2023年河北省秦皇岛市中考数学一模试卷（含解析）
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一、选择题（本大题共16小题，共42.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列各数中，比小的数是( )
A. B. C. D.
2. 如图是由个相同的小正方体组成的立体图形，它的俯视图为( )
A. B. C. D.
3. 我国自主研发的“北斗系统”现已广泛应用于国防、生产和生活等各个领域，多项技术处于国际领先地位，其星载原子钟的精度，已经提升到了每年误差秒．数用科学记数法表示为( )
A. B. C. D.
4. 将一副三角尺按如图摆放，点在上，点在的延长线上，，，，，则的度数是( )
A. B. C. D.
5. 下列说法正确的是( )
A. 为了解人造卫星的设备零件的质量情况，选择抽样调查
B. 方差是刻画数据波动程度的量
C. 购买一张体育彩票必中奖，是不可能事件
D. 掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为
6. 下列运算正确的是( )
A. B. C. D.
7. 对于一次函数，下列说法不正确的是( )
A. 图象经过点 B. 图象与轴交于点
C. 图象不经过第四象限 D. 当时，
8. 一个圆锥的底面半径是，其侧面展开图的圆心角是，则圆锥的母线长是( )
A. B. C. D.
9. 如图，正方形四个顶点的坐标依次为，，，若抛物线的图象与正方形有公共点，则实数的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
10. 如图，已知和都是等腰三角形，，，交于点，连接，下列结论：；；平分；，其中正确结论的个数有( )
A. 个
B. 个
C. 个
D. 个
11. 如图，在正方形纸片上，是上一点不与点，重合将纸片沿折叠，使点落在点处，延长交于点，则( )
A.
B.
C.
D. 不是定值
12. 有一个正方体木块，每一块的各面都写上不同的数字，三块的写法完全相同，现把它们摆放成如图所示的位置．请你判断数字对面的数字是( )
A. B. C. D.
13. 某商店销售一批头盔，售价为每顶元，每月可售出顶在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价元，每月可多售出顶已知头盔的进价为每顶元，则该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为元．( )
A. B. C. D.
14. 如图所示，已知二次函数的图象与轴交于，两点，与轴的正半轴交于点，顶点为，则下列结论：；；当是等腰三角形时，的值有个；当是直角三角形时，的值有个；其中正确的有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
15. 将关于的一元二次方程变形为，就可以将表示为关于的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式根据“降次法”，已知：，且，则的值为( )
A. B. C. D.
16. 如图，已知直线：，直线：和点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，，按此作法进行下去，则点的横坐标为( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共3小题，共12.0分）
17. 幻方是相当古老的数学问题，我国古代的洛书中记载了最早的幻方--九宫图．将数字分别填入如图所示的幻方中，要求每一横行、每一竖行以及两条斜对角线上的数字之和都是，则的值为______．
18. 如图，网格纸上每个小正方形的边长为，点，点均在格点上，点为轴上任意一点，则周长的最小值为______．
19. 小王和小李先后从地出发沿同一直道去地设小李出发第时，小李、小王离地的距离分别为、与之间的函数表达式是，与之间的函数表达式是．
小李出发时，小王离地的距离为
小李出发至小王到达地这段时间内，当小李出发 时两人相距最近这个最近距离是
三、解答题（本大题共7小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
20. 本小题分
米老鼠在解方程的过程中，去分母时方程右边的忘记乘，因而求得的解为．
请你帮助米老鼠求出的值；
正确地解这个方程．
21. 本小题分
如图，和是两个全等的等腰直角三角形，，的顶点与的斜边的中点重合将绕点旋转，旋转过程中，线段与线段相交于点，线段与射线相交于点．
如图，当点在线段上，且时，求证：≌；
如图，当点在线段的延长线上时，求证：∽．
22. 本小题分
如图，小明利用学到的数学知识测量大桥主架在水面以上的高度，在观测点处测得大桥主架顶端的仰角为，测得大桥主架与水面交汇点的俯角为，观测点与大桥主架的水平距离为米，且垂直于桥面．点，，，在同一平面内
求大桥主架在桥面以上的高度；结果保留根号
求大桥主架在水面以上的高度结果精确到米
参考数据，，，
23. 本小题分
为了了解某校某年级名学生一分钟的跳绳次数，从中随机抽取了名学生的一分钟跳绳次数次数为整数，且最高次数不超过次，整理后绘制成如图的频数直方图，图中的，满足关系式后由于保存不当，部分原始数据模糊不清，但已知缺失数据都大于请结合所给条件，回答下列问题．
求问题中的总体和样本容量；
求，的值请写出必要的计算过程；
如果一分钟跳绳次数在次以上不含次为跳绳成绩优秀，那么估计该校该年级学生跳绳成绩优秀的人数大约是多少人？注：该年级共名学生
24. 本小题分
某市接到上级救灾的通知，派出甲、乙两个抗震救灾小组乘车沿同一路线赶赴距出发点千米的灾区．乙组由于要携带一些救灾物资，比甲组迟出发小时从甲组出发时开始计时图中的折线、线段分别表示甲、乙两组的所走路程千米、千米与时间小时之间的函数关系对应的图象．请根据图象所提供的信息，解决下列问题：
由于汽车发生故障，甲组在途中停留了______小时．
甲组的汽车排除故障后，立即提速赶往灾区．请问甲组的汽车在排除故障时，距出发点的路程是多少千米？
为了保证及时联络，甲、乙两组在第一次相遇时约定此后两车之间的路程不超过千米，请通过计算说明，按图象所表示的走法是否符合约定．
25. 本小题分
如图，以坐标原点为圆心的的半径为，直线：与坐标轴分别交于、两点，点的坐标为，与轴相切于点．
求点的坐标及的度数；
的半径以每秒个单位长度的速度增大，问多长时间与直线相交的线段长是；
以每秒个单位长度的速度沿轴负方向平移，同时，直线绕点以每秒旋转的速度顺时针匀速旋转，当第一次与相切时，请判断直线与的位置关系，并说明理由．
26. 本小题分
已知过点，，三点，对称轴是直线，关于的方
程有两个相等的实数根．
求抛物线的解析式；
若点在直线的左侧，点在直线的右侧，且，求的取值范围；
若，试比较与的大小．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，
．
故选：．
先计算，再比较大小．
本题考查了绝对值的化简及有理数大小的比较．掌握有理数大小的比较方法是解决本题的关键．有理数大小的比较：正数大于，大于一切负数．两个负数比较大小，绝对值大的反而小．
2.【答案】
【解析】解：俯视图就是从上面看到的图形，因此选项C的图形符合题意，
故选：．
从上面看物体所得到的图形即为俯视图，因此选项C的图形符合题意．
本题考查简单几何体的三视图，主视图、左视图、俯视图实际上就是从正面、左面、上面对该几何体正投影所得到的图形．
3.【答案】
【解析】解：，
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了三角形内角和定理和平行线的性质，牢记“两直线平行，内错角相等”是解题的关键．由，，，利用三角形内角和定理可得出，，由，利用“两直线平行，内错角相等”可得出的度数，进而可得答案．
【解答】
解：，，
．
，，
．
，
，
．
故选A．
5.【答案】
【解析】解：为了解人造卫星的设备零件的质量情况，应选择全面调查，即普查，不宜选择抽样调查，因此选项A不符合题意；
方差是刻画数据波动程度的量，反映数据的离散程度，因此选项B符合题意；
购买一张体育彩票中奖，是可能的，只是可能性较小，是可能事件，因此选项C不符合题意；
掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为，因此选项D不符合题意；
故选：．
根据普查、抽查，方差，概率的意义逐项进行判断即可．
本题考查普查、抽查，方差，概率的意义，理解各个概念的意义是正确判断的前提．
6.【答案】
【解析】
【分析】
此题主要考查了整式的运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
直接利用合并同类项法则以及幂的乘方运算法则、同底数幂的乘法法则、单项式除以单项式法则分别计算得出答案．
【解答】
解：、，故此选项错误；
B、，故此选项错误；
C、，故此选项错误；
D、，正确．
故选：．
7.【答案】
【解析】解：一次函数，
当时，，
图象经过点，故选项A正确；
令，解得，
图象与轴交于点，故选项B正确；
，，
不经过第四象限，故选项C正确；
，
函数值随的增大而增大，
当时，，
当时，，故选项D不正确，
故选：．
根据题目中的函数解析式和一次函数的性质可以判断各个选项中的结论是否成立，从而可以解答本题．
本题考查一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
8.【答案】
【解析】解：圆锥的底面周长为，即为展开图扇形的弧长，
由弧长公式得，，
解得，，即圆锥的母线长为．
故选：．
根据圆锥侧面展开图的实际意义求解即可．
本题考查圆锥的侧面展开图，明确展开图扇形的各个部分与圆锥的关系是正确计算的前提．
9.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查坐标与图形性质，二次函数图象上的点的坐标特征等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
求出抛物线经过两个特殊点时的的值即可解决问题．
【解答】
解：当抛物线经过时，，
当抛物线经过时，，
观察图象可知．
10.【答案】
【解析】解：如图，作于，于，设交于．
，
，
，，
≌，
，，故正确
，
，
，故正确，
≌，，，
，
平分，
，故正确，
若成立，则，
，
，推出，由题意知，不一定等于，
所以不一定平分，故错误，
故选：．
如图，作于，于，设交于证明≌，利用全等三角形的性质一一判断即可．
本题考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
11.【答案】
【解析】解：四边形是正方形
，
折叠
，
，且
≌
故选：．
由折叠可得，由题意可证≌，可得，即可求的值．
本题考查了折叠问题，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练运用这些性质解决问题是本题的关键．
12.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，根据的相邻数字判断出对面上的数字是解题的关键．通过三个图形可知与相邻的数字有、、、，判断出与相对的数字为，从而求解．
【解答】
解：由图可知，与相邻的数字有、、、，
所以，数字对面的数字为．
故选B．
13.【答案】
【解析】解：设利润为元，每顶头盔的售价为元，
由题意可得：，
当时，取得最大值，
故选：．
根据题意，可以写出利润和售价之间的函数关系式，然后根据二次函数的性质，即可得到当售价为多少时，可以获得最大利润．
本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数解析式，利用二次函数的性质求最值．
14.【答案】
【解析】解：二次函数的图象与轴交于，两点，
对称轴为直线，
，
，
故正确，
当时，，
，
，
，
故错误；
二次函数，
点，
当时，，
，
当时，，
，
当是等腰三角形时，的值有个，
故正确；
二次函数，
顶点，
，，，
若，可得，
，
，
若，可得，
，
，
当是直角三角形时，或，
的值有个，
故错误，
故选：．
由图象可得对称轴为直线，可得，可判断；将点坐标代入解析式可得，可判断；由等腰三角形的性质和两点距离公式，可求的值，可判断；由直角三角形的性质和两点距离可求或，可判断，即可求解．
本题考查了二次函数图象与系数关系，掌握抛物线与轴的交点，二次函数图象与系数关系，等腰三角形的性质，直角三角形的性质等知识，灵活运用这些性质进行推理是解题的关键．
15.【答案】
【解析】解：，
，
．
故选：．
变形已知为，把变形后的代数式代入要求值的代数式．
本题主要考查了代数式的求值，看懂题例掌握降次的思想是解决本题的关键．另解决本题亦可先求出已知中的值，再把的值代入要求值代数式计算．
16.【答案】
【解析】解：点，在直线上，
，
轴，
的纵坐标的纵坐标，
在直线上，
，
，
，即的横坐标为，
同理，的横坐标为，的横坐标为，，，，，
，
的横坐标为，
的横坐标为，
的横坐标为，
的横坐标为，
故选：．
点，在直线上，得到，求得的纵坐标的纵坐标，得到，即的横坐标为，同理，的横坐标为，的横坐标为，，，，，求得，于是得到结论．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，规律型：点的坐标，正确地作出规律是解题的关键．
17.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
根据幻方的定义，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】
解：由于，，
而，
则，
解得：．
故答案为：
18.【答案】
【解析】解：如图，点即为所求．
，，，
，，
的周长的最小值，
故答案为：．
作点关于轴的对称点，连接交轴于，连接，，此时的周长最短．
本题考查轴对称最短问题，勾股定理，坐标与图形性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．
19.【答案】
【解析】解：，．
当时，，，
小李出发时，小王离地的距离为，
故答案为：；
设小李出发第时，两人相距，
则，
当时，取得最小值，此时，
答：小李出发第时，两人相距最近，最近距离是．
故答案为：，．
根据题意和函数解析式，可以计算出小李出发时，小王离地的距离；
根据题目中的函数解析式和题意，利用二次函数的性质，可以得到小李出发至小王到达地这段时间内，两人何时相距最近，最近距离是多少．
本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
20.【答案】解：把代入方程得：，
解得：；
方程为，
，
，
，
．
【解析】把代入方程得出，再求出方程的解即可；
去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化成即可．
本题考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，注意：使方程左右两边相等的未知数的值，叫方程的解．
21.【答案】证明：是等腰直角三角形，
，．
，
．
是的中点，
．
在和中，
，
≌；
，，且，
，
，
∽，
【解析】由是等腰直角三角形，易得，，又由，是的中点，利用，可证得≌；
根据三角形外角的性质可得，结合，得到，进而证得结论；
本题考查相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法，属于中考常考题型．
22.【答案】解：垂直于桥面，
，
在中，，，
，
米，
答：大桥主架在桥面以上的高度为米；
在中，，，
，
，
米
答：大桥主架在水面以上的高度约为米．
【解析】根据正切的定义求出；
根据正切的定义求出，结合图形计算即可．
本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
23.【答案】解：名学生一分钟的跳绳次数是总体，
名学生的一分钟跳绳次数是样本容量；
由题意所给数据可知：
的有人，
的有人，
，
，
解得，，
人，
答：估计该校该年级学生跳绳成绩优秀的人数大约是人．
【解析】根据总体和样本容量的定义即可得问题中的总体和样本容量；
根据表格所给数据先求出的有人，的有人，再根据，，即可求出，的值；
利用样本估计总体的方法即可估计该校该年级学生跳绳成绩优秀的人数大约是多少人．
本题考查了频数分布直方图、总体、个体、样本、样本容量、用样本估计总体，解决本题的关键是综合运用以上知识．
24.【答案】．
由图象可知，、、，
乙的速度为，
设：，
将点代入，得：，即，
：；
当时，，
点，
设：，
将点、代入，得：，
解得：，
：，
当时，，
答：甲组的汽车在排除故障时，距出发点的路程是千米．
符合约定，
由图象可知：甲、乙两组第一次相遇后在和相距最远．
在点处有千米千米，
在点有千米千米，
按图象所表示的走法符合约定．
【解析】解：甲组在途中停留时间为：小时，
故答案为：；
见答案；
见答案．
由于线段与轴平行，故自时到时这段时间内甲组停留在途中，所以停留的时间为时；
观察图象可知点的纵坐标就是甲组的汽车在排除故障时距出发点的路程的千米数，所以求得点的坐标是解答题的关键，这就需要求得直线和直线的解析式，而过点，，利用这两点的坐标即可求出该直线的解析式，然后令，即可求出点的纵坐标，又因点，这样就可求出即的解析式，从而求出点的坐标；
由图象可知：甲、乙两组第一次相遇后在和相距最远，在点处时，，求出此时的，在点有，也求出此时的，分别同比较即可．
本题是依据函数图象提供的信息，解答相关的问题，充分体现了“数形结合”的数学思想，是中考的常见题型，其关键是认真观察函数图象、结合已知条件，正确地提炼出图象信息．
25.【答案】解：直线的解析式是，
令，得，
，
再令，则，解得，，
，
，所以．
设经过秒，与直线相交的线段的长是，
再作，连接，则，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
的移动距离为，
的移动速度是每秒个单位长度，
的移动时间秒．
如图示，连接并延长，交旋转后的直线于点，过作于，
当第一次与相切时，即两圆外切，
，
的圆心的坐标应为，
点的坐标为，
第一次相切，是经过了，
又直线绕点以每秒钟旋转的速度顺时针匀速旋转，
钟转了，
由题意知，，
，
，
即，
此时，点到直线的距离等于半径，所以直线与相切．
【解析】已知直线的解析式，分别令和，即可求出、点的坐标，进而确定的度数．
设的移动时间为，则根据垂径定理算得，再由算出的移动距离的长度为，最后由的移动速度和距离，求出移动时间的值．
当第一次与相切时，即两圆外切，，所以的圆心的坐标应为，所以第一次相切，是经过了，又因为直线绕点以每秒钟旋转的速度顺时针匀速旋转，所以钟转了，此时，点到直线的距离等于半径，所以直线与相切．
本题属于圆的综合题，考查了直线与圆的位置关系，动点问题的速度、时间与路程的关系，还考查了垂径定理，判定直线与圆的位置关系，关键在于：函数知识的运用，垂径定理的使用，判断直线与圆的位置关系的应用．
26.【答案】解：抛物线经过，
，
对称轴是直线，
，
关于的方程有两个相等的实数根，
，
由可得：，
抛物线的解析式为；
若点在对称轴直线的左侧，点在对称轴直线的右侧时，
由题意可得，
；
，
，，
点，点在对称轴直线的左侧，
抛物线，
，
即随的增大而增大，
，
，
．
【解析】由题意可得，，，联立方程组可求，，，可求解析式；
根据题意列出不等式组可求解；
由，可得点，点在对称轴直线的左侧，由二次函数的性质可求解．
本题考查了抛物线与轴的交点，二次函数的性质，根的判别式，待定系数法求解析式，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
