还剩21页未读，
继续阅读
2021-2022学年河南省郑州四十七中八年级（下）期中数学试卷(1)
展开
这是一份2021-2022学年河南省郑州四十七中八年级（下）期中数学试卷(1)，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．（3分）下列条件中，不能判定△ABC是等腰三角形的是（ ）
A．a＝3，b＝3，c＝4B．a：b：c＝2：3：4
C．∠B＝50°，∠C＝80°D．∠A：∠B：∠C＝1：1：2
3．（3分）下列说法错误的是（ ）
A．若a+3＞b+3，则a＞bB．若，则a＞b
C．若a＞b，则ac＞bcD．若a＞b，则a+3＞b+2
4．（3分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
5．（3分）三名同学分别站在一个三角形三个顶点的位置上，他们在玩抢凳子的游戏，要求在他们中间放一个凳子，抢到凳子者获胜，为使游戏公平，凳子应放的最适当的位置在三角形的（ ）
A．三条角平分线的交点
B．三边中线的交点
C．三边上高所在直线的交点
D．三边的垂直平分线的交点
6．（3分）如图，一次函数y＝2x和y＝ax+4的图象相交于点A（m，3），则不等式ax+4＜2x的解集是（ ）
A．x＜B．x＜2C．x＞D．x＞2
7．（3分）在平面直角坐标系内，将M（5，2）先向下平移2个单位，再向左平移3个单位，则移动后的点的坐标是（ ）
A．（2，0）B．（3，5）C．（8，4）D．（2，3）
8．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝15°，DE垂直平分AB，交BC于点E，AC＝2，则S△ABE的值是（ ）
A．4B．5C．6D．8
9．（3分）如图，在△ABC中，BC＝5，∠A＝80°，∠B＝70°，把△ABC沿RS的方向平移到△DEF的位置，若CF＝4，则下列结论中错误的是（ ）
A．BE＝4B．∠F＝30°C．AB∥DED．DF＝5
10．（3分）如图，Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝3，OB＝4，将△AOB沿x轴依次以三角形三个顶点为旋转中心顺时针旋转，分别得图②，图③，则旋转到图⑩时直角顶点的坐标是（ ）
A．（28，4）B．（36，0）C．（39，0）D．（，）
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”第一步应假设直角三角形中 ．
12．（3分）如果不等式组无解，则a的取值范围是 ．
13．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝108°，E、G分别为AB、AC中点，DE⊥AB，FG⊥AC，则∠DAF＝ °．
14．（3分）某种商品的进价为每件100元，商场按进价提高50%后标价，为增加销量，准备打折销售，但要保证利润率不低于20%，则至多可以打 折．
15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝40°，点D在边BC上，BD＝2CD，把△ABC绕点D逆时针旋转m（0＜m＜180）度后，如果点B恰好落在初始Rt△ABC的边上，则m＝ ．
三、解答题（8题，共75分）
16．（8分）解不等式组并求它的所有整数解的和．
17．（9分）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，坐标分别为A（2，2），B（1，0），C（3，1）．
（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
（2）画出将△ABC绕原点O逆时针旋转90°所得的△A2B2C2；
（3）△A1B1C1与△A2B2C2，成中心对称图形吗？若成中心对称图形，直接写出对称中心的坐标．
18．（9分）阅读材料：已知△ABC中，AD平分∠BAC，AD是△ABC的中线，求证：AB＝AC．
小明根据已知条件发现若AD平分∠BAC可得∠BAD＝∠CAD，又AD是△ABC的中线，可得BD＝CD，加上公共边的条件AD＝AD，有两条边和一个角对应相等，就下结论得到△ABD和△ACD是全等的，从而得到结论∠B＝∠C，可证出AB＝AC成立．
小芳的方法是用角平分线的性质得到DE＝DF，再用中线分三角形的面积为相等两部分，再用等面积的方法可以得到结论．
请你回答小明和小芳的证明思路谁正确的？请任选择一个方法进行完整的证明．（可以与小明和小芳的方法不同）
19．（9分）在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于点N，交BC的延长线于点M．
（1）若∠A＝40°，则∠NMB为 度；
（2）如果∠A＝α°（0°＜α＜180°），其余条件不变，求∠NMB的度数；
（3）补全规律：等腰三角形一腰的垂直平分线与 相交所成的锐角等于 ．
20．（9分）学校计划为“我和我的祖国”演讲比赛购买奖品．已知购买3个A奖品和2个B奖品共需120元；购买5个A奖品和4个B奖品共需210元．
（1）求A，B两种奖品的单价；
（2）学校准备购买A，B两种奖品共30个，且A奖品的数量不少于B奖品数量的．请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．
21．（10分）4月23日是“世界读书日”，甲、乙两书店在这一天举行了购书优惠活动：
甲书店：所有书籍按标价8折出售；
乙书店：一次购书标价总额不超过100元的按原价计费，超过100元的部分打6折．
设小红同学当天购书标价总额为x元，去甲书店付y甲元，去乙书店购书应付y乙元，其函数图象如图所示．
（1）求y甲、y乙与x的关系式；
（2）两图象交于点A，请求出A点坐标，并说明点A的实际意义；
（3）请根据函数图象，直接写出小红选择去哪个书店购书更合算．
22．（10分）阅读材料：
对于两个正数a、b，则a+b≥2（当且仅当a＝b时取等号）．
当ab为定值时，a+b有最小值；当a+b为定值时，ab有最大值．
例如：已知x＞0，若y＝x+，求y的最小值．
解：由a+b≥2，得y＝x+≥2＝2×＝2，当且仅当x＝，即x＝1时，y有最小值，最小值为2．
根据上面的阅读材料回答下列问题：
（1）已知x＞0，若y＝4x+，则当x＝ 时，y有最小值，最小值为 ．
（2）已知x＞3，若y＝x+，则x取何值时，y有最小值，最小值是多少？
（3）用长为100m篱笆围一个长方形花园，问这个长方形花园的长、宽各为多少时，所围的长方形花园面积最大，最大面积是多少？
23．（11分）（一）发现探究
在△ABC中AB＝AC，点P在平面内，连接AP并将线段AP绕点A顺时针方向旋转与∠BAC相等的角度，得到线段AQ，连接BQ．
[发现问题]如图1，如果点P是BC边上任意一点，则线段BQ和线段PC的数量关系是 ；
[探究猜想]如图2，如果点P为平面内任意一点，前面发现的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由，请仅以图2所示的位置关系加以证明（或说明）；
（二）拓展应用
[拓展应用]如图3，在△ABC中，AC＝2，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，P是线段BC上的任意一点连接AP，将线段AP绕点A顺时针方向旋转60°，得到线段AQ，连接CQ，请直接写出线段CQ长度的最小值．
2021-2022学年河南省郑州四十七中八年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（3分×10＝30分）
1．（3分）下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B、不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C、是中心对称图形，故本选项符合题意；
D、不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原来的图形重合．
2．（3分）下列条件中，不能判定△ABC是等腰三角形的是（ ）
A．a＝3，b＝3，c＝4B．a：b：c＝2：3：4
C．∠B＝50°，∠C＝80°D．∠A：∠B：∠C＝1：1：2
【分析】由等腰三角形的定义与等角对等边的判定定理，即可求得答案．
【解答】解：A、∵a＝3，b＝3，c＝4，
∴a＝b，
∴△ABC是等腰三角形；
B、∵a：b：c＝2：3：4
∴a≠b≠c，
∴△ABC不是等腰三角形；
C、∵∠B＝50°，∠C＝80°，
∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠C＝50°，
∴∠A＝∠B，
∴AC＝BC，
∴△ABC是等腰三角形；
D、∵∠A：∠B：∠C＝1：1：2，
∵∠A＝∠B，
∴AC＝BC，
∴△ABC是等腰三角形．
故选：B．
【点评】此题考查了等腰三角形的判定．此题比较简单，注意掌握等腰三角形的定义与等角对等边的判定定理是解题的关键．
3．（3分）下列说法错误的是（ ）
A．若a+3＞b+3，则a＞bB．若，则a＞b
C．若a＞b，则ac＞bcD．若a＞b，则a+3＞b+2
【分析】根据不等式的性质进行判断．
【解答】解：A、若a+3＞b+3，则a＞b，原变形正确，故此选项不符合题意；
B、若＞，则a＞b，原变形正确，故此选项不符合题意；
C、若a＞b，则ac＞bc，这里必须满足c≠0，原变形错误，故此选项符合题意；
D、若a＞b，则a+3＞b+2，原变形正确，故此选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了不等式的性质．要认真弄清不等式的基本性质与等式的基本性质的异同，特别是在不等式两边同乘以（或除以）同一个数时，不仅要考虑这个数不等于0，而且必须先确定这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向必须改变．
4．（3分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】首先解每个不等式，然后把每个不等式用数轴表示即可．
【解答】解：，
解①得x≥1，
解②得x＜2，
利用数轴表示为：
．
故选：B．
【点评】此题主要考查了解不等式组，以及在数轴上表示解集，不等式的解集在数轴上表示出来的方法：“＞”空心圆点向右画折线，“≥”实心圆点向右画折线，“＜”空心圆点向左画折线，“≤”实心圆点向左画折线．
5．（3分）三名同学分别站在一个三角形三个顶点的位置上，他们在玩抢凳子的游戏，要求在他们中间放一个凳子，抢到凳子者获胜，为使游戏公平，凳子应放的最适当的位置在三角形的（ ）
A．三条角平分线的交点
B．三边中线的交点
C．三边上高所在直线的交点
D．三边的垂直平分线的交点
【分析】根据三角形三边中垂线的交点到三个顶点的距离相等可得答案．
【解答】解：∵三角形三边中垂线的交点到三个顶点的距离相等，
∴为使游戏公平，凳子应放的最适当的位置在三角形的三边的垂直平分线的交点，
故选：D．
【点评】本题主要考查游戏公平性，判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平，并熟练掌握三角形内心、外心、垂心和重心的性质．
6．（3分）如图，一次函数y＝2x和y＝ax+4的图象相交于点A（m，3），则不等式ax+4＜2x的解集是（ ）
A．x＜B．x＜2C．x＞D．x＞2
【分析】首先利用待定系数法求出A点坐标，再以交点为分界，结合图象写出不等式ax+4＜2x解集即可．
【解答】解：∵函数y＝2x过点A（m，3），
∴2m＝3，
解得：m＝，
∴A（，3），
∴不等式ax+4＜2x的解集为x＞．
故选：C．
【点评】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，关键是求出A点坐标．
7．（3分）在平面直角坐标系内，将M（5，2）先向下平移2个单位，再向左平移3个单位，则移动后的点的坐标是（ ）
A．（2，0）B．（3，5）C．（8，4）D．（2，3）
【分析】根据横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减可得答案．
【解答】解：平移后的坐标为（5﹣3，2﹣2），即坐标为（2，0），
故选：A．
【点评】此题主要考查了坐标与图形的变化﹣平移，关键是掌握平移规律．
8．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝15°，DE垂直平分AB，交BC于点E，AC＝2，则S△ABE的值是（ ）
A．4B．5C．6D．8
【分析】由线段垂直平分线的性质和直角三角形的性质以及三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：∵DE垂直平分AB，
∴AE＝BE，
∴∠EAB＝∠B＝15°，
∴∠AEC＝∠B+∠BAE＝30°，
∵∠ACE＝90°，AC＝2，
∴AE＝BE＝2AC＝4，
∴S△ABE＝BE•AC＝，
故选：A．
【点评】本题考查了含30°直角三角形的性质，三角形的面积公式，线段垂直平分线的性质，正确的识别图形是解题的关键．
9．（3分）如图，在△ABC中，BC＝5，∠A＝80°，∠B＝70°，把△ABC沿RS的方向平移到△DEF的位置，若CF＝4，则下列结论中错误的是（ ）
A．BE＝4B．∠F＝30°C．AB∥DED．DF＝5
【分析】根据平移的性质，平移只改变图形的位置，不改变图形的大小与形状，平移后对应点的连线互相平行，对各选项分析判断后利用排除法．
【解答】解：∵把△ABC沿RS的方向平移到△DEF的位置，BC＝5，∠A＝80°，∠B＝70°，
∴CF＝BE＝4，∠F＝∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣80°﹣70°＝30°，AB∥DE，
∴A、B、C正确，D错误，
故选：D．
【点评】本题考查了平移的性质，熟练掌握平移性质是解题的关键．
10．（3分）如图，Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝3，OB＝4，将△AOB沿x轴依次以三角形三个顶点为旋转中心顺时针旋转，分别得图②，图③，则旋转到图⑩时直角顶点的坐标是（ ）
A．（28，4）B．（36，0）C．（39，0）D．（，）
【分析】根据勾股定理列式求出AB的长度，然后根据图形不难发现，每3个图形为一个循环组依次循环，且下一组的第一个图形与上一组的最后一个图形的直角顶点重合，所以，第10个图形的直角顶点与第9个图形的直角顶点重合，然后求解即可．
【解答】解：∵∠AOB＝90°，OA＝3，OB＝4，
∴AB＝＝＝5，
根据图形，每3个图形为一个循环组，3+5+4＝12，
所以，图⑨的直角顶点在x轴上，横坐标为12×3＝36，
所以，图⑨的顶点坐标为（36，0），
又∵图⑩的直角顶点与图⑨的直角顶点重合，
∴图⑩的直角顶点的坐标为（36，0）．
故选：B．
【点评】本题考查了坐标与图形的变化﹣旋转，仔细观图形，判断出旋转规律“每3个图形为一个循环组依次循环，且下一组的第一个图形与上一组的最后一个图形的直角顶点重合”是解题的关键．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”第一步应假设直角三角形中 每个锐角都大于45° ．
【分析】根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答即可．
【解答】解：反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”，
第一步假设直角三角形中每个锐角都大于45°，
故答案为：每个锐角都大于45°．
【点评】本题考查的是反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
12．（3分）如果不等式组无解，则a的取值范围是 a≤1 ．
【分析】根据不等式组解集的定义可知，不等式x﹣1＞0的解集与不等式x﹣a＜0的解集无公共部分，从而可得一个关于a的不等式，求出此不等式的解集，即可得出a的取值范围．
【解答】解：解不等式x﹣1＞0，得x＞1，
解不等式x﹣a＜0，x＜a．
∵不等式组无解，
∴a≤1．
故答案为：a≤1．
【点评】本题中由两个一元一次不等式组成的不等式组无解，根据“大大小小无解集”，可知x﹣1＞0的解集不小于不等式x﹣a＜0的解集，尤其要注意不要漏掉a＝1．
13．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝108°，E、G分别为AB、AC中点，DE⊥AB，FG⊥AC，则∠DAF＝ 36 °．
【分析】根据三角形内角和定理求出∠B+∠C，根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DB，FA＝FC，得到∠DAE＝∠B，∠FAC＝∠C，计算即可．
【解答】解：∵∠BAC＝108°，
∴∠B+∠C＝72°，
∵DE、FG分别垂直平分线段AB、AC，
∴DA＝DB，FA＝FC，
∴∠DAE＝∠B，∠FAC＝∠C，
∴∠DAE+∠FAC＝72°，
∴∠DAF＝∠BAC﹣（∠DAE+∠FAC）＝36°，
故答案为：36．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
14．（3分）某种商品的进价为每件100元，商场按进价提高50%后标价，为增加销量，准备打折销售，但要保证利润率不低于20%，则至多可以打 8 折．
【分析】设打x折，根据题意得出不等式，求出不等式的解集即可．
【解答】解：设打x折，根据题意得：
100（1+50%）•x≥100（1+20%），
解得：x≥8，
即至多打8折，
故答案为：8．
【点评】本题考查了一元一次不等式的应用，能根据题意列出不等式是解此题的关键．
15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝40°，点D在边BC上，BD＝2CD，把△ABC绕点D逆时针旋转m（0＜m＜180）度后，如果点B恰好落在初始Rt△ABC的边上，则m＝ 100或120 ．
【分析】①当点B落在AB边上时，根据DB＝DB1，即可解决问题，②当点B落在AC上时，在Rt△DCB2中，根据∠C＝90°，DB2＝DB＝2CD可以判定∠CB2D＝30°，由此即可解决问题．
【解答】解：①当点B落在AB边上时，
∵DB＝DB1，
∴∠B＝∠DB1B＝40°，
∴m＝∠BDB1＝180°﹣2×40°＝100°，
②当点B落在AC上时，
在Rt△DCB2中，
∵∠C＝90°，DB2＝DB＝2CD，
∴∠CB2D＝30°，
∴m＝∠C+∠CB2D＝120°，
综上所述，m的值为100或120．
故答案为：100或120．
【点评】本题考查旋转的性质、等腰三角形的定义、直角三角形30度角的判定等知识，解题的关键是正确画出图形，学会分类讨论的思想，属于中考常考题型．
三、解答题（8题，共75分）
16．（8分）解不等式组并求它的所有整数解的和．
【分析】先求出两个不等式的解集，再求其公共解，然后找出整数求和即可．
【解答】解：，
由①得x≥﹣3，
由②得x＜2，
所以不等式组的解集是﹣3≤x＜2，
所以它的整数解为：﹣3，﹣2，﹣1，0，1，
所以所有整数解的和为﹣5．
【点评】本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．
17．（9分）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，坐标分别为A（2，2），B（1，0），C（3，1）．
（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
（2）画出将△ABC绕原点O逆时针旋转90°所得的△A2B2C2；
（3）△A1B1C1与△A2B2C2，成中心对称图形吗？若成中心对称图形，直接写出对称中心的坐标．
【分析】（1）利用关于x轴对称的点的坐标特征写出A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；
（2）利用网格特点和旋转的性质画出A、B、C的对应点A2、B2、C2即可；
（3）连接B1B2、C1C2、A1A2，它们相交于一点，则这个点为对称中心．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1；为所作；
（2）如图，△A2B2C2为所作；
（3）△A1B1C1与△A2B2C2成中心对称图形．对称中心的坐标为（，）．
【点评】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了轴对称变换．
18．（9分）阅读材料：已知△ABC中，AD平分∠BAC，AD是△ABC的中线，求证：AB＝AC．
小明根据已知条件发现若AD平分∠BAC可得∠BAD＝∠CAD，又AD是△ABC的中线，可得BD＝CD，加上公共边的条件AD＝AD，有两条边和一个角对应相等，就下结论得到△ABD和△ACD是全等的，从而得到结论∠B＝∠C，可证出AB＝AC成立．
小芳的方法是用角平分线的性质得到DE＝DF，再用中线分三角形的面积为相等两部分，再用等面积的方法可以得到结论．
请你回答小明和小芳的证明思路谁正确的？请任选择一个方法进行完整的证明．（可以与小明和小芳的方法不同）
【分析】对小明和小芳的证明思路分别分别进行判断即可．
【解答】解：∵∠BAD＝∠CAD，BD＝CD，AD＝AD，不能证明△ABD和△ACD全等，
∴小明的证明思路不正确，
小芳的证明思路正确，理由如下：
过点D作DE⊥AB于点E，作DF⊥AC于点F，如图所示：
∵AD是∠BAC的角平分线，
∴DE＝DF，
∵AD是△ABC的中线，
∴S△ABD＝S△ACD，
∴AB×DE＝AC×DF，
∴AB＝AC．
【点评】本题考查了全等三角形的判定、角平分线的性质以及三角形面积等知识；熟练掌握全等三角形的判定和角平分线的性质是解题的关键．
19．（9分）在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于点N，交BC的延长线于点M．
（1）若∠A＝40°，则∠NMB为 20 度；
（2）如果∠A＝α°（0°＜α＜180°），其余条件不变，求∠NMB的度数；
（3）补全规律：等腰三角形一腰的垂直平分线与 底边的延长线 相交所成的锐角等于 顶角的一半 ．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠B，求出∠MNB＝90°，根据三角形内角和定理得出∠NMB＝90°﹣∠B即可．
（2）根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠B，求出∠MNB＝90°，根据三角形内角和定理得出∠NMB＝90°﹣∠B即可．
（3）由（1）（2）发现规律即可．
【解答】解：（1）∵AB＝AC，∠A＝40°，
∴∠ABC＝∠ACB＝（180°﹣∠A）＝70°，
∵MN是AB的垂直平分线，
∴∠MNB＝90°，
∴∠NMB＝90°﹣∠B＝20°．
故答案为20．
（2）∵AB＝AC，∠A＝α°，
∴∠B＝∠ACB＝（180°﹣∠A）＝90°﹣α°，
∵MN是AB的垂直平分线，
∴∠MNB＝90°，
∴∠NMB＝90°﹣∠B＝．
（3）由（1）（2）发现规律：等腰三角形一腰的垂直平分线与底边的延长线相交所成的锐角等于顶角的一半，
故答案为底边的延长线，顶角的一半．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理和线段垂直平分线性质的应用，主要考查学生的推理能力．
20．（9分）学校计划为“我和我的祖国”演讲比赛购买奖品．已知购买3个A奖品和2个B奖品共需120元；购买5个A奖品和4个B奖品共需210元．
（1）求A，B两种奖品的单价；
（2）学校准备购买A，B两种奖品共30个，且A奖品的数量不少于B奖品数量的．请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．
【分析】（1）设A的单价为x元，B的单价为y元，根据题意列出方程组，即可求解；
（2）设购买A奖品z个，则购买B奖品为（30﹣z）个，购买奖品的花费为W元，根据题意得到由题意可知，z≥（30﹣z），W＝30z+15（30﹣z）＝450+15z，根据一次函数的性质，即可求解；
【解答】解：（1）设A的单价为x元，B的单价为y元，
根据题意，得
，
∴，
∴A的单价30元，B的单价15元；
（2）设购买A奖品z个，则购买B奖品为（30﹣z）个，购买奖品的花费为W元，
由题意可知，z≥（30﹣z），
∴z≥，
W＝30z+15（30﹣z）＝450+15z，
当z＝8时，W有最小值为570元，
即购买A奖品8个，购买B奖品22个，花费最少；
【点评】本题考查二元一次方程组的应用，一次函数的应用；能够根据条件列出方程组，将最优方案转化为一次函数性质解题是关键．
21．（10分）4月23日是“世界读书日”，甲、乙两书店在这一天举行了购书优惠活动：
甲书店：所有书籍按标价8折出售；
乙书店：一次购书标价总额不超过100元的按原价计费，超过100元的部分打6折．
设小红同学当天购书标价总额为x元，去甲书店付y甲元，去乙书店购书应付y乙元，其函数图象如图所示．
（1）求y甲、y乙与x的关系式；
（2）两图象交于点A，请求出A点坐标，并说明点A的实际意义；
（3）请根据函数图象，直接写出小红选择去哪个书店购书更合算．
【分析】（1）根据题意，可以分别写出甲、乙两家书店y与x的函数关系式；
（2）根据（1）的结论解答即可；
（3）结合图象解答即可．
【解答】解：（1）由题意可得，
y甲＝0.8x；
乙书店：当0≤x≤100时，y乙与x的函数关系式为y乙＝x，当x＞100时，y乙＝100+（x﹣100）×0.6＝0.6x+40，
由上可得，y乙与x的函数关系式为y乙＝；
（2），
解得，
∴A（200，160），
点A的实际意义是当买的书标价为200元时，甲乙书店所需费用相同，都是160元；
（3）由点A的意义，结合图象可知，
当x＜200时，选择甲书店更省钱；
当x＝200，甲乙书店所需费用相同；
当x＞200，选择乙书店更省钱．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
22．（10分）阅读材料：
对于两个正数a、b，则a+b≥2（当且仅当a＝b时取等号）．
当ab为定值时，a+b有最小值；当a+b为定值时，ab有最大值．
例如：已知x＞0，若y＝x+，求y的最小值．
解：由a+b≥2，得y＝x+≥2＝2×＝2，当且仅当x＝，即x＝1时，y有最小值，最小值为2．
根据上面的阅读材料回答下列问题：
（1）已知x＞0，若y＝4x+，则当x＝ 时，y有最小值，最小值为 12 ．
（2）已知x＞3，若y＝x+，则x取何值时，y有最小值，最小值是多少？
（3）用长为100m篱笆围一个长方形花园，问这个长方形花园的长、宽各为多少时，所围的长方形花园面积最大，最大面积是多少？
【分析】（1）根据阅读材料提供的方法，将y＝4x+，写成y＝4x+可得答案；
（2）将y＝x+化为若y＝x﹣3++3，再根据提供的方法求解即可；
（3）得出长方形的长、宽、面积之间的关系式，再联系（1）中的方法求解．
【解答】解：（1）由题目中提供的方法可得，
y＝4x+＝4x+≥2＝12，
∴当4x＝时，即x＝时，y的最小值为12，
故答案为：，12；
（2）∵x＞3，
∴x﹣3＞0，
由a+b≥2可得y＝x﹣3++3≥2+3＝9，
当x﹣3＝时，即x＝6时，y的最小值为9，
答：当x＝6时，y的最小值为9；
（3）设这个长方形的长为xm，则宽为＝（50﹣x）m，
∴长方形的面积S＝x（50﹣x），
由题意得x＞0，50﹣x＞0，即0＜x＜50，
由a+b≥2可得x+（50﹣x）≥2，
即≤25，
但且仅当x＝50﹣x时，即x＝25时，x•（50﹣x）取最大值，最大值为25×（50﹣25）＝625，
此时宽为50﹣x＝25，S最大值为625，
答：当长方形的长、宽均为25m时，所围成的长方形的花园的面积最大，最大面积为625m2．
【点评】本题考查分式的乘除法，理解阅读材料中所提供的方法是解决问题的关键．
23．（11分）（一）发现探究
在△ABC中AB＝AC，点P在平面内，连接AP并将线段AP绕点A顺时针方向旋转与∠BAC相等的角度，得到线段AQ，连接BQ．
[发现问题]如图1，如果点P是BC边上任意一点，则线段BQ和线段PC的数量关系是 BQ＝PC ；
[探究猜想]如图2，如果点P为平面内任意一点，前面发现的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由，请仅以图2所示的位置关系加以证明（或说明）；
（二）拓展应用
[拓展应用]如图3，在△ABC中，AC＝2，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，P是线段BC上的任意一点连接AP，将线段AP绕点A顺时针方向旋转60°，得到线段AQ，连接CQ，请直接写出线段CQ长度的最小值．
【分析】【发现问题】先证∠BAQ＝∠CAP，再由SAS证△BAQ≌△CAP，即可得出结论；
【探究猜想】同（1）证△BAQ≌△CAP（SAS），即可得出结论；
【拓展应用】在AB上取一点E，使AE＝AC＝2，连接PE，过点E作EF⊥BC于点F，由旋转的性质得AQ＝AP，∠PAQ＝60°，再证△CAQ≌△EAP（SAS），得CQ＝EP，当EF⊥BC（点P和点F重合）时，EP最小，然后由含30°角的直角三角形的性质即可得出结论．
【解答】解：【发现问题】由旋转的性质可知，AQ＝AP，∠PAQ＝∠BAC，
∴∠PAQ﹣∠BAP＝∠BAC﹣∠BAP，
即∠BAQ＝∠CAP，
∵AB＝AC，
∴△BAQ≌△CAP（SAS），
∴BQ＝PC，
故答案为：BQ＝PC；
【探究猜想】结论BQ＝PC仍然成立，证明如下：
由旋转的性质可知，AQ＝AP，∠PAQ＝∠BAC，
∴∠PAQ﹣∠BAP＝∠BAC﹣∠BAP，
即∠BAQ＝∠CAP，
∵AB＝AC，
∴△BAQ≌△CAP（SAS），
∴BQ＝PC；
【拓展应用】如图3，在AB上取一点E，使AE＝AC＝2，连接PE，过点E作EF⊥BC于点F，
由旋转的性质可知，AQ＝AP，∠PAQ＝60°，
∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，
∴∠EAC＝60°，
∴∠PAQ＝∠EAC，
∴∠CAQ＝∠EAP，
∴△CAQ≌△EAP（SAS），
∴CQ＝EP，
要使CQ最小，则EP最小，而点E是定点，点P是AB上的动点，
∴当EF⊥BC（点P和点F重合）时，EP最小，
即点P与点F重合，CQ最小，最小值为EP，
在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，
∴AB＝2AC＝4，
∵AE＝AC＝2，
∴BE＝AB﹣AE＝2，
在Rt△BFE中，∠EFB＝90°，∠EBF＝30°，
∴EF＝BE＝1，
∴线段CQ长度的最小值是1．
【点评】此题是几何变换综合题，考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，含30°角的直角三角形的性质以及最小值等知识，本题综合性强，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2023/2/22 15:50:04；用户：18703976555；邮箱：18703976555；学号：21613299
1．（3分）下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．（3分）下列条件中，不能判定△ABC是等腰三角形的是（ ）
A．a＝3，b＝3，c＝4B．a：b：c＝2：3：4
C．∠B＝50°，∠C＝80°D．∠A：∠B：∠C＝1：1：2
3．（3分）下列说法错误的是（ ）
A．若a+3＞b+3，则a＞bB．若，则a＞b
C．若a＞b，则ac＞bcD．若a＞b，则a+3＞b+2
4．（3分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
5．（3分）三名同学分别站在一个三角形三个顶点的位置上，他们在玩抢凳子的游戏，要求在他们中间放一个凳子，抢到凳子者获胜，为使游戏公平，凳子应放的最适当的位置在三角形的（ ）
A．三条角平分线的交点
B．三边中线的交点
C．三边上高所在直线的交点
D．三边的垂直平分线的交点
6．（3分）如图，一次函数y＝2x和y＝ax+4的图象相交于点A（m，3），则不等式ax+4＜2x的解集是（ ）
A．x＜B．x＜2C．x＞D．x＞2
7．（3分）在平面直角坐标系内，将M（5，2）先向下平移2个单位，再向左平移3个单位，则移动后的点的坐标是（ ）
A．（2，0）B．（3，5）C．（8，4）D．（2，3）
8．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝15°，DE垂直平分AB，交BC于点E，AC＝2，则S△ABE的值是（ ）
A．4B．5C．6D．8
9．（3分）如图，在△ABC中，BC＝5，∠A＝80°，∠B＝70°，把△ABC沿RS的方向平移到△DEF的位置，若CF＝4，则下列结论中错误的是（ ）
A．BE＝4B．∠F＝30°C．AB∥DED．DF＝5
10．（3分）如图，Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝3，OB＝4，将△AOB沿x轴依次以三角形三个顶点为旋转中心顺时针旋转，分别得图②，图③，则旋转到图⑩时直角顶点的坐标是（ ）
A．（28，4）B．（36，0）C．（39，0）D．（，）
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”第一步应假设直角三角形中 ．
12．（3分）如果不等式组无解，则a的取值范围是 ．
13．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝108°，E、G分别为AB、AC中点，DE⊥AB，FG⊥AC，则∠DAF＝ °．
14．（3分）某种商品的进价为每件100元，商场按进价提高50%后标价，为增加销量，准备打折销售，但要保证利润率不低于20%，则至多可以打 折．
15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝40°，点D在边BC上，BD＝2CD，把△ABC绕点D逆时针旋转m（0＜m＜180）度后，如果点B恰好落在初始Rt△ABC的边上，则m＝ ．
三、解答题（8题，共75分）
16．（8分）解不等式组并求它的所有整数解的和．
17．（9分）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，坐标分别为A（2，2），B（1，0），C（3，1）．
（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
（2）画出将△ABC绕原点O逆时针旋转90°所得的△A2B2C2；
（3）△A1B1C1与△A2B2C2，成中心对称图形吗？若成中心对称图形，直接写出对称中心的坐标．
18．（9分）阅读材料：已知△ABC中，AD平分∠BAC，AD是△ABC的中线，求证：AB＝AC．
小明根据已知条件发现若AD平分∠BAC可得∠BAD＝∠CAD，又AD是△ABC的中线，可得BD＝CD，加上公共边的条件AD＝AD，有两条边和一个角对应相等，就下结论得到△ABD和△ACD是全等的，从而得到结论∠B＝∠C，可证出AB＝AC成立．
小芳的方法是用角平分线的性质得到DE＝DF，再用中线分三角形的面积为相等两部分，再用等面积的方法可以得到结论．
请你回答小明和小芳的证明思路谁正确的？请任选择一个方法进行完整的证明．（可以与小明和小芳的方法不同）
19．（9分）在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于点N，交BC的延长线于点M．
（1）若∠A＝40°，则∠NMB为 度；
（2）如果∠A＝α°（0°＜α＜180°），其余条件不变，求∠NMB的度数；
（3）补全规律：等腰三角形一腰的垂直平分线与 相交所成的锐角等于 ．
20．（9分）学校计划为“我和我的祖国”演讲比赛购买奖品．已知购买3个A奖品和2个B奖品共需120元；购买5个A奖品和4个B奖品共需210元．
（1）求A，B两种奖品的单价；
（2）学校准备购买A，B两种奖品共30个，且A奖品的数量不少于B奖品数量的．请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．
21．（10分）4月23日是“世界读书日”，甲、乙两书店在这一天举行了购书优惠活动：
甲书店：所有书籍按标价8折出售；
乙书店：一次购书标价总额不超过100元的按原价计费，超过100元的部分打6折．
设小红同学当天购书标价总额为x元，去甲书店付y甲元，去乙书店购书应付y乙元，其函数图象如图所示．
（1）求y甲、y乙与x的关系式；
（2）两图象交于点A，请求出A点坐标，并说明点A的实际意义；
（3）请根据函数图象，直接写出小红选择去哪个书店购书更合算．
22．（10分）阅读材料：
对于两个正数a、b，则a+b≥2（当且仅当a＝b时取等号）．
当ab为定值时，a+b有最小值；当a+b为定值时，ab有最大值．
例如：已知x＞0，若y＝x+，求y的最小值．
解：由a+b≥2，得y＝x+≥2＝2×＝2，当且仅当x＝，即x＝1时，y有最小值，最小值为2．
根据上面的阅读材料回答下列问题：
（1）已知x＞0，若y＝4x+，则当x＝ 时，y有最小值，最小值为 ．
（2）已知x＞3，若y＝x+，则x取何值时，y有最小值，最小值是多少？
（3）用长为100m篱笆围一个长方形花园，问这个长方形花园的长、宽各为多少时，所围的长方形花园面积最大，最大面积是多少？
23．（11分）（一）发现探究
在△ABC中AB＝AC，点P在平面内，连接AP并将线段AP绕点A顺时针方向旋转与∠BAC相等的角度，得到线段AQ，连接BQ．
[发现问题]如图1，如果点P是BC边上任意一点，则线段BQ和线段PC的数量关系是 ；
[探究猜想]如图2，如果点P为平面内任意一点，前面发现的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由，请仅以图2所示的位置关系加以证明（或说明）；
（二）拓展应用
[拓展应用]如图3，在△ABC中，AC＝2，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，P是线段BC上的任意一点连接AP，将线段AP绕点A顺时针方向旋转60°，得到线段AQ，连接CQ，请直接写出线段CQ长度的最小值．
2021-2022学年河南省郑州四十七中八年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（3分×10＝30分）
1．（3分）下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B、不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C、是中心对称图形，故本选项符合题意；
D、不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原来的图形重合．
2．（3分）下列条件中，不能判定△ABC是等腰三角形的是（ ）
A．a＝3，b＝3，c＝4B．a：b：c＝2：3：4
C．∠B＝50°，∠C＝80°D．∠A：∠B：∠C＝1：1：2
【分析】由等腰三角形的定义与等角对等边的判定定理，即可求得答案．
【解答】解：A、∵a＝3，b＝3，c＝4，
∴a＝b，
∴△ABC是等腰三角形；
B、∵a：b：c＝2：3：4
∴a≠b≠c，
∴△ABC不是等腰三角形；
C、∵∠B＝50°，∠C＝80°，
∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠C＝50°，
∴∠A＝∠B，
∴AC＝BC，
∴△ABC是等腰三角形；
D、∵∠A：∠B：∠C＝1：1：2，
∵∠A＝∠B，
∴AC＝BC，
∴△ABC是等腰三角形．
故选：B．
【点评】此题考查了等腰三角形的判定．此题比较简单，注意掌握等腰三角形的定义与等角对等边的判定定理是解题的关键．
3．（3分）下列说法错误的是（ ）
A．若a+3＞b+3，则a＞bB．若，则a＞b
C．若a＞b，则ac＞bcD．若a＞b，则a+3＞b+2
【分析】根据不等式的性质进行判断．
【解答】解：A、若a+3＞b+3，则a＞b，原变形正确，故此选项不符合题意；
B、若＞，则a＞b，原变形正确，故此选项不符合题意；
C、若a＞b，则ac＞bc，这里必须满足c≠0，原变形错误，故此选项符合题意；
D、若a＞b，则a+3＞b+2，原变形正确，故此选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了不等式的性质．要认真弄清不等式的基本性质与等式的基本性质的异同，特别是在不等式两边同乘以（或除以）同一个数时，不仅要考虑这个数不等于0，而且必须先确定这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向必须改变．
4．（3分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】首先解每个不等式，然后把每个不等式用数轴表示即可．
【解答】解：，
解①得x≥1，
解②得x＜2，
利用数轴表示为：
．
故选：B．
【点评】此题主要考查了解不等式组，以及在数轴上表示解集，不等式的解集在数轴上表示出来的方法：“＞”空心圆点向右画折线，“≥”实心圆点向右画折线，“＜”空心圆点向左画折线，“≤”实心圆点向左画折线．
5．（3分）三名同学分别站在一个三角形三个顶点的位置上，他们在玩抢凳子的游戏，要求在他们中间放一个凳子，抢到凳子者获胜，为使游戏公平，凳子应放的最适当的位置在三角形的（ ）
A．三条角平分线的交点
B．三边中线的交点
C．三边上高所在直线的交点
D．三边的垂直平分线的交点
【分析】根据三角形三边中垂线的交点到三个顶点的距离相等可得答案．
【解答】解：∵三角形三边中垂线的交点到三个顶点的距离相等，
∴为使游戏公平，凳子应放的最适当的位置在三角形的三边的垂直平分线的交点，
故选：D．
【点评】本题主要考查游戏公平性，判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平，并熟练掌握三角形内心、外心、垂心和重心的性质．
6．（3分）如图，一次函数y＝2x和y＝ax+4的图象相交于点A（m，3），则不等式ax+4＜2x的解集是（ ）
A．x＜B．x＜2C．x＞D．x＞2
【分析】首先利用待定系数法求出A点坐标，再以交点为分界，结合图象写出不等式ax+4＜2x解集即可．
【解答】解：∵函数y＝2x过点A（m，3），
∴2m＝3，
解得：m＝，
∴A（，3），
∴不等式ax+4＜2x的解集为x＞．
故选：C．
【点评】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，关键是求出A点坐标．
7．（3分）在平面直角坐标系内，将M（5，2）先向下平移2个单位，再向左平移3个单位，则移动后的点的坐标是（ ）
A．（2，0）B．（3，5）C．（8，4）D．（2，3）
【分析】根据横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减可得答案．
【解答】解：平移后的坐标为（5﹣3，2﹣2），即坐标为（2，0），
故选：A．
【点评】此题主要考查了坐标与图形的变化﹣平移，关键是掌握平移规律．
8．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝15°，DE垂直平分AB，交BC于点E，AC＝2，则S△ABE的值是（ ）
A．4B．5C．6D．8
【分析】由线段垂直平分线的性质和直角三角形的性质以及三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：∵DE垂直平分AB，
∴AE＝BE，
∴∠EAB＝∠B＝15°，
∴∠AEC＝∠B+∠BAE＝30°，
∵∠ACE＝90°，AC＝2，
∴AE＝BE＝2AC＝4，
∴S△ABE＝BE•AC＝，
故选：A．
【点评】本题考查了含30°直角三角形的性质，三角形的面积公式，线段垂直平分线的性质，正确的识别图形是解题的关键．
9．（3分）如图，在△ABC中，BC＝5，∠A＝80°，∠B＝70°，把△ABC沿RS的方向平移到△DEF的位置，若CF＝4，则下列结论中错误的是（ ）
A．BE＝4B．∠F＝30°C．AB∥DED．DF＝5
【分析】根据平移的性质，平移只改变图形的位置，不改变图形的大小与形状，平移后对应点的连线互相平行，对各选项分析判断后利用排除法．
【解答】解：∵把△ABC沿RS的方向平移到△DEF的位置，BC＝5，∠A＝80°，∠B＝70°，
∴CF＝BE＝4，∠F＝∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣80°﹣70°＝30°，AB∥DE，
∴A、B、C正确，D错误，
故选：D．
【点评】本题考查了平移的性质，熟练掌握平移性质是解题的关键．
10．（3分）如图，Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝3，OB＝4，将△AOB沿x轴依次以三角形三个顶点为旋转中心顺时针旋转，分别得图②，图③，则旋转到图⑩时直角顶点的坐标是（ ）
A．（28，4）B．（36，0）C．（39，0）D．（，）
【分析】根据勾股定理列式求出AB的长度，然后根据图形不难发现，每3个图形为一个循环组依次循环，且下一组的第一个图形与上一组的最后一个图形的直角顶点重合，所以，第10个图形的直角顶点与第9个图形的直角顶点重合，然后求解即可．
【解答】解：∵∠AOB＝90°，OA＝3，OB＝4，
∴AB＝＝＝5，
根据图形，每3个图形为一个循环组，3+5+4＝12，
所以，图⑨的直角顶点在x轴上，横坐标为12×3＝36，
所以，图⑨的顶点坐标为（36，0），
又∵图⑩的直角顶点与图⑨的直角顶点重合，
∴图⑩的直角顶点的坐标为（36，0）．
故选：B．
【点评】本题考查了坐标与图形的变化﹣旋转，仔细观图形，判断出旋转规律“每3个图形为一个循环组依次循环，且下一组的第一个图形与上一组的最后一个图形的直角顶点重合”是解题的关键．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”第一步应假设直角三角形中 每个锐角都大于45° ．
【分析】根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答即可．
【解答】解：反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”，
第一步假设直角三角形中每个锐角都大于45°，
故答案为：每个锐角都大于45°．
【点评】本题考查的是反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
12．（3分）如果不等式组无解，则a的取值范围是 a≤1 ．
【分析】根据不等式组解集的定义可知，不等式x﹣1＞0的解集与不等式x﹣a＜0的解集无公共部分，从而可得一个关于a的不等式，求出此不等式的解集，即可得出a的取值范围．
【解答】解：解不等式x﹣1＞0，得x＞1，
解不等式x﹣a＜0，x＜a．
∵不等式组无解，
∴a≤1．
故答案为：a≤1．
【点评】本题中由两个一元一次不等式组成的不等式组无解，根据“大大小小无解集”，可知x﹣1＞0的解集不小于不等式x﹣a＜0的解集，尤其要注意不要漏掉a＝1．
13．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝108°，E、G分别为AB、AC中点，DE⊥AB，FG⊥AC，则∠DAF＝ 36 °．
【分析】根据三角形内角和定理求出∠B+∠C，根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DB，FA＝FC，得到∠DAE＝∠B，∠FAC＝∠C，计算即可．
【解答】解：∵∠BAC＝108°，
∴∠B+∠C＝72°，
∵DE、FG分别垂直平分线段AB、AC，
∴DA＝DB，FA＝FC，
∴∠DAE＝∠B，∠FAC＝∠C，
∴∠DAE+∠FAC＝72°，
∴∠DAF＝∠BAC﹣（∠DAE+∠FAC）＝36°，
故答案为：36．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
14．（3分）某种商品的进价为每件100元，商场按进价提高50%后标价，为增加销量，准备打折销售，但要保证利润率不低于20%，则至多可以打 8 折．
【分析】设打x折，根据题意得出不等式，求出不等式的解集即可．
【解答】解：设打x折，根据题意得：
100（1+50%）•x≥100（1+20%），
解得：x≥8，
即至多打8折，
故答案为：8．
【点评】本题考查了一元一次不等式的应用，能根据题意列出不等式是解此题的关键．
15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝40°，点D在边BC上，BD＝2CD，把△ABC绕点D逆时针旋转m（0＜m＜180）度后，如果点B恰好落在初始Rt△ABC的边上，则m＝ 100或120 ．
【分析】①当点B落在AB边上时，根据DB＝DB1，即可解决问题，②当点B落在AC上时，在Rt△DCB2中，根据∠C＝90°，DB2＝DB＝2CD可以判定∠CB2D＝30°，由此即可解决问题．
【解答】解：①当点B落在AB边上时，
∵DB＝DB1，
∴∠B＝∠DB1B＝40°，
∴m＝∠BDB1＝180°﹣2×40°＝100°，
②当点B落在AC上时，
在Rt△DCB2中，
∵∠C＝90°，DB2＝DB＝2CD，
∴∠CB2D＝30°，
∴m＝∠C+∠CB2D＝120°，
综上所述，m的值为100或120．
故答案为：100或120．
【点评】本题考查旋转的性质、等腰三角形的定义、直角三角形30度角的判定等知识，解题的关键是正确画出图形，学会分类讨论的思想，属于中考常考题型．
三、解答题（8题，共75分）
16．（8分）解不等式组并求它的所有整数解的和．
【分析】先求出两个不等式的解集，再求其公共解，然后找出整数求和即可．
【解答】解：，
由①得x≥﹣3，
由②得x＜2，
所以不等式组的解集是﹣3≤x＜2，
所以它的整数解为：﹣3，﹣2，﹣1，0，1，
所以所有整数解的和为﹣5．
【点评】本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．
17．（9分）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，坐标分别为A（2，2），B（1，0），C（3，1）．
（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
（2）画出将△ABC绕原点O逆时针旋转90°所得的△A2B2C2；
（3）△A1B1C1与△A2B2C2，成中心对称图形吗？若成中心对称图形，直接写出对称中心的坐标．
【分析】（1）利用关于x轴对称的点的坐标特征写出A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；
（2）利用网格特点和旋转的性质画出A、B、C的对应点A2、B2、C2即可；
（3）连接B1B2、C1C2、A1A2，它们相交于一点，则这个点为对称中心．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1；为所作；
（2）如图，△A2B2C2为所作；
（3）△A1B1C1与△A2B2C2成中心对称图形．对称中心的坐标为（，）．
【点评】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了轴对称变换．
18．（9分）阅读材料：已知△ABC中，AD平分∠BAC，AD是△ABC的中线，求证：AB＝AC．
小明根据已知条件发现若AD平分∠BAC可得∠BAD＝∠CAD，又AD是△ABC的中线，可得BD＝CD，加上公共边的条件AD＝AD，有两条边和一个角对应相等，就下结论得到△ABD和△ACD是全等的，从而得到结论∠B＝∠C，可证出AB＝AC成立．
小芳的方法是用角平分线的性质得到DE＝DF，再用中线分三角形的面积为相等两部分，再用等面积的方法可以得到结论．
请你回答小明和小芳的证明思路谁正确的？请任选择一个方法进行完整的证明．（可以与小明和小芳的方法不同）
【分析】对小明和小芳的证明思路分别分别进行判断即可．
【解答】解：∵∠BAD＝∠CAD，BD＝CD，AD＝AD，不能证明△ABD和△ACD全等，
∴小明的证明思路不正确，
小芳的证明思路正确，理由如下：
过点D作DE⊥AB于点E，作DF⊥AC于点F，如图所示：
∵AD是∠BAC的角平分线，
∴DE＝DF，
∵AD是△ABC的中线，
∴S△ABD＝S△ACD，
∴AB×DE＝AC×DF，
∴AB＝AC．
【点评】本题考查了全等三角形的判定、角平分线的性质以及三角形面积等知识；熟练掌握全等三角形的判定和角平分线的性质是解题的关键．
19．（9分）在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于点N，交BC的延长线于点M．
（1）若∠A＝40°，则∠NMB为 20 度；
（2）如果∠A＝α°（0°＜α＜180°），其余条件不变，求∠NMB的度数；
（3）补全规律：等腰三角形一腰的垂直平分线与 底边的延长线 相交所成的锐角等于 顶角的一半 ．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠B，求出∠MNB＝90°，根据三角形内角和定理得出∠NMB＝90°﹣∠B即可．
（2）根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠B，求出∠MNB＝90°，根据三角形内角和定理得出∠NMB＝90°﹣∠B即可．
（3）由（1）（2）发现规律即可．
【解答】解：（1）∵AB＝AC，∠A＝40°，
∴∠ABC＝∠ACB＝（180°﹣∠A）＝70°，
∵MN是AB的垂直平分线，
∴∠MNB＝90°，
∴∠NMB＝90°﹣∠B＝20°．
故答案为20．
（2）∵AB＝AC，∠A＝α°，
∴∠B＝∠ACB＝（180°﹣∠A）＝90°﹣α°，
∵MN是AB的垂直平分线，
∴∠MNB＝90°，
∴∠NMB＝90°﹣∠B＝．
（3）由（1）（2）发现规律：等腰三角形一腰的垂直平分线与底边的延长线相交所成的锐角等于顶角的一半，
故答案为底边的延长线，顶角的一半．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理和线段垂直平分线性质的应用，主要考查学生的推理能力．
20．（9分）学校计划为“我和我的祖国”演讲比赛购买奖品．已知购买3个A奖品和2个B奖品共需120元；购买5个A奖品和4个B奖品共需210元．
（1）求A，B两种奖品的单价；
（2）学校准备购买A，B两种奖品共30个，且A奖品的数量不少于B奖品数量的．请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．
【分析】（1）设A的单价为x元，B的单价为y元，根据题意列出方程组，即可求解；
（2）设购买A奖品z个，则购买B奖品为（30﹣z）个，购买奖品的花费为W元，根据题意得到由题意可知，z≥（30﹣z），W＝30z+15（30﹣z）＝450+15z，根据一次函数的性质，即可求解；
【解答】解：（1）设A的单价为x元，B的单价为y元，
根据题意，得
，
∴，
∴A的单价30元，B的单价15元；
（2）设购买A奖品z个，则购买B奖品为（30﹣z）个，购买奖品的花费为W元，
由题意可知，z≥（30﹣z），
∴z≥，
W＝30z+15（30﹣z）＝450+15z，
当z＝8时，W有最小值为570元，
即购买A奖品8个，购买B奖品22个，花费最少；
【点评】本题考查二元一次方程组的应用，一次函数的应用；能够根据条件列出方程组，将最优方案转化为一次函数性质解题是关键．
21．（10分）4月23日是“世界读书日”，甲、乙两书店在这一天举行了购书优惠活动：
甲书店：所有书籍按标价8折出售；
乙书店：一次购书标价总额不超过100元的按原价计费，超过100元的部分打6折．
设小红同学当天购书标价总额为x元，去甲书店付y甲元，去乙书店购书应付y乙元，其函数图象如图所示．
（1）求y甲、y乙与x的关系式；
（2）两图象交于点A，请求出A点坐标，并说明点A的实际意义；
（3）请根据函数图象，直接写出小红选择去哪个书店购书更合算．
【分析】（1）根据题意，可以分别写出甲、乙两家书店y与x的函数关系式；
（2）根据（1）的结论解答即可；
（3）结合图象解答即可．
【解答】解：（1）由题意可得，
y甲＝0.8x；
乙书店：当0≤x≤100时，y乙与x的函数关系式为y乙＝x，当x＞100时，y乙＝100+（x﹣100）×0.6＝0.6x+40，
由上可得，y乙与x的函数关系式为y乙＝；
（2），
解得，
∴A（200，160），
点A的实际意义是当买的书标价为200元时，甲乙书店所需费用相同，都是160元；
（3）由点A的意义，结合图象可知，
当x＜200时，选择甲书店更省钱；
当x＝200，甲乙书店所需费用相同；
当x＞200，选择乙书店更省钱．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
22．（10分）阅读材料：
对于两个正数a、b，则a+b≥2（当且仅当a＝b时取等号）．
当ab为定值时，a+b有最小值；当a+b为定值时，ab有最大值．
例如：已知x＞0，若y＝x+，求y的最小值．
解：由a+b≥2，得y＝x+≥2＝2×＝2，当且仅当x＝，即x＝1时，y有最小值，最小值为2．
根据上面的阅读材料回答下列问题：
（1）已知x＞0，若y＝4x+，则当x＝ 时，y有最小值，最小值为 12 ．
（2）已知x＞3，若y＝x+，则x取何值时，y有最小值，最小值是多少？
（3）用长为100m篱笆围一个长方形花园，问这个长方形花园的长、宽各为多少时，所围的长方形花园面积最大，最大面积是多少？
【分析】（1）根据阅读材料提供的方法，将y＝4x+，写成y＝4x+可得答案；
（2）将y＝x+化为若y＝x﹣3++3，再根据提供的方法求解即可；
（3）得出长方形的长、宽、面积之间的关系式，再联系（1）中的方法求解．
【解答】解：（1）由题目中提供的方法可得，
y＝4x+＝4x+≥2＝12，
∴当4x＝时，即x＝时，y的最小值为12，
故答案为：，12；
（2）∵x＞3，
∴x﹣3＞0，
由a+b≥2可得y＝x﹣3++3≥2+3＝9，
当x﹣3＝时，即x＝6时，y的最小值为9，
答：当x＝6时，y的最小值为9；
（3）设这个长方形的长为xm，则宽为＝（50﹣x）m，
∴长方形的面积S＝x（50﹣x），
由题意得x＞0，50﹣x＞0，即0＜x＜50，
由a+b≥2可得x+（50﹣x）≥2，
即≤25，
但且仅当x＝50﹣x时，即x＝25时，x•（50﹣x）取最大值，最大值为25×（50﹣25）＝625，
此时宽为50﹣x＝25，S最大值为625，
答：当长方形的长、宽均为25m时，所围成的长方形的花园的面积最大，最大面积为625m2．
【点评】本题考查分式的乘除法，理解阅读材料中所提供的方法是解决问题的关键．
23．（11分）（一）发现探究
在△ABC中AB＝AC，点P在平面内，连接AP并将线段AP绕点A顺时针方向旋转与∠BAC相等的角度，得到线段AQ，连接BQ．
[发现问题]如图1，如果点P是BC边上任意一点，则线段BQ和线段PC的数量关系是 BQ＝PC ；
[探究猜想]如图2，如果点P为平面内任意一点，前面发现的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由，请仅以图2所示的位置关系加以证明（或说明）；
（二）拓展应用
[拓展应用]如图3，在△ABC中，AC＝2，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，P是线段BC上的任意一点连接AP，将线段AP绕点A顺时针方向旋转60°，得到线段AQ，连接CQ，请直接写出线段CQ长度的最小值．
【分析】【发现问题】先证∠BAQ＝∠CAP，再由SAS证△BAQ≌△CAP，即可得出结论；
【探究猜想】同（1）证△BAQ≌△CAP（SAS），即可得出结论；
【拓展应用】在AB上取一点E，使AE＝AC＝2，连接PE，过点E作EF⊥BC于点F，由旋转的性质得AQ＝AP，∠PAQ＝60°，再证△CAQ≌△EAP（SAS），得CQ＝EP，当EF⊥BC（点P和点F重合）时，EP最小，然后由含30°角的直角三角形的性质即可得出结论．
【解答】解：【发现问题】由旋转的性质可知，AQ＝AP，∠PAQ＝∠BAC，
∴∠PAQ﹣∠BAP＝∠BAC﹣∠BAP，
即∠BAQ＝∠CAP，
∵AB＝AC，
∴△BAQ≌△CAP（SAS），
∴BQ＝PC，
故答案为：BQ＝PC；
【探究猜想】结论BQ＝PC仍然成立，证明如下：
由旋转的性质可知，AQ＝AP，∠PAQ＝∠BAC，
∴∠PAQ﹣∠BAP＝∠BAC﹣∠BAP，
即∠BAQ＝∠CAP，
∵AB＝AC，
∴△BAQ≌△CAP（SAS），
∴BQ＝PC；
【拓展应用】如图3，在AB上取一点E，使AE＝AC＝2，连接PE，过点E作EF⊥BC于点F，
由旋转的性质可知，AQ＝AP，∠PAQ＝60°，
∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，
∴∠EAC＝60°，
∴∠PAQ＝∠EAC，
∴∠CAQ＝∠EAP，
∴△CAQ≌△EAP（SAS），
∴CQ＝EP，
要使CQ最小，则EP最小，而点E是定点，点P是AB上的动点，
∴当EF⊥BC（点P和点F重合）时，EP最小，
即点P与点F重合，CQ最小，最小值为EP，
在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，
∴AB＝2AC＝4，
∵AE＝AC＝2，
∴BE＝AB﹣AE＝2，
在Rt△BFE中，∠EFB＝90°，∠EBF＝30°，
∴EF＝BE＝1，
∴线段CQ长度的最小值是1．
【点评】此题是几何变换综合题，考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，含30°角的直角三角形的性质以及最小值等知识，本题综合性强，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2023/2/22 15:50:04；用户：18703976555；邮箱：18703976555；学号：21613299
相关试卷
北师版·河南省郑州市金水区 2022-2023学年河南省郑州四十七中八年级（上）期中数学试卷： 这是一份北师版·河南省郑州市金水区 2022-2023学年河南省郑州四十七中八年级（上）期中数学试卷，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年河南省郑州外国语中学八年级（下）期中数学试卷(1)： 这是一份2021-2022学年河南省郑州外国语中学八年级（下）期中数学试卷(1)，共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年河南省郑州四中八年级（下）期中数学试卷(1)： 这是一份2021-2022学年河南省郑州四中八年级（下）期中数学试卷(1)，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
