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2023年湖北省襄阳市中考数学模拟卷（含答案）
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这是一份2023年湖北省襄阳市中考数学模拟卷（含答案），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023中考数学模拟一
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 实数-2023的相反数是( )
A. -2023 B. 12023 C. 2023 D. -12023
2. 下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
3. 下列计算正确的是( )
A. (a-b)2=a2-b2 B. a5⋅a2=a7 C. (-3a)2=6a2 D. a6÷a2=a3
4. 如图，直线a//b，直线AB⊥AC，若∠1=50°，则∠2=( )
A. 30°
B. 40°
C. 45°
D. 50°
5. 已知三点(a,m)，(b,n)和(c,t)都在反比例函数y=2023x的图象上，若a
A. “经过有交通信号的路口遇到红灯”是必然事件
B. 已知某篮球运动员投篮投中的概率为0.7，则他投10次一定可投中7次
C. 明天太阳从东方升起是随机事件
D. 投掷一枚硬币正面朝上是随机事件
7. 习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆600人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆2850人次，若进馆人次的月平均增长率为x，则可列方程为( )
A. 600(1+x)=2850 B. 600(1+x)2=2850
C. 600+600(1+x)+600(1+x)2=2850 D. 2850(1-x)2=600
8. 如图，AB、AC为⊙O的两条弦，AB=3 2，AC=4，将劣弧AB折叠后刚好过弦AC的中点D，则⊙O的半径为( )
A. 2 2 B. 5
C. 5 D. 7
9. 如图，这是一个供滑板爱好者使用的U形池，该U形池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是弧长为12m的半圆，其边缘AB=CD=20m(边缘的宽度忽略不计)，点E在CD上，CE=4m.一滑板爱好者从A点滑到E点，则他滑行的最短距离为( )
A. 28m B. 24m C. 20m D. 18m
10. 抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=-1，部分图象如图所示，有下列结论： ①abc>0; ②b2-4ac>0; ③9a-3b+c=0; ④若点(-0.5,y1)，(-2,y2)均在抛物线上，则y1>y2; ⑤5a-2b+c<0.其中正确的个数是( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11. 计算：(-1)-3+3-8+| 3-2|+(π2-1.57)0+tan60°= ______ ．
12. 中国石拱桥是我国古代人民建筑艺术上的智慧象征，如图所示，某桥拱是抛物线形，正常水位时，水面宽AB为20m，由于持续降雨，水位上升3m，若水面CD宽为10m，则此时水面距桥面距离OE的长为______．
13. 如图，两个反比例函数y=kx和y=3x在第一象限内的图象依次是C1和C2，设点P在C1上，PC⊥x轴于点C，交C2于点A，PD⊥y轴于点D，交C2于点B，若四边形PAOB的面积为5，则k= ．
14. 从长度为1cm、2cm、3cm、4cm、5cm、6cm、7cm、8cm的8根木棒中随机抽取一根，能与长度分别为3cm和5cm的木棒围成三角形的概率为 ．
15. 已知，⊙O的弦AB长等于圆的半径，则弦AB所对的圆周角的度数为_____．
16. 如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，点E在边BC上，点F在CB的延长线上，∠EAF=45°，AE交BD于点G，tan∠BAE=12，BF=2，则FG= ______ ．
三、解答题（本大题共10小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题6.0分)先化简：a2-2a+1a2-1÷(a-2aa+1)，再从-1，0，1，2中选择一个适合的数代入求值．
18. (本小题6.0分)争创全国文明城市，从我做起.某中学开设了文明礼仪校本课程，为了解学生的学习情况，学校组织七八年级学生进行文明礼仪知识测试，两个年级均有300名学生，从七八年级各随机抽取了10名学生的测试成绩，满分100分，整理分析如下： 七年级：99 98 98 98 95 93 91 90 89 79
八年级：99 99 99 91 96 90 93 87 91 85
整理分析上面的数据，得到如下表格：
统计量 年级
平均数
中位数
众数
方差
七年级
93
94
a
33.7
八年级
93
b
99
23.4
根据以上信息，解答下列问题．
(1)填空：a= ，b= ；
(2)根据统计结果， 年级的成绩更整齐；
(3)七年级甲同学和八年级乙同学成绩均为93分，根据上面统计情况估计 同学的成绩在本年级的排名更靠前；
(4)如果在收集七年级数据的过程中将抽取的“89”误写成了“79”，七年级数据的平均数、中位数、众数中发生变化的是 ；
(5)若成绩不低于95分的可以获奖，估计两个年级获奖的共有 人
19 (本小题8.0分)图1是挂墙式淋浴花洒的实物图，图2是抽象出来的几何图形．为使身高175cm的人能方便地淋浴，应当使旋转头固定在墙上的某个位置O，花洒的最高点B与人的头顶的铅垂距离为15cm，已知龙头手柄OA长为10cm，花洒直径AB是8cm，龙头手柄与墙面的较小夹角∠COA=26°，∠OAB=146°，则安装时，旋转头的固定点O与地面的距离应为多少？(计算结果精确到1cm，参考数据：sin26°≈0.44，cos26°≈0.90，tan26°≈0.49)
20. (本小题8.0分)如图，四边形ABCD是矩形．
(1)尺规作图：作∠DAC的平分线AE，与CD交于点E(保留作图痕迹，不写作法)；
(2)若AD=6，CD=8，求点E到线段AC的距离．
22. (本小题8.0分)已知关于x的一元二次方程x2+(2m-1)x+m2-1=0
(1)若该方程有两个实数根，求m的取值范围．
(2)若方程的两个实数根为x1，x2，且(x1-x2)2-10m=2，求m的值．
23. (本小题8.0分)已知：如图，以等边△ABC的边BC为直径作⊙O，分别交AB、AC于点D、E.过点D作DF⊥AC交AC于点F．
(1)求证：DF是⊙O的切线；(2)若等边△ABC的边长为8，求由DE⌢、DF、EF围成的阴影部分面积．
24. (本小题8.0分)某大药房采购员要到厂家批发购买A、B型测温仪共100个.大药房采购员看到某人两次购买(按批发价)情况及药房的零售价如下表：
⑴求每个A型测温仪、B型测温仪的进货价；
⑵设购买A型测温仪x个，当25≤x≤40时，大药房按零售价销售(O、A、B三点共线)；当40
25. (本小题8.0分)矩形ABCD中，E为AB边上的中点，AF⊥DE，交AF于点G．
(1)若矩形ABCD是正方形，
①如图1，求证：△ADG∽△EAG；
②如图2，分别连接BG和BD，设BD与AF交于点H.求证：BG2=AG⋅DG；
(2)类比：如图3，在矩形ABCD中，若ADAB=43，BG=5，求AG的长．
26. (本小题12.0分)已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A(-1,0)和点B，与y轴负半轴交于点C，且OC=3OA，抛物线的顶点为D．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，D为抛物线的顶点，PQ//CD分别与x轴，y轴交于Q，G两点，若PG=QG，求P点坐标；
(3)如图2，点P在y轴正半轴上，AP、BP延长线交抛物线于E、F两点，若S△EFPS△ABP=169，求E点的坐标．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：实数-2023的相反数是2023，
故选：C．
根据相反数的定义，即可解答．
本题考查了相反数的代数意义，熟练掌握相反数的意义是解题的关键．
2.【答案】A
【解析】解：A.该图形既是中心对称图形，也是轴对称图形，符合题意；
B.该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C.该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D.该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选：A．
根据轴对称图形和中心对称图形的定义判断即可．
本题考查中心对称图形和轴对称图形的知识，掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180°后与原图重合是解题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：A、(a-b)2=a2-2ab+b2，故A不符合题意；
B、a5⋅a2=a7，故B符合题意；
C、(-3a)2=9a2，故C不符合题意；
D、a6÷a2=a4，故D不符合题意；
故选：B．
利用完全平方公式，同底数幂的除法的法则，同底数幂的乘法的法则，积的乘方的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查完全平方公式，同底数幂的除法，积的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
4.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了平行线的性质，熟记两直线平行，内错角相等及垂线的定义是解题的关键．
根据两直线平行，内错角相等可得∠3=∠1，根据垂直的定义和余角的定义列式计算得到∠2．
【解答】
解：∵直线a//b，∠1=50°，
∴∠1=∠3=50°，
∵直线AB⊥AC，
∴∠2+∠3=90°．
∴∠2=40°．
故选：B．
5.【答案】D
【解析】解：反比例函数y=2023x中，k=2023>0，图象位于一、三象限，
∵a
∴n
∴t>0，
∴n
根据反比例函数的性质，可得答案．
本题考查了反比例函数的性质，利用反比例函数的性质：k>0时，图象位于一、三象限是解题关键．
6.【答案】D
【解析】解：A、“经过有交通信号的路口遇到红灯”是随机事件，故A不符合题意；
B、已知某篮球运动员投篮投中的概率为0.7，则他投10次不一定投中7次，故B不符合题意；
C、明天太阳从东方升起是必然事件，故C不符合题意；
D、投掷一枚硬币正面朝上是随机事件，故D符合题意．
故选：D．
根据随机事件，必然事件，不可能事件的特点，概率的意义判断即可．
本题考查了随机事件，概率的意义，概率的公式，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的特点是解题的关键．
7.【答案】C
【解析】解：设进馆人次的月平均增长率为x，则由题意得：
600+600(1+x)+600(1+x)2=2850．
故选：C．
先分别表示出第二个月和第三个月的进馆人次，再根据第一个月的进馆人次加第二和第三个月的进馆人次等于2850，列方程即可．
本题属于一元二次方程的应用题，列出方程是解题的关键．本题难度适中，属于中档题．
8.【答案】B
【解析】解：作DE⊥AB交O于E点，则BD=BE=BC，作BM⊥AC于M点，作ON⊥BM于点N，
∴DM=CM=1，
在Rt△BDM中，
∴BM= (3 2)2-32=3，
设MN=x，
(3-x)2+12=22+x2，
∴x=1，
∵BN=BM-MN=3-1=2，
在Rt△BNO中，OB= 22+12= 5，
∴R= 5．
故选：B．
过点O作ON⊥BM于点N，然后在Rt△DDM中，利用勾股定理列式计算即可得解．
本题考查了垂径定理，勾股定理的应用，翻折的变换的性质，以及圆周角定理，作辅助线构造出半径、半弦、弦心距为边的直角三角形是解题的关键．
9.【答案】C
【解析】解：将半圆面展开可得：
AD=12米，DE=DC-CE=AB-CE=16米，
在Rt△ADE中，
AE= 122+162=20(米)．
即滑行的最短距离为20米．
故选：C．
滑行的距离最短，即是沿着AE的线段滑行，我们可将半圆展开为矩形来研究，展开后，A、D、E三点构成直角三角形，AE为斜边，AD和DE为直角边，写出AD和DE的长，根据题意，写出勾股定理等式，代入数据即可得出AE的距离．
本题考查了平面展开-最短路径问题，U型池的侧面展开图是一个矩形，此矩形的宽是半圆的弧长，矩形的长等于AB=CD=20m.本题就是把U型池的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．
10.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查二次函数与系数的关系，二次函数图象上的点的特征，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
根据二次函数的性质一一判断即可．
【解答】
解：∵抛物线对称轴x=-1，经过(1,0)，
∴-b2a=-1，a+b+c=0，
∴b=2a，c=-3a，
∵a>0，
∴b>0，c<0，
∴abc<0，故①错误，
∵抛物线与x轴有交点，
∴b2-4ac>0，故②正确，
∵抛物线与x轴交于(-3,0)，
∴9a-3b+c=0，故③正确，
∵点(-0.5,y1)，(-2,y2)均在抛物线上，
-1.5>-2，
则y1
故选B．
11.【答案】0
【解析】解：(-1)-3+3-8+| 3-2|+(π2-1.57)0+tan60°
=-1+(-2)+(2- 3)+1+ 3
=-1-2+2- 3+1+ 3
=0，
故答案为：0．
先计算负整数次幂、立方根、绝对值、零次幂、特殊角的三角函数值，再进行加减运算．
本题考查实数的混合运算，涉及负整数次幂、立方根、绝对值、零次幂、特殊角的三角函数值等知识点，解题的关键是掌握各项运算法则并正确计算．
12.【答案】1m
【解析】解设抛物线的解析式为y=ax2(a不等于0)，桥拱最高点E到水面CD的距离为OE=h m．
则D(5,-h)，B(10,-h-3)
∴25a=-h100a=-h-3，
解得a=-125h=1，
∴OE=1m，
故答案为：1m．
根据抛物线在坐标系的位置，设抛物线的解析式为y=ax2，设D、B的坐标求解析式，便可求得OE．
本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．
13.【答案】8
【解析】
【分析】
主要考查了反比例函数y=kx中k的几何意义，即图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S=12|k|．
根据反比例函数系数k的几何意义得到S矩形PCOD=k，S△AOC=S△BOD=32，然后利用四边形PAOB的面积=S矩形PCOD-S△AOC-S△BOD进行计算．
【解答】
解：∵PC⊥x轴，PD⊥y轴，
∴S矩形PCOD=k，S△AOC=S△BOD=12×3=32，
∴四边形PAOB的面积=S矩形PCOD-S△AOC-S△BOD=k-32-32=5．
解得k=8．
故答案是：8．
14.【答案】58
【解析】
【分析】
根据三角形的三边关系得出第三根木棒的长度的取值范围，再根据概率公式即可得出答案．
此题考查了列举法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
【解答】
解：∵两根木棒的长分别是3cm和5cm，
∴第三根木棒的长度大于2cm，小于8cm，
∴能围成三角形的是：3cm、4cm、5cm、6cm、7cm的木棒，
∴能围成三角形的概率为58，
故答案为58．
15.【答案】30°或150°
【解析】【解答】
本题主要考查了圆周角定理：在同圆和等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半．同时考查了一条弦所对的圆周角有两种情形：圆周角的顶点在弦所对的劣弧或优弧上．首先根据题意画出图形，再根据“⊙O中的弦AB长等于半径长”得到等边三角形，则弦所对的圆心角为60度，要求这条弦所对的圆周角分两种情况：圆周角的顶点在弦所对的劣弧或优弧上，利用圆周角定理和圆内接四边形的性质即可求出两种类型的圆周角．
【解答】
解：如图，
AB为⊙O的弦，且AB=OA=BO，
∴△ABO为等边三角形，
∴∠AOB=60°，
∴∠P=12∠AOB=30∘，
∴∠P'=180°-∠P=180°-30°=150°，
∠P、∠P'都是弦AB所对的圆周角．
∴圆的弦长等于半径，则这条弦所对的圆周角是30°或150°．
故答案为30°或150°．
16.【答案】2 5
【解析】解：如图，过点E作EH⊥AC于点H，
则△EHC是等腰直角三角形，
设EH=a，则CH=a，CE= 2a，
在Rt△ABE中，∠ABE=90°，
∴tan∠BAE=BEAB=12，
∴BE=12AB，
∴BE=CE= 2a，
∴AB=BC=2 2a，
∴AC=4a，AH=3a，
∴tan∠EAH=EHAH=13，
∵∠EAF=∠BAC=45°，
∴∠BAF=∠EAC，
∴tan∠BAF=tan∠EAH=13，
∵BF=2，
∴AB=6，BE=CE=3，
∴AE=3 5，AF=2 10，
∴EF=5，
∵AD//BC，
∴△ADG∽△EBG
∴AD：BE=AG：GE=2：1，
∴GE= 5，
∵EF：GE=5： 5= 5：1，
AE：BE=3 5：3= 5：1，
∠GEF=∠BEA，
∴EF：GE=AE：BE，
∴△GEF∽△BEA，
∴∠EGF=∠ABE=90°，
∴∠AGF=90°，
∴△AGF是等腰直角三角形，
∴FG= 22AF=2 5．
故答案为：2 5．
过点E作EH⊥AC于点H，则△EHC是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的三边关系及tan∠BAE=12，可求得tan∠EAH=EHAH=13；又tan∠BAF=tan∠EAH=13，可得出各个边的长度；由EF：GE=AE：BE= 5：1，及∠GEF=∠BEA，可得△GEF∽△BEA，则∠EGF=∠ABE=90°，所以△AGF是等腰直角三角形，所以FG= 22AF=2 5．
本题主要考查正方形的性质，等腰直角三角形的性质与判定，解直角三角形、相似三角形的判定与性质等内容，证得∠BAF的正切值及△AGF是等腰直角三角形是解题的关键．
17.【答案】解：原式=(a-1)2(a+1)(a-1)÷[a(a+1)a+1-2aa+1]
=(a-1)2(a+1)(a-1)×a+1a(a-1)
=1a
由原式可知，a不能取1，0，-1，
∴a=2时，原式=12．
【解析】先根据分式的混合运算法则化简，再取使得分式有意义的a的值代入计算即可．
此题考查了分式的化简求值，解题的关键是记住分式的混合运算，先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．
18.【答案】98 92 八 乙 平均数 270
【解析】解：(1)七年级的众数为a=98，
八年级成绩按由小到大排列为：85，87，90，91，91，93，96，99，99，99，
所以八年级的成绩的中位数为b=91+932=92；
故答案为：98，92；
(2)因为33.7>23.4，即八年级的方差比七年级的方差小，
所以八年级的成绩更整齐；
故答案为：八；
(3)七年级和八年级的中位数分别为94和92，
所以乙同学的成绩在本年级的排名更靠前；
故答案为：乙；
(4)将“89”误写成了“79”，这时七年级数据的所有数的和少了10分，所以平均数为92分，众数和中位数不变；
故答案为：平均数；
(5)估计两个年级获奖的共有300×510+300×410=270(人)，
故答案为：270．
(1)利用众数和中位数的意义可得a与b的值；
(2)比较七、八年级的方差大小，结合方差的意义即可得出答案；
(3)利用中位数的意义以及七、八年级学生具体成绩判断即可；
(4)根据平均数的定义可得到平均数比原来少1分，根据众数和中位数的定义可判断都不变；
(5)用各年级人数乘以对应的比例，然后相加即可．
本题考查频数分布表、中位数、众数、平均数、方差，用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
19.【答案】解：在Rt△BCD中，BC=DC⋅tan30°=15× 33=5 3(m)，
在Rt△ACD中，AC=DC⋅tan39°≈15×0.81≈12.2(m)，
∴AB=AC-BC=12.2-5 3≈3.5(m)．
答：广告牌AB的高度约为3.5米．
【解析】利用CD及正切函数的定义求得BC，AC长，把这两条线段相减即为AB长．
此题主要考查了解直角三角形的应用，正确应用锐角三角函数关系是解题关键．
20.【答案】解：如图，过点B作地面的垂线，垂足为D，过点A作地面GD的平行线，交OC于点E，交BD于点F，
在Rt△AOE中，∠AOE=26°，OA=10，
则OE=OA⋅cos∠AOE≈10×0.90=9cm，
在Rt△ABF中，∠BOF=146°-90°-26°=30°，AB=8，
则BF=AB⋅sin∠BOF=8×12=4cm，
∴OG=BD-BF-OE=(175+15)-4-9=177cm，
答：旋转头的固定点O与地面的距离应为177cm．
【解析】通过作辅助线构造直角三角形，分别在Rt△ABF和在Rt△AOE中，根据锐角三角函数求出OE、BF，而点B到地面的高度为175+15=190cm，进而取出后OG即可．
本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确计算的前提，构造直角三角形是解决问题的关键．
21.【答案】解：(1)如图．
(2)过点E作EF⊥AC于点F，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠D=90°，
∴AC= AD2+CD2=10，
∵AE为∠DAC的平分线，
∴DE=EF，AD=AF=6，
∴CF=4，
设EF=DE=x，则EC=8-x，
在Rt△CEF中，由勾股定理得，
(8-x)2=x2+42，
解得x=3，
∴EF=3，
即点E到线段AC的距离为3．
【解析】(1)根据角平分线的作图步骤进行作图即可．
(2)过点E作EF⊥AC于点F，由矩形的性质可得∠D=90°，则AC= AD2+CD2=10，根据角平分线的性质可得DE=EF，AD=AF=6，则CF=4，设EF=DE=x，则EC=8-x，在Rt△CEF中，由勾股定理得(8-x)2=x2+42，解得x=3，即可得出答案．
本题考查尺规作图、角平分线的性质、矩形的性质、勾股定理，熟练掌握角平分线的性质和矩形的性质是解答本题的关键．
22.【答案】解：(1)由题意可知：△=(2m-1)2-4(m2-1)≥0，
∴-4m+5≥0，
∴m≤54；
(2)由题意可知：x1+x2=1-2m，x1x2=m2-1，
∵(x1-x2)2-10m=2，
∴(x1+x2)2-4x1x2-10m=2，
∴(1-2m)2-4(m2-1)-10m=2，
解得：m=314．
【解析】(1)根据根的判别式即可求出m的取值范围；
(2)根据根与系数的关系即可求出答案．
本题考查一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，解题的关键是熟练运用根与系数的关系，属于中等题型．
23.【答案】(1)证明：如图，连接OD，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠C=60°，
∵OB=OD，
∴△OBD是等边三角形，
∴∠BOD=60°，
∴∠C=∠BOD=60°，
∴OD//AC，
∵DF⊥AC，
∴OD⊥DF，
∵OD是⊙O的半径，
∴DF是⊙O的切线；
(2)解：如图，连接OE．
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠C=60°，
∵OE=OC，
∴△OCE是等边三角形，
∴∠COE=60°，
∴∠B=∠COE=60°，
∴OE//AB，
又∵OD//AC，
∴四边形ODAE是平行四边形，
∵OD=OE，
∴四边形ODAE是菱形，
∵等边△ABC的边长为8，
∴OB=OC=OD=4，
∴AD=4，
∴DF=AD⋅sin60∘=2 3，AF=AD·cos60°=2，
∴S四边形ODAE=OD·DF=8 3，S△ADF=12AF⋅DF=2 3，
∵∠DOE=180°-∠COE-∠BOD=60°，
∴S扇形ODE=60×π×42360=83π，
∴S阴影=S四边形ODAE-SΔADF-S扇形ODE=8 3-2 3-83π=6 3-83π．
【解析】本题主要考查切线的判定，扇形面积的计算，三角形面积的计算，四边形面积的计算．
(1)根据等边三角形的性质判定即可；
(2)分别求出四边形ODAE，三角形ADF，扇形ODE的面积，相减即可．
24.【答案】解：解：(1)设每个A型测温仪、B型测温仪的进货价分别是x元、y元，
x+3y=4203x+2y=560，得x=120y=100,
答：每个A型测温仪、B型测温仪的进货价分别是120元、100元；
(2)由图象知：z=150x(25≤x≤40)135x+600(40≤x≤60)，
当25≤x≤40时
∴y=(150-120)x+(120-100)(100-x)
=10x+2000，
当40
=-5x+2600
综上：y={10x+2000(25⩽x⩽40,x为整数)-5x+2600(40
∵10>0，
∴y随x的增大而增大，
∴当x=40时，y有最大值2400元；
当40≤x≤60时，y=-5x+2600，
∵-5<0，
∴y随x的增大而减小，
∴当x=40时，y有最大值2400元；
综上：当x=40时，y有最大值2400元，
此时：100-x=60，
由题意得：150×40-40(120+3m)+60(20+m)=2100，
解得：m=5
即m的值为5．
【解析】 本题考查一元一次方程的应用、二元一次方程组的应用、一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用一次函数的性质解答．
(1)根据题意可以列出相应的方程组，从而可以求得每个A型测温仪、B型测温仪的进货价分别是多少元；
(2)根据题意先列出z与x的关系式，再列出y与x的关系式即可，注意分段函数；
(3)根据一次函数的增减性确定当x=40时，y有最大值2400元，再由题意列出一元一次方程150×40-40(120+3m)+60(20+m)=2100，最后解方程即可．
25.【答案】解：(1)①∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=∠DAG+∠BAF=90°，
又∵DE⊥AF，
∴∠AGD=∠AGE=90°，
∴∠DAG+∠ADG=90°，
∴∠ADG=∠BAF，
∴△ADG∽△EAG；
②如图2，过点B作BN⊥AF于点N，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，
∵∠BAF=∠ADE，∠AGE=∠ANB=90°，
∴△ABN≌△DAG(AAS)，
∴AG=BN，DG=AN，
∵∠AGE=∠ANB=90°，
∴EG//BN，
∵点E为AB的中点，
∴AE=BE，
∴AN=2AG=2GN=DG，
∵BG2=BN2+GN2=AG2+AG2，
∴BG2=2AG2=2AG⋅AG=DG⋅AG；
(2)如图3，过点B作BM⊥AF于点M，
∴∠AMB=90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°，
∴∠DAF+∠BAF=90°，
∵DE⊥AF，
∴∠DAF+∠ADE=90°，∠BAD=∠AMB=90°，
∴∠BAF=∠ADE，
∴△DAE∽△AMB，
∴ADAE=AMBM，
∵点E是AB中点，
∴AE=12AB，
∵ADAB=43，
∴ADAE=AD12AB=2ADAB=83=AMBM，
∴BM=38AM，
由(1)②中证明可知AG=GM，AM=2AG，
∴BM=34AG，
∴BG2=BM2+GM2=916AG2+AG2=2516AG2，
∵BG=5，
∴AG=4．
【解析】(1)①根据正方形的性质可得∠BAD=∠DAG+∠BAF=90°，由AF⊥DE得∠AGD=∠AGE=90°，根据同角的余角相等得∠ADG=∠BAF，即可求证；
②过点B作BN⊥AF于点N，可得△ABN≌△DAG(AAS)，由全等三角形的性质得AG=BN，DG=AN，由E为AB边上的中点，EG//BN，可得AN=2AG=2GN=DG，根据勾股定理可得BG2=BN2+GN2=AG2+AG2=2AG2=2AG⋅AG，等量代换即可得出结论；
(2)过点B作BM⊥AF于点M，可得△DAE∽△AMB，由相似三角形的性质得ADAE=AMBM，由E为AB边上的中点，可得AE=12AB，由ADAB=43可得出ADAE=AMBM=83，则BM=38AM，由(1)②中证明可知AG=GM，AM=2AG，可得BM=34AG，根据勾股定理可得BG2=BM2+GM2=916AG2+AG2=2516AG2，根据BG=5即可求解．
本题是相似综合题，考查正方形的性质，矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，正确作出辅助线解决问题是解题的关键．
26.【答案】解：(1)∵点A(-1,0)，OC=3OA，
∴OC=3，
∴C(0,-3)，
把点A(-1,0)，C(0,-3)代入抛物线y=x2+bx+c中，
得：1-b+c=0c=-3，
解得：b=-2c=-3，
∴抛物线的解析式为y=x2-2x-3；
(2)如图1，过点P作PT⊥x轴于T，过点D作DK⊥y轴于K，则PT//y轴，
∵C(0,-3)，D(1,-4)，PQ//CD，
∴∠TPQ=∠CGP=∠KCD=45°，
∴QT=PT，
∵PG=QG，
∴OT=OQ=12QT=12PT，
设P(m,-2m)，
代入抛物线y=x2-2x-3得：-2m=m2-2m-3，
∴m=± 3(负值舍)，
∴P( 3,-2 3)；
(3)当y=0时，x2-2x-3=0，
∴x=3或-1，
∴B(3,0)，
设P(0,b)(b>0)，
∵A(-1,0)，
则AP的解析式为：y=bx+b，
与抛物线联立得：y=bx+by=x2-2x-3，
∴x2-2x-3=bx+b，
∴x2+(-2-b)x-3-b=0，
∴-1+xE=2+b，
∴xE=3+b，
同理可得：xF=-1-13b，
设EF的解析式为y=mx+n，
则y=mx+ny=x2-2x-3，
∴x2-2x-3=mx+n，
∴x2+(-2-m)x-3-n=0，
∴3+b-1-13b=2+m，(3+b)(-1-13b)=-3-n，
∴m=23b，n=13b2+2b，
∴PMOP=13b2+2b-bb=13b+1，
∵xE-xF=3+b-(-1-13b)=4+43b，
∵S△EFPS△ABP=169，
∴12PM⋅(xE-xF)12OP×4=(13b+1)14×(4+43b)=169，
∴(13b+1)2=169，
∴13b+1=±43，
∴b=1或-7(舍)，
∴E(4,5)．
【解析】(1)先求得C(0,-3)，再利用待定系数法求解即可；
(2)设P(m,-2m)，代入抛物线的解析式中，解方程可解答；
(3)根据字母系数表示点E和F的横坐标，从而表示线段EF的长，根据三角形的面积公式列方程可解答．
本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求二次函数、一次函数的解析式和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
2023中考数学模拟一
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 实数-2023的相反数是( )
A. -2023 B. 12023 C. 2023 D. -12023
2. 下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
3. 下列计算正确的是( )
A. (a-b)2=a2-b2 B. a5⋅a2=a7 C. (-3a)2=6a2 D. a6÷a2=a3
4. 如图，直线a//b，直线AB⊥AC，若∠1=50°，则∠2=( )
A. 30°
B. 40°
C. 45°
D. 50°
5. 已知三点(a,m)，(b,n)和(c,t)都在反比例函数y=2023x的图象上，若a
A. “经过有交通信号的路口遇到红灯”是必然事件
B. 已知某篮球运动员投篮投中的概率为0.7，则他投10次一定可投中7次
C. 明天太阳从东方升起是随机事件
D. 投掷一枚硬币正面朝上是随机事件
7. 习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆600人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆2850人次，若进馆人次的月平均增长率为x，则可列方程为( )
A. 600(1+x)=2850 B. 600(1+x)2=2850
C. 600+600(1+x)+600(1+x)2=2850 D. 2850(1-x)2=600
8. 如图，AB、AC为⊙O的两条弦，AB=3 2，AC=4，将劣弧AB折叠后刚好过弦AC的中点D，则⊙O的半径为( )
A. 2 2 B. 5
C. 5 D. 7
9. 如图，这是一个供滑板爱好者使用的U形池，该U形池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是弧长为12m的半圆，其边缘AB=CD=20m(边缘的宽度忽略不计)，点E在CD上，CE=4m.一滑板爱好者从A点滑到E点，则他滑行的最短距离为( )
A. 28m B. 24m C. 20m D. 18m
10. 抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=-1，部分图象如图所示，有下列结论： ①abc>0; ②b2-4ac>0; ③9a-3b+c=0; ④若点(-0.5,y1)，(-2,y2)均在抛物线上，则y1>y2; ⑤5a-2b+c<0.其中正确的个数是( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11. 计算：(-1)-3+3-8+| 3-2|+(π2-1.57)0+tan60°= ______ ．
12. 中国石拱桥是我国古代人民建筑艺术上的智慧象征，如图所示，某桥拱是抛物线形，正常水位时，水面宽AB为20m，由于持续降雨，水位上升3m，若水面CD宽为10m，则此时水面距桥面距离OE的长为______．
13. 如图，两个反比例函数y=kx和y=3x在第一象限内的图象依次是C1和C2，设点P在C1上，PC⊥x轴于点C，交C2于点A，PD⊥y轴于点D，交C2于点B，若四边形PAOB的面积为5，则k= ．
14. 从长度为1cm、2cm、3cm、4cm、5cm、6cm、7cm、8cm的8根木棒中随机抽取一根，能与长度分别为3cm和5cm的木棒围成三角形的概率为 ．
15. 已知，⊙O的弦AB长等于圆的半径，则弦AB所对的圆周角的度数为_____．
16. 如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，点E在边BC上，点F在CB的延长线上，∠EAF=45°，AE交BD于点G，tan∠BAE=12，BF=2，则FG= ______ ．
三、解答题（本大题共10小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题6.0分)先化简：a2-2a+1a2-1÷(a-2aa+1)，再从-1，0，1，2中选择一个适合的数代入求值．
18. (本小题6.0分)争创全国文明城市，从我做起.某中学开设了文明礼仪校本课程，为了解学生的学习情况，学校组织七八年级学生进行文明礼仪知识测试，两个年级均有300名学生，从七八年级各随机抽取了10名学生的测试成绩，满分100分，整理分析如下： 七年级：99 98 98 98 95 93 91 90 89 79
八年级：99 99 99 91 96 90 93 87 91 85
整理分析上面的数据，得到如下表格：
统计量 年级
平均数
中位数
众数
方差
七年级
93
94
a
33.7
八年级
93
b
99
23.4
根据以上信息，解答下列问题．
(1)填空：a= ，b= ；
(2)根据统计结果， 年级的成绩更整齐；
(3)七年级甲同学和八年级乙同学成绩均为93分，根据上面统计情况估计 同学的成绩在本年级的排名更靠前；
(4)如果在收集七年级数据的过程中将抽取的“89”误写成了“79”，七年级数据的平均数、中位数、众数中发生变化的是 ；
(5)若成绩不低于95分的可以获奖，估计两个年级获奖的共有 人
19 (本小题8.0分)图1是挂墙式淋浴花洒的实物图，图2是抽象出来的几何图形．为使身高175cm的人能方便地淋浴，应当使旋转头固定在墙上的某个位置O，花洒的最高点B与人的头顶的铅垂距离为15cm，已知龙头手柄OA长为10cm，花洒直径AB是8cm，龙头手柄与墙面的较小夹角∠COA=26°，∠OAB=146°，则安装时，旋转头的固定点O与地面的距离应为多少？(计算结果精确到1cm，参考数据：sin26°≈0.44，cos26°≈0.90，tan26°≈0.49)
20. (本小题8.0分)如图，四边形ABCD是矩形．
(1)尺规作图：作∠DAC的平分线AE，与CD交于点E(保留作图痕迹，不写作法)；
(2)若AD=6，CD=8，求点E到线段AC的距离．
22. (本小题8.0分)已知关于x的一元二次方程x2+(2m-1)x+m2-1=0
(1)若该方程有两个实数根，求m的取值范围．
(2)若方程的两个实数根为x1，x2，且(x1-x2)2-10m=2，求m的值．
23. (本小题8.0分)已知：如图，以等边△ABC的边BC为直径作⊙O，分别交AB、AC于点D、E.过点D作DF⊥AC交AC于点F．
(1)求证：DF是⊙O的切线；(2)若等边△ABC的边长为8，求由DE⌢、DF、EF围成的阴影部分面积．
24. (本小题8.0分)某大药房采购员要到厂家批发购买A、B型测温仪共100个.大药房采购员看到某人两次购买(按批发价)情况及药房的零售价如下表：
⑴求每个A型测温仪、B型测温仪的进货价；
⑵设购买A型测温仪x个，当25≤x≤40时，大药房按零售价销售(O、A、B三点共线)；当40
25. (本小题8.0分)矩形ABCD中，E为AB边上的中点，AF⊥DE，交AF于点G．
(1)若矩形ABCD是正方形，
①如图1，求证：△ADG∽△EAG；
②如图2，分别连接BG和BD，设BD与AF交于点H.求证：BG2=AG⋅DG；
(2)类比：如图3，在矩形ABCD中，若ADAB=43，BG=5，求AG的长．
26. (本小题12.0分)已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A(-1,0)和点B，与y轴负半轴交于点C，且OC=3OA，抛物线的顶点为D．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，D为抛物线的顶点，PQ//CD分别与x轴，y轴交于Q，G两点，若PG=QG，求P点坐标；
(3)如图2，点P在y轴正半轴上，AP、BP延长线交抛物线于E、F两点，若S△EFPS△ABP=169，求E点的坐标．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：实数-2023的相反数是2023，
故选：C．
根据相反数的定义，即可解答．
本题考查了相反数的代数意义，熟练掌握相反数的意义是解题的关键．
2.【答案】A
【解析】解：A.该图形既是中心对称图形，也是轴对称图形，符合题意；
B.该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C.该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D.该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选：A．
根据轴对称图形和中心对称图形的定义判断即可．
本题考查中心对称图形和轴对称图形的知识，掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180°后与原图重合是解题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：A、(a-b)2=a2-2ab+b2，故A不符合题意；
B、a5⋅a2=a7，故B符合题意；
C、(-3a)2=9a2，故C不符合题意；
D、a6÷a2=a4，故D不符合题意；
故选：B．
利用完全平方公式，同底数幂的除法的法则，同底数幂的乘法的法则，积的乘方的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查完全平方公式，同底数幂的除法，积的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
4.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了平行线的性质，熟记两直线平行，内错角相等及垂线的定义是解题的关键．
根据两直线平行，内错角相等可得∠3=∠1，根据垂直的定义和余角的定义列式计算得到∠2．
【解答】
解：∵直线a//b，∠1=50°，
∴∠1=∠3=50°，
∵直线AB⊥AC，
∴∠2+∠3=90°．
∴∠2=40°．
故选：B．
5.【答案】D
【解析】解：反比例函数y=2023x中，k=2023>0，图象位于一、三象限，
∵a
∴n
∴t>0，
∴n
根据反比例函数的性质，可得答案．
本题考查了反比例函数的性质，利用反比例函数的性质：k>0时，图象位于一、三象限是解题关键．
6.【答案】D
【解析】解：A、“经过有交通信号的路口遇到红灯”是随机事件，故A不符合题意；
B、已知某篮球运动员投篮投中的概率为0.7，则他投10次不一定投中7次，故B不符合题意；
C、明天太阳从东方升起是必然事件，故C不符合题意；
D、投掷一枚硬币正面朝上是随机事件，故D符合题意．
故选：D．
根据随机事件，必然事件，不可能事件的特点，概率的意义判断即可．
本题考查了随机事件，概率的意义，概率的公式，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的特点是解题的关键．
7.【答案】C
【解析】解：设进馆人次的月平均增长率为x，则由题意得：
600+600(1+x)+600(1+x)2=2850．
故选：C．
先分别表示出第二个月和第三个月的进馆人次，再根据第一个月的进馆人次加第二和第三个月的进馆人次等于2850，列方程即可．
本题属于一元二次方程的应用题，列出方程是解题的关键．本题难度适中，属于中档题．
8.【答案】B
【解析】解：作DE⊥AB交O于E点，则BD=BE=BC，作BM⊥AC于M点，作ON⊥BM于点N，
∴DM=CM=1，
在Rt△BDM中，
∴BM= (3 2)2-32=3，
设MN=x，
(3-x)2+12=22+x2，
∴x=1，
∵BN=BM-MN=3-1=2，
在Rt△BNO中，OB= 22+12= 5，
∴R= 5．
故选：B．
过点O作ON⊥BM于点N，然后在Rt△DDM中，利用勾股定理列式计算即可得解．
本题考查了垂径定理，勾股定理的应用，翻折的变换的性质，以及圆周角定理，作辅助线构造出半径、半弦、弦心距为边的直角三角形是解题的关键．
9.【答案】C
【解析】解：将半圆面展开可得：
AD=12米，DE=DC-CE=AB-CE=16米，
在Rt△ADE中，
AE= 122+162=20(米)．
即滑行的最短距离为20米．
故选：C．
滑行的距离最短，即是沿着AE的线段滑行，我们可将半圆展开为矩形来研究，展开后，A、D、E三点构成直角三角形，AE为斜边，AD和DE为直角边，写出AD和DE的长，根据题意，写出勾股定理等式，代入数据即可得出AE的距离．
本题考查了平面展开-最短路径问题，U型池的侧面展开图是一个矩形，此矩形的宽是半圆的弧长，矩形的长等于AB=CD=20m.本题就是把U型池的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．
10.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查二次函数与系数的关系，二次函数图象上的点的特征，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
根据二次函数的性质一一判断即可．
【解答】
解：∵抛物线对称轴x=-1，经过(1,0)，
∴-b2a=-1，a+b+c=0，
∴b=2a，c=-3a，
∵a>0，
∴b>0，c<0，
∴abc<0，故①错误，
∵抛物线与x轴有交点，
∴b2-4ac>0，故②正确，
∵抛物线与x轴交于(-3,0)，
∴9a-3b+c=0，故③正确，
∵点(-0.5,y1)，(-2,y2)均在抛物线上，
-1.5>-2，
则y1
故选B．
11.【答案】0
【解析】解：(-1)-3+3-8+| 3-2|+(π2-1.57)0+tan60°
=-1+(-2)+(2- 3)+1+ 3
=-1-2+2- 3+1+ 3
=0，
故答案为：0．
先计算负整数次幂、立方根、绝对值、零次幂、特殊角的三角函数值，再进行加减运算．
本题考查实数的混合运算，涉及负整数次幂、立方根、绝对值、零次幂、特殊角的三角函数值等知识点，解题的关键是掌握各项运算法则并正确计算．
12.【答案】1m
【解析】解设抛物线的解析式为y=ax2(a不等于0)，桥拱最高点E到水面CD的距离为OE=h m．
则D(5,-h)，B(10,-h-3)
∴25a=-h100a=-h-3，
解得a=-125h=1，
∴OE=1m，
故答案为：1m．
根据抛物线在坐标系的位置，设抛物线的解析式为y=ax2，设D、B的坐标求解析式，便可求得OE．
本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．
13.【答案】8
【解析】
【分析】
主要考查了反比例函数y=kx中k的几何意义，即图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S=12|k|．
根据反比例函数系数k的几何意义得到S矩形PCOD=k，S△AOC=S△BOD=32，然后利用四边形PAOB的面积=S矩形PCOD-S△AOC-S△BOD进行计算．
【解答】
解：∵PC⊥x轴，PD⊥y轴，
∴S矩形PCOD=k，S△AOC=S△BOD=12×3=32，
∴四边形PAOB的面积=S矩形PCOD-S△AOC-S△BOD=k-32-32=5．
解得k=8．
故答案是：8．
14.【答案】58
【解析】
【分析】
根据三角形的三边关系得出第三根木棒的长度的取值范围，再根据概率公式即可得出答案．
此题考查了列举法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
【解答】
解：∵两根木棒的长分别是3cm和5cm，
∴第三根木棒的长度大于2cm，小于8cm，
∴能围成三角形的是：3cm、4cm、5cm、6cm、7cm的木棒，
∴能围成三角形的概率为58，
故答案为58．
15.【答案】30°或150°
【解析】【解答】
本题主要考查了圆周角定理：在同圆和等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半．同时考查了一条弦所对的圆周角有两种情形：圆周角的顶点在弦所对的劣弧或优弧上．首先根据题意画出图形，再根据“⊙O中的弦AB长等于半径长”得到等边三角形，则弦所对的圆心角为60度，要求这条弦所对的圆周角分两种情况：圆周角的顶点在弦所对的劣弧或优弧上，利用圆周角定理和圆内接四边形的性质即可求出两种类型的圆周角．
【解答】
解：如图，
AB为⊙O的弦，且AB=OA=BO，
∴△ABO为等边三角形，
∴∠AOB=60°，
∴∠P=12∠AOB=30∘，
∴∠P'=180°-∠P=180°-30°=150°，
∠P、∠P'都是弦AB所对的圆周角．
∴圆的弦长等于半径，则这条弦所对的圆周角是30°或150°．
故答案为30°或150°．
16.【答案】2 5
【解析】解：如图，过点E作EH⊥AC于点H，
则△EHC是等腰直角三角形，
设EH=a，则CH=a，CE= 2a，
在Rt△ABE中，∠ABE=90°，
∴tan∠BAE=BEAB=12，
∴BE=12AB，
∴BE=CE= 2a，
∴AB=BC=2 2a，
∴AC=4a，AH=3a，
∴tan∠EAH=EHAH=13，
∵∠EAF=∠BAC=45°，
∴∠BAF=∠EAC，
∴tan∠BAF=tan∠EAH=13，
∵BF=2，
∴AB=6，BE=CE=3，
∴AE=3 5，AF=2 10，
∴EF=5，
∵AD//BC，
∴△ADG∽△EBG
∴AD：BE=AG：GE=2：1，
∴GE= 5，
∵EF：GE=5： 5= 5：1，
AE：BE=3 5：3= 5：1，
∠GEF=∠BEA，
∴EF：GE=AE：BE，
∴△GEF∽△BEA，
∴∠EGF=∠ABE=90°，
∴∠AGF=90°，
∴△AGF是等腰直角三角形，
∴FG= 22AF=2 5．
故答案为：2 5．
过点E作EH⊥AC于点H，则△EHC是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的三边关系及tan∠BAE=12，可求得tan∠EAH=EHAH=13；又tan∠BAF=tan∠EAH=13，可得出各个边的长度；由EF：GE=AE：BE= 5：1，及∠GEF=∠BEA，可得△GEF∽△BEA，则∠EGF=∠ABE=90°，所以△AGF是等腰直角三角形，所以FG= 22AF=2 5．
本题主要考查正方形的性质，等腰直角三角形的性质与判定，解直角三角形、相似三角形的判定与性质等内容，证得∠BAF的正切值及△AGF是等腰直角三角形是解题的关键．
17.【答案】解：原式=(a-1)2(a+1)(a-1)÷[a(a+1)a+1-2aa+1]
=(a-1)2(a+1)(a-1)×a+1a(a-1)
=1a
由原式可知，a不能取1，0，-1，
∴a=2时，原式=12．
【解析】先根据分式的混合运算法则化简，再取使得分式有意义的a的值代入计算即可．
此题考查了分式的化简求值，解题的关键是记住分式的混合运算，先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．
18.【答案】98 92 八 乙 平均数 270
【解析】解：(1)七年级的众数为a=98，
八年级成绩按由小到大排列为：85，87，90，91，91，93，96，99，99，99，
所以八年级的成绩的中位数为b=91+932=92；
故答案为：98，92；
(2)因为33.7>23.4，即八年级的方差比七年级的方差小，
所以八年级的成绩更整齐；
故答案为：八；
(3)七年级和八年级的中位数分别为94和92，
所以乙同学的成绩在本年级的排名更靠前；
故答案为：乙；
(4)将“89”误写成了“79”，这时七年级数据的所有数的和少了10分，所以平均数为92分，众数和中位数不变；
故答案为：平均数；
(5)估计两个年级获奖的共有300×510+300×410=270(人)，
故答案为：270．
(1)利用众数和中位数的意义可得a与b的值；
(2)比较七、八年级的方差大小，结合方差的意义即可得出答案；
(3)利用中位数的意义以及七、八年级学生具体成绩判断即可；
(4)根据平均数的定义可得到平均数比原来少1分，根据众数和中位数的定义可判断都不变；
(5)用各年级人数乘以对应的比例，然后相加即可．
本题考查频数分布表、中位数、众数、平均数、方差，用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
19.【答案】解：在Rt△BCD中，BC=DC⋅tan30°=15× 33=5 3(m)，
在Rt△ACD中，AC=DC⋅tan39°≈15×0.81≈12.2(m)，
∴AB=AC-BC=12.2-5 3≈3.5(m)．
答：广告牌AB的高度约为3.5米．
【解析】利用CD及正切函数的定义求得BC，AC长，把这两条线段相减即为AB长．
此题主要考查了解直角三角形的应用，正确应用锐角三角函数关系是解题关键．
20.【答案】解：如图，过点B作地面的垂线，垂足为D，过点A作地面GD的平行线，交OC于点E，交BD于点F，
在Rt△AOE中，∠AOE=26°，OA=10，
则OE=OA⋅cos∠AOE≈10×0.90=9cm，
在Rt△ABF中，∠BOF=146°-90°-26°=30°，AB=8，
则BF=AB⋅sin∠BOF=8×12=4cm，
∴OG=BD-BF-OE=(175+15)-4-9=177cm，
答：旋转头的固定点O与地面的距离应为177cm．
【解析】通过作辅助线构造直角三角形，分别在Rt△ABF和在Rt△AOE中，根据锐角三角函数求出OE、BF，而点B到地面的高度为175+15=190cm，进而取出后OG即可．
本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确计算的前提，构造直角三角形是解决问题的关键．
21.【答案】解：(1)如图．
(2)过点E作EF⊥AC于点F，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠D=90°，
∴AC= AD2+CD2=10，
∵AE为∠DAC的平分线，
∴DE=EF，AD=AF=6，
∴CF=4，
设EF=DE=x，则EC=8-x，
在Rt△CEF中，由勾股定理得，
(8-x)2=x2+42，
解得x=3，
∴EF=3，
即点E到线段AC的距离为3．
【解析】(1)根据角平分线的作图步骤进行作图即可．
(2)过点E作EF⊥AC于点F，由矩形的性质可得∠D=90°，则AC= AD2+CD2=10，根据角平分线的性质可得DE=EF，AD=AF=6，则CF=4，设EF=DE=x，则EC=8-x，在Rt△CEF中，由勾股定理得(8-x)2=x2+42，解得x=3，即可得出答案．
本题考查尺规作图、角平分线的性质、矩形的性质、勾股定理，熟练掌握角平分线的性质和矩形的性质是解答本题的关键．
22.【答案】解：(1)由题意可知：△=(2m-1)2-4(m2-1)≥0，
∴-4m+5≥0，
∴m≤54；
(2)由题意可知：x1+x2=1-2m，x1x2=m2-1，
∵(x1-x2)2-10m=2，
∴(x1+x2)2-4x1x2-10m=2，
∴(1-2m)2-4(m2-1)-10m=2，
解得：m=314．
【解析】(1)根据根的判别式即可求出m的取值范围；
(2)根据根与系数的关系即可求出答案．
本题考查一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，解题的关键是熟练运用根与系数的关系，属于中等题型．
23.【答案】(1)证明：如图，连接OD，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠C=60°，
∵OB=OD，
∴△OBD是等边三角形，
∴∠BOD=60°，
∴∠C=∠BOD=60°，
∴OD//AC，
∵DF⊥AC，
∴OD⊥DF，
∵OD是⊙O的半径，
∴DF是⊙O的切线；
(2)解：如图，连接OE．
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠C=60°，
∵OE=OC，
∴△OCE是等边三角形，
∴∠COE=60°，
∴∠B=∠COE=60°，
∴OE//AB，
又∵OD//AC，
∴四边形ODAE是平行四边形，
∵OD=OE，
∴四边形ODAE是菱形，
∵等边△ABC的边长为8，
∴OB=OC=OD=4，
∴AD=4，
∴DF=AD⋅sin60∘=2 3，AF=AD·cos60°=2，
∴S四边形ODAE=OD·DF=8 3，S△ADF=12AF⋅DF=2 3，
∵∠DOE=180°-∠COE-∠BOD=60°，
∴S扇形ODE=60×π×42360=83π，
∴S阴影=S四边形ODAE-SΔADF-S扇形ODE=8 3-2 3-83π=6 3-83π．
【解析】本题主要考查切线的判定，扇形面积的计算，三角形面积的计算，四边形面积的计算．
(1)根据等边三角形的性质判定即可；
(2)分别求出四边形ODAE，三角形ADF，扇形ODE的面积，相减即可．
24.【答案】解：解：(1)设每个A型测温仪、B型测温仪的进货价分别是x元、y元，
x+3y=4203x+2y=560，得x=120y=100,
答：每个A型测温仪、B型测温仪的进货价分别是120元、100元；
(2)由图象知：z=150x(25≤x≤40)135x+600(40≤x≤60)，
当25≤x≤40时
∴y=(150-120)x+(120-100)(100-x)
=10x+2000，
当40
=-5x+2600
综上：y={10x+2000(25⩽x⩽40,x为整数)-5x+2600(40
∵10>0，
∴y随x的增大而增大，
∴当x=40时，y有最大值2400元；
当40≤x≤60时，y=-5x+2600，
∵-5<0，
∴y随x的增大而减小，
∴当x=40时，y有最大值2400元；
综上：当x=40时，y有最大值2400元，
此时：100-x=60，
由题意得：150×40-40(120+3m)+60(20+m)=2100，
解得：m=5
即m的值为5．
【解析】 本题考查一元一次方程的应用、二元一次方程组的应用、一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用一次函数的性质解答．
(1)根据题意可以列出相应的方程组，从而可以求得每个A型测温仪、B型测温仪的进货价分别是多少元；
(2)根据题意先列出z与x的关系式，再列出y与x的关系式即可，注意分段函数；
(3)根据一次函数的增减性确定当x=40时，y有最大值2400元，再由题意列出一元一次方程150×40-40(120+3m)+60(20+m)=2100，最后解方程即可．
25.【答案】解：(1)①∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=∠DAG+∠BAF=90°，
又∵DE⊥AF，
∴∠AGD=∠AGE=90°，
∴∠DAG+∠ADG=90°，
∴∠ADG=∠BAF，
∴△ADG∽△EAG；
②如图2，过点B作BN⊥AF于点N，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，
∵∠BAF=∠ADE，∠AGE=∠ANB=90°，
∴△ABN≌△DAG(AAS)，
∴AG=BN，DG=AN，
∵∠AGE=∠ANB=90°，
∴EG//BN，
∵点E为AB的中点，
∴AE=BE，
∴AN=2AG=2GN=DG，
∵BG2=BN2+GN2=AG2+AG2，
∴BG2=2AG2=2AG⋅AG=DG⋅AG；
(2)如图3，过点B作BM⊥AF于点M，
∴∠AMB=90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°，
∴∠DAF+∠BAF=90°，
∵DE⊥AF，
∴∠DAF+∠ADE=90°，∠BAD=∠AMB=90°，
∴∠BAF=∠ADE，
∴△DAE∽△AMB，
∴ADAE=AMBM，
∵点E是AB中点，
∴AE=12AB，
∵ADAB=43，
∴ADAE=AD12AB=2ADAB=83=AMBM，
∴BM=38AM，
由(1)②中证明可知AG=GM，AM=2AG，
∴BM=34AG，
∴BG2=BM2+GM2=916AG2+AG2=2516AG2，
∵BG=5，
∴AG=4．
【解析】(1)①根据正方形的性质可得∠BAD=∠DAG+∠BAF=90°，由AF⊥DE得∠AGD=∠AGE=90°，根据同角的余角相等得∠ADG=∠BAF，即可求证；
②过点B作BN⊥AF于点N，可得△ABN≌△DAG(AAS)，由全等三角形的性质得AG=BN，DG=AN，由E为AB边上的中点，EG//BN，可得AN=2AG=2GN=DG，根据勾股定理可得BG2=BN2+GN2=AG2+AG2=2AG2=2AG⋅AG，等量代换即可得出结论；
(2)过点B作BM⊥AF于点M，可得△DAE∽△AMB，由相似三角形的性质得ADAE=AMBM，由E为AB边上的中点，可得AE=12AB，由ADAB=43可得出ADAE=AMBM=83，则BM=38AM，由(1)②中证明可知AG=GM，AM=2AG，可得BM=34AG，根据勾股定理可得BG2=BM2+GM2=916AG2+AG2=2516AG2，根据BG=5即可求解．
本题是相似综合题，考查正方形的性质，矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，正确作出辅助线解决问题是解题的关键．
26.【答案】解：(1)∵点A(-1,0)，OC=3OA，
∴OC=3，
∴C(0,-3)，
把点A(-1,0)，C(0,-3)代入抛物线y=x2+bx+c中，
得：1-b+c=0c=-3，
解得：b=-2c=-3，
∴抛物线的解析式为y=x2-2x-3；
(2)如图1，过点P作PT⊥x轴于T，过点D作DK⊥y轴于K，则PT//y轴，
∵C(0,-3)，D(1,-4)，PQ//CD，
∴∠TPQ=∠CGP=∠KCD=45°，
∴QT=PT，
∵PG=QG，
∴OT=OQ=12QT=12PT，
设P(m,-2m)，
代入抛物线y=x2-2x-3得：-2m=m2-2m-3，
∴m=± 3(负值舍)，
∴P( 3,-2 3)；
(3)当y=0时，x2-2x-3=0，
∴x=3或-1，
∴B(3,0)，
设P(0,b)(b>0)，
∵A(-1,0)，
则AP的解析式为：y=bx+b，
与抛物线联立得：y=bx+by=x2-2x-3，
∴x2-2x-3=bx+b，
∴x2+(-2-b)x-3-b=0，
∴-1+xE=2+b，
∴xE=3+b，
同理可得：xF=-1-13b，
设EF的解析式为y=mx+n，
则y=mx+ny=x2-2x-3，
∴x2-2x-3=mx+n，
∴x2+(-2-m)x-3-n=0，
∴3+b-1-13b=2+m，(3+b)(-1-13b)=-3-n，
∴m=23b，n=13b2+2b，
∴PMOP=13b2+2b-bb=13b+1，
∵xE-xF=3+b-(-1-13b)=4+43b，
∵S△EFPS△ABP=169，
∴12PM⋅(xE-xF)12OP×4=(13b+1)14×(4+43b)=169，
∴(13b+1)2=169，
∴13b+1=±43，
∴b=1或-7(舍)，
∴E(4,5)．
【解析】(1)先求得C(0,-3)，再利用待定系数法求解即可；
(2)设P(m,-2m)，代入抛物线的解析式中，解方程可解答；
(3)根据字母系数表示点E和F的横坐标，从而表示线段EF的长，根据三角形的面积公式列方程可解答．
本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求二次函数、一次函数的解析式和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
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