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专题15 线段、角、相交线与平行线（考点解读）（全国通用）
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专题15 线段、角、相交线与平行线（考点解读）
中考命题解读
本节知识大部分内容在学业水平测试要求中要求学生达到理解程度，其中平行线的
性质及判定要求达到掌握程度，要求会用角平分线的性质、线段垂直平分线的性质，利用平行线的性质求角度多以填空题的考察形式出现。
考标要求
1.了解直线、射线、线段的概念,理解两点之间的距离；
2.理解角的概念及表示,能正确地进行角的度量与换算;能估计、比较角的大小,能正确地计算角度的和与差.
3.理解角的平分线及其性质以及补角、余角、对顶角的概念,
4.理解掌握并能熟练运用补角、余角、对顶角的性质.
5.理解垂线、垂线段、点到直线的距离,理解垂线的性质和垂线段的性质,
6.理解线段的垂直平分线及其性质.能用三角尺或量角器画出直线的垂线、线段的垂直平分线、角的平分线.
7.理解掌握平行线的概念,两直线平行的性质和判定,并能用平行线的性质和判定证明或解决有关问题.能用三角尺和直尺过直线外一点画这条直线的平行线.
8.了解两条平行线之间的距离的概念,能正确地度量两条平行线间的距离.
考点精讲
考点1：直线、射线与线段的概念
注意：直线是可以向两边无限延伸的，射线受端点的限制，只能向一边无限延伸；线段不能 延伸，所以直线与射线不可测量长度，只有线段可以测量。
考点2 ：基本事实
1. 经过两点有一条直线，并且仅有一条直线，即两点确定一条直线
2. 两点之间的线段中，线段最短，简称两点间线段最短
考点3： 基本概念
1. 两点间的距离： 两个端点之间的长度叫做两点间的距离。
2. 线段的等分点： 把一条线段平均分成两份的点，叫做这个线段的中点
考点4：双中点模型：
C 为 AB 上任意一点，M、N 分别为 AC、BC 中点，则
考点5：角及其平分线
1.度量角的大小：可用“度”作为度量单位。把一个圆周分成360等份，每一份叫做一度的角。1度=60分；1分=60秒。
2，余角：若∠1+∠2=90°，则∠1与∠2互余，若∠1与∠2互余，则∠1+∠2=90°.
3.补角：若∠1+∠2=180°，则∠1与∠2互补，若∠1与∠2互补，则∠1+∠2=180°.
性质：同角(等角)的余角相等．同角（等角）的补角相等．
4. 角的平分线的性质
（一）作已知角的平分线（已知：∠AOB。求作：∠AOB的平分线）
1、以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N。
2、分别以M,N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C。
3、画射线OC，射线OC即为所求。
（二）角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
几何表示：∵OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E。∴PD=PE。
5.角的平分线的判定
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。
几何表示：
∵点P是∠AOB内的一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，且PD=PE，
∴点P在∠AOB的平分线OC上。
考点6：相交线
1.对顶角：如图1所示，∠1与∠3、∠2与∠4都是对顶角。
2.邻补角：如图2所示，∠1与∠2互为邻补角，由平角定义可知∠1＋∠2＝180°。
图1 图2
3.三线八角
两条直线被第三条线所截，可得八个角，即“三线八角”，如图6所示。
（1）同位角：可以发现∠1与∠5都处于直线的同一侧，直线、的同一方，这样位置的一对角就是同位角。图中的同位角还有∠2与∠6，∠3与∠7，∠4与∠8。
（2）内错角：可以发现∠3与∠5都处于直线的两旁，直线、的两方，这样位置的一对角就是内错角。图中的内错角还有∠4与∠6。
（3）同旁内角：可以发现∠4与∠5都处于直线的同一侧，直线、的两方，这样位置的一对角就是同旁内角。图中的同旁内角还有∠3与∠6。
4．垂线的性质
（1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
（2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．简单说成：垂线段最短．
5.垂直平分线的性质
（1）定理：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.
（2）逆定理：与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.
考点7：平行线
1.平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。
2.平行公理的推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
说明：也可以说两条射线或两条线段平行，这实际上是指它们所在的直线平行。
3.平行线的判定：
（1）同位角相等，两直线平行。
（2）内错角相等，两直线平行。
（3）同旁内角互补，两直线平行。
4.平行线的性质
（1）两直线平行，同位角相等。
（2）两直线平行，内错角相等。
（3）两直线平行，同旁内角互补。
说明：要证明两条直线平行，用判定公理（或定理）在已知条件中有两条直线平行时，则应用性质定理。
考点8：命题
内容
定义
能判断一件事情的语句，叫做命题。
组成
命题由题设和结论两部分组成，题设是已知的事项，结论是由已知事项推出来的事项
表达形式
通常可以写成“如果......,那么......”的形式，“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论。
分类
题设成立，结论也成立，这样的命题叫做真命题
题设成立，结论不成立，这样的命题叫做假命题。
母题精讲
【典例1】（义乌市）如图，经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，而且只能弹出一条墨线，能解释这一实际应用的数学知识是（ ）
A．两点确定一条直线
B．两点之间线段最短
C．垂线段最短
D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
【典例2】（2021•兴安盟）74°19′30″＝ °．
【典例3】（2022•宿迁）如图，AB∥ED，若∠1＝70°，则∠2的度数是（ ）
A．70° B．80° C．100° D．110°
【典例4】（2022•益阳）如图，PA，PB表示以P为起点的两条公路，其中公路PA的走向是南偏西34°，公路PB的走向是南偏东56°，则这两条公路的夹角∠APB＝ °．
【典例5】（2022•资阳）将直尺和三角板按如图所示的位置放置．若∠1＝40°，则∠2度数是（ ）
A．60° B．50° C．40° D．30°
【典例6】（2022•丹东）如图，直线l1∥l2，直线l3与l1，l2分别交于A，B两点，过点A作AC⊥l2，垂足为C，若∠1＝52°，则∠2的度数是（ ）
A．32° B．38° C．48° D．52°
【典例7】（2022•湖北）如图，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F．∠BEF的平分线交CD于点G．若∠EFG＝52°，则∠EGF＝（ ）
A．128° B．64° C．52° D．26°
【典例8】（2022•武汉）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝80°．
（1）求∠BAD的度数；
（2）AE平分∠BAD交BC于点E，∠BCD＝50°．求证：AE∥DC．
真题精选
命题1 角的有关概念及性质
1．（2022•甘肃）若∠A＝40°，则∠A的余角的大小是（ ）
A．50° B．60° C．140° D．160°
2．（2021•青岛）如图，在Rt△ABC中，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB，垂足是E．若AC＝5，DE＝2，则AD为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
3．（2021•桂林）如图，直线a，b相交于点O，∠1＝110°，则∠2的度数是（ ）
A．70° B．90° C．110° D．130°
4．（2022•青海）数学课上老师用双手形象的表示了“三线八角”图形，如图所示（两大拇指代表被截直线，食指代表截线）．从左至右依次表示（ ）
A．同旁内角、同位角、内错角
B．同位角、内错角、对顶角
C．对顶角、同位角、同旁内角
D．同位角、内错角、同旁内角
5．（2022•宜昌）如图，C岛在A岛的北偏东50°方向，C岛在B岛的北偏西35°方向，则∠ACB的大小是 ．
命题2 平行线性质求角度及平行线的判定
6．（2022•六盘水）如图，a∥b，∠1＝43°，则∠2的度数是（ ）
A．137° B．53° C．47° D．43°
7．（2022•西藏）如图，l1∥l2，∠1＝38°，∠2＝46°，则∠3的度数为（ ）
A．46° B．90° C．96° D．134°
8．（2022•柳州）如图，直线a，b被直线c所截，若a∥b，∠1＝70°，则∠2的度数是（ ）
A．50° B．60° C．70° D．110°
9．（2021•黔西南州）将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则∠1的度数为（ ）
A．95° B．100° C．105° D．110°
10．（2021•兰州）将一副三角板如图摆放，则 ∥ ，理由是 ．
11．（2018•重庆）如图，直线AB∥CD，BC平分∠ABD，∠1＝54°，求∠2的度数．
命题3 命题
12．（2021•达州）以下命题是假命题的是（ ）
A．的算术平方根是2
B．有两边相等的三角形是等腰三角形
C．一组数据：3，﹣1，1，1，2，4的中位数是1.5
D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
专题15 线段、角、相交线与平行线（考点解读）
中考命题解读
本节知识大部分内容在学业水平测试要求中要求学生达到理解程度，其中平行线的
性质及判定要求达到掌握程度，要求会用角平分线的性质、线段垂直平分线的性质，利用平行线的性质求角度多以填空题的考察形式出现。
考标要求
1.了解直线、射线、线段的概念,理解两点之间的距离；
2.理解角的概念及表示,能正确地进行角的度量与换算;能估计、比较角的大小,能正确地计算角度的和与差.
3.理解角的平分线及其性质以及补角、余角、对顶角的概念,
4.理解掌握并能熟练运用补角、余角、对顶角的性质.
5.理解垂线、垂线段、点到直线的距离,理解垂线的性质和垂线段的性质,
6.理解线段的垂直平分线及其性质.能用三角尺或量角器画出直线的垂线、线段的垂直平分线、角的平分线.
7.理解掌握平行线的概念,两直线平行的性质和判定,并能用平行线的性质和判定证明或解决有关问题.能用三角尺和直尺过直线外一点画这条直线的平行线.
8.了解两条平行线之间的距离的概念,能正确地度量两条平行线间的距离.
考点精讲
考点1：直线、射线与线段的概念
注意：直线是可以向两边无限延伸的，射线受端点的限制，只能向一边无限延伸；线段不能 延伸，所以直线与射线不可测量长度，只有线段可以测量。
考点2 ：基本事实
1. 经过两点有一条直线，并且仅有一条直线，即两点确定一条直线
2. 两点之间的线段中，线段最短，简称两点间线段最短
考点3： 基本概念
1. 两点间的距离： 两个端点之间的长度叫做两点间的距离。
2. 线段的等分点： 把一条线段平均分成两份的点，叫做这个线段的中点
考点4：双中点模型：
C 为 AB 上任意一点，M、N 分别为 AC、BC 中点，则
考点5：角及其平分线
1.度量角的大小：可用“度”作为度量单位。把一个圆周分成360等份，每一份叫做一度的角。1度=60分；1分=60秒。
2，余角：若∠1+∠2=90°，则∠1与∠2互余，若∠1与∠2互余，则∠1+∠2=90°.
3.补角：若∠1+∠2=180°，则∠1与∠2互补，若∠1与∠2互补，则∠1+∠2=180°.
性质：同角(等角)的余角相等．同角（等角）的补角相等．
4. 角的平分线的性质
（一）作已知角的平分线（已知：∠AOB。求作：∠AOB的平分线）
1、以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N。
2、分别以M,N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C。
3、画射线OC，射线OC即为所求。
（二）角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
几何表示：∵OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E。∴PD=PE。
5.角的平分线的判定
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。
几何表示：
∵点P是∠AOB内的一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，且PD=PE，
∴点P在∠AOB的平分线OC上。
考点6：相交线
1.对顶角：如图1所示，∠1与∠3、∠2与∠4都是对顶角。
2.邻补角：如图2所示，∠1与∠2互为邻补角，由平角定义可知∠1＋∠2＝180°。
图1 图2
3.三线八角
两条直线被第三条线所截，可得八个角，即“三线八角”，如图6所示。
（1）同位角：可以发现∠1与∠5都处于直线的同一侧，直线、的同一方，这样位置的一对角就是同位角。图中的同位角还有∠2与∠6，∠3与∠7，∠4与∠8。
（2）内错角：可以发现∠3与∠5都处于直线的两旁，直线、的两方，这样位置的一对角就是内错角。图中的内错角还有∠4与∠6。
（3）同旁内角：可以发现∠4与∠5都处于直线的同一侧，直线、的两方，这样位置的一对角就是同旁内角。图中的同旁内角还有∠3与∠6。
4．垂线的性质
（1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
（2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．简单说成：垂线段最短．
5.垂直平分线的性质
（1）定理：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.
（2）逆定理：与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.
考点7：平行线
1.平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。
2.平行公理的推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
说明：也可以说两条射线或两条线段平行，这实际上是指它们所在的直线平行。
3.平行线的判定：
（1）同位角相等，两直线平行。
（2）内错角相等，两直线平行。
（3）同旁内角互补，两直线平行。
4.平行线的性质
（1）两直线平行，同位角相等。
（2）两直线平行，内错角相等。
（3）两直线平行，同旁内角互补。
说明：要证明两条直线平行，用判定公理（或定理）在已知条件中有两条直线平行时，则应用性质定理。
考点8：命题
内容
定义
能判断一件事情的语句，叫做命题。
组成
命题由题设和结论两部分组成，题设是已知的事项，结论是由已知事项推出来的事项
表达形式
通常可以写成“如果......,那么......”的形式，“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论。
分类
题设成立，结论也成立，这样的命题叫做真命题
题设成立，结论不成立，这样的命题叫做假命题。
母题精讲
【典例1】（义乌市）如图，经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，而且只能弹出一条墨线，能解释这一实际应用的数学知识是（ ）
A．两点确定一条直线
B．两点之间线段最短
C．垂线段最短
D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
【答案】A
【解答】解：经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，此操作的依据是两点确定一条直线．
故选：A．
【典例2】（2021•兴安盟）74°19′30″＝ °．
【答案】74.325
【解答】解：30×（）′＝0.5′，
19′+0.5′＝19.5′，
19.5×（）°＝0.325°，
74°+0.325°＝74.325°，
故答案为：74.325．
【典例3】（2022•宿迁）如图，AB∥ED，若∠1＝70°，则∠2的度数是（ ）
A．70° B．80° C．100° D．110°
【答案】D
【解答】解：∵∠1＝70°，
∴∠3＝70°，
∵AB∥ED，
∴∠2＝180°﹣∠3＝180°﹣70°＝110°，
故选：D．
【典例4】（2022•益阳）如图，PA，PB表示以P为起点的两条公路，其中公路PA的走向是南偏西34°，公路PB的走向是南偏东56°，则这两条公路的夹角∠APB＝ °．
【答案】90
【解答】解：如图：
由题意得：
∠APC＝34°，∠BPC＝56°，
∴∠APB＝∠APC+∠BPC＝90°，
故答案为：90．
【典例5】（2022•资阳）将直尺和三角板按如图所示的位置放置．若∠1＝40°，则∠2度数是（ ）
A．60° B．50° C．40° D．30°
【答案】B
【解答】解：如图，根据题意可知∠A为直角，直尺的两条边平行，
∴∠2＝∠ACB，
∵∠ACB+∠ABC＝90°，∠ABC＝∠1，
∴∠2＝90°﹣∠1＝90°﹣40°＝50°，
故选：B．
【典例6】（2022•丹东）如图，直线l1∥l2，直线l3与l1，l2分别交于A，B两点，过点A作AC⊥l2，垂足为C，若∠1＝52°，则∠2的度数是（ ）
A．32° B．38° C．48° D．52°
【答案】B
【解答】解：∵直线l1∥l2，∠1＝52°，
∴∠ABC＝∠1＝52°，
∵AC⊥l2，
∴∠ACB＝90°，
∴∠2＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣52°﹣90°＝38°，
故选：B．
【典例7】（2022•湖北）如图，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F．∠BEF的平分线交CD于点G．若∠EFG＝52°，则∠EGF＝（ ）
A．128° B．64° C．52° D．26°
【答案】B
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠FEB＝180°﹣∠EFG＝128°，
∵EG平分∠BEF，
∴∠BEG＝∠BEF＝64°，
∵AB∥CD，
∴∠EGF＝∠BEG＝64°．
故答案选：B．
【典例8】（2022•武汉）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝80°．
（1）求∠BAD的度数；
（2）AE平分∠BAD交BC于点E，∠BCD＝50°．求证：AE∥DC．
【解答】（1）解：∵AD∥BC，
∴∠B+∠BAD＝180°，
∵∠B＝80°，
∴∠BAD＝100°；
（2）证明：∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE＝50°，
∵AD∥BC，
∴∠AEB＝∠DAE＝50°，
∵∠BCD＝50°，
∴∠AEB＝∠BCD，
∴AE∥DC．
真题精选
命题1 角的有关概念及性质
1．（2022•甘肃）若∠A＝40°，则∠A的余角的大小是（ ）
A．50° B．60° C．140° D．160°
【答案】A
【解答】解：∵∠A＝40°，
∴∠A的余角为：90°﹣40°＝50°，
故选：A．
2．（2021•青岛）如图，在Rt△ABC中，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB，垂足是E．若AC＝5，DE＝2，则AD为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【解答】解：∵BD是∠ABC平分线，DE⊥AB，∠C＝90°，
∴DE＝CD＝2，
∵AC＝5，
∴AD＝AC﹣CD＝5﹣2＝3，
故选：B．
3．（2021•桂林）如图，直线a，b相交于点O，∠1＝110°，则∠2的度数是（ ）
A．70° B．90° C．110° D．130°
【答案】C
【解答】解：∵直线a，b相交于点O，∠1＝110°，
∴∠2＝∠1＝110°．
故选：C．
4．（2022•青海）数学课上老师用双手形象的表示了“三线八角”图形，如图所示（两大拇指代表被截直线，食指代表截线）．从左至右依次表示（ ）
A．同旁内角、同位角、内错角
B．同位角、内错角、对顶角
C．对顶角、同位角、同旁内角
D．同位角、内错角、同旁内角
【答案】D
【解答】解：根据同位角、内错角、同旁内角的概念，可知
第一个图是同位角，第二个图是内错角，第三个图是同旁内角．
故选：D．
5．（2022•宜昌）如图，C岛在A岛的北偏东50°方向，C岛在B岛的北偏西35°方向，则∠ACB的大小是 ．
【答案】85°
【解答】解：过点C作CF∥AD，如图，
∵AD∥BE，
∴AD∥CF∥BE，
∴∠ACF＝∠DAC，∠BCF＝∠EBC，
∴∠ACB＝∠ACF+∠BCF＝∠DAC+∠EBC，
由C岛在A岛的北偏东50°方向，C岛在B岛的北偏西35°方向，得
∠DAC＝50°，∠CBE＝35°．
∴∠ACB＝50°+35°＝85°，
故答案为：85°．
命题2 平行线性质求角度及平行线的判定
6．（2022•六盘水）如图，a∥b，∠1＝43°，则∠2的度数是（ ）
A．137° B．53° C．47° D．43°
【答案】D
【解答】解：∵a∥b，∠1＝43°，
∴∠2＝∠1＝43°．
故选：D．
7．（2022•西藏）如图，l1∥l2，∠1＝38°，∠2＝46°，则∠3的度数为（ ）
A．46° B．90° C．96° D．134°
【答案】C
【解答】解：∵l1∥l2，
∴∠1+∠3+∠2＝180°，
∵∠1＝38°，∠2＝46°，
∴∠3＝96°，
故选：C．
8．（2022•柳州）如图，直线a，b被直线c所截，若a∥b，∠1＝70°，则∠2的度数是（ ）
A．50° B．60° C．70° D．110°
【答案】C
【解答】解：∵a∥b，
∴∠2＝∠1＝70°．
故选：C
9．（2021•黔西南州）将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则∠1的度数为（ ）
A．95° B．100° C．105° D．110°
【答案】C
【解答】解：如图：
∵∠2＝180°﹣30°﹣45°＝105°，
∵AB∥CD，
∴∠1＝∠2＝105°，
故选：C．
10．（2021•兰州）将一副三角板如图摆放，则 ∥ ，理由是 ．
【答案】BC；ED；内错角相等，两直线平行
【解答】解：根据题意得出，∠ACB＝90°，∠DEF＝90°，
∴∠ACB＝∠DEF，
∴BC∥ED．
故答案为：BC；ED；内错角相等，两直线平行．
11．（2018•重庆）如图，直线AB∥CD，BC平分∠ABD，∠1＝54°，求∠2的度数．
【解答】解：∵直线AB∥CD，
∴∠1＝∠3
∵∠1＝54°，
∴∠3＝54°
∵BC平分∠ABD，
∴∠ABD＝2∠3＝108°，
∵AB∥CD，
∴∠BDC＝180°﹣∠ABD＝72°，
∴∠2＝∠BDC＝72°．
命题3 命题
12．（2021•达州）以下命题是假命题的是（ ）
A．的算术平方根是2
B．有两边相等的三角形是等腰三角形
C．一组数据：3，﹣1，1，1，2，4的中位数是1.5
D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
【答案】A
【解答】解：A、＝2的算术平方根是，原命题是假命题，符合题意；
B、有两边相等的三角形是等腰三角形，是真命题，不符合题意；
C、一组数据：3，﹣1，1，1，2，4的中位数是1.5，原命题是真命题，不符合题意；
D、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，原命题是真命题，不符合题意；
故选：A．
中考命题解读
本节知识大部分内容在学业水平测试要求中要求学生达到理解程度，其中平行线的
性质及判定要求达到掌握程度，要求会用角平分线的性质、线段垂直平分线的性质，利用平行线的性质求角度多以填空题的考察形式出现。
考标要求
1.了解直线、射线、线段的概念,理解两点之间的距离；
2.理解角的概念及表示,能正确地进行角的度量与换算;能估计、比较角的大小,能正确地计算角度的和与差.
3.理解角的平分线及其性质以及补角、余角、对顶角的概念,
4.理解掌握并能熟练运用补角、余角、对顶角的性质.
5.理解垂线、垂线段、点到直线的距离,理解垂线的性质和垂线段的性质,
6.理解线段的垂直平分线及其性质.能用三角尺或量角器画出直线的垂线、线段的垂直平分线、角的平分线.
7.理解掌握平行线的概念,两直线平行的性质和判定,并能用平行线的性质和判定证明或解决有关问题.能用三角尺和直尺过直线外一点画这条直线的平行线.
8.了解两条平行线之间的距离的概念,能正确地度量两条平行线间的距离.
考点精讲
考点1：直线、射线与线段的概念
注意：直线是可以向两边无限延伸的，射线受端点的限制，只能向一边无限延伸；线段不能 延伸，所以直线与射线不可测量长度，只有线段可以测量。
考点2 ：基本事实
1. 经过两点有一条直线，并且仅有一条直线，即两点确定一条直线
2. 两点之间的线段中，线段最短，简称两点间线段最短
考点3： 基本概念
1. 两点间的距离： 两个端点之间的长度叫做两点间的距离。
2. 线段的等分点： 把一条线段平均分成两份的点，叫做这个线段的中点
考点4：双中点模型：
C 为 AB 上任意一点，M、N 分别为 AC、BC 中点，则
考点5：角及其平分线
1.度量角的大小：可用“度”作为度量单位。把一个圆周分成360等份，每一份叫做一度的角。1度=60分；1分=60秒。
2，余角：若∠1+∠2=90°，则∠1与∠2互余，若∠1与∠2互余，则∠1+∠2=90°.
3.补角：若∠1+∠2=180°，则∠1与∠2互补，若∠1与∠2互补，则∠1+∠2=180°.
性质：同角(等角)的余角相等．同角（等角）的补角相等．
4. 角的平分线的性质
（一）作已知角的平分线（已知：∠AOB。求作：∠AOB的平分线）
1、以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N。
2、分别以M,N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C。
3、画射线OC，射线OC即为所求。
（二）角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
几何表示：∵OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E。∴PD=PE。
5.角的平分线的判定
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。
几何表示：
∵点P是∠AOB内的一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，且PD=PE，
∴点P在∠AOB的平分线OC上。
考点6：相交线
1.对顶角：如图1所示，∠1与∠3、∠2与∠4都是对顶角。
2.邻补角：如图2所示，∠1与∠2互为邻补角，由平角定义可知∠1＋∠2＝180°。
图1 图2
3.三线八角
两条直线被第三条线所截，可得八个角，即“三线八角”，如图6所示。
（1）同位角：可以发现∠1与∠5都处于直线的同一侧，直线、的同一方，这样位置的一对角就是同位角。图中的同位角还有∠2与∠6，∠3与∠7，∠4与∠8。
（2）内错角：可以发现∠3与∠5都处于直线的两旁，直线、的两方，这样位置的一对角就是内错角。图中的内错角还有∠4与∠6。
（3）同旁内角：可以发现∠4与∠5都处于直线的同一侧，直线、的两方，这样位置的一对角就是同旁内角。图中的同旁内角还有∠3与∠6。
4．垂线的性质
（1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
（2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．简单说成：垂线段最短．
5.垂直平分线的性质
（1）定理：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.
（2）逆定理：与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.
考点7：平行线
1.平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。
2.平行公理的推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
说明：也可以说两条射线或两条线段平行，这实际上是指它们所在的直线平行。
3.平行线的判定：
（1）同位角相等，两直线平行。
（2）内错角相等，两直线平行。
（3）同旁内角互补，两直线平行。
4.平行线的性质
（1）两直线平行，同位角相等。
（2）两直线平行，内错角相等。
（3）两直线平行，同旁内角互补。
说明：要证明两条直线平行，用判定公理（或定理）在已知条件中有两条直线平行时，则应用性质定理。
考点8：命题
内容
定义
能判断一件事情的语句，叫做命题。
组成
命题由题设和结论两部分组成，题设是已知的事项，结论是由已知事项推出来的事项
表达形式
通常可以写成“如果......,那么......”的形式，“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论。
分类
题设成立，结论也成立，这样的命题叫做真命题
题设成立，结论不成立，这样的命题叫做假命题。
母题精讲
【典例1】（义乌市）如图，经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，而且只能弹出一条墨线，能解释这一实际应用的数学知识是（ ）
A．两点确定一条直线
B．两点之间线段最短
C．垂线段最短
D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
【典例2】（2021•兴安盟）74°19′30″＝ °．
【典例3】（2022•宿迁）如图，AB∥ED，若∠1＝70°，则∠2的度数是（ ）
A．70° B．80° C．100° D．110°
【典例4】（2022•益阳）如图，PA，PB表示以P为起点的两条公路，其中公路PA的走向是南偏西34°，公路PB的走向是南偏东56°，则这两条公路的夹角∠APB＝ °．
【典例5】（2022•资阳）将直尺和三角板按如图所示的位置放置．若∠1＝40°，则∠2度数是（ ）
A．60° B．50° C．40° D．30°
【典例6】（2022•丹东）如图，直线l1∥l2，直线l3与l1，l2分别交于A，B两点，过点A作AC⊥l2，垂足为C，若∠1＝52°，则∠2的度数是（ ）
A．32° B．38° C．48° D．52°
【典例7】（2022•湖北）如图，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F．∠BEF的平分线交CD于点G．若∠EFG＝52°，则∠EGF＝（ ）
A．128° B．64° C．52° D．26°
【典例8】（2022•武汉）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝80°．
（1）求∠BAD的度数；
（2）AE平分∠BAD交BC于点E，∠BCD＝50°．求证：AE∥DC．
真题精选
命题1 角的有关概念及性质
1．（2022•甘肃）若∠A＝40°，则∠A的余角的大小是（ ）
A．50° B．60° C．140° D．160°
2．（2021•青岛）如图，在Rt△ABC中，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB，垂足是E．若AC＝5，DE＝2，则AD为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
3．（2021•桂林）如图，直线a，b相交于点O，∠1＝110°，则∠2的度数是（ ）
A．70° B．90° C．110° D．130°
4．（2022•青海）数学课上老师用双手形象的表示了“三线八角”图形，如图所示（两大拇指代表被截直线，食指代表截线）．从左至右依次表示（ ）
A．同旁内角、同位角、内错角
B．同位角、内错角、对顶角
C．对顶角、同位角、同旁内角
D．同位角、内错角、同旁内角
5．（2022•宜昌）如图，C岛在A岛的北偏东50°方向，C岛在B岛的北偏西35°方向，则∠ACB的大小是 ．
命题2 平行线性质求角度及平行线的判定
6．（2022•六盘水）如图，a∥b，∠1＝43°，则∠2的度数是（ ）
A．137° B．53° C．47° D．43°
7．（2022•西藏）如图，l1∥l2，∠1＝38°，∠2＝46°，则∠3的度数为（ ）
A．46° B．90° C．96° D．134°
8．（2022•柳州）如图，直线a，b被直线c所截，若a∥b，∠1＝70°，则∠2的度数是（ ）
A．50° B．60° C．70° D．110°
9．（2021•黔西南州）将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则∠1的度数为（ ）
A．95° B．100° C．105° D．110°
10．（2021•兰州）将一副三角板如图摆放，则 ∥ ，理由是 ．
11．（2018•重庆）如图，直线AB∥CD，BC平分∠ABD，∠1＝54°，求∠2的度数．
命题3 命题
12．（2021•达州）以下命题是假命题的是（ ）
A．的算术平方根是2
B．有两边相等的三角形是等腰三角形
C．一组数据：3，﹣1，1，1，2，4的中位数是1.5
D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
专题15 线段、角、相交线与平行线（考点解读）
中考命题解读
本节知识大部分内容在学业水平测试要求中要求学生达到理解程度，其中平行线的
性质及判定要求达到掌握程度，要求会用角平分线的性质、线段垂直平分线的性质，利用平行线的性质求角度多以填空题的考察形式出现。
考标要求
1.了解直线、射线、线段的概念,理解两点之间的距离；
2.理解角的概念及表示,能正确地进行角的度量与换算;能估计、比较角的大小,能正确地计算角度的和与差.
3.理解角的平分线及其性质以及补角、余角、对顶角的概念,
4.理解掌握并能熟练运用补角、余角、对顶角的性质.
5.理解垂线、垂线段、点到直线的距离,理解垂线的性质和垂线段的性质,
6.理解线段的垂直平分线及其性质.能用三角尺或量角器画出直线的垂线、线段的垂直平分线、角的平分线.
7.理解掌握平行线的概念,两直线平行的性质和判定,并能用平行线的性质和判定证明或解决有关问题.能用三角尺和直尺过直线外一点画这条直线的平行线.
8.了解两条平行线之间的距离的概念,能正确地度量两条平行线间的距离.
考点精讲
考点1：直线、射线与线段的概念
注意：直线是可以向两边无限延伸的，射线受端点的限制，只能向一边无限延伸；线段不能 延伸，所以直线与射线不可测量长度，只有线段可以测量。
考点2 ：基本事实
1. 经过两点有一条直线，并且仅有一条直线，即两点确定一条直线
2. 两点之间的线段中，线段最短，简称两点间线段最短
考点3： 基本概念
1. 两点间的距离： 两个端点之间的长度叫做两点间的距离。
2. 线段的等分点： 把一条线段平均分成两份的点，叫做这个线段的中点
考点4：双中点模型：
C 为 AB 上任意一点，M、N 分别为 AC、BC 中点，则
考点5：角及其平分线
1.度量角的大小：可用“度”作为度量单位。把一个圆周分成360等份，每一份叫做一度的角。1度=60分；1分=60秒。
2，余角：若∠1+∠2=90°，则∠1与∠2互余，若∠1与∠2互余，则∠1+∠2=90°.
3.补角：若∠1+∠2=180°，则∠1与∠2互补，若∠1与∠2互补，则∠1+∠2=180°.
性质：同角(等角)的余角相等．同角（等角）的补角相等．
4. 角的平分线的性质
（一）作已知角的平分线（已知：∠AOB。求作：∠AOB的平分线）
1、以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N。
2、分别以M,N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C。
3、画射线OC，射线OC即为所求。
（二）角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
几何表示：∵OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E。∴PD=PE。
5.角的平分线的判定
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。
几何表示：
∵点P是∠AOB内的一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，且PD=PE，
∴点P在∠AOB的平分线OC上。
考点6：相交线
1.对顶角：如图1所示，∠1与∠3、∠2与∠4都是对顶角。
2.邻补角：如图2所示，∠1与∠2互为邻补角，由平角定义可知∠1＋∠2＝180°。
图1 图2
3.三线八角
两条直线被第三条线所截，可得八个角，即“三线八角”，如图6所示。
（1）同位角：可以发现∠1与∠5都处于直线的同一侧，直线、的同一方，这样位置的一对角就是同位角。图中的同位角还有∠2与∠6，∠3与∠7，∠4与∠8。
（2）内错角：可以发现∠3与∠5都处于直线的两旁，直线、的两方，这样位置的一对角就是内错角。图中的内错角还有∠4与∠6。
（3）同旁内角：可以发现∠4与∠5都处于直线的同一侧，直线、的两方，这样位置的一对角就是同旁内角。图中的同旁内角还有∠3与∠6。
4．垂线的性质
（1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
（2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．简单说成：垂线段最短．
5.垂直平分线的性质
（1）定理：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.
（2）逆定理：与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.
考点7：平行线
1.平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。
2.平行公理的推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
说明：也可以说两条射线或两条线段平行，这实际上是指它们所在的直线平行。
3.平行线的判定：
（1）同位角相等，两直线平行。
（2）内错角相等，两直线平行。
（3）同旁内角互补，两直线平行。
4.平行线的性质
（1）两直线平行，同位角相等。
（2）两直线平行，内错角相等。
（3）两直线平行，同旁内角互补。
说明：要证明两条直线平行，用判定公理（或定理）在已知条件中有两条直线平行时，则应用性质定理。
考点8：命题
内容
定义
能判断一件事情的语句，叫做命题。
组成
命题由题设和结论两部分组成，题设是已知的事项，结论是由已知事项推出来的事项
表达形式
通常可以写成“如果......,那么......”的形式，“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论。
分类
题设成立，结论也成立，这样的命题叫做真命题
题设成立，结论不成立，这样的命题叫做假命题。
母题精讲
【典例1】（义乌市）如图，经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，而且只能弹出一条墨线，能解释这一实际应用的数学知识是（ ）
A．两点确定一条直线
B．两点之间线段最短
C．垂线段最短
D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
【答案】A
【解答】解：经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，此操作的依据是两点确定一条直线．
故选：A．
【典例2】（2021•兴安盟）74°19′30″＝ °．
【答案】74.325
【解答】解：30×（）′＝0.5′，
19′+0.5′＝19.5′，
19.5×（）°＝0.325°，
74°+0.325°＝74.325°，
故答案为：74.325．
【典例3】（2022•宿迁）如图，AB∥ED，若∠1＝70°，则∠2的度数是（ ）
A．70° B．80° C．100° D．110°
【答案】D
【解答】解：∵∠1＝70°，
∴∠3＝70°，
∵AB∥ED，
∴∠2＝180°﹣∠3＝180°﹣70°＝110°，
故选：D．
【典例4】（2022•益阳）如图，PA，PB表示以P为起点的两条公路，其中公路PA的走向是南偏西34°，公路PB的走向是南偏东56°，则这两条公路的夹角∠APB＝ °．
【答案】90
【解答】解：如图：
由题意得：
∠APC＝34°，∠BPC＝56°，
∴∠APB＝∠APC+∠BPC＝90°，
故答案为：90．
【典例5】（2022•资阳）将直尺和三角板按如图所示的位置放置．若∠1＝40°，则∠2度数是（ ）
A．60° B．50° C．40° D．30°
【答案】B
【解答】解：如图，根据题意可知∠A为直角，直尺的两条边平行，
∴∠2＝∠ACB，
∵∠ACB+∠ABC＝90°，∠ABC＝∠1，
∴∠2＝90°﹣∠1＝90°﹣40°＝50°，
故选：B．
【典例6】（2022•丹东）如图，直线l1∥l2，直线l3与l1，l2分别交于A，B两点，过点A作AC⊥l2，垂足为C，若∠1＝52°，则∠2的度数是（ ）
A．32° B．38° C．48° D．52°
【答案】B
【解答】解：∵直线l1∥l2，∠1＝52°，
∴∠ABC＝∠1＝52°，
∵AC⊥l2，
∴∠ACB＝90°，
∴∠2＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣52°﹣90°＝38°，
故选：B．
【典例7】（2022•湖北）如图，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F．∠BEF的平分线交CD于点G．若∠EFG＝52°，则∠EGF＝（ ）
A．128° B．64° C．52° D．26°
【答案】B
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠FEB＝180°﹣∠EFG＝128°，
∵EG平分∠BEF，
∴∠BEG＝∠BEF＝64°，
∵AB∥CD，
∴∠EGF＝∠BEG＝64°．
故答案选：B．
【典例8】（2022•武汉）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝80°．
（1）求∠BAD的度数；
（2）AE平分∠BAD交BC于点E，∠BCD＝50°．求证：AE∥DC．
【解答】（1）解：∵AD∥BC，
∴∠B+∠BAD＝180°，
∵∠B＝80°，
∴∠BAD＝100°；
（2）证明：∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE＝50°，
∵AD∥BC，
∴∠AEB＝∠DAE＝50°，
∵∠BCD＝50°，
∴∠AEB＝∠BCD，
∴AE∥DC．
真题精选
命题1 角的有关概念及性质
1．（2022•甘肃）若∠A＝40°，则∠A的余角的大小是（ ）
A．50° B．60° C．140° D．160°
【答案】A
【解答】解：∵∠A＝40°，
∴∠A的余角为：90°﹣40°＝50°，
故选：A．
2．（2021•青岛）如图，在Rt△ABC中，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB，垂足是E．若AC＝5，DE＝2，则AD为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【解答】解：∵BD是∠ABC平分线，DE⊥AB，∠C＝90°，
∴DE＝CD＝2，
∵AC＝5，
∴AD＝AC﹣CD＝5﹣2＝3，
故选：B．
3．（2021•桂林）如图，直线a，b相交于点O，∠1＝110°，则∠2的度数是（ ）
A．70° B．90° C．110° D．130°
【答案】C
【解答】解：∵直线a，b相交于点O，∠1＝110°，
∴∠2＝∠1＝110°．
故选：C．
4．（2022•青海）数学课上老师用双手形象的表示了“三线八角”图形，如图所示（两大拇指代表被截直线，食指代表截线）．从左至右依次表示（ ）
A．同旁内角、同位角、内错角
B．同位角、内错角、对顶角
C．对顶角、同位角、同旁内角
D．同位角、内错角、同旁内角
【答案】D
【解答】解：根据同位角、内错角、同旁内角的概念，可知
第一个图是同位角，第二个图是内错角，第三个图是同旁内角．
故选：D．
5．（2022•宜昌）如图，C岛在A岛的北偏东50°方向，C岛在B岛的北偏西35°方向，则∠ACB的大小是 ．
【答案】85°
【解答】解：过点C作CF∥AD，如图，
∵AD∥BE，
∴AD∥CF∥BE，
∴∠ACF＝∠DAC，∠BCF＝∠EBC，
∴∠ACB＝∠ACF+∠BCF＝∠DAC+∠EBC，
由C岛在A岛的北偏东50°方向，C岛在B岛的北偏西35°方向，得
∠DAC＝50°，∠CBE＝35°．
∴∠ACB＝50°+35°＝85°，
故答案为：85°．
命题2 平行线性质求角度及平行线的判定
6．（2022•六盘水）如图，a∥b，∠1＝43°，则∠2的度数是（ ）
A．137° B．53° C．47° D．43°
【答案】D
【解答】解：∵a∥b，∠1＝43°，
∴∠2＝∠1＝43°．
故选：D．
7．（2022•西藏）如图，l1∥l2，∠1＝38°，∠2＝46°，则∠3的度数为（ ）
A．46° B．90° C．96° D．134°
【答案】C
【解答】解：∵l1∥l2，
∴∠1+∠3+∠2＝180°，
∵∠1＝38°，∠2＝46°，
∴∠3＝96°，
故选：C．
8．（2022•柳州）如图，直线a，b被直线c所截，若a∥b，∠1＝70°，则∠2的度数是（ ）
A．50° B．60° C．70° D．110°
【答案】C
【解答】解：∵a∥b，
∴∠2＝∠1＝70°．
故选：C
9．（2021•黔西南州）将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则∠1的度数为（ ）
A．95° B．100° C．105° D．110°
【答案】C
【解答】解：如图：
∵∠2＝180°﹣30°﹣45°＝105°，
∵AB∥CD，
∴∠1＝∠2＝105°，
故选：C．
10．（2021•兰州）将一副三角板如图摆放，则 ∥ ，理由是 ．
【答案】BC；ED；内错角相等，两直线平行
【解答】解：根据题意得出，∠ACB＝90°，∠DEF＝90°，
∴∠ACB＝∠DEF，
∴BC∥ED．
故答案为：BC；ED；内错角相等，两直线平行．
11．（2018•重庆）如图，直线AB∥CD，BC平分∠ABD，∠1＝54°，求∠2的度数．
【解答】解：∵直线AB∥CD，
∴∠1＝∠3
∵∠1＝54°，
∴∠3＝54°
∵BC平分∠ABD，
∴∠ABD＝2∠3＝108°，
∵AB∥CD，
∴∠BDC＝180°﹣∠ABD＝72°，
∴∠2＝∠BDC＝72°．
命题3 命题
12．（2021•达州）以下命题是假命题的是（ ）
A．的算术平方根是2
B．有两边相等的三角形是等腰三角形
C．一组数据：3，﹣1，1，1，2，4的中位数是1.5
D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
【答案】A
【解答】解：A、＝2的算术平方根是，原命题是假命题，符合题意；
B、有两边相等的三角形是等腰三角形，是真命题，不符合题意；
C、一组数据：3，﹣1，1，1，2，4的中位数是1.5，原命题是真命题，不符合题意；
D、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，原命题是真命题，不符合题意；
故选：A．
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