考点32 尺规作图（精练）

这是一份考点32 尺规作图（精练），共36页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
1．（2021秋•无为市期末）下列尺规作图的语句正确的是（ ）
A．延长射线AB到D
B．以点D为圆心，任意长为半径画弧
C．作直线AB＝3cm
D．延长线段AB至C，使AC＝BC
2．（2021秋•赣州期末）下列画图的画法语句正确的是（ ）
A．画直线MN＝5厘米
B．画射线OA＝4厘米
C．在射线OA上截取AB＝2厘米
D．延长线段AB到点C，使BC＝AB
3．（2022•丽水二模）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，要求用圆规和直尺作图，把它分成两个三角形，其中一个三角形是等腰三角形．其作法错误的是（ ）
A．B．
C．D．
4．（2021秋•如东县期末）根据语句“直线a与直线b相交，点P在直线a上，直线b不经过点P．”画出的图形是（ ）
A．B．
C．D．
5．（2022春•莱芜区期末）如图，在纸片上有一直线l，点A在直线l上，过点A作直线l的垂线，嘉嘉使用了量角器，过90°刻度线的直线a即为所求；淇淇过点A将纸片折叠，使得以A为端点的两条射线重合，折痕a即为所求，下列判断正确的是（ ）
A．只有嘉嘉对B．只有淇淇对C．两人都对D．两人都不对
6．（2021秋•让胡路区校级期末）在下列各题中，属于尺规作图的是（ ）
A．用直尺画一工件边缘的垂线
B．用直尺和三角板画平行线
C．利用三角板画45°的角
D．用圆规在已知直线上截取一条线段等于已知线段
7．（2021秋•威信县期末）如图，是尺规作图中“画一个角等于已知角”的示意图，该作法运用了“全等三角形的对应角相等”这一性质，则判定图中两三角形全等的条件是（ ）
A．SASB．ASAC．AASD．SSS
8．（2022•玉环市一模）如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠ABC＝100°．观察图中尺规作图的痕迹，可知∠BFC的度数为（ ）
A．130°B．120°C．110°D．100°
9．（2021春•铁岭月考）下列作图语句错误的个数是（ ）
①以点O为圆心作弧；②延长射线OM到点A；③延长线段AB到C，使BC＝AB；④过三点A，B，C作直线．
A．1个B．2个C．3个D．4个
10．（2021春•龙岗区校级月考）下列说法：①相等的角是对顶角；②同位角相等；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离；⑤作图语句：连接AD，并且平分∠BAC．其中正确的有（ ）个．
A．0B．1C．2D．3
11．（2021秋•单县校级月考）下列画图语句中，正确的是（ ）
A．画射线OP＝3cmB．画出A、B两点的距离
C．延长射线OAD．连接A、B两点
12．（2022秋•松原期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以点B为圆心，以适当长为半径画弧，交BA于点D，交BC于点E；分别以点D、E为圆心，以大于12DE的长为半径画弧，两弧在∠CBA内交于点F；作射线BF，交AC于点G．若CG＝1，P为AB上一动点，连接GP，则GP的最小值为（ ）
A．12B．1C．2D．没有最小值
13．（2022秋•泰山区期末）如图，在△ABC中，根据尺规作图痕迹，下列说法不一定正确的是（ ）
A．AF＝BFB．∠AFD+∠FBC＝90°
C．DF⊥ABD．∠BAF＝∠CAF
14．（2022秋•绿园区校级期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D．若BD＝4.9，BC＝9，则点D到AB边的距离是（ ）
A．4.1B．5.1C．3.1D．4.9
15．（2022秋•金华期末）如图，在△ABC中，作BC边上的高线，下列画法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
16．（2022秋•平桥区期末）如图，在长方形ABCD中，连接AC，以A为圆心适当长为半径画弧，分别交AD，AC于点E，F，分别以E，F为圆心，大于12EF的长为半径画弧，两弧在∠DAC内交于点H，画射线AH交DC于点M．若∠ACB＝72°，则∠DMA的大小为（ ）
A．72°B．54°C．36°D．22°
17．（2022秋•新华区校级期末）小丽同学要找到到三角形三个顶点距离相等的点，根据下列各图中圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到此点的是（ ）
A．B．
C．D．
18．（2022秋•万全区期末）如图，在△ABC中，分别以点A和点C为圆心，大于12AC的长为半径作弧，两弧相交于点M、N，直线MN与AC、BC分别相交于E和D，连接AD，若AE＝3cm，△ABC的周长为13cm，则△ABD的周长是（ ）
A．7cmB．10cmC．16cmD．19cm
19．（2022秋•馆陶县期末）数学课上，老师提出一个问题：经过已知角一边上的点，做一个角等于已知角．如图，用尺规过∠AOB的边OB上一点C（图①）作∠DCB＝∠AOB（图②）．我们可以通过以下步骤作图：
①作射线CQ；
②以点O为圆心，小于OC的长为半径作弧，分别交OAOB于点N，M；
③以点P为圆心，MN的长为半径作弧，交上一段弧于点Q；
④以点C为圆心，OM的长为半径作弧，交OB于点P．
下列排序正确的是（ ）
A．①②③④B．④③①②C．③②④①D．②④③①
20．（2022秋•榆树市期末）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＞AC，∠B≠30°，用无刻度的直尺和圆规在BC边上找一点D，使AD＝BD，下列作法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
21．（2022秋•海港区期末）用直尺能画直线的依据是（ ）
A．两点之间，线段最短B．两点确定一条直线
C．两点确定一条线段D．两点之间直线最短
22．（2022秋•宽城区校级期末）如图，在△ABC中，运用尺规作图的方法在BC边上取一点P，使PA+PB＝BC，下列作法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
23．（2022秋•余庆县期末）在课堂上，张老师布置了一道画图题：
画一个Rt△ABC，使∠B＝90°，它的两条边分别等于两条已知线段．小刘和小赵同学先画出了∠MBN＝90°之后，后续画图的主要过程分别如图所示．
那么小刘和小赵同学作图确定三角形的依据分别是（ ）
A．SAS，HLB．HL，SASC．SAS，AASD．AAS，HL
24．（2022秋•南关区校级期末）已知点P是直线l外一点，数学兴趣小组的同学用了4种不同的尺规作图方法想过点P作直线l的平行线，根据尺规作图痕迹，直线PQ不一定与直线l平行的是（ ）
A．B．
C．D．
25．（2022秋•鞍山期末）已知△ABC，利用直尺和圆规画一个△EFD，使得△ABC≌△EFD，可以先画出∠MDN＝∠ACB，接下来的画法不能满足条件的是（ ）
A．在射线DM上截取DE＝CA，在射线DN上截取DF＝CB，连接EF
B．在射线DM上截取DE＝CA，以D为圆心，AB长为半径画弧交DN于点F，连接EF
C．在射线DM上截取DE＝CA，画∠DEF＝∠CAB，交射线DN于点F
D．在射线DN上截取DF＝CB，画∠DFE＝∠CBA，交射线DM于点E
26．（2022秋•石家庄期末）下面是李老师编辑的一份文档，由于粗心，作法的步骤被打乱了：
正确的作图步骤应该是（ ）
A．①③②B．③②①C．③①②D．②①③
27．（2022秋•蜀山区期末）如图，已知△ABC（AC＜BC），用尺规在BC边上确定一点P，使PA+PC＝BC．下面四种作图中，正确的是（ ）
A．以B为圆心，BA为半径画弧，交BC于点P，点P为所求
B．以C为圆心，CA为半径画弧，交BC于点P，点P为所求
C．作AC的垂直平分线交BC于点P，点P为所求
D．作AB的垂直平分线交BC于点P，点P为所求
28．（2022秋•南关区校级期末）如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠C＝90°．下列尺规作图痕迹中，不能将△ABC的面积平分的是（ ）
A．B．
C．D．
29．（2021春•武昌区校级期中）如图，图①是一张由三个边长为1的小正方形组成的“L”形纸片，图②是一张a×b的方格纸（a×b的方格纸指边长分别为a，b的长方形，被分成a×b个边长为1的小正方形，其中a≥2，b≥2，且a，b为正整数），把图①放置在图②中，使它恰好盖住图②中的三个小正方形，共有（ ）种不同的放置方法．
A．2abB．（2a﹣2）
C．4（a﹣1）（b﹣1）D．（8a﹣8）
二、填空题
30．（2020秋•儋州校级月考）只能使用 和 这两种工具去作几何图形的方法称为尺规作图．
31．（2022秋•西城区期末）如图，在四边形ABDC中，∠ABD＝60°，∠D＝90°，BC平分∠ABD，AB＝3，BC＝4．
（1）画出△ABC的高CE；
（2）△ABC的面积等于 ．
32．（2022秋•东方期末）如图，四边形ABCD是平行四边形，以点B为圆心，BC的长为半径作弧交AD于点E，分别以点C、E为圆心，大于12CE的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线BP交AD的延长线于点F，∠CBE＝60°，BC＝4，则EF＝ ．
33．（2022秋•金牛区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2AC＝4，分别以点C，B为圆心，大于12BC的长为半径作弧，两弧交于点P、Q，作直线PQ交AB、BC于点M、N，连接CM，则CM＝ ．
34．（2022秋•鼓楼区校级期末）如图，以矩形ABCD的顶点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交AB，AC于点M，N；再分别以点M，N为圆心，大于12MN的长为半径作弧，两弧交于点P；作射线AP，交BC于点E，连接DE，交AC于点F．若AB＝1，AC＝2，则DF的长为 ．
35．（2022秋•南开区校级期末）如图，在△ABC中，分别以点B和点C为圆心，大于12BC长为半径画弧，两弧相交于点M、N．作直线MN，交AC于点D，交BC于点E，连接BD．若AB＝7，AC＝12，BC＝6，则△ABD的周长为 ．
36．（2022秋•双流区期末）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，按下列步骤作图：①分别以点C，D为圆心，大于12CD的长为半径画弧，两弧的交点分别为点E，F；②过点E，F作直线EF，交CD于点P；③连接OP．若OP＝1.5，则菱形ABCD的周长为 ．
37．（2022秋•成华区期末）如图，在△ABC中，BC＝3，AC＝4，∠ACB＝90°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，与AB交于点D，再分别以A，D为圆心，大于12AD的长为半径画弧，两弧交于点M，N，作直线MN，分别交AC，AB于点E，F，则线段EF的长为 ．
38．（2022秋•襄州区期末）如图，在△ABC中，按以下步骤作图：
①以点B为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB，BC于点D，E．
②分别以点D，E为圆心，大于12DE的长为半径作弧，两弧交于点F．
③作射线BF交AC于点G．
如果AB＝6，BC＝8．△ABG的面积为12，则△CBG的面积为 ．
39．（2022秋•和平区校级期末）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的顶点A，B在格点上．
（1）AB的长等于 ；
（2）M是线段BC与网格线的交点，P是△ABC外接圆上的动点，点N在线段PB上，且满足PN＝2BN，当MN取得最大值时，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出点P，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明） ．
40．（2022秋•南开区校级期末）如图，由小正方形构成的10×10网格，每个小正方形的顶点叫做格点，⊙O经过A，B，C三个格点，
（1）线段AB的长度为 ；
（2）用无刻度的直尺，在⊙O上找一点D，使点D平分ABC（保留画图痕迹）．
41．（2022秋•河东区校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，按以下步骤作图：①以B为圆心，以任意长为半径作弧，分别交AB，BC于点M，N；②分别以M，N为圆心，以大于12MN的长为半径作弧，两弧在∠ABC内交于点P；③作射线BP，交AC于点D．若S△ABD＝16，AB＝8，则线段CD的长为 ．
42．（2022秋•平谷区期末）如图，在△ABC中，根据尺规作图痕迹，下列四个结论中：
①AF＝BF
②∠AFD+∠FBC＝90°
③DF⊥AB
④∠BAF＝∠CAF
所有正确结论的序号是： ．
43．（2022春•滨海新区期末）李强同学学完“相交线与平行线”一章后，在一本数学读物上看到一种只利用圆规和无刻度直尺作图的方法：
①以∠AOB的顶点O为圆心，以适当长为半径画弧，交OA边于点M，交OB边于点N；②作一条射线CD，以点C为圆心，以OM长为半径画弧，与射线CD交于点E；③以点E为圆心，以MN长为半径画弧，与②中所画弧交于点F；④过点F作射线CP，则∠PCD＝∠BOA．如图1：
李强想利用这种方法过平面内一点Q作直线l的平行线a，如图2．
（Ⅰ）李强同学能借助上述方法作出直线l的平行线a吗？ （填“能”或“不能”）．
（Ⅱ）如果能，请在图2中作出直线a，保留作图痕迹，并说明能够证明这两条直线平行的理由： ．
44．（2022秋•通州区期末）如图，在一条直线公路l的异侧有两个村庄A、B，现在想在公路l上选一点C向两个村庄A、B铺设线路管道，使得点C到村庄A、B的距离之和最短，下面有四种画法，其中符合题意的画法是 .（只填序号）
45．（2021秋•湖里区期末）如图，有一条笔直的河流，两岸EF∥GH，在河岸EF的同侧有一个管理处A和物资仓库B，管理人员每天需要从管理处A出发，先到物资仓库B领取物资，接着到达河岸EF上的C点，乘坐停放在C点的快艇，把物资送到对岸GH的对接点D，然后调头返回河岸EF上的C点，再返回管理房A．请你设计一条线路，使得管理员每天经过的路程最短．若用作图的方式来确定点C和点D，则确定点C和点D的步骤是： ．
46．（2022春•南岸区期中）如图，有一所小学与中学分别位于一条封闭式街道的两旁，现准备合作修建一座过街天桥，方便两所学校的交流．已知小学离较近街道的一边距离为200米，中学离较近街道的一边距离为300米，小学与中学的水平距离为500米，街道宽度为700米（街道两边平行）．请问天桥建在何处才能使由小学到中学的路线最短（天桥必须与街道垂直）？请在图中画出修建的位置，并计算出最短路线的距离为 米．
47．（2022春•徐汇区校级期中）如图，欲将一块四边形的耕地中间一条折路MPN改直，但不影响道路两边的耕地面积，请在图中画出这条直线（保留作图痕迹） ．（写结论）
三、解答题
48．（2022秋•代县期末）如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC至点E，使CE＝CD．
（1）求证：DB＝DE；
（2）尺规作图：过点D作DF垂直于BE，垂足为F；（保留作图留痕迹，不写作法）
（3）若CF＝3，求△ABC的周长．
49．（2022秋•越秀区校级期末）如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝60°．
（1）作∠B的平分线BD，交AC于点D．
（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明）
（2）设CD＝3，求AC．
50．（2022秋•大渡口区校级期末）如图，已知Rt△ABC，∠A＝90°．
（1）请用直尺和圆规，作△ABC中BC边上的垂直平分线EF，交AC于点D，交BC于点E；（要求：不写作法，保留作图痕迹）
（2）连接BD，若AC＝10，AB＝6，求△ABD的面积．
51．（2022秋•东湖区期末）画图，说理题
如图，已知四个点A、B、C、D；
（1）画射线AD；
（2）连接BC；
（3）画∠ACD；
（4）画出一点P，使P到点A、B、C、D的距离之和最小；并说明理由．
52．（2022秋•莱州市期末）如图，△ABC中，∠C＝90°．
（1）求作一点E，使△AEB是以AB为底的等腰三角形，且使点E在边BC上．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）所作的图形中，若∠CAE＝∠EAB，求∠B的度数．
53．（2022秋•番禺区校级期末）如图，直角梯形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AB＝12，CD＝AD+BC．
（1）尺规作出以AB为直径的圆⊙O（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由．
54．（2022秋•宽城区校级期末）图①、图②均为4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，边长均为1．在图①、图②中按下列要求各画一个三角形．
要求：
（1）三角形的三个顶点都在格点上．
（2）与△ABC全等，且不与△ABC完全重合．
一、选择题
1．【解答】解：A．根据射线AB是从A向B无限延伸，故延长射线AB到D是错误的；
B．根据圆心和半径长即可确定弧线的形状，故以点D为圆心，任意长为半径画弧是正确的；
C．根据直线的长度无法测量，故作直线AB＝3cm是错误的；
D．延长线段AB至C，则AC＞BC，故使AC＝BC是错误的；
故选：B．
2．【解答】解：A．画直线MN可以，直线没有长度，故此选项不合题意；
B．画射线OA可以，射线没有长度，故此选项不合题意；
C．在射线OA上截取OB＝2厘米可以，因为必须从一个端点截取，故此选项不合题意；
D．延长线段AB到点C，使BC＝AB，正确，故此选项符合题意．
故选：D．
3．【解答】解：A．由作法知AD＝AC，
∴△ACD是等腰三角形，故选项A不符合题意；
B．由作法知所作图形是线段BC的垂直平分线，
∴不能推出△ACD和△ABD是等腰三角形，故选项B符合题意；
C由作法知，所作图形是线段AB的垂直平分线，
∴DA＝DB，
∴△ABD是等腰三角形，故选项C不符合题意；
D．∠C＝90°，∠B＝30°，
∠BAC＝60°，
由作法知AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD＝30°＝∠B，
∴DB＝DA，
∴△ABD是等腰三角形，故选项D不符合题意；
故选B．
4．【解答】解：直线a与直线b相交，点P在直线a上，直线b不经过点P，即P点不是两直线的交点，所以图形为．
故选：D．
5．【解答】解：嘉嘉利用量角器画90°角，可以画垂线，方法正确．
淇淇过点A将纸片折叠，使得以A为端点的两条射线重合，折痕a垂直直线l，方法正确，
故选：C．
6．【解答】解：A、用直尺画一工件边缘的垂线，不属于尺规作图；
B、用直尺和三角板画平行线，不属于尺规作图；
C、利用三角板画45°的角，不属于尺规作图；
D、用圆规在已知直线上截取一条线段等于已知线段，属于尺规作图．
故选：D．
7．【解答】解：如图，由作图可知，OA＝OB＝CE＝EF，BA＝CF．
在△AOB和△CEF中，
AO=CEOB=EFAB=CF，
∴△AOB≌△CEF（SSS），
故选：D．
8．【解答】解：由作图可知，DE垂直平分线段AC，BF平分∠ABC，
∴DA＝DC，
∴∠A＝∠DCA，∠ABF＝∠CBF=12∠ABC＝50°，
∴∠BDC＝∠A+∠DCA＝60°，
∴∠BFC＝∠BDF+∠ABF＝60°+50°＝110°，
故选：C．
9．【解答】解：以点O为圆心，OA为半径作弧，所以①错误；
延长线段OM到点A，所以②错误；
延长线段AB到C，使BC＝AB；所以③正确；
过点A，B作直线，所以④错误．
故选：C．
10．【解答】解：①相等的角不一定是对顶角，故说法错误；
②同位角不一定相等，故说法错误；
③过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故说法错误；
④直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，故说法正确；
⑤连接AD，并且平分∠BAC．这里两个条件，只能满足一个条件，说法错误；
故选：B．
11．【解答】解：A、射线OP无限长，所以A选项不符合题意；
B、量出A、B点的距离，所以B选项不符合题意；
C、射线OA不需要延长，只能反向延长射线OA，所以C选项不符合题意；
D、用直尺可以连接A、B两点，所以D选项符合题意．
故选：D．
12．【解答】解：由作法得BG平分∠ABC，
过G点作GH⊥AB于H点，如图，
∵BG为∠ABC的平分线，GC⊥BC，GH⊥AB，
∴GH＝GC＝1，
∵P为AB上一动点，
∴GP的最小值为GH的长，
即GP的最小值为1．
故选：B．
13．【解答】解：由作图可知DF垂直平分线段AB，BE平分∠ABC，
∴FA＝FB，DF⊥AB，故选项A，C正确，
∴∠AFD＝∠BFD，
∵∠FBC＝∠FBD，∠FBD+∠BFD＝90°，
∴∠AFD+∠FBC＝90°，故选项B正确．
故选：D．
14．【解答】解：过D点作DH⊥AB于H点，如图，
由作法得AD平分∠BAC，
而DC⊥AC，DH⊥AB，
∴DH＝DC，
∵DC＝BC﹣BD＝9﹣4.9＝4.1，
∴DH＝4.1，
即点D到AB边的距离为4.1．
故选：A．
15．【解答】解：△ABC的BC边上的高是经过点A和BC垂直的线段．选项D符合题意．
故选：D．
16．【解答】解：在长方形ABCD中，∵AB∥CD，∠ACB＝72°，
∴∠CAD＝∠ACB＝72°，
由作法得：AH平分∠CAD，
∴∠DAM=12∠CAD＝36°，
∵∠D＝90°，
∴∠DMA＝90°﹣36°＝54°，
故选：B．
17．【解答】解：可用直尺成功找到此点的是B选项，
故选：B．
18．【解答】解：由作法得MN垂直平分AC，
∴AE＝CE＝3，DA＝DC，
∵△ABC的周长为13cm，
即AB+BC+AC＝13，
∴AB+BD+DA+6＝13，
即AB+BD+DA＝7，
∴△ABD的周长为7cm．
故选：A．
19．【解答】解：正确的排序是：②以O为圆心，以任意定长为半径作弧，分别交OA、OB于N、M；
④以点C为圆心，OM的长为半径作弧，交OB于点P．
③以点P为圆心，MN的长为半径作弧，交上一段弧于点Q；
①作射线CD；
故选：D．
20．【解答】解：若要在BC边上找一点D，使AD＝BD，
则点D应该是线段AB垂直平分线与BC的交点，
故选：D．
21．【解答】解：用直尺能画直线的依据是两点确定一条直线．
故选：B．
22．【解答】解：∵PA+PB＝BC，
而PB+PC＝BC，
∴PA＝PC，
∴点P为AC的垂直平分线与BC的交点．
故选：B．
23．【解答】解：∵小刘同学先确定的是直角三角形的两条直角边，
∴确定依据是SAS定理；
∵小赵同学先确定的是直角三角形的一条直角边和斜边，
∴确定依据是HL定理．
故选：A．
24．【解答】解：直线PQ不一定与直线l平行的是．
故选：D．
25．【解答】解：A：由作图得：DE＝CA，DF＝CB，∠MDN＝∠ACB，由SAS得△ABC≌△EFD，故A符合题意；
B：由作图得：DE＝CA，DF＝AB，∠MDN＝∠ACB，不能判定三角形全等，故B不符合题意；
C：由作图得：DE＝CA，画∠DEF＝∠CAB，∠MDN＝∠ACB，由ASA得△ABC≌△EFD，故C符合题意；
D：由作图得：DF＝CB，画∠DFE＝∠CBA，∠MDN＝∠ACB，由ASA得△ABC≌△EFD，故D符合题意；
故选：B．
26．【解答】解：正确的作图步骤应该是：③①②，
故选：C．
27．【解答】解：∵PA+PC＝BC，PB+PC＝BC，
∴PA＝PB，
∴点P在线段AB的垂直平分线上，
故选项D正确，
故选：D．
28．【解答】解：选项A中，
∵∠A＝30°，∠ACB＝90°，
∴∠B＝60°，
由作图可知CB＝CT，
∴△CBT是等边三角形，
∴CB＝BT，
∵AB＝2BC，
∴BT＝AT，
∴直线CT平分△ABC的面积．
选项B中，由作图可知EF垂直平分线段AC，
∴CD＝AD，
∴中线BD平分△ABC的面积．
选项C中，
由作图可知，∠A＝∠RCA＝30°，
∴CR＝AR，
∴∠CRB＝∠B＝60°，
∴△CBR是等边三角形，
∴CR＝BR，
∴AR＝BR，
∴直线CR平分△ABC的面积．
故选项A，B，C不符合题意，
故选：D．
29．【解答】解：把图①放置在2×2的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，如图③，显然有4种不同的放置方法．
把图①放置在3×2的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，如图④，在3×2的方格纸中，共可以找到2个位置不同的2×2方格，依据探究一的结论可知，把图①放置在3×2的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有8种不同的放置方法．
把图①放置在a×2的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，如图⑤，在a×2的方格纸中，共可以找到（a﹣1）个位置不同的2×2方格，依据探究一的结论可知，把图①放置在a×2的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有4（a﹣1）种不同的放置方法．
把图①放置在a×3的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，如图，在a×3的方格纸中，共可以找到2（a﹣1）个位置不同的2×2方格，依据探究一的结论可知，把图①放置在a×3的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有8（a﹣1）种不同的放置方法．
…，
把图①放置在a×b的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有4（a﹣1）（b﹣1）种不同的放置方法．
故选：C．
二、填空题
30．【解答】解：只能使用直尺和圆规这两种工具去作几何图形的方法称为尺规作图．
故答案为：直尺，圆规．
31．【解答】解：（1）如图，CE即为所求；
（2）∵∠ABD＝60°，BC平分∠ABD，
∴∠EBC＝∠DBC＝30°，
∵∠D＝90°，BC＝4．
∴CD=12BC＝2，
∵BC平分∠ABD，CE⊥AB，CD⊥BD，
∴CE＝CD＝2，
∵AB＝3，
∴△ABC的面积=12×AB•CE=12×3×2＝2．
故答案为：2．
32．【解答】解：由尺规作图知BE＝BC＝4，BF平分∠CBE，
∴∠CBF＝∠EBF=12∠CBE=30°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠F＝∠CBF，
∴∠F＝∠EBF＝30°，
∴BE＝FE＝4，
故答案为：4．
33．【解答】解：由作法得MN垂直平分BC，
∴CN＝BN＝2，MN⊥BC，
∵∠ACB＝90°，
∴MN∥AC，
∴MN为△ABC的中位线，
∴MN=12AC＝1，
∴CN2+MN2=5．
故答案为：5．
34．【解答】解：连接BD交AC于O点，如图，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，AD＝BC，CD＝AB＝1，OA＝OB＝OC=12AC＝1，∠ABC＝90°，
∴AB＝OA＝OB，
∴△AOB为等边三角形，
∴∠BAC＝60°，
由作法得AP平分∠BAC，
∴∠BAE=12∠BAC＝30°，
在Rt△ABC中，BC=22−12=3，
在Rt△ABE中，BE=33AB=33，
∴CE=3−33=233，
在Rt△CDE中，DE=CD2+CE2=12+(233)2=213，
∵CE∥AD，
∴DFEF=ADCE，即DFEF=3233=32，
∴DF=35DE=35×213=215．
故答案为：215．
35．【解答】解：由题意可得，
MN垂直平分BC，
∴DB＝DC，
∵△ABD的周长是AB+BD+AD，
∴AB+BD+AD＝AB+DC+AD＝AB+AC，
∵AB＝7，AC＝12，
∴AB+AC＝19，
∴△ABD的周长是19，
故答案为：19．
36．【解答】解：由作图得：EF为CD 的垂直平分线，P为CD的中点，
∵菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，
∴O平分BD，
∴EP为△BCD的中位线，
∴BC＝2OP＝3，
∴菱形ABCD的周长为：3×4＝12，
故答案为：12．
37．【解答】解：由作图得：BD＝BC＝3，EF垂直平分AD，
∵BC＝3，AC＝4，∠ACB＝90°，
∴AB＝5，
∴AD＝2，
∴AF＝1，
∵∠A＝∠A，∠ACB＝∠AFE＝90°，
∴△ABC∽△AEF，
∴BCEF=ACAF，
即：3EF=41，
解得：EF=34，
故答案为：34．
38．【解答】解：如图，过点G作GM⊥AB于点G，GN⊥AC于点N．
由作图可知BG平分∠ABC，
∵GM⊥BA，GN⊥BC，
∴GM＝GN，
∵S△ABG=12•AB•GM＝12，AB＝6，
∴GM＝4，
∴GN＝GM＝4，
∴S△AGC=12•BC•GN=12×8×4＝16，
故答案为：16．
39．【解答】解：（1）AB的长等于=12+22=5．
故答案为：5．
（2）如图点P即为所求作．
由题意，PNBN=CMBM=2，
∴MN∥PC，MN=13PC，
∴当PC是直径时，MN的值最大，
取格点T（构造∠TBC＝90°），连接BT交△ABC的外接圆于点P，
故答案为：取格点T，连接BT交△ABC的外接圆于点P．
40．【解答】解：（1）AB=22+42=25，
故答案为：25；
（2）如图，点D即为所求．
41．【解答】解：过D点作DH⊥AB于H，如图，
由作法得BD平分∠ABC，
∴DH＝DC，
∵S△ABD＝16，
∴12AB•DH＝16，
∴DH=2×168=4，
∴DC＝4．
故答案为：4．
42．【解答】解：由作图可知DF垂直平分线段AB，BE平分∠ABC，
∴FA＝FB，DF⊥AB，故①，③正确，
∴∠AFD＝∠BFD，
∵∠FBC＝∠FBD，∠FBD+∠BFD＝90°，
∴∠AFD+∠FBC＝90°，故②正确，
由作图不能得到④，
故答案为：①②③．
43．【解答】解：（Ⅰ）能．
故答案为：能；
（Ⅱ）如图，直线a即为所求．
由作图可知，∠EQF＝∠ECD，
∴直线a∥直线l（同位角相等两直线平行）．
故答案为：同位角相等两直线平行．
44．【解答】解：根据线段的性质可知，点C即为所求作的位置．
符合题意的画法是③．
故答案为：③．
45．【解答】解：如图，点C，点D即为所求．
故答案为：作点A关于EF的对称点T，连接BT交EF于点C，作CD⊥GH于点D，连接AC，点C，点D即为所求．
46．【解答】解：如图，线段DF即为天桥的位置．
过点C作CH⊥AE交AE的延长线于点H．
在Rt△ECH中，∠H＝90°，CH＝500米，EH＝200+300＝500米，
∴CE=EH2+CH2=5002+5002=5002米，
∴最短路径的长＝AD+DF+CF＝AE+EC＝（700+5002）米，
故答案为：（700+5002）．
47．【解答】解：如图，直线ME即为所求．
故答案为：直线ME即为所求．
三、解答题
48．【解答】解：（1）证明：∵△ABC是等边三角形，BD是中线，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∠DBC＝30°．
∵CE＝CD，
∴∠CDE＝∠E．
又∵∠BCD＝∠CDE+∠E，
∴∠CDE=∠E=12∠BCD=30°．
∴∠DBC＝∠E．
∴DB＝DE．
（2）如图所示．
（3）∵DF⊥BE，由（1）知，DB＝DE，
∴DF垂直平分BE．
∴在Rt△DFC中，∠CDF＝90°﹣∠DCB＝90°﹣60°＝30°．
∴DC＝2CF＝6．
∵AD＝CD，
∴AC＝2CD＝12．
∴C△ABC＝3AC＝36．
49．【解答】解：（1）如图射线BD即为所求；
（2）∵∠C＝90°，∠A＝30°，
∴∠ABC＝60°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠A＝∠ABD＝∠DBC＝30°，
∴BD＝2CD＝6，
∴AD＝6，
∴AC＝AD+CD＝6+3＝9．
50．【解答】解：（1）如图，DE为所作；
（2）∵DE垂直平分BC，
∴DB＝DC，
设AD＝x，则CD＝BD＝10﹣x，
在Rt△ABD中，x2+62＝（10﹣x）2，
解得x=165，
∴△ABD的面积=12×165×6=485．
51．【解答】解：（1）（2）（3）如图所示：
（4）P点即为所求，
根据线段的性质：两点之间，线段距离最短；结合题意，要使它与四个村庄的距离之和最小，就要使他在AC与BD的交点处．
52．【解答】解：（1）如图，点E即为所求；
（2）∵EA＝EB，
∴∠EAB＝∠B，
∵∠EAB＝∠CAE，
∴∠B＝∠EAB＝∠CAE，
∵∠C＝90°，
∴∠B+∠CAB＝90°，
∴3∠B＝90°，
∴∠B＝30°．所以，∠B的度数为30°．
53．【解答】解：（1）如图，⊙O为所作；
（2）CD与⊙O相切．
理由如下：延长DO交CB的延长线于E点，连接CO，过O点作OH⊥CD于H点，
在△AOD和△BOE中，
∠DAO=∠EBOOA=OB∠AOD=∠BOE，
∴△AOD≌△BOE（ASA），
∴AD＝BE，OD＝OE，
∵AD+BC＝CD，
∴BE+BC＝CD，
即CE＝CD，
∵OD＝OE，
∴CO平分∠DCE，
∵OH⊥CD，OB⊥CE，
∴OH＝OB，
而OB为⊙O的半径，
∴CD为⊙O的切线．
54．【解答】解：如图1中，△ECB即为所求．如图2中，△DEF即为所求（答案不唯一）．

已知：如图，∠ACB是△ABC的一个内角．
求作：∠APB＝∠ACB．
作法：
①以点O为圆心，OA为半径作△ABC的外接圆；
②在弧ACB上取一点P，连结AP，BP，所以∠APB＝∠ACB．
③分别以点A和点B为圆心，大于12AB的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN；分别以点B和点C为圆心，大于12BC的长为半径作弧，两弧相交于E，F两点，作直线EF；与直线MN交于点O．