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初中数学中考复习 考点32 尺规作图（解析版）
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这是一份初中数学中考复习 考点32 尺规作图（解析版），共25页。
考点三十二 尺规作图
【命题趋势】
中考对尺规作图的考查涉及多种形式,不再是单一的对作图技法操作进行考查,而是把作图与计算、证明、分析、判断等数学思维活动有效融合,既体现了动手实践的数学思维活动,也考查了学生运用数学思考解决问题的能力.
【中考考查重点】
一、根据尺规作图的痕迹、步骤判断结论和计算。
二、尺规作图及相关证明与计算
考点：五种基本尺规作图
类型
图示
步骤
作图依据
1.作一条线段等于已知线段
O A P
（1）画射线OP
（2）在射线OP上截取OA=a
圆上的点到圆心的距离等于半径
2.作一个角等于已知角
（1） 以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C,D
（2） 画一条射线PO，以点P为圆心，OC长为半径画弧，交PO于点C′
（3） 以P为圆心，CD长为半径画弧，与第（2）步中所画的弧相交于点D′
（4） 过点P、P画射线PB′，则∠B′PO=
∠BOC
三边分别相等的两个三角形全等；全等三角形的对应角相等；两点确定一条直线
3.作一个角的平分线
（1）以点 O 为圆心，适当长为半径画弧，交 OA 于点 M，交 OB 于点 N．
（2） 分别以点M、N 为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在∠AOB 的 内部交于点 C．
（3）画出射线OC ，射线 OC 即为所求
4.作一条垂直平分线
1. 分别以点 A、B 为圆心，以大于 AB 的长为半径作弧，两弧相交于 C、D 两点；
2. 作直线 CD，CD 为所求直线
到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；两点确定一条直线
5.过一个点作已知直线的垂线
点在直线上
（1） 以O为圆心，适当长为半径画弧，交直线于点A、B两点；
（2） 分别以点A、B为圆心，大于AB的长为半径，在AB两侧作弧，两弧分别交于点P、C；
（3） 作直线PC，直线PC即为所求作的垂线
等腰三角形“三线合一”；两点确定一条直线
点在直线外
（1） 在直线另一侧去点M；
（2） 以点P为圆心，PM长为半径画弧，交直线l于点A、B两点；
（3） 分别以点A、B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点Q；
（4） 作直线PQ，直线PQ即为所求作的垂线
1．（2021•广元）观察下列作图痕迹，所作线段CD为△ABC的角平分线的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】Ｃ
【解答】解：根据基本作图，A、D选项中为过C点作AB的垂线，B选项作AB的垂直平分线得到AB边上的中线CD，C选项作CD平分∠ACB．
故选：C．
2．（2021秋•广州期中）如图，在△ABC中，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB、AC于点M、N；再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P；连结AP并延长交BC于点D．则下列说法正确的是（ ）
A．AD+BD＜AB B．AD一定经过△ABC的重心
C．∠BAD＝∠CAD D．AD是三角形的高
【答案】C
【解答】解：由题可知AD是∠BAC的角平分线，
∴∠BAD＝∠CAD．
故选：C．
3．（2021•济宁）如图，已知△ABC．
（1）以点A为圆心，以适当长为半径画弧，交AC于点M，交AB于点N．
（2）分别以M，N为圆心，以大于MN的长为半径画弧，两弧在∠BAC的内部相交于点P．
（3）作射线AP交BC于点D．
（4）分别以A，D为圆心，以大于AD的长为半径画弧，两弧相交于G，H两点．
（5）作直线GH，交AC，AB分别于点E，F．
依据以上作图，若AF＝2，CE＝3，BD＝，则CD的长是（ ）
A． B．1 C． D．4
【答案】C
【解答】解：由作法得AD平分∠BAC，EF垂直平分AD，
∴∠EAD＝∠FAD，EA＝ED，FA＝FD，
∵EA＝ED，
∴∠EAD＝∠EDA，
∴∠FAD＝∠EDA，
∴DE∥AF，
同理可得AE∥DF，
∴四边形AEDF为平行四边形，
而EA＝ED，
∴四边形AEDF为菱形，
∴AE＝AF＝2，
∵DE∥AB，
∴＝，即＝，
∴CD＝．
故选：C．
4．（2021秋•开封期末）已知线段AB如图所示，延长AB至C，使BC＝AB，反向延长AB至D，使AD＝BC．点M是CD的中点，点N是AD的中点．
（1）依题意补全图形；
（2）若AB长为10，求线段MN的长度．
【答案】略
【解答】解：（1）如图，
（2）∵BC＝AD＝AB＝10，
∴DC＝30，
∵点M是CD的中点，
∴DM＝CD＝15，
∵点N是AD的中点，
∴DN＝AD＝5，
∴MN＝DM﹣DN＝15﹣5＝10，
答：线段MN的长度为10．
5．（2022•雨花区校级开学）下面是小华设计的“作三角形一边上的高”的尺规作图过程．
已知：△ABC，求作：△ABC的边BC上的高AD．
作法：
①以点A为圆心，适当长为半径画弧，交直线BC于点M，N；
②分别以点M，N为圆心，以大于MN的长为半径画弧，两弧相交于点P；
③作直线AP交BC于点D，则线段AD即为所求△ABC的边BC上的高．
根据小华设计的尺规作图过程：
（1）AP是线段MN的 ；
（2）证明AD是△ABC的高．
【答案】（1）垂直平分线 （2）略
【解答】（1）解：由作法得AP为线段MN的垂直平分线；
故答案为：垂直平分线；
（2）证明：∵AM＝AN，PM＝PN，
∴A点和P点在MN的垂直平分线上，
∴即AP垂直平分MN，
∴AD⊥BC，
即AD是△ABC的高．
6．（2021•烟台）如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°．
（1）请按如下要求完成尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）．
①作∠BAC的角平分线AD，交BC于点D；
②作线段AD的垂直平分线EF与AB相交于点O；
③以点O为圆心，以OD长为半径画圆，交边AB于点M．
（2）在（1）的条件下，求证：BC是⊙O的切线；
（3）若AM＝4BM，AC＝10，求⊙O的半径．
【答案】略
【解答】解：（1）如图所示，
①以A为圆心，以任意长度为半径画弧，与AC、AB相交，再以两个交点为圆心，以大于两点之间距离的一半为半径画弧相交于∠BAC内部一点，将点A与它连接并延长，与BC交于点D，则AD为∠BAC的平分线；
②分别以点A、点D为圆心，以大于AD长度为半径画圆，将两圆交点连接，则EF为AD的垂直平分线，EF与AB交于点O；
③如图，⊙O与AB交于点M；
（2）证明：∵EF是AD的垂直平分线，且点O在EF上，
∴OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠OAD＝∠CAD，
∴∠ODA＝∠CAD，
∴OD∥AC，
∵AC⊥BC，
∴OD⊥BC，
故BC是⊙O的切线．
（3）根据题意可知OM＝OA＝OD＝AM，AM＝4BM，
∴OM＝2BM，BO＝3BM，AB＝5BM，
∴＝＝，
由（2）可知Rt△BOD与Rt△BAC有公共角∠B，
∴Rt△BOD∽Rt△BAC，
∴＝，即＝，解得DO＝6，
故⊙O的半径为6．
1．（2021秋•盱眙县期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画圆弧，分别交AB、AC于点D、E，再分别以点D、E为圆心，大于DE长为半径画圆弧，两弧交于点F，作射线AF交边BC于点G．若CG＝4，AB＝10，则△ABG的面积是（ ）
A．10 B．20 C．30 D．40
【答案】B
【解答】解：如图，过点G作GH⊥AB于点H，
由作图过程可知：AG平分∠BAC，
∵∠C＝90°，
∴GC⊥AC，
∴GH＝GC＝4，
∴△ABG的面积＝AB•GH＝10×4＝20．
故选：B．
2．（2021秋•宁波期末）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，分别以A，C为圆心，大于AC长为半径作弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，与AC，BC分别交于D，E，连结AE，若AB＝6，AC＝10，则△ABE的周长为（ ）
A．13 B．14 C．15 D．16
【答案】B
【解答】解：由作法得ED垂直平分AC，
∴EA＝EC，
在Rt△ABC中，BC＝＝＝8，
∴△ABE的周长＝AB+BE+AE＝AB+BE+CE＝AB+BC＝6+8＝14．
故选：B．
3．（2021秋•定西期末）下列选项中的尺规作图，能推出PA＝PC的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解答】解：∵PA＝PC，
∴P点为AC的垂直平分线的上的点．
故选：B．
4．（2021秋•郧阳区期末）如图为用直尺和圆规作一个角等于已知角，那么能得出∠A′O′B′＝∠AOB的依据是运用了我们学习的全等三角形判定（ ）
A．角角边 B．边角边 C．角边角 D．边边边
【答案】D
【解答】解：由作法得OD＝OC＝OC′＝OD′，CD＝C′D′，
则可根据“SSS”可判定△OCD≌△OC′D′，
所以∠A′O′B′＝∠AOB．
故选：D．
5．（2021秋•朝阳区校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以点B和点C为圆心，大于BC的长为半径作弧，两弧相交于D、E两点，作直线DE交AB于点F，交BC与点G，连接CF，若AC＝3，CG＝2，则CF的长为 ．
【答案】
【解答】解：由作图可知，DE垂直平分线段BC，
∴CG＝GB＝2，FG⊥CB，
∴∠FGB＝∠ACB＝90°，
∴FG∥AC，
∵CG＝GB，
∴AF＝FB，
∴FG＝AC＝，
∵∠FGC＝90°，
∴CF＝＝＝，
故答案为．
1．（2021•阿坝州）如图，在△ABC中，∠BAC＝70°，∠C＝40°，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN交BC于点D，连接AD，则∠BAD的大小为（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【答案】A
【解答】解：由作图可知，直线MN是线段AC的垂直平分线，
∴DA＝DC，
∴∠DAC＝∠C＝40°．
∵∠BAC＝70°，
∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝70°﹣40°＝30°．
故选：A．
2．（2021•百色）如图，在⊙O中，尺规作图的部分作法如下：
（1）分别以弦AB的端点A、B为圆心，适当等长为半径画弧，使两弧相交于点M；
（2）作直线OM交AB于点N．
若OB＝10，AB＝16，则tanB等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：如图，连接OA，
∴OA＝OB，
根据作图过程可知：OM是AB的垂直平分线，
∴AN＝BN＝AB＝8，
在Rt△OBN中，OB＝10，BN＝8，
根据勾股定理，得ON＝＝6，
∴tanB＝＝＝．
故选：B．
3．（2021•黄石）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，按以下步骤作图：①以B为圆心，任意长为半径作弧，分别交BA、BC于M、N两点；②分别以M、N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，两弧相交于点P；③作射线BP，交边AC于D点．若AB＝10，BC＝6，则线段CD的长为（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】A
【解答】解：由作法得BD平分∠ABC，
过D点作DE⊥AB于E，如图，则DE＝DC，
在Rt△ABC中，AC＝＝＝8，
∵S△ABD+S△BCD＝S△ABC，
∴•DE×10+•CD×6＝×6×8，
即5CD+3CD＝24，
∴CD＝3．
故选：A．
4．（2021•铜仁市）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝8，按下列步骤作图：
步骤1：以点A为圆心，小于AC的长为半径作弧分别交AC、AB于点D、E．
步骤2：分别以点D、E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧交于点M．
步骤3：作射线AM交BC于点F．
则AF的长为（ ）
A．6 B．3 C．4 D．6
【答案】B
【解答】解：由作法得AF平分∠BAC，
过F点作FH⊥AB于H，如图，
∵AF平分∠BAC，FH⊥AB，FC⊥AC，
∴FH＝FC，
在△ABC中，∵∠C＝90°，AB＝10，BC＝8，
∴AC＝＝6，
设CF＝x，则FH＝x，
∵S△ABF+S△ACF＝S△ABC，
∴×10•x+×6•x＝×6×8，解得x＝3，
在Rt△ACF中，AF＝＝＝3．
故选：B．
5．（2021•永州）如图，在△ABC中，AB＝AC，分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN分别交BC、AB于点D和点E，若∠B＝50°，则∠CAD的度数是（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【答案】A
【解答】解：由作法得MN垂直平分AB，
∴DA＝DB，
∴∠DAB＝∠B＝50°，
∵AB＝AC，
∴∠C＝∠B＝50°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣50°﹣50°＝80°，
∴∠CAD＝∠BAC﹣∠DAB＝80°﹣50°＝30°．
故选：A．
6．（2021•长春）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB≠AC．用无刻度的直尺和圆规在BC边上找一点D，使△ACD为等腰三角形．下列作法不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解答】解：A、由作图可知AD是△ABC的角平分线，推不出△ADC是等腰三角形，本选项符合题意．
B、由作图可知CA＝CD，△ADC是等腰三角形，本选项不符合题意．
C、由作图可知DA＝CD，△ADC是等腰三角形，本选项不符合题意．
D、由作图可知DA＝CD，△ADC是等腰三角形，本选项不符合题意．
故选：A．
7．（2021•贵阳）如图，已知线段AB＝6，利用尺规作AB的垂直平分线，步骤如下：
①分别以点A，B为圆心，以b的长为半径作弧，两弧相交于点C和D．
②作直线CD．直线CD就是线段AB的垂直平分线．
则b的长可能是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解答】解：根据题意得b＞AB，
即b＞3，
故选：D．
8．（2021•荆州）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，点D，P分别是图中所作直线和射线与AB，CD的交点．根据图中尺规作图痕迹推断，以下结论错误的是（ ）
A．AD＝CD B．∠ABP＝∠CBP C．∠BPC＝115° D．∠PBC＝∠A
【答案】D
【解答】解：由作图可知，点D在AC的垂直平分线上，
∴DA＝DC，故选项A正确，
∴∠A＝∠ACD＝40°，
由作图可知，BP平分∠ABC，
∴∠ABP＝∠CBP，故选项B正确，
∵AB＝AC，∠A＝40°，
∴∠ABC＝∠ACB＝（180°﹣40°）＝70°，
∵∠PBC＝∠ABC＝35°，∠PCB＝∠ACB﹣∠ACD＝30°，
∴∠BPC＝180°﹣35°﹣30°＝115°，故选项C正确，
若∠PBC＝∠A，则∠A＝36°，显然不符合题意．
故选：D．
1．（2021•广陵区二模）用直尺和圆规作已知角∠AOB的平分线的作法如图，能得出∠AOC＝∠BOC的依据是（ ）
A．（SAS） B．（SSS） C．（AAS） D．（ASA）
【答案】B
【解答】解：由作图可知，OD＝OE，PD＝PE，
在△OPD和△OPE中，
，
∴△OPD≌△OPE（SSS），
∴∠AOC＝∠BOC，
故选：B．
2．（2021•河南模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2．按以下步骤作图：
①以点A为圆心，适当长度为半径作弧，分别交AC，AB于M，N两点；
②分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径作弧，两弧相交于点P；③作射线AP，交BC于点E．
则EC的长为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】C
【解答】解：由作法得AP平分∠BAC，
作EH⊥AB于H，如图，
∵AE为角平分线，EC⊥AC，EH⊥AB，
∴EC＝EH，
∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，
∴∠B＝45°，AB＝BC，
∴△BEH为等腰直角三角形，
∴BH＝EH＝BE，
设EH＝x，则BH＝EC＝x，BE＝x，
∴x+x＝2，
∴x＝2﹣2，
∴EC＝2﹣2，
故选：C．
3．（2021•高阳县模拟）如图，已知∠MAN＝60°，AB＝6．依据尺规作图的痕迹可求出BD的长为（ ）
A．2 B．3 C．3 D．6
【答案】B
【解答】解：由题意，AB＝AC，∠BAC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC＝6，
∵AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，BD＝CD＝3，
故选：B．
4．（2021•范县模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2BC，分别以点A和B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线MN，交AC于点E，连接BE，若CE＝3，则BE的长为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．6
【答案】A
【解答】解：解：由作图可知，MN垂直平分线段AB，
∴AE＝EB，
设AE＝EB＝x，
∵EC＝3，AC＝2BC，
∴BC＝（x+3），
在Rt△BCE中，∵BE2＝BC2+EC2，
∴x2＝32+[（x+3）]2，
解得，x＝5或﹣3（舍弃），
∴BE＝5，
故选：A．
5．（2021•开平区一模）用尺规作图作直线l的一条垂线，下面是甲，乙两个同学作图描述：
甲：如图1，在直线l上任取一点C，以C为圆心任意长为半径画弧，与直线l相交于点A、B两点，再分别以A、B为圆心以大于长为半径画弧，两弧相交于点D，作直线CD即为所求．
乙：如图2在直线l上任取两点M，N作线段MN的垂直平分线．
下面说法正确的是（ ）
A．甲对，乙不对 B．乙对甲不对
C．甲乙都对 D．甲乙都不对
【答案】C
【解答】解：根据过一点作已知直线的垂线的方法可知：甲正确；
根据作已知线段的垂直平分线的方法可知：乙正确．
所以甲乙都对．
故选：C．
6．（2021•莲都区校级模拟）下列三幅图都是“作已知三角形的高”的尺规作图过程，其中作图正确的是（ ）
A．（1）（2）（3） B．（1）（2） C．（1）（3） D．（2）（3）
【答案】A
【解答】解：图（1）和图（2）中，由“到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上”可知，AJ垂直平分GH，BC垂直平分AK，故作图正确；
图（3）中，依据“直径所对的圆周角等于90°”可知，BC所对的圆周角为直角，故作图正确；
故选：A．
7．（2021•马山县模拟）如图，已知AB＝AC，AB＝5，BC＝3，以A，B两点为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，连接MN与AC相交于点D，则△BDC的周长为（ ）
A．10 B．8 C．11 D．13
【答案】B
【解答】解：由作法得MN垂直平分AB，
∴DA＝DB，
∴△BDC的周长＝DB+DC+BC
＝DA+DC+BC
＝AC+BC
＝AB+BC
＝5+3
＝8．
故选：B．
8．（2021•平泉市一模）如图，已知直线AB和AB外一点C，用尺规过点C作AB的垂线．步骤如下：
第一步：任意取一点K，使点K和点C在AB的两旁；
第二步：以C为圆心，以a为半径画弧，交直线AB于点D，E；
第三步：分别以D，E为圆心，以b为半径画弧，两弧交于点F；
第四步：画直线CF．直线CF即为所求．
下列正确的是（ ）
A．a，b均无限制 B．a＝CK，b＞DE的长
C．a有最小限制，b无限制 D．a≥CK，b＜DE的长
【答案】B
【解答】解：由作图可知，a＝CK，b＞DE的长，
故选：B．
9．（2021•河北一模）嘉淇在用直尺和圆规作一个角等于已知角的步骤如下：
已知：∠AOB
求作：∠A'O'B'，使∠A'O'B'＝∠AOB．
作法：（1）如图，以点O为圆心，m为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D；
（2）画一条射线O'A'，以点O'为圆心，n为半径画弧，交O'A'于点C'；
（3）以点C'为圆心，p为半径画弧，与第（2）步中所画的弧相交于点D'；
（4）过点D'画射线O'B'，则∠A'O'B'＝∠AOB．
下列说法正确的是（ ）
A．m＝p＞0 B．n＝p＞0 C． D．m＝n＞0
【答案】D
【解答】解：由作图得OD＝OC＝OD′＝OC′，CD＝C′D′，
则m＝n＞0．
故选：D．
10．（2021•定兴县一模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD＝2，AB＝7，则△ABD的面积是（ ）
A．7 B．30 C．14 D．60
【答案】A
【解答】解：如图，过点D作DH⊥AB于H．
∵AP平分∠CAB，DC⊥AC，DH⊥AB，
∴DC＝DH＝2，
∴S△ABD＝×7×2＝7，
故选：A．
考点三十二 尺规作图
【命题趋势】
中考对尺规作图的考查涉及多种形式,不再是单一的对作图技法操作进行考查,而是把作图与计算、证明、分析、判断等数学思维活动有效融合,既体现了动手实践的数学思维活动,也考查了学生运用数学思考解决问题的能力.
【中考考查重点】
一、根据尺规作图的痕迹、步骤判断结论和计算。
二、尺规作图及相关证明与计算
考点：五种基本尺规作图
类型
图示
步骤
作图依据
1.作一条线段等于已知线段
O A P
（1）画射线OP
（2）在射线OP上截取OA=a
圆上的点到圆心的距离等于半径
2.作一个角等于已知角
（1） 以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C,D
（2） 画一条射线PO，以点P为圆心，OC长为半径画弧，交PO于点C′
（3） 以P为圆心，CD长为半径画弧，与第（2）步中所画的弧相交于点D′
（4） 过点P、P画射线PB′，则∠B′PO=
∠BOC
三边分别相等的两个三角形全等；全等三角形的对应角相等；两点确定一条直线
3.作一个角的平分线
（1）以点 O 为圆心，适当长为半径画弧，交 OA 于点 M，交 OB 于点 N．
（2） 分别以点M、N 为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在∠AOB 的 内部交于点 C．
（3）画出射线OC ，射线 OC 即为所求
4.作一条垂直平分线
1. 分别以点 A、B 为圆心，以大于 AB 的长为半径作弧，两弧相交于 C、D 两点；
2. 作直线 CD，CD 为所求直线
到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；两点确定一条直线
5.过一个点作已知直线的垂线
点在直线上
（1） 以O为圆心，适当长为半径画弧，交直线于点A、B两点；
（2） 分别以点A、B为圆心，大于AB的长为半径，在AB两侧作弧，两弧分别交于点P、C；
（3） 作直线PC，直线PC即为所求作的垂线
等腰三角形“三线合一”；两点确定一条直线
点在直线外
（1） 在直线另一侧去点M；
（2） 以点P为圆心，PM长为半径画弧，交直线l于点A、B两点；
（3） 分别以点A、B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点Q；
（4） 作直线PQ，直线PQ即为所求作的垂线
1．（2021•广元）观察下列作图痕迹，所作线段CD为△ABC的角平分线的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】Ｃ
【解答】解：根据基本作图，A、D选项中为过C点作AB的垂线，B选项作AB的垂直平分线得到AB边上的中线CD，C选项作CD平分∠ACB．
故选：C．
2．（2021秋•广州期中）如图，在△ABC中，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB、AC于点M、N；再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P；连结AP并延长交BC于点D．则下列说法正确的是（ ）
A．AD+BD＜AB B．AD一定经过△ABC的重心
C．∠BAD＝∠CAD D．AD是三角形的高
【答案】C
【解答】解：由题可知AD是∠BAC的角平分线，
∴∠BAD＝∠CAD．
故选：C．
3．（2021•济宁）如图，已知△ABC．
（1）以点A为圆心，以适当长为半径画弧，交AC于点M，交AB于点N．
（2）分别以M，N为圆心，以大于MN的长为半径画弧，两弧在∠BAC的内部相交于点P．
（3）作射线AP交BC于点D．
（4）分别以A，D为圆心，以大于AD的长为半径画弧，两弧相交于G，H两点．
（5）作直线GH，交AC，AB分别于点E，F．
依据以上作图，若AF＝2，CE＝3，BD＝，则CD的长是（ ）
A． B．1 C． D．4
【答案】C
【解答】解：由作法得AD平分∠BAC，EF垂直平分AD，
∴∠EAD＝∠FAD，EA＝ED，FA＝FD，
∵EA＝ED，
∴∠EAD＝∠EDA，
∴∠FAD＝∠EDA，
∴DE∥AF，
同理可得AE∥DF，
∴四边形AEDF为平行四边形，
而EA＝ED，
∴四边形AEDF为菱形，
∴AE＝AF＝2，
∵DE∥AB，
∴＝，即＝，
∴CD＝．
故选：C．
4．（2021秋•开封期末）已知线段AB如图所示，延长AB至C，使BC＝AB，反向延长AB至D，使AD＝BC．点M是CD的中点，点N是AD的中点．
（1）依题意补全图形；
（2）若AB长为10，求线段MN的长度．
【答案】略
【解答】解：（1）如图，
（2）∵BC＝AD＝AB＝10，
∴DC＝30，
∵点M是CD的中点，
∴DM＝CD＝15，
∵点N是AD的中点，
∴DN＝AD＝5，
∴MN＝DM﹣DN＝15﹣5＝10，
答：线段MN的长度为10．
5．（2022•雨花区校级开学）下面是小华设计的“作三角形一边上的高”的尺规作图过程．
已知：△ABC，求作：△ABC的边BC上的高AD．
作法：
①以点A为圆心，适当长为半径画弧，交直线BC于点M，N；
②分别以点M，N为圆心，以大于MN的长为半径画弧，两弧相交于点P；
③作直线AP交BC于点D，则线段AD即为所求△ABC的边BC上的高．
根据小华设计的尺规作图过程：
（1）AP是线段MN的 ；
（2）证明AD是△ABC的高．
【答案】（1）垂直平分线 （2）略
【解答】（1）解：由作法得AP为线段MN的垂直平分线；
故答案为：垂直平分线；
（2）证明：∵AM＝AN，PM＝PN，
∴A点和P点在MN的垂直平分线上，
∴即AP垂直平分MN，
∴AD⊥BC，
即AD是△ABC的高．
6．（2021•烟台）如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°．
（1）请按如下要求完成尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）．
①作∠BAC的角平分线AD，交BC于点D；
②作线段AD的垂直平分线EF与AB相交于点O；
③以点O为圆心，以OD长为半径画圆，交边AB于点M．
（2）在（1）的条件下，求证：BC是⊙O的切线；
（3）若AM＝4BM，AC＝10，求⊙O的半径．
【答案】略
【解答】解：（1）如图所示，
①以A为圆心，以任意长度为半径画弧，与AC、AB相交，再以两个交点为圆心，以大于两点之间距离的一半为半径画弧相交于∠BAC内部一点，将点A与它连接并延长，与BC交于点D，则AD为∠BAC的平分线；
②分别以点A、点D为圆心，以大于AD长度为半径画圆，将两圆交点连接，则EF为AD的垂直平分线，EF与AB交于点O；
③如图，⊙O与AB交于点M；
（2）证明：∵EF是AD的垂直平分线，且点O在EF上，
∴OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠OAD＝∠CAD，
∴∠ODA＝∠CAD，
∴OD∥AC，
∵AC⊥BC，
∴OD⊥BC，
故BC是⊙O的切线．
（3）根据题意可知OM＝OA＝OD＝AM，AM＝4BM，
∴OM＝2BM，BO＝3BM，AB＝5BM，
∴＝＝，
由（2）可知Rt△BOD与Rt△BAC有公共角∠B，
∴Rt△BOD∽Rt△BAC，
∴＝，即＝，解得DO＝6，
故⊙O的半径为6．
1．（2021秋•盱眙县期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画圆弧，分别交AB、AC于点D、E，再分别以点D、E为圆心，大于DE长为半径画圆弧，两弧交于点F，作射线AF交边BC于点G．若CG＝4，AB＝10，则△ABG的面积是（ ）
A．10 B．20 C．30 D．40
【答案】B
【解答】解：如图，过点G作GH⊥AB于点H，
由作图过程可知：AG平分∠BAC，
∵∠C＝90°，
∴GC⊥AC，
∴GH＝GC＝4，
∴△ABG的面积＝AB•GH＝10×4＝20．
故选：B．
2．（2021秋•宁波期末）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，分别以A，C为圆心，大于AC长为半径作弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，与AC，BC分别交于D，E，连结AE，若AB＝6，AC＝10，则△ABE的周长为（ ）
A．13 B．14 C．15 D．16
【答案】B
【解答】解：由作法得ED垂直平分AC，
∴EA＝EC，
在Rt△ABC中，BC＝＝＝8，
∴△ABE的周长＝AB+BE+AE＝AB+BE+CE＝AB+BC＝6+8＝14．
故选：B．
3．（2021秋•定西期末）下列选项中的尺规作图，能推出PA＝PC的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解答】解：∵PA＝PC，
∴P点为AC的垂直平分线的上的点．
故选：B．
4．（2021秋•郧阳区期末）如图为用直尺和圆规作一个角等于已知角，那么能得出∠A′O′B′＝∠AOB的依据是运用了我们学习的全等三角形判定（ ）
A．角角边 B．边角边 C．角边角 D．边边边
【答案】D
【解答】解：由作法得OD＝OC＝OC′＝OD′，CD＝C′D′，
则可根据“SSS”可判定△OCD≌△OC′D′，
所以∠A′O′B′＝∠AOB．
故选：D．
5．（2021秋•朝阳区校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以点B和点C为圆心，大于BC的长为半径作弧，两弧相交于D、E两点，作直线DE交AB于点F，交BC与点G，连接CF，若AC＝3，CG＝2，则CF的长为 ．
【答案】
【解答】解：由作图可知，DE垂直平分线段BC，
∴CG＝GB＝2，FG⊥CB，
∴∠FGB＝∠ACB＝90°，
∴FG∥AC，
∵CG＝GB，
∴AF＝FB，
∴FG＝AC＝，
∵∠FGC＝90°，
∴CF＝＝＝，
故答案为．
1．（2021•阿坝州）如图，在△ABC中，∠BAC＝70°，∠C＝40°，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN交BC于点D，连接AD，则∠BAD的大小为（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【答案】A
【解答】解：由作图可知，直线MN是线段AC的垂直平分线，
∴DA＝DC，
∴∠DAC＝∠C＝40°．
∵∠BAC＝70°，
∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝70°﹣40°＝30°．
故选：A．
2．（2021•百色）如图，在⊙O中，尺规作图的部分作法如下：
（1）分别以弦AB的端点A、B为圆心，适当等长为半径画弧，使两弧相交于点M；
（2）作直线OM交AB于点N．
若OB＝10，AB＝16，则tanB等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：如图，连接OA，
∴OA＝OB，
根据作图过程可知：OM是AB的垂直平分线，
∴AN＝BN＝AB＝8，
在Rt△OBN中，OB＝10，BN＝8，
根据勾股定理，得ON＝＝6，
∴tanB＝＝＝．
故选：B．
3．（2021•黄石）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，按以下步骤作图：①以B为圆心，任意长为半径作弧，分别交BA、BC于M、N两点；②分别以M、N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，两弧相交于点P；③作射线BP，交边AC于D点．若AB＝10，BC＝6，则线段CD的长为（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】A
【解答】解：由作法得BD平分∠ABC，
过D点作DE⊥AB于E，如图，则DE＝DC，
在Rt△ABC中，AC＝＝＝8，
∵S△ABD+S△BCD＝S△ABC，
∴•DE×10+•CD×6＝×6×8，
即5CD+3CD＝24，
∴CD＝3．
故选：A．
4．（2021•铜仁市）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝8，按下列步骤作图：
步骤1：以点A为圆心，小于AC的长为半径作弧分别交AC、AB于点D、E．
步骤2：分别以点D、E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧交于点M．
步骤3：作射线AM交BC于点F．
则AF的长为（ ）
A．6 B．3 C．4 D．6
【答案】B
【解答】解：由作法得AF平分∠BAC，
过F点作FH⊥AB于H，如图，
∵AF平分∠BAC，FH⊥AB，FC⊥AC，
∴FH＝FC，
在△ABC中，∵∠C＝90°，AB＝10，BC＝8，
∴AC＝＝6，
设CF＝x，则FH＝x，
∵S△ABF+S△ACF＝S△ABC，
∴×10•x+×6•x＝×6×8，解得x＝3，
在Rt△ACF中，AF＝＝＝3．
故选：B．
5．（2021•永州）如图，在△ABC中，AB＝AC，分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN分别交BC、AB于点D和点E，若∠B＝50°，则∠CAD的度数是（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【答案】A
【解答】解：由作法得MN垂直平分AB，
∴DA＝DB，
∴∠DAB＝∠B＝50°，
∵AB＝AC，
∴∠C＝∠B＝50°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣50°﹣50°＝80°，
∴∠CAD＝∠BAC﹣∠DAB＝80°﹣50°＝30°．
故选：A．
6．（2021•长春）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB≠AC．用无刻度的直尺和圆规在BC边上找一点D，使△ACD为等腰三角形．下列作法不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解答】解：A、由作图可知AD是△ABC的角平分线，推不出△ADC是等腰三角形，本选项符合题意．
B、由作图可知CA＝CD，△ADC是等腰三角形，本选项不符合题意．
C、由作图可知DA＝CD，△ADC是等腰三角形，本选项不符合题意．
D、由作图可知DA＝CD，△ADC是等腰三角形，本选项不符合题意．
故选：A．
7．（2021•贵阳）如图，已知线段AB＝6，利用尺规作AB的垂直平分线，步骤如下：
①分别以点A，B为圆心，以b的长为半径作弧，两弧相交于点C和D．
②作直线CD．直线CD就是线段AB的垂直平分线．
则b的长可能是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解答】解：根据题意得b＞AB，
即b＞3，
故选：D．
8．（2021•荆州）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，点D，P分别是图中所作直线和射线与AB，CD的交点．根据图中尺规作图痕迹推断，以下结论错误的是（ ）
A．AD＝CD B．∠ABP＝∠CBP C．∠BPC＝115° D．∠PBC＝∠A
【答案】D
【解答】解：由作图可知，点D在AC的垂直平分线上，
∴DA＝DC，故选项A正确，
∴∠A＝∠ACD＝40°，
由作图可知，BP平分∠ABC，
∴∠ABP＝∠CBP，故选项B正确，
∵AB＝AC，∠A＝40°，
∴∠ABC＝∠ACB＝（180°﹣40°）＝70°，
∵∠PBC＝∠ABC＝35°，∠PCB＝∠ACB﹣∠ACD＝30°，
∴∠BPC＝180°﹣35°﹣30°＝115°，故选项C正确，
若∠PBC＝∠A，则∠A＝36°，显然不符合题意．
故选：D．
1．（2021•广陵区二模）用直尺和圆规作已知角∠AOB的平分线的作法如图，能得出∠AOC＝∠BOC的依据是（ ）
A．（SAS） B．（SSS） C．（AAS） D．（ASA）
【答案】B
【解答】解：由作图可知，OD＝OE，PD＝PE，
在△OPD和△OPE中，
，
∴△OPD≌△OPE（SSS），
∴∠AOC＝∠BOC，
故选：B．
2．（2021•河南模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2．按以下步骤作图：
①以点A为圆心，适当长度为半径作弧，分别交AC，AB于M，N两点；
②分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径作弧，两弧相交于点P；③作射线AP，交BC于点E．
则EC的长为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】C
【解答】解：由作法得AP平分∠BAC，
作EH⊥AB于H，如图，
∵AE为角平分线，EC⊥AC，EH⊥AB，
∴EC＝EH，
∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，
∴∠B＝45°，AB＝BC，
∴△BEH为等腰直角三角形，
∴BH＝EH＝BE，
设EH＝x，则BH＝EC＝x，BE＝x，
∴x+x＝2，
∴x＝2﹣2，
∴EC＝2﹣2，
故选：C．
3．（2021•高阳县模拟）如图，已知∠MAN＝60°，AB＝6．依据尺规作图的痕迹可求出BD的长为（ ）
A．2 B．3 C．3 D．6
【答案】B
【解答】解：由题意，AB＝AC，∠BAC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC＝6，
∵AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，BD＝CD＝3，
故选：B．
4．（2021•范县模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2BC，分别以点A和B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线MN，交AC于点E，连接BE，若CE＝3，则BE的长为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．6
【答案】A
【解答】解：解：由作图可知，MN垂直平分线段AB，
∴AE＝EB，
设AE＝EB＝x，
∵EC＝3，AC＝2BC，
∴BC＝（x+3），
在Rt△BCE中，∵BE2＝BC2+EC2，
∴x2＝32+[（x+3）]2，
解得，x＝5或﹣3（舍弃），
∴BE＝5，
故选：A．
5．（2021•开平区一模）用尺规作图作直线l的一条垂线，下面是甲，乙两个同学作图描述：
甲：如图1，在直线l上任取一点C，以C为圆心任意长为半径画弧，与直线l相交于点A、B两点，再分别以A、B为圆心以大于长为半径画弧，两弧相交于点D，作直线CD即为所求．
乙：如图2在直线l上任取两点M，N作线段MN的垂直平分线．
下面说法正确的是（ ）
A．甲对，乙不对 B．乙对甲不对
C．甲乙都对 D．甲乙都不对
【答案】C
【解答】解：根据过一点作已知直线的垂线的方法可知：甲正确；
根据作已知线段的垂直平分线的方法可知：乙正确．
所以甲乙都对．
故选：C．
6．（2021•莲都区校级模拟）下列三幅图都是“作已知三角形的高”的尺规作图过程，其中作图正确的是（ ）
A．（1）（2）（3） B．（1）（2） C．（1）（3） D．（2）（3）
【答案】A
【解答】解：图（1）和图（2）中，由“到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上”可知，AJ垂直平分GH，BC垂直平分AK，故作图正确；
图（3）中，依据“直径所对的圆周角等于90°”可知，BC所对的圆周角为直角，故作图正确；
故选：A．
7．（2021•马山县模拟）如图，已知AB＝AC，AB＝5，BC＝3，以A，B两点为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，连接MN与AC相交于点D，则△BDC的周长为（ ）
A．10 B．8 C．11 D．13
【答案】B
【解答】解：由作法得MN垂直平分AB，
∴DA＝DB，
∴△BDC的周长＝DB+DC+BC
＝DA+DC+BC
＝AC+BC
＝AB+BC
＝5+3
＝8．
故选：B．
8．（2021•平泉市一模）如图，已知直线AB和AB外一点C，用尺规过点C作AB的垂线．步骤如下：
第一步：任意取一点K，使点K和点C在AB的两旁；
第二步：以C为圆心，以a为半径画弧，交直线AB于点D，E；
第三步：分别以D，E为圆心，以b为半径画弧，两弧交于点F；
第四步：画直线CF．直线CF即为所求．
下列正确的是（ ）
A．a，b均无限制 B．a＝CK，b＞DE的长
C．a有最小限制，b无限制 D．a≥CK，b＜DE的长
【答案】B
【解答】解：由作图可知，a＝CK，b＞DE的长，
故选：B．
9．（2021•河北一模）嘉淇在用直尺和圆规作一个角等于已知角的步骤如下：
已知：∠AOB
求作：∠A'O'B'，使∠A'O'B'＝∠AOB．
作法：（1）如图，以点O为圆心，m为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D；
（2）画一条射线O'A'，以点O'为圆心，n为半径画弧，交O'A'于点C'；
（3）以点C'为圆心，p为半径画弧，与第（2）步中所画的弧相交于点D'；
（4）过点D'画射线O'B'，则∠A'O'B'＝∠AOB．
下列说法正确的是（ ）
A．m＝p＞0 B．n＝p＞0 C． D．m＝n＞0
【答案】D
【解答】解：由作图得OD＝OC＝OD′＝OC′，CD＝C′D′，
则m＝n＞0．
故选：D．
10．（2021•定兴县一模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD＝2，AB＝7，则△ABD的面积是（ ）
A．7 B．30 C．14 D．60
【答案】A
【解答】解：如图，过点D作DH⊥AB于H．
∵AP平分∠CAB，DC⊥AC，DH⊥AB，
∴DC＝DH＝2，
∴S△ABD＝×7×2＝7，
故选：A．
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