江苏省苏州市2023年八年级下学期期中数学试卷【含答案】

 八年级下学期期中数学试卷

一、单选题

1．下列方程中，属于一元二次方程的是（　　）

A．x2＋3y＝1                               B．x2＋3x＝1

C．ax2＋bx＋c＝2                           D．

2．图①是苏州园林内的一种窗棂，图②是这种窗棂中的部分图案，该图案是由1个正六边形和6个全等的等边三角形组成的，则该图案（　　）

A．既不是轴对称图形也不是中心对称图形      B．是中心对称图形但并不是轴对称图形

C．是轴对称图形但并不是中心对称图形        D．既是轴对称图形又是中心对称图形

3．若关于x的一元二次方程 的一个解是 ，则 的值是（　　） 

A．2025              B．2015               C．2021              D．2019

4．下列关于反比例函数的描述，正确的是（　　）

A．它的图象经过点（， 4）                B．图象的两支分别在第二、四象限

C．当x＞2时，0＜y＜4                      D．x＞0时，y随x的增大而增大

5．用配方法解方程 时，配方结果正确的是（　　） 

A．         B．         C．         D．

6．如图，已知四边形 平行四边形，对角线 交于点 ，则下列结论中错误是（　　） 

A．当 时，它是菱形                B．当 时，它是正方形

C．当 时，它是矩形                D．当 时，它是菱形

7．若一元二次方程 有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（　　） 

A．              B．              C． 且       D． 且

8．如图，正方形ABCD和□AEFC，点B在EF边上，若正方形ABCD和□AEFC的面积分别是S1、S2的大小关系是（　　） 

A．S1＞S2                            B．S1=S2                            C．S1＜S2                            D．无法确定

9．某气球内充满了一定质量 的气体，当温度不变时，气球内气体的气压 （单位： ）是气体体积 （单位： ）的反比例函数： ，能够反映两个变量 和 函数关系的图象是（　　）

A．       B．     C．       D．

10．如图，两个正方形的边长都为6，其中正方形 绕着正方形 的对角线的交点 旋转，正方形 与边 、 分别交于点 、 （不与端点重合），设两个正方形重叠部分形成图形的面积为 ， 的周长为 ，则下列说法正确的是（　　） 

A． 发生变化， 存在最大值              B． 发生变化， 存在最小值

C． 不发生变化， 存在最大值            D． 不发生变化， 存在最小值

二、填空题

11．若双曲线的图象经过第一、三象限，则k的取值范围是

12．如图，在矩形ABCD中，AB=4，对角线AC，BD相交于点O，∠AOB=60°，则对角线AC的长为.

13．如图，在平行四边形 ABCD中，AD＝7，AB＝5，DE平分∠ADC交BC于点E，则BE的长是．

14．如图，函数和函数的图象相交于点，，若，则x的取值范围是.

15．对于任意实数a、b，定义一种运算： ，若 ，则x的值为.

16．如图，点A是反比例函数 的图象上一点，过点A作 轴于点C， 交反比例函数 的图象于点B，点P是y轴正半轴上一点.若 的面积为2，则k的值为.

17．若等腰三角形的一边长是4，另两边的长是关于 的方程 的两个根，则 的值为． 

18．如图，已知点A在反比例函数y＝（x＜0）上，B，C两点在x轴上，△ABC是以AC为底边的等腰直角三角形，过点B作BD⊥AC交y轴于点E，交AC于点D，若△BCE的面积为3，则k的值为．

三、解答题

19．解方程：

（1）x2－2x－3＝0

（2）2x2＋1＝3x

20．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（2，0），B（5，0），C（4，2）．

（1）画出△ABC关于点O的中心对称图形，点A、B、C的对应点分别是D、E、F；

（2）若y轴上存在一点M，使得△MDF的周长最小，求点M的坐标．

21．已知关于 的一元二次方程 ． 

（1）求证：该方程总有两个实数根；

（2）若 ，且该方程的两个实数根的差为2，求 的值． 

22．如图，已知菱形ABCD的对角线相交于点O，延长AB至点E，使BE＝AB，连接CE．

（1）求证：BD＝EC；

（2）当∠DAB为多少度时，四边形BECD为菱形？并说明理由．

23．如图，反比例函数 上的图象与一次函数 的图象相交于 ， 两点. 

（1）求反比例函数和一次函数的解析式；

（2）设直线 交y轴于点C，点 是正半轴上的一个动点，过点N作 轴交反比例函数 的图象于点M，连接 ， .若 ，求t的取值范围. 

24．某超市销售一种饮料，平均每天可售出100箱，每箱利润12元，为了扩大销售，增加利润，超市准备适当降价．据测算，每箱每降价1元，平均每天可多售出20箱．

（1）若每箱降价3元，每天销售该饮料可获利多少元？

（2）若要使每天销售该饮料获利1400元，则每箱应降价多少元？

25．方方驾驶小汽车匀速地从A地行驶到B地，行驶里程为480千米，设小汽车的行驶时间为t（单位：小时），行驶速度为v（单位：千米/小时），且全程速度限定为不超过120千米/小时.

（1）求v关于t的函数表达式；  

（2）方方上午8点驾驶小汽车从A出发.

①方方需在当天12点48分至14点（含12点48分和14点）间到达B地，求小汽车行驶速度v的范围.

②方方能否在当天11点30分前到达B地？说明理由.

26．在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠BAC＝30°，将△ABC绕点A顺时针旋转一定的角度得到△AED，点B、C的对应点分别是E、D．

（1）如图1，当点E恰好在AC上时，求∠CDE的度数；

（2）如图2，若=60° 时，点F是边AC中点，求证：四边形BFDE是平行四边形；

（3）当BC＝2时，连接CE，CD，设△CDE的面积为S．在旋转过程中，S是否存在最大值？若存在，请直接写出S的最大值；若不存在，请说明理由．

27．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，AC为对角线，∠DAC=30°，∠ACD=90°，AD=8，点M为AC的中点，动点E从点C出发以每秒1个单位的速度运动到点B停止，连接EM并延长交AD于点F，设点E的运动时间为t秒．

（1）求四边形ABCD的面积；  

（2）当∠EMC=90°时，判断四边形DCEF的形状，并说明理由；  

（3）连接BM，点E在运动过程中是否能使△BEM为等腰三角形?如果能，求出t；如果不能，请说明理由．  

答案

1．B

2．B

3．C

4．C

5．D

6．B

7．D

8．B

9．B

10．D

11．

12．8

13．2

14．或##或

15．-1或2

16．8

17．8或9

18．-6

19．（1）解：x2－2x－3＝0，

∴，

∴x-3=0或x+1=0，

解得：x1=3，x2= -1

（2）解：2x2＋1＝3x

移项得：2x2-3x＋1＝0

∴（2x-1）（x-1）=0，

∴2x-1=0或x-1=0，

解得：x1=1，x2=

20．（1）解：∵点A（2，0），B（5，0），C（4，2）．△DEF与△ABC关于点O中心对称，

∴点A、B、C的对应点分别是D、E、F的坐标分别为（-2，0）、（-5，0），

（-4，-2），

在平面直角坐标系中描点D、E、F，顺次连结；

如图，△DEF即为所求．

（2）解：连接AF交y轴于点M，连接DM，

∴MD=MA，

∴△MDF的周长=DF+DM+MF=DF+AM+FM≥DF+AF，

当点M在AF上时最小，△MDF的周长最小=DF+AF，

点M即为所求．

设直线AF的解析式为y＝kx+b，

∵A（2，0），F（﹣4，﹣2），

∴，

解得，

∴直线AF的解析式为y＝x﹣，

∴M（0，﹣）．

21．（1）证明：由题意得： ， 

∴ ，

∵ ，

∴ ，

∴该方程总有两个实数根；

（2）解：设关于 的一元二次方程 的两实数根为 ，则有： ， 

∵ ，

∴ ，

解得： ，

∵ ，

∴ ．

22．（1）证明：四边形ABCD是菱形，

∴AB＝CD，AB//CD，

又∵BE＝AB，

∴BE＝CD，BE//CD，

∴四边形BECD 是平行四边形，

∴BD＝EC；

（2）解：当∠DAB＝60°时，四边形BECD是菱形．

理由如下：∵四边形ABCD是菱形，

∴AD＝AB，

∵∠DAB＝60°，

∴△ADB，△DCB是等边三角形，

∴DC＝DB，

∵四边形BECD是平行四边形，

∴四边形BECD是菱形．

23．（1）解：将点 代入 得： ， 

则反比例函数的解析式为 ；

当 时， ，解得 ，即 ，

将点 代入 得： ，解得 ，

则一次函数的解析式为

（2）解：对于一次函数 ， 

当 时， ，即 ，

，

轴，且 ，

， ，

，

，

，

解得

24．（1）解：设每箱饮料降价x元，超市该饮料日销量箱，每箱饮料盈利元，

则每天销售该种饮料可获利（12-x）（100+20x），

当x=3时，（元）

答：每箱降价3元，每天销售该饮料可获利1440元；

（2）解：要使每天销售饮料获利1400元，依据题意列方程得，

，

整理得，

解得，；

∵为了扩大销售，增加利润，

∴x＝5．

答：要使每天销售该饮料获利1400元，每箱应降价5元．

25．（1）解：根据题意，得vt=480， 

所以 ，

因为，480＞0

所以当v≤120时， ，

所以

（2）解：①根据题意，得4.8≤t≤6， 

因为，480＞0

所以 ，

所以80≤v≤100

②方方不能在11点30分前到达B地.理由如下：

若方方要在11点30分前到达B地，则t＜3.5，

所以 ，所以方方不能在11点30分前到达B地

26．（1）解：∵∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，

∴∠ACB＝60°，

∵△ABC绕点A顺时针旋转α得到△AED，点E恰好在AC上，

∴CA＝AD，∠EAD＝∠BAC＝30°，

∴∠ACD＝∠ADC＝（180°﹣30°）＝75°，

∵∠EDA＝∠ACB＝60°，

∴∠CDE＝∠ADC﹣∠EDA＝15°；

（2）证明：∵点F是边AC中点，

∴BF＝AF＝AC，

∵∠BAC＝30°，

∴BC＝AC，

∴∠FBA＝∠BAC＝30°，

∵△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED，

∴∠BAE＝∠CAD＝60°，CB＝DE，∠DEA＝∠ABC＝90°，

∴DE＝BF，

延长BF交AE于点G，则∠BGE＝∠GBA+∠BAG＝90°，

∴∠BGE＝∠DEA，

∴BF∥ED，

∴四边形BFDE是平行四边形．

（3）解：S的最大值为4+2．

∵线段DE为定值，

∴点C到DE的距离最大时，△CDE的面积有最大值．

∴可看成DE不动，点C绕点A旋转，

当点C'，A，E共线时，S有最大值．

∵CB=2，CB＝CA，

∴CA=4，DE=2，

在Rt△CBA中，，

∴EA＝．

当点C'，A，E共线时，C'E=EA+C'A=，

∵∠DEA=∠CBA=90°，

∴△CDE的面积有最大值S＝CE⋅ED＝．

27．（1）∵∠DAC＝30°，∠ACD＝90°，AD＝8， 

∴CD＝4，AC＝ =4 ．

又∵四边形ABCD为平行四边形，

∴四边形ABCD的面积为4×4 ＝16 ．

（2）如图1，当∠EMC＝90°时，四边形DCEF是菱形． 

∵∠EMC＝∠ACD＝90°，

∴DC∥EF．

∵BC∥AD，

∴四边形DCEF是平行四边形，∠BCA＝∠DAC．

由（1）可知：CD＝4，AC＝4 ．

∵点M为AC的中点，

∴CM＝2 ．

在Rt△EMC中，∠CME＝90°，∠BCA＝30°．

∴CE＝2ME，可得ME2＋（2 ）2＝（2ME）2，

解得：ME＝2．

∴CE＝2ME＝4．

∴CE＝DC．

又∵四边形DCEF是平行四边形，

∴四边形DCEF是菱形．

（3）点E在运动过程中能使△BEM为等腰三角形． 

理由：如图2，过点B作BG⊥AD与点G，过点E作EH⊥AD于点H，连接DM．

∵DC∥AB，∠ACD＝90°，

∴∠CAB＝90°．

∴∠BAG＝180°−30°−90°＝60°．

∴∠ABG＝30°．

∴AG＝ AB＝2，BG＝ =2 ．

∵点E的运动速度为每秒1个单位，运动时间为t秒，

∴CE＝t，BE＝8−t．

在△CEM和△AFM中

，

∴△CEM≌△AFM．

∴ME＝MF，CE＝AF＝t．

∴HF＝HG−AF−AG＝BE−AF−AG＝8−t−2−t＝6−2t．

∵EH＝BG＝2 ，

∴在Rt△EHF中，ME＝ EF＝ ＝ ．

∵M为平行四边形ABCD对角线AC的中点，

∴D，M，B共线，且DM＝BM．

∵在Rt△DBG中，DG＝AD＋AG＝10，BG＝2 ，

∴BD=

故BM＝ ×4 ＝2 ．

要使△BEM为等腰三角形，应分以下三种情况：

当EB＝EM时，有(8−t)2＝   [12＋(6−2t)2]，

解得：t＝5.2．

当EB＝BM时，有8−t＝2 ，

解得：t＝8−2 ．

当EM＝BM时，由题意可知点E与点B重合，此时点B、E、M不构成三角形．

综上所述，当t＝5.2或t＝8−2 时，△BEM为等腰三角形．