03 不等式性质与基本不等式——【冲刺2023】高考数学考试易错题（新高考专用）（原卷版+解析版）

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不等式性质与基本不等式
忽视字母的取值范围而致错
多次
运用
不等
式性
质而
致错
应用基本不等式忽略不等式成立条件
忽视一元二次不等式中两根大小而致错
忽视
不等
式中
高次
项的
系数
易错知识
1．不等式两边同乘以一个数时，没有考虑该数的取值范围而致错。
2．在利用不等式性质求范围时，由于多次运用不等式性质导致范围扩大而致错。
3．有关含有参数的不等式问题中，忽略参数的取值范围而致错。
4. 在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．
易错分析
一、忽视字母的取值范围而致错
1．(多选)对于任意实数，，，，下列四个命题中，其中真命题的是（ ）
A．若，，则；B．若，则；
C．若，则；D．若，，则.
【错解】对于A，若，当时，则，故A错误；对于B，若，则；故B对；对于C，若，可得，所以，故C正确；对于D，若，，则，故D正确.所以选BCD。
【错因】
【正解】
2．(多选)下列说法中正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若且，则
【错解】对于A中，若，当时，则，所以A不正确；对于B中，若，根据不等式的性质，可得，所以B正确；对于C中，由，可得，再根据不等式的性质可得，所以C正确；对于D中，若，可得，由，可得，所以D正确。所以选BCD。
【错因】
【正解】
二、多次运用不等式性质而致错
1、已知，，求的取值范围.
【错解】因为，，两式相加得，所以，
因为，，两式相加得，所以，
所以，即。
【错因】
【正解】
三、忽视不等式中高次项的系数
1．若不等式mx2＋2mx－4＜2x2＋4x对任意x都成立，则实数m的取值范围是( )
A．(－2,2) B．(2，＋∞) C．(－2,2] D．[－2,2]
【错解】原不等式可整理为(2－m)x2＋(4－2m)x＋4＞0.
由题意知必须满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2－m＞0，,4－2m2－4×42－m＜0，))解得－2＜m＜2
.综上知实数m的取值范围是(－2,2）．选A
【错因】
【正解】
五、应用基本不等式求最值时，忽略不等式成立的三个条件，
1．（没有考虑等号能否取到）当时，不等式恒成立，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
【错解】当时，由得.
，.，故选B。
【错因】
【正解】
2．（没有考虑“一正”）已知递增等差数列中，，则的（ ）
A．最大值为 B．最小值为4C．最小值为D．最大值为4或
【错解】因为，由等差数列通项公式,设公差为,可得，变形可得，而由等差数列通项公式可知，
当且仅当时取得等号，所以的最大值为4，选A。
【错因】
【正解】
三、忽视一元二次不等式中两根大小而致错
1．已知集合，集合，命题：，
命题：，若是的充分条件，求实数的取值范围.
【错解】因为，，若是的充分条件，则．
因为
则，，，解得．
实数的取值范围是．
【错因】
【正解】
易错题通关
1．（2022·南京外国语学校）已知，则下列四个命题正确的个数是（ ）
①若，则； ②若，则；
③若，则； ④若，，，，则，.
A．1B．2C．3D．4
2．已知1A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－5，\f(38,5))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－5，\f(36,5)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－4，7)) D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－4，\f(36,5)))
3．(多选)下列结论正确的是( )
A．当x＞0时，eq \r(x)＋eq \f(1,\r(x))≥2
B．当x＞2时，x＋eq \f(1,x)的最小值是2
C．当x＜eq \f(5,4)时，4x－2＋eq \f(1,4x－5)的最小值是5
D．设x＞0，y＞0，且x＋y＝2，则eq \f(1,x)＋eq \f(4,y)的最小值是eq \f(9,2)
4．（多选）（2022·广东中山纪念中学）若，则下列不等式恒成立的是（ ）
A．B．
C．D．
5．（2022·全国高一课时练习）若不等式a-2x2+2a-2x-4<0对一切恒成立，则实数a取值的集合（ ）
A．aa≤2B．a-26.已知,,则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
7. （多选题）已知，，则下列命题成立的有（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
8．(多选)下列命题为真命题的是( )
A．若a>b>0，则ac2>bc2 B．若aab>b2
C．若a>b>0且c<0，则eq \f(c,a2)>eq \f(c,b2) D．若a>b且eq \f(1,a)>eq \f(1,b)，则ab<0
9．关于x的不等式的解集为，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
10．（2022·石家庄市第十九中学）设，，给出下列不等式不恒成立的是（ ）
A．B．
C．D．
11．(多选)在下列函数中，最小值是2的函数有( )
A．f(x)＝x2＋eq \f(1,x2) B．f(x)＝cs x＋eq \f(1,cs x)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0C．f(x)＝eq \f(x2＋4,\r(x2＋3)) D．f(x)＝3x＋eq \f(4,3x)－2
12.（多选题）已知,且,则（ ）
A.的取值范围是 B.的取值范围是
C.的最小值是 D.的最小值是
13.已知，，，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
14．已知－215.若，，则的最小值为___________.
16．函数y＝1－2x－eq \f(3,x)(x<0)的最小值为________．
17．（2022·江西上高二中）设集合，若，则实数的取值范围是____________；
18．（2022·太原市第五十三中）已知，，若，则实数的取值范围为___________.
19．（2022·上海市洋泾中学）已知集合各元素之和等于3，则实数___________.
20．（2022·绍兴鲁迅中学）已知函数满足，则的取值范围是_________.
21．（2022·陕西省商丹高新学校）解关于的不等式：．（且）．
22．（2022·四川资阳·期末）已知函数.
（1）若，，求函数的最小值；
（2）若，解关于的不等式.