2023广州高三下学期3月综合测试（一）（一模）数学含答案

秘密★启用前     试卷类型：A

2023年广州市普通高中毕业班综合测试（一）

数 学

本试卷共5页､22小题､满分150分､考试用时120分钟.

注意事项：

1.答卷前､考生务必川黑色字迹的钢笔或签字色将自己的姓名､考生号､试室号､座位号填写在答题卡上.用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡的相应位置上，并在答题卡相应位置上填涂考生号.

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦下净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案：不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.

4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.

一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 若复数，则（    ）

A.  B.  C.  D.

2. 已知集合，则集合的子集个数为（    ）

A. 3 B. 4 C. 8 D. 16

3. 函数在上的图像大致为（    ）

A.  B.

C.  D.

4. 已知为第一象限角.，则（    ）

A.  B.  C.  D.

5. “回文”是古今中外都有的一种修辞手法，如“我为人人，人人为我”等，数学上具有这样特征的一类数称为“回文数”､“回文数”是指从左到右与从右到左读都一样的正整数，如121，241142等，在所有五位正整数中，有且仅有两位数字是奇数的“回文数”共有（    ）

A. 100个 B. 125个 C. 225个 D. 250个

6. 已知抛物线顶点为坐标原点，焦点任铀上，过点的且线交于两点，且，线段的中点为，则直线的斜率的取大值为（    ）

A.  B.  C.  D. 1

7. 已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，，，则球的表面积为（    ）

A.  B.  C.  D.

8. 已知均为正实数，为自然对数的底数，若，则下列不等式一定成立的是（    ）

A.  B.

C.  D.

二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 某校随机抽取了100名学生测量体重，经统计，这些学生的体重数据（单位：kg）全部介于45至70之间，将数据整理得到如图所示的频率分布直方图，则（    ）

A. 频率分布直方图中a的值为0.07

B. 这100名学生中体重低于60kg的人数为60

C. 据此可以估计该校学生体重的第78百分位数约为62

D. 据此可以估计该校学生体重的平均数约为62.5

10. 已知函数的图像关于直线对称，则（    ）

A. 函数的图像关于点对称

B. 函数在有且仅有2个极值点

C. 若，则的最小值为

D. 若，则

11. 已知函数，点分別在函数的的图像上，为坐标原点，则下列命题正确的是（    ）

A. 若关于的方程在上无解，则

B. 存在关于直线对称

C. 若存在关于轴对称，则

D. 若存在满足，则

12. 平面内到两定点距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线，它是1675年卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现的，已知在平面直角坐标系中，，，动点P满足，则下列结论正确的是（    ）

A. 点的横坐标的取值范围是

B. 的取值范围是

C. 面积的最大值为

D. 的取值范围是

三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 已知向量与共线，则__________.

14. 已知，将数列与数列的公共项从小到大排列得到新数列，则__________.

15. 已知函数的定义域为，其导函数为，若.，则关于x的不等式的解集为__________.

16. 在棱长为1正方体中，点分别是棱的中点，是侧面上的动点.且平面，则点的轨迹长为__________.点到直线的距离的最小值为__________.

四､解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤.

17. 已知数列前项和为，且

（1）求，并证明数列是等差数列：

（2）若，求正整数的所有取值.

18. 记的内角、、的对边分别为、、.已知.

（1）证明：；

（2）若，，求的面积.

19. 如图，在四棱锥P-ABCD中，△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，

（1）求证：；

（2）求平面PAB与平面ABCD交角的正弦值.

20. 为了拓展学生的知识面，提高学生对航空航天科技的兴趣，培养学生良好的科学素养，某校组织学生参加航空航天科普知识答题竞赛，每位参赛学生答题若干次，答题赋分方法如下：第1次答题，答对得20分，答错得10分：从第2次答题开始，答对则获得上一次答题得分的两倍，答错得10分.学生甲参加答题竞赛，每次答对的概率为，各次答题结果互不影响.

（1）求甲前3次答题得分之和为40分概率；

（2）记甲第i次答题所得分数的数学期望为.

①写出与满足的等量关系式（直接写出结果，不必证明）：

②若，求i最小值.

21. 已知椭圆的离心率为，以C的短轴为直径的圆与直线相切.

（1）求C的方程；

（2）直线：与C相交于A，B两点，过C上的点P作x轴的平行线交线段AB于点Q，直线OP的斜率为（O为坐标原点），△APQ的面积为.的面积为，若，判断是否为定值？并说明理由.

22. 已知，函数.

（1）若，证明：当时，：

（2）若函数存在极小值点，证明：

秘密★启用前     试卷类型：A

2023年广州市普通高中毕业班综合测试（一）

数学

本试卷共5页､22小题､满分150分､考试用时120分钟.

注意事项：

1.答卷前､考生务必川黑色字迹的钢笔或签字色将自己的姓名､考生号､试室号､座位号填写在答题卡上.用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡的相应位置上，并在答题卡相应位置上填涂考生号.

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦下净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案：不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.

4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.

一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

【1题答案】

【答案】A

【2题答案】

【答案】C

【3题答案】

【答案】B

【4题答案】

【答案】D

【5题答案】

【答案】C

【6题答案】

【答案】A

【7题答案】

【答案】A

【8题答案】

【答案】D

二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

【9题答案】

【答案】AC

【10题答案】

【答案】ABD

【11题答案】

【答案】BCD

【12题答案】

【答案】BC

三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

【13题答案】

【答案】.

【14题答案】

【答案】

【15题答案】

【答案】

【16题答案】

【答案】    ①.     ②.

四､解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤.

【17题答案】

【答案】（1），证明见解析   

（2）

【18题答案】

【答案】（1）证明见解析   

（2）

【19题答案】

【答案】（1）证明见解析；   

（2）.

【20题答案】

【答案】（1）；   

（2）①，，且；②5.

【21题答案】

【答案】（1）；   

（2）是定值，.

【22题答案】

【答案】（1）证明见解析；   

（2）证明见解析.