江西省景德镇市2023年九年级下学期期中数学试题【含答案】

这是一份江西省景德镇市2023年九年级下学期期中数学试题【含答案】，共16页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．在四个负数：﹣3，﹣1，﹣4，﹣6中，最小的是（ ）
A．﹣1B．﹣6C．﹣3D．﹣4
2．下列计算正确的是（ ）
A．a2+a3＝a5B．2（a+1）＝2a+2
C．（-2a）3＝8a3D．a6÷a2＝a3
3．如图所示的支架（一种小零件）的两个台阶的高度和宽度相等，则它的左视图为（ ）
A．B．C．D．
4．若方程的两个根，则（ ）
A．2B．-2C．3D．-3
5．如图，为直径， ，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
6．已知二次函数 ，关于此函数的图象及性质，下列结论中不一定成立的是( )
A．该图象的顶点坐标为
B．该图象与 轴的交点为
C．若该图象经过点 ，则一定经过点
D．当 时， 随 的增大而增大
二、填空题
7．分解因式： ＝ .
8．在2021年，我国GDP总量超过1100000亿元，将1100000亿元用科学记数法表示为 元．
9．已知一组正整数2，m，3，n，3，2的众数是2，且m，n是一元二次方程x2﹣7x+k＝0的两个根，则这组数据的中位数是 ．
10．两千多年前，我国的学者墨子和他的学生做了小孔成像的实验．他的做法是，在一间黑暗的屋子里，一面墙上开一个小孔，小孔对面的墙上就会出现外面景物的倒像．小华在学习了小孔成像的原理后，利用如图装置来验证小孔成像的现象．已知一根点燃的蜡烛距小孔20cm，光屏在距小孔30cm处，小华测量了蜡烛的火焰高度为2cm，则光屏上火焰所成像的高度为 cm．
11．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，分别以点A、C为圆心，以大于AC长为半径画弧，两弧相交于点EF，直线EF与AD交于点P，若PA＝2，则△ABC外接圆的面积为 ．
12．如图，在▱ABCD中，AB＝8，BC＝12，∠B＝120°，点E是BC的中点，点P在▱ABCD的边上．若△PBE为等腰三角形，则EP的长为 ．
三、解答题
13．解方程组：．
14．如图，在□ABCD中，AD=2AB，E为AD的中点，求证：BE平分∠ABC．
15．先化简，再求值：，其中
16．为了响应市委市政府号召，全民防疫，某地市民只需携带本人身份证，即可随机选择去本市中医院（A）、第一人民医院（B）、第二人民医院（C）、第三人民医院接种疫苗（D）．
（1）小宇正好选择中医院接种的概率是 ．
（2）在注射第一针疫苗后21天左右需要再去注射第二针疫苗，请用树状图或列表方法表示小宇注射两针疫苗分别在不同的医院接种的概率是多少？
17．如图，在⊙O中，点A，B，C在⊙O上，请用无刻度直尺完成下列作图．
（1）如图1，以点C或点B为顶点作一锐角，使该锐角与∠CAB互余（并标记）．
（2）如图2，已知交⊙O于点D，过点A作AE将∠BAC平分．
18．如图，直线y1＝ax+1与y轴交于点C，与双曲线y2＝交于A、B两点，AD⊥y轴于点D，AD＝CD＝2．
（1）点C坐标为 ．
（2）确定直线和双曲线的表达式．
（3）直接写出关于x的不等式ax+1＜的解集．
19．某校为做好“大手牵小手，安全伴我行”主题安全教育活动，随机抽取部分学生家长进行问卷调查，调查家长对孩子安全知识的教育情况，共发出问卷150份，每位学生家长1份，将回收到的问卷进行整理（回收的问卷均有效），绘制了如图两幅不完整的统计图．
（1）回收到的问卷数为 份；“经常教育”部分对应扇形的圆心角度数为 ；
（2）把条形统计图补充完整；
（3）若全校共1200名学生，请估计该校对孩子安全知识“经常教育”的家庭数．
20．如图，在▱ABCO中，以点O为圆心，OC长为半径作⊙O，⊙O分别交BC．OA于点E、F，CO的延长线交⊙O于点D，连接AD、AE，已知AE是⊙O的切线．
（1）求证：AD是⊙O的切线．
（2）若AB＝BE＝6，求的长（保留π）．
21．一抽纸纸筒被安装在竖直墙面上，图1是其侧面示意图，其中于点D，于点A，于点B，，是以点E为圆心，长为半径的圆上的一段弧，//．
（1）求所在圆的半径；
（2）如图2．当一卷底面直径为的圆柱形纸巾恰好能放入纸筒内时，求纸筒盖要打开的最小角的大小．（参考数据：）
22．学校体育节即将来临，为了满足全体师生锻炼的需要，学校超市以每件50元的价格购进一种体育用品，销售中发现这种体育用品每天的销售量y（件）与每件的销售价格x（元）近似满足一次函数关系，其图象如图所示，且销售这种体育用品不会亏本．
（1）求出y与x的函数关系式，并写出x的取值范围．
（2）求该超市每天销售这种体育用品的销售利润w与x之间的函数关系式并求出当销售价格x为何值时，销售利润w的值最大，最大值是多少？
（3）在网格坐标系中画出w关于x的函数的大致图象，再利用图象分析每件体育用品的销售价格在什么范围内时，每天的销售利润在400元以上．
23．如图，边长为4的等边△ABC中，点D是BC的中点，点E是射线AD上一动点，△ECF是等边三角形，连接BE，BF．
（1）求∠FBC的度数；
（2）连接DF，求DF的最小值；
（3）是否存在点E，使得以点E，B，F，C为顶点的四边形为菱形？若存在，求出此时AE的长；若不存在，请说明理由．
24．抛物线y＝x2﹣2x交x轴于原点O及点A1，其顶点为B1：y2＝x2﹣4x交x轴于原点O及点A2，其顶点为B2：y3＝x2﹣6x交x轴于原点O及点A3，其顶点为B2；y3＝x2﹣2nx交x轴于原点O及点An，其顶点为Bn．
（1）点A1的坐标为 ，点B1的坐标为 ．
（2）①直接写出点An，及点Bn的坐标（用含n的代数式表示）
②点B1，B2，B3，…，Bn是否在同一条抛物线上？若在，求出此抛物线的解析式；若不在，请说明理由．
（3）①求∠OB2A5的度数；②若△A1B2An，与△A1B2An+3相似，求n的值．
1．B
2．B
3．D
4．A
5．C
6．D
7．a（a+2）（a-2）
8．
9．
10．3
11．
12．6或或
13．解：
解：得：，
解得：，
把代入①得：，
解得：，
∴原方程组的解为．
14．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD//BC，
∴∠AEB=∠EBC ，
∵E为AD的中点，
∴AD=2AE，
∵AD=2AB，
∴AE=AB，
∴∠ABE=∠AEB ，
∴∠ABE=∠EBC，
∴BE平分∠ABC．
15．解：原式=
当时，原式
16．（1）
（2）解：根据题意可画树状图如下：
两针去医院接种新冠疫苗的等可能情况共有16种，其中小宇这两针分别在不同医院接种的情况有12种，
故小宇这两针分别在不同医院接种的概率为．
17．（1）解：连接CO（或BO）并延长，交⊙O于点P（或Q），连接BP（或CQ），CP（或BQ），则∠BCP（或∠CBQ）与∠CAB互余．
标记如图．
（2）解：如图，连接CD交AB于点F．连接FO，并延长交⊙O于点E，连接AE即可．
18．（1）（0，1）
（2）解：∵C（0，1），
∴OC=1．
∵AD＝CD＝2，
∴OD=OC+CD=3．
又∵AD⊥y轴，
∴A（2，3）．
将A（2，3）分别代入y1＝ax+1和y2＝，
得：3＝2a+1，，
解得：a＝1，，
∴直线表达式为y1＝x+1，双曲线的表达式为；
（3）解：联立，
解得：，，
∴B（-3，-2）．
求关于x的不等式ax+1＜的解集，即求一次函数图象在反比例函数图象下方时x的取值范围即可．
由图象和两图象交点可知，当或时，一次函数图象在反比例函数图象下方，
∴关于x的不等式ax+1＜的解集为或．
19．（1）30；30°
（2）解：120-30-10=80（人）
如图所示：
（3）解：“经常教育”的家庭数=1200×=100
故有100个家庭是“经常教育”的．
20．（1）证明：连接OE，
在▱ABCO中，AO//BC，
∴∠AOD＝∠OCE，∠AOE＝∠OEC，
∵OE＝OC，
∴∠OEC＝∠OCE，
∴∠AOD＝∠AOE，
在△AOD和△AOE中，，
∴△AOD≌△AOE（SAS），
∴∠AEO＝∠ADO，
∵AE是⊙O的切线，
∴∠AEO＝90°，
∴∠AEO＝∠ADO＝90°，即OD⊥AD，
∴AD是⊙O的切线；
（2）解：∵AB＝BE＝6，
∴∠BAE＝∠BEA，
∵在▱ABCO中，AO//BC，∠BAO＝∠BCO，AB＝OC＝6，
∴∠OAE＝∠BEA，
∴∠BAE＝∠OAE，
∴∠BAO＝2∠OAE，
∵∠BCO＝2∠OAE，
由（1）可知∠AOE＝∠OEC＝∠OCE，
∴∠AOE＝2∠OAE，
∵∠AEO＝90°，
∴∠AOE＋∠OAE＝90°，
∴∠OAE＝30°，∠AOE＝60°，
∴∠AOE＝∠OEC＝∠OCE＝60°，
∴∠EOC＝60°，
∴∠COF＝∠EOC＋∠AOE＝120°，
∴．
21．（1）解：如图1，过点作于点，
四边形是矩形
，
中，
解得
即所在圆的半径为cm
（2）解：连接，如图2，
由旋转可得
22．（1）解：设一次函数为，将和代入得：
，
解得，
由于销售这种体育用品不会亏本，则，
；
（2）解：每件体育用品的利润为元，则
，
抛物线的系数为，当时，销售利润有最大值为；
（3）解：由（2）知，作图如下：
若每天的销售利润在400元以上可得，解得，
每件体育用品的销售价格时，每天的销售利润在400元以上．
23．（1）解：如图1中，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝∠ACB＝60°，
∵BD＝DC，
∴∠CAD＝∠BAD＝30°，
∵△CEF是等边三角形，
∴CE＝CF，∠ECF＝∠ACB＝60°，
∴∠BCF＝∠ACE，
∵CB＝CA，CF＝CE，
∴△BCF≌△ACE（SAS），
∴∠CBF＝∠CAE＝；
（2）解：如图1中，∵∠CBF＝30°，
∴DF⊥BF时，BF的值最小，
∵BD＝BC＝×4＝2，
∴DF＝BD＝1，
∴DF的最小值为1；
（3）解：如图2中，当点F在直线AD上时，四边形EBFC是菱形，
△ECF是等边三角形，
∴∠ECB=∠FCB=30°
∵∠DAC=30°，
∴AE＝BE＝EC，
在Rt△CDE中，CD=2，∠DCE=30°
∴AE＝EC＝ =；
如图3中，当AD＝ED时，AE⊥BC且AE、BC互相平分，
∴四边形ABEC为菱形，
∵∠BAC=60°，
∴BC＝BE＝CE＝AB＝AC，
∵△ECF是等边三角形，
∴EF＝CF＝EC＝BC＝BE，
∴四边形BCFE是菱形，此时AE＝2AD，
在Rt△ABD中，AB=4，∠BAD=30°
∴AD=，
∴AE＝2AD＝，
综上所述，满足条件的AE的值为或．
24．（1）（2，0）；（1，－1）
（2）解：①令y3＝x2﹣2nx＝0，
解得：x1＝0，x2＝2n，
∴点An的坐标为（2n，0），
∵y3＝x2﹣2nx＝（x－n）2－n2，
∴点Bn的坐标为（n，－n2）；
②同①可得：B1（1，－1），B2（2，－4），B3（3，－9），
假设B1，B2，B3在同一条抛物线上，其解析式为，
则，解得：，
∴B1，B2，B3在抛物线上，
将Bn（n，－n2）代入，验证成立，
∴点B1，B2，B3，…，Bn在同一条抛物线上，其解析式为；
（3）解：①由（2）可知B2（2，－4），A5（10，0），如图：
则OA52＝102＝100，OB22＝，B2A52＝82+42＝80，
∴OB22＋B2A52＝OA52，
∴；
②由（1）（2）可知A1（2，0），B2（2，－4），
如图，任取An，An+3作三角形，
∵△A1B2An与△A1B2An+3相似，且∠B2A1An＝∠B2A1An+3＝90°，
∴必有△A1B2An∽△A1An+3B2，
∴，
由（2）可知An（2n，0），An+3（2n+6，0），
∴，，
∴，
解得：n＝2或n＝－3（舍去），
经检验n＝2是分式方程的解，
∴n＝2．