，始终是作为基础大题来考察的。高考考察简单图形的极坐标方程，极坐标与直角坐标的互化，考察直线、圆，圆锥曲线的参数方程以及参数方程与直角坐标互化，考察应用极坐标与参数方程求解线段长度、面积、最值范围等问题。涉及到三角函数恒等变形，函数与曲线图像等综合知识，考察难度不大，综合性强。

常考题型：参数方程消参及限制范围型，曲线上动点参数型应用，极坐标方程与轨迹型，极坐标“一线两点与两线一点”型，直线参数方程标准化型，直线方程线段与定比分点应用型

一、参数方程消参及限制范围型

例题、在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数)，若以直角坐标系中的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为为参数)．(1)求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；

(2)若曲线与曲线有公共点，求的取值范围．

【答案】(1),；(2).

【详解】(1)由,得，

又由所以曲线可化为，

又由,得，即，所以所以曲线可化为.

(2)若曲线M，N有公共点，则当直线过点时满足要求，此时，

并且向左下方平行移动直到相切之前总有公共点，相切时仍然只有一个公共点，

联立,得，由，解得.综上可求得t的取值范围是.

参数方程消参主要思维：

1、反解代入消参型。参数与变量符合“一次型”，则多数可以通过反解代入来消参

2.参数方程含有正余弦的，可以借助公式平方消元

3.可以借助代数结构“对偶”来构造消参

在平面直角坐标系xOy中，曲线方程为：（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为：

(1)求曲线的直角坐标方程；

(2)已知点P､点Q分别是曲线和上的动点，求的最小值.

【答案】(1)(2)

【分析】（1）由公式化极坐标方程为直角坐标方程；

（2）由的参数方程直接设出点坐标，求出点到直线的距离，由基本不等式得出的范围，结合绝对值性质得最小值．

(1)

由的极坐标方程变形为，又，∴

(2)

设，则P到直线：的距离为：

∵或，∴，即

1.（2023届安徽省示范高中皖北协作区高三联考理科数学试题）平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，且）.以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

（1）求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；

（2）已知点P的极坐标为，Q为曲线上的动点，求的中点M到曲线的距离的最大值.

【答案】（1），.（2）

【详解】（1）因为，所以3×①+4×②，得.

又，所以的普通方程为，

将，代入曲线的极坐标方程，得曲线的直角坐标方程为.

（2）由点P的极坐标，可得点P的直角坐标为.

设点，因为M为的中点，所以

将Q代入的直角坐标方程得，即M在圆心为，半径为1的圆上.

所以点M到曲线距离的最大值为，

由（1）知不过点，且，

即直线与不垂直.综上知，M到曲线的距离的最大值为.

2、（2023届安徽省淮北市高三模拟理科数学试题）在直角坐标系，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，取相同长度单位建立极坐标系，直线的极坐标方程为

（1）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；

（2）设直线与轴的交点为，经过点的动直线与曲线交于，两点，证明：为定值

【答案】（1）；（2）证明见解析；

【详解】（1）由得由得，得，的普通方程是，的直角坐标方程为.

（2）由（1）知设的参数方程为为参数），代入的方程得，当时，设方程的两根为，所以为定值.

1、（普通高等学校招生考试数学（文）试题（全国卷））参数方程（t为参数）.(1)化为直角坐标方程，并画出方程的曲线的略图；

（2）当及时，各得到曲线的哪一部分？

【答案】（1）；（2）答案见解析

【分析】（1）先利用公式,将参数t消去，即可得到曲线的直角坐标普通方程；

（2）根据t的范围求出x与y的取值范围，结合图象可得到的是曲线的哪一部分．

【详解】（1）利用公式，得．

∴曲线的直角坐标方程为；

（2）当时，，得到的是曲线在第一象限的部分（包括（1，0）点）；

当时，，得到的是曲线在第二象限的部分（包括（−1，0）点）

2、（2022年高考全国乙卷数学（文）真题）在直角坐标系中，曲线C的参数方程为，（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为．

(1)写出l的直角坐标方程；

(2)若l与C有公共点，求m的取值范围．

【答案】(1)(2)

【分析】（1）根据极坐标与直角坐标的互化公式处理即可；

（2）方法一：联立l与C的方程，采用换元法处理，根据新设a的取值范围求解m的范围即可.

【详解】（1）因为l：，所以，

又因为，所以化简为，

整理得l的直角坐标方程：

（2）[方法一]：【最优解】参数方程

联立l与C的方程，即将，代入中，

可得，

化简为，

要使l与C有公共点，则有解，

令，则，令，，

对称轴为，开口向上，，，

，即m的取值范围为.

[方法二]：直角坐标方程

由曲线的参数方程为，为参数，消去参数，可得，

联立，得，即，即有，即，的取值范围是．

二、曲线上点为参数点型

例题1、在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.

(1)求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；

(2)过曲线上任意一点作与直线的夹角为45°的直线，且与交于点，求的最小值.

【答案】(1)曲线的普通方程为；直线的直角坐标方程为.(2)

【分析】（1）对曲线的参数方程消去参数，可得曲线的普通方程；将代入的极坐标方程中，可得直线的直角坐标方程；

（2）设，利用点到直线的距离公式和三角函数的性质求解即可.

【详解】（1）曲线的参数方程为（为参数），

由，消去参数，可得曲线的普通方程为.

将代入直线的极坐标方程中，

可得直线的直角坐标方程为.

（2）设，

则点到的距离其中.

因为过点的直线与的夹角为45°，所以，

故的最小值为.

例题2、在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

（Ⅰ）求的普通方程和的直角坐标方程；

（Ⅱ）若与交于，两点，求的值.

【答案】（Ⅰ）的普通方程为；的直角坐标方程；（Ⅱ）.

【详解】（1）由（为参数），消去参数，得，即的普通方程为.

由，得，将，代入，得，

即的直角坐标方程.

（2）由（为参数），可得（），故的几何意义是抛物线上的点（原点除外）与原点连线的斜率.由题意知，当时，，则与只有一个交点不符合题意，故.把（为参数）代入，得，设此方程的两根分别为，，

由韦达定理可得，，，所以.

曲线参数方程，可以理解为曲线上的动点。所以曲线与曲线交点型，可以通过把一个曲线参数点代入另一个曲线方程来求解

在直角坐标系中，曲线C的参数方程为，（为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．

(1)求C的普通方程和l的直角坐标方程 ；

(2)求C上的点到l距离的最小值．

【答案】(1)C的普通方程为，l的直角坐标方程为；(2).

【分析】（1）由可得，，然后可得C的普通方程，根据可得l的直角坐标方程；

（2）设C上的点为，然后结合点到直线的距离公式和三角函数的知识可得答案.

（1）

由可得

所以，

因为，所以，化简得

即C的普通方程为，

由可得，

所以l的直角坐标方程为，

（2）设C上的点为，

其到l的的距离为其中

所以当时，C上的点到l距离最小，最小值为.

1.（安徽省六安市舒城中学2023届高三仿真模拟（三）文科数学试题）已知在平面直角坐标系中，曲线的参数方程是(θ为参数)；以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为

（1）求曲线，的普通方程.

（2）设Р是曲线上任意一点，求点Р到曲线的距离的最值.

【答案】（1），；（2），.

【分析】(1)直接三角消参可把的参数方程化为普通方程；用可把直线的极坐标方程化为直角坐标方程；

(2)把距离表示出来，利用函数求最值即可.

【详解】（1）将两边平方得，，

，两式相减，即可转化，还要注意到，

所以x的取值范围是，所以普通方程为.

曲线的普通方程为.

（2）设，则P到直线的距离

∵，∴当时，；当时，.

2.（陕西省西安中学2023届高三高考模拟数学（文）试题（三））在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为，且直线l经过曲线C的左焦点F．

（1）求直线l的普通方程；

（2）设曲线C的内接矩形的周长为L，求L的最大值．

【答案】（1）；（2）．

【分析】（1）直接利用即可得到曲线C的普通方程，求出F，带入求出m，即可得到直线l的普通方程；

（2）设椭圆C的内接矩形在第一象限的顶点为，把周长表示出来，利用三角函数求最值即可.

【详解】解：（1）曲线C的极坐标方程为，即，

可得直角坐标方程：，化为：．

，可得左焦点．

直线l的参数方程为（t为参数），消去参数t可得：，

把代入可得：．

直线l的普通方程为：．

（2）设椭圆C的内接矩形在第一象限的顶点为．

椭圆C的内接矩形的周长为（其中）．

椭圆C的内接矩形的周长的最大值为．

1.（2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ））已知曲线，直线：（为参数）.

（I）写出曲线的参数方程，直线的普通方程；

（II）过曲线上任意一点作与夹角为的直线，交于点，的最大值与最小值．

【答案】（I）；（II）最大值为，最小值为.

【详解】试题分析：（I）由椭圆的标准方程设，得椭圆的参数方程为，消去参数即得直线的普通方程为；（II）关键是处理好与角的关系．过点作与垂直的直线，垂足为，则在中，，故将的最大值与最小值问题转化为椭圆上的点，到定直线的最大值与最小值问题处理．

试题解析：（I）曲线C的参数方程为（为参数）．直线的普通方程为．

（II）曲线C上任意一点到的距离为．则

．其中为锐角，且．

当时，取到最大值，最大值为．

当时，取到最小值，最小值为．

2.（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标1卷精编版））在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的参数方程为

．

（1）若，求C与l的交点坐标；

（2）若C上的点到l的距离的最大值为，求．

【答案】（1），；（2）或．

【详解】试题分析：（1）直线与椭圆的参数方程化为直角坐标方程，联立解交点坐标；（2）利用椭圆参数方程，设点，由点到直线距离公式求参数．

试题解析：（1）曲线的普通方程为.

当时，直线的普通方程为.

由解得或.

从而与的交点坐标为，.

（2）直线的普通方程为，故上的点到的距离为

.

当时，的最大值为.由题设得，所以；

当时，的最大值为.由题设得，所以.

综上，或.

三、极坐标方程与轨迹型

例题1、多样化的体育场地会为学生们提供更丰富的身体锻炼方式.现有一个标准的铅球场地如图，若场地边界曲线M分别由由两段同心圆弧和两条线段四部分组成，在极坐标系中，，A､O､B三点共线.，点C在半径为1的圆上.

(1)分别写出组成边界曲线M的两段圆弧和两条线段的极坐标方程；

(2)若需设置一个距边界曲线M距离不小于1且关于极轴所在直线对称的矩形警示区域，如图，求警示区域所围的最小面积.

注：，

【答案】(1)，，，；(2).

【分析】（1）根据极坐标系中极径和极角的定义即可求解；

（2）求警示区域最小值即让内界线到M距离恰好为1，则矩形长，矩形宽.

（1）

解：由题意，以O为原点，的垂直平分线为极轴建立极坐标系，

线段，

线段，

弧，

弧；

（2）

解：求警示区域最小值即让内界线到M距离恰好为1，设矩形长为l，

则（包括弧长半径､圆半径､两边距距离），

矩形宽为d，则，，

所以.

例题2、以等边三角形的每个顶点为圆心，以其边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形被称为勒洛三角形．如图，在极坐标系中，曲边三角形为勒洛三角形，且．以极点O为直角坐标原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系．

(1)求的极坐标方程；

(2)若曲线C的参数方程为（t为参数），求曲线C与交点的极坐标．

【答案】(1)；(2).

【分析】（1）求得的直角坐标方程，再转化为极坐标方程即可；

（2）求得曲线的普通方程，结合的直角坐标方程，求得交点的直角坐标，再转化为极坐标即可.

【详解】（1）对点，设其直角坐标为，则，即其直角坐标为，

故在直角坐标系下的方程为：，

由可得：，

故的极坐标方程为：.

（2）由题可得曲线的普通方程为：，联立，

可得，解得或，又，故，则，

即曲线C与交点的直角坐标为，设其极坐标为，

则，，

即曲线C与交点的极坐标为.

极坐标点的坐标形式，是极径与绕原点旋转的角度，所以在涉及到极坐标的方程或者求极坐标的轨迹时，要注意运用这个概念意义进行运算求解，写出的方程程也要注意涉及到的角度的范围。

下图所示形如花瓣的曲线称为四叶玫瑰线，并在极坐标系中，其极坐标方程为．

(1)若射线：与相交于异于极点的点，与极轴的交点为，求；

(2)若，为上的两点，且，求面积的最大值．

【答案】(1)(2)

【分析】（1）根据已知得到、两点的极坐标，代入距离公式即可；

（2）设， ，根据极坐标方程求出、，将三角形面积表示为的三角函数，根据三角恒等变换求三角函数的最大值.

【详解】（1）将代入方程，得， ，则的极坐标为.又与极轴的交点为的极坐标为.则.

（2）不妨设，，则，

所以，的面积

所以，当，即时，.所以，面积最大值为.

1.（四川省雅安市2023届高三零诊考试数学（理）试题）数学中有许多美丽的曲线，如在平面直角坐标系xOy中，曲线的形状如心形（如图），称这类曲线为心形曲线．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．当时，

(1)求E的极坐标方程；

(2)已知P，Q为曲线E上异于O的两点，且，求的面积的最大值．

【答案】(1)；(2)．

【分析】（1）将，代入曲线E，化简可得答案；

（2）不妨设，，，，则的面积，令，可得，再利用配方计算可得答案.

【详解】（1）将，代入曲线E，

得，即，

所以，E的极坐标方程为；

（2）不妨设，，即，，

则的面积，

由于，令，则，，

则，故当时，，

即的面积的最大值为．

2.（黑龙江省哈尔滨市第九中学校2023届高三第五次模拟考试（理科）数学试题）在极坐标系下，设点为曲线：在极轴上方的一点，且，以极点为原点，极轴为轴正半轴建立平面直角坐标系．

(1)求曲线的参数方程；

(2)以为直角顶点，为一条直角边作等腰直角三角形在的右下方，求点轨迹的极坐标方程．

【答案】(1)，其中为参数；(2)，

【分析】先将曲线的极坐标方程化成直角坐标系中的方程，再利用圆的参数方程即可得解；

使用代入法求轨迹方程,设为，设为，再根据题意可得两点坐标的关系，代入，从而得点轨迹的极坐标方程．

【详解】（1）曲线：，， ， ，

在直角坐标系中，曲线是以为圆心，为半径的圆，

曲线的参数方程为，其中为参数；

（2）设为，则，且，设为，则根据题意可得： ，

，又，且，， ，

，，

点轨迹的极坐标方程为，．

（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ））如图，在极坐标系中，，，，，弧，，所在圆的圆心分别是，，，曲线是弧，曲线是弧，曲线是弧.

（1）分别写出，，的极坐标方程；

（2）曲线由，，构成，若点在上，且，求的极坐标.

【答案】(1), , ,

(2) ,,,.

【分析】(1)将三个过原点的圆方程列出，注意题中要求的是弧，所以要注意的方程中的取值范围.

(2)根据条件逐个方程代入求解，最后解出点的极坐标.

【详解】(1)由题意得，这三个圆的直径都是2，并且都过原点.

，

,.

(2)解方程得，此时P的极坐标为

解方程得或，此时P的极坐标为或

解方程得，此时P的极坐标为

故P的极坐标为,,,.

四、极坐标“一线两点与两线一点”线段型

例题1、在直角坐标系中，曲线的参数方程为：（为参数），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

(1)求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；

(2)在极坐标系中，射线与曲线交于点，射线与曲线交于点，求的面积．

【答案】(1)，；(2)2

【分析】（1）先将化为普通方程，再根据极坐标与普通方程的互化公式即可求出结果；先利用两角和的正弦公式化简整理，再结合极坐标与普通方程的互化公式即可求出结果；

（2）先求得和，然后结合三角形的面积公式以及点的极坐标的几何意义即可求解.

【详解】（1）由题意得：的普通方程为

的极坐标方程为，.由，得

即的直角坐标方程为：．

（2）射线与曲线交点的极坐标为由得，

的面积为．

例题2、在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知射线的极坐标方程为.

（1）求曲线的极坐标方程与射线的直角坐标方程；

（2）若射线与曲线交于，两点，求.

【答案】（1）..（2）

【详解】（1）由得，即，

故曲线的极坐标方程为.射线的直角坐标方程为.

（2）将代入，得，即，

设两点对应的为，则，，

所以.

解题技巧

2、极坐标中

在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），在以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为（且）.

（I）求直线的极坐标方程及曲线的直角坐标方程；

（Ⅱ）已知是直线上的一点，是曲线上的一点， ，，若的最大值为2，求的值.

【答案】(I) ；. (Ⅱ)

【详解】（I）消去参数，得直线的普通方程为，由，，

得直线的极坐标方程为，即.

曲线的极坐标方程为（且），即，

由，，得曲线的直角坐标方程为.

（Ⅱ）∵在直线上，在曲线上，∴，，

∴∴，.

1.（四川省部分学校2022-2023学年高三下学期大联考理科数学试题）在直角坐标系中，曲线的方程为，曲线的方程为以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为

(1)求曲线，的极坐标方程；

(2)若，直线与曲线交于，两点，与曲线的一个交点为点，且，求的值

【答案】(1)，(2)

【分析】（1）根据曲线的直角坐标与极坐标转化公式，即可求解；

（2）将代入曲线的极坐标方程，得，将代入曲线的极坐标方程，

得到韦达定理，并表示，即可求.

【详解】（1）由，得，

所以曲线的极坐标方程为

由，得，即，

此即曲线的极坐标方程；

（2）将代入（），得

将代入，得，

设对应的参数分别是，则，，

所以

，解得：

2.（慕华优策联考2022-2023学年高三第一次联考文科数学试题）在直角坐标系中，已知曲线：（为参数）.经伸缩变换后的曲线为，以原点О为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系.

(1)求曲线的极坐标方程；

(2)M，N是曲线上的两点，且，求面积的取值范围.

【答案】(1)(2)

【分析】（1）根据伸缩变换求出的普通方程，再根据根据极坐标与直角坐标转化的公式转化为极坐标方程

（2）转化为极角的关系，用三角函数解决.

【详解】（1）为参数，经过伸缩变换

即为参数，所以为参数

，根据极坐标与直角坐标转化的公式，可得

（2）由（1）知曲线的普通方程为

且极坐标方程为，设的极坐标为，

则的极坐标为，

，

又因为，所以

，面积的取值范围为

1.（2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（全国2卷参考版））在直角坐标系中，圆的方程为．

（Ⅰ）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求的极坐标方程；

（Ⅱ）直线的参数方程是（为参数）,与交于两点，，求的斜率．

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【详解】试题分析：（Ⅰ）利用，化简即可求解；（Ⅱ）先将直线化成极坐标方程，将的极坐标方程代入的极坐标方程得，再利用根与系数的关系和弦长公式进行求解.

试题解析：（Ⅰ）化圆的一般方程可化为.由，可得圆的极坐标方程.

（Ⅱ）在（Ⅰ）中建立的极坐标系中，直线的极坐标方程为.

设，所对应的极径分别为，，将的极坐标方程代入的极坐标方程得.

于是，.

.

由得，.所以的斜率为或.

2.（2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅱ））在直角坐标系中,曲线 （t为参数,且 ）,其中,在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线

（Ⅰ）求与交点的直角坐标；

（Ⅱ）若与相交于点A,与相交于点B,求最大值.

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）4.

【详解】（Ⅰ）曲线的直角坐标方程为，曲线的直角坐标方程为．联立解得或所以与交点的直角坐标为和．

（Ⅱ）曲线的极坐标方程为，其中．因此得到极坐标为，的极坐标为．所以，当时，取得最大值，最大值为．

五、直线参数方程标准化型

例题1、在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.

(1)求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；

(2)已知点P的直角坐标为，过点P作直线l的垂线交曲线C于D、E两点（D在x轴上方），求的值.

【答案】(1)直线的普通方程为，曲线的直角坐标方程；(2)

【分析】（1）由直线的参数方程直接消去参数，可得直线的普通方程，把两边同时乘以，再由极坐标与直角坐标的互化公式可得曲线的直角坐标方程；

（2）依题意，设直线的参数方程为为参数），代入，可得关于的一元二次方程，由根与系数的关系结合参数的几何意义求解．

【详解】（1）由，消去参数得，

即直线的普通方程为；由，得，

，，，即曲线的直角坐标方程；

（2）依题意，直线，所以,设直线的参数方程为为参数），

代入，得，设点对应的参数为，点对应的参数为，

则，且在轴上方，有，．故，

即的值为．

例题2、在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线，直线l的参数方程为：（t为参数），直线l与曲线C分别交于两点.

(1)写出曲线C和直线l的普通方程；

(2)若点，求的值.

【答案】(1);(2)

【分析】（1）利用极坐标和直角坐标方程得转化公式即可得出曲线C的普通方程，消去直线l参数方程中的t即可得直线l的普通方程；（2）联立直线l的参数方程和曲线C的普通方程得出关于参数的一元二次方程，利用参数的几何意义和韦达定理即可求得的值.

【详解】（1）将等号两边同时乘以可得，

所以；即；

所以曲线C的普通方程为；

将消去参数t可得，，整理得；

即直线l的普通方程为

（2）注意到在直线l上，直线倾斜角为，， ，解得所以直线参数方程为为参数），联立C的直角坐标方程与l的参数方程得

整理得，设方程的解为，则，，异号.

不妨设，，有.

在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.

(1)求曲线C的直角坐标方程；

(2)若直线l与曲线C交于A，B两点，求.

【答案】(1)(2)

【分析】（1）对曲线C的极坐标方程变形后，利用求出答案；

（2）将直线的参数方程化为，联立椭圆方程后，利用的几何意义求弦长.

【详解】（1）变形为，

即，因为，故，即；

（2）变形为，与联立得：，

故，故.

1.（河南省2023届高三模拟考试理科数学试题）在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为（t为参数）.以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为.

(1)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；

(2)设直线l与y轴交于点A，与曲线C交于M，N两点，求的值.

【答案】(1)；(2)

【分析】（1）通过直线的参数方程，通过消参得到直线的普通方程；通过将曲线化成直角坐标即可.

（2）首先求出点的坐标，再利用直线参数方程中参数的几何意义，将直线代入曲线的直角坐标方程，结合韦达定理即可求解.

【详解】（1）因为直线的参数方程为（为参数），

所以直线的普通方程为；

已知曲线的极坐标方程为，化简整理得：.

即得，化简整理得曲线的直角坐标方程为.

（2）将代入中得，将直线的参数方程化为（为参数）.

将直线代入曲线的方程中得：，化简整理得：.

设，两点对应的参数分别为，，得：，.

.

2.（广西梧州市藤县第六中学2023届高三上学期热身考试数学（文）试题）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

(1)求曲线的普通方程，曲线的直角坐标方程；

(2)设，曲线，的交点为A，，求的值.

【答案】(1)，：；(2)6

【分析】（1）消去参数可得普通方程，由可化极坐标方程为直角坐标方程；

（2）化直角方程为标准的参数方程，代入曲线的直角坐标方程，应用韦达定理求解．

【详解】（1）由消去参数得，即为的普通方程，

，，平方整理得，即为的直角坐标方程；

（2）曲线为直线，其标准参数方程为（为参数），代入的直角坐标方程并化简得，

对应的参数分别为，则，所以．

（2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅰ））已知曲线，直线（为参数）

写出曲线的参数方程，直线的普通方程；

过曲线上任意一点作与夹角为30°的直线，交于点，求的最大值与最小值.

【答案】（1）曲线C的参数方程为，（为参数），直线的普通方程为.

（2）最大值为;最小值为.

【详解】试题分析：(1)联想三角函数的平方关系可取得曲线的参数方程，直接消掉得直线的普通方程；(2)设曲线上任意一点，由点到直线的距离公式得到到直线的距离，除以进一步得到，由三角函数的范围，即可求出的最大值与最小值．

试题解析：（1）曲线C的参数方程为（为参数）

直线的普通方程为

（2）曲线C上任意一点到的距离为

则，其中为锐角，且

当时，取得最大值，最大值为

当时，取得最小值，最小值为

考点：参数方程化为普通方程；参数方程的应用．

六、直线参数方程线段与定比分点型

例题1、在平面直角坐标系xoy中，曲线 过点 ，其参数方程为（t为参数， ）.以O为极点，x轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为.

(1)求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；

(2)已知曲线与曲线交于A､B两点，且|PA|=2|PB|，求实数a的值.

【答案】(1) (2)或

【分析】（1）根据参数方程，消去参数可得其普通方程；根据曲线的极坐标方程，利用直角坐标和极坐标之间的转换公式即可求得直角坐标方程.

（2）将参数方程为化为，和曲线的直角坐标方程联立，结合|PA|=2|PB|。利用参数的几何意义，求得答案.

【详解】（1）曲线参数方程为，∴其普通方程，

由曲线的极坐标方程为，∴,

∴ ，即曲线的直角坐标方程;

（2）参数方程为可化为，(为参数)，设A､B两点所对应参数分别为 ，联解 ,得，曲线与曲线有两个不同的交点，则 ，即 ，

由韦达定理有，∵|PA|=2|PB|，∴当时，根据直线参数方程的几何意义可知 ，则 ，解得a，a0，符合题意，

当时，根据直线参数方程的几何意义可知，则，解得a，a0，符合题意，∴实数a的值为或.

例题2、在平面直角坐标系中，已知直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

(1)求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；

(2)设点，直线与曲线的交点为，，求的值.

【答案】(1)， (2)

【分析】（1）直接消去参数，将直线 的方程化为普通方程，利用互化公式将曲线 的极坐标方程转化为直角坐标方程

（2）将直线的参数方程代入曲线 的普通方程，得到 ，得到 ，化简，代入韦达定理，即可得到答案

(1)直线的参数方程为（为参数），消去参数可得的普通方程为.

曲线的极坐标方程为，即，

根据，可得.∴曲线的直角坐标方程为

(2)

在直线的参数方程（为参数）中，设点，对应的参数分别为，，

将直线的参数方程（为参数），代入，得，

∴，.∴

应用直线参数方程求解一些线段题型时，注意直线参数方程一些转化：

（河南省郑州市2023届高三第一次质量预测文科数学试题）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．

(1)求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；

(2)已知点，若直线与曲线交于A，两点，求的值．

【答案】(1)C：，直线l：(2)

【分析】（1）用消参数法化参数方程为普通方程，由公式化极坐标方程为直角坐标方程；

（2）化直线方程为点的标准参数方程，代入抛物线方程利用参数几何意义结合韦达定理求解．

【详解】（1）曲线C的参数方程为（为参数，），

所以，所以即曲线C的普通方程为．

直线l的极坐标方程为，则，

转换为直角坐标方程为．

（2）直线l过点，直线l的参数方程为（t为参数）令点A，B对应的参数分别为，，

由代入，得，则，，即t1、t2为负，

故．

1.（黑龙江省佳木斯市第一中学2023届高三模拟数学（理）试题）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．

(1)写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程：

(2)在平面直角坐标系xOy中，设直线l与曲线C相交于A，B两点，若点恰为线段AB的一个三等分点，求正数m的值．

【答案】(1)l：，C：(2)

【分析】（1）消去参数得直线的普通方程，利用可得曲线的直角坐标方程；

（2）把直线转化为标准形式，再用几何意义求解即可

（1）

直线l的参数方程为（t为参数），转换为普通方程为；

曲线C的极坐标方程为，根据，

转换为直角坐标方程为；

（2）

将直线l的方程转换为参数方程为（n为参数），代入；

得到；所以；；由于点恰为线段AB的一个三等分点，不妨设，由，，得；

又，解得．

2.（四川省泸州市2023届高三下学期第二次教学质量诊断性考试数学（文科）试题）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线的极坐标方程为．

(1)写出的直角坐标方程；

(2)已知点，若l与C交于A，B两点，且，求m的值．

【答案】(1)(2)或

【分析】（1）先利用正弦函数的和差公式化简直线的极坐标方程，再利用代入即可得解；

（2）结合（1）中条件写出直线过点的参数方程，再利用三角函数的平方关系求得曲线C的直角坐标方程，联立方程，利用参数的几何意义得到关于的方程，从而得解.

【详解】（1）因为，

所以，即，

又，则，即，

所以直线的直角坐标方程为.

（2）由（1）可得直线的方程为，

则点落在直线上，且直线的斜率为，所以直线的倾斜角为，又，

所以直线过点的参数方程为（为参数），因为曲线C的参数方程为（为参数），

所以曲线C的直角坐标方程为，

将直线的参数方程代入曲线C的直角坐标方程得，整理得，

则，解得，

不妨设方程的两根为，则，

由直线参数方程的参数的几何意义可知，

则，解得或，皆满足题意，

所以或.

1.（2016年全国普通高等学校招生统一考试数学（江苏卷参考版））在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为 （t为参数），椭圆C的参数方程为 （为参数）.设直线l与椭圆C相交于A，B两点，求线段AB的长.

【答案】

【详解】试题分析：将参数方程化为普通方程，再根据弦长公式或两点间距离公式求弦长.

试题解析：解：椭圆的普通方程为，将直线的参数方程，代入，得，即，解得，.

所以.

2.（2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标III卷））在平面直角坐标系中，的参数方程为（为参数），过点且倾斜角为的直线与交于两点．

（1）求的取值范围；

（2）求中点的轨迹的参数方程．

【答案】（1）

（2）为参数，

【详解】分析：（1）由圆与直线相交，圆心到直线距离可得．

（2）联立方程，由根与系数的关系求解

详解：（1）的直角坐标方程为．

当时，与交于两点．

当时，记，则的方程为．与交于两点当且仅当，解得或，即或．综上，的取值范围是．

（2）的参数方程为为参数， ．

设，，对应的参数分别为，，，则，且，满足．

于是，．又点的坐标满足

所以点的轨迹的参数方程是为参数， ．