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2023年海南省乐东县中考数学模拟试卷(含答案)
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这是一份2023年海南省乐东县中考数学模拟试卷(含答案)，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
2023年海南省乐东县中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
1．（3分）代数式5x﹣7与13﹣2x互为相反数，则x的值是（ ）
A． B．2 C．﹣2 D．无法计算
2．（3分）将0.000000018用科学记数法表示为（ ）
A．1.8×10﹣6 B．1.8×10﹣8 C．1.8×10﹣7 D．18×10﹣7
3．（3分）用3个大小相同的小正方体搭成的几何体，从三个方向看到的形状图如图所示，则这个几何体可能是（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）不等式3x+5＞8的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（3分）如图，AB∥CD，∠1＝70°，则∠2＝（ ）
A．70° B．80° C．110° D．120°
6．（3分）某数学兴趣小组调查了全班学生平均每天的阅读时间，统计结果如下表所示，则在本次调查中，全班学生平均每天阅读时间的中位数和众数分别是（ ）
每天阅读时间（小时）
0.5
1
1.5
2
人数
8
13
16
3
A．2，1 B．1.25，1.5 C．1，1.5 D．1，2
7．（3分）分式方程的解是（ ）
A．x＝5 B．x＝1 C．x＝﹣1 D．x＝2
8．（3分）如图，在矩形ABCD中，AD＝1，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转，得到矩形AEFG，点B的对应点E落在CD上，且DE＝EF，则四边形ABCE的面积为（ ）
A．2﹣1 B． C．﹣ D．﹣1
9．（3分）若反比例函数y＝的图象经过点A（﹣3，4），则下列各点中也在这个函数图象的是（ ）
A．（﹣2，3） B．（4，﹣3） C．（﹣6，﹣2） D．（8，）
10．（3分）如图，∠CBE和∠BCF是△ABC的两个外角，若∠A＝50°，则∠CBE+∠BCF的度数为（ ）
A．100° B．130° C．210° D．230°
11．（3分）小杰在一个高为h的建筑物顶端，测得一根高出此建筑物的旗杆顶端的仰角为30°，旗杆与地面接触点的俯角为60°，那么该旗杆的高度是（ ）
A． B． C． D．
12．（3分）如图，在△ABC中，点D和E分别是边AB和AC的中点，连接DE，DC与BE交于点O，若△DOE的面积为1，则△ABC的面积为（ ）
A．6 B．9 C．12 D．13.5
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）
13．（3分）因式分解：ab﹣ac＝ ．
14．（3分）如图，用六个全等的等边三角形可以拼成一个六边形，三角形的公共顶点为O，则该六边形绕点O至少旋转 °后能与原来的图形重合．
15．（3分）如图，在∠AOB的内部有一点P，点M、N分别是点P关于OA，OB的对称点，MN分别交OA，OB于C，D点，若△PCD的周长为30cm，则线段MN的长为 cm．
16．（3分）下列图案均是由边长相同的小正方形按一定的规律构成：第1个图中有1个小正方形，第2个图中有3个小正方形，…，依此规律，则第5个图中有 个小正方形，第n个图中有 个小正方形（用含n的代数式表示）．
三、（本大题共6小题，17题12分，18、19、20题各10分，21、22题15分，本大题满分72分）
17．（12分）（1）计算：；
（2）分解因式：2m3n﹣32mn．
18．（10分）西溪中学计划对新教学楼外墙进行粉刷装饰．若甲、乙两个装饰公司合作施工，则共需要6天完成，学校总共需要支付9.6万元；若甲装饰公司先单独施工2天，则乙装饰公司单独完成剩下的装饰工作还需要8天，学校总共需要支付9.2万元．
（1）求甲、乙两个装饰公司平均每天分别收取的费用．
（2）若设甲装饰公司每天完成的工作量为a，乙装饰公司每天完成的工作量为b，现在仅指定一家装饰公司独立完成施工，选择哪家公司的总费用最低，并求出最低费用．
19．（10分）疫情期间，学校开通了教育互联网在线学习平台．为了解学生使用电子设备种类的情况，小淇设计了调查问卷，对该校七（1）班和七（2）班全体同学进行了问卷调查，发现使用了三种设备：A（平板）、B（电脑）、C（手机），根据调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．请根据图中信息解答下列问题．
（1）此次被调查的学生总人数为 ；
（2）求扇形统计图中代表类型C的扇形的圆心角，并补全折线图；
（3）若该校七年级学生共有1000人，试根据此次调查结果，估计该校七年级学生中类型C学生约有多少人．
20．（10分）如图，将一张矩形纸片ABCD沿直线MN折叠，使点C落在点A处，点D落在点E处，直线MN交BC于点M，交AD于点N．
（1）求证：CM＝CN；
（2）若△CMN的面积与△CDN的面积比为3：1，求的值．
21．（15分）△ABC是边长为4的等边三角形，△ABF是等腰三角形，∠AFB＝120°，AF＝BF，以F为顶点作一个60°的角，角的两边分别交射线CA，BC于点D、E两点，连接DE．
（1）如图1，若D、E两点在线段CA，BC的延长线上．
①求证：FA⊥AC；
②试写出线段AD、BE、DE之间的数量关系，并说明理由；
（2）如图2，若D、E两点在线段CA，BC上，求△CDE的周长．
22．（15分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与坐标轴相交于A、B、C三点，其中A点坐标为（3，0），B点坐标为（﹣1，0），连接AC、BC．动点P从点A出发，在线段AC上以每秒个单位长度向点C做匀速运动；同时，动点Q从点B出发，在线段BA上以每秒1个单位长度向点A做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接PQ，设运动时间为t秒．
（1）求b、c的值．
（2）在P、Q运动的过程中，当t为何值时，四边形BCPQ的面积最小，最小值为多少？
（3）在线段AC上方的抛物线上是否存在点M，使△MPQ是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
2023年海南省乐东县中考数学一模试卷
（参考答案与详解）
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
1．（3分）代数式5x﹣7与13﹣2x互为相反数，则x的值是（ ）
A． B．2 C．﹣2 D．无法计算
【解答】解：∵代数式5x﹣7与13﹣2x互为相反数，
∴5x﹣7+13﹣2x＝0，
∴3x+6＝0，
∴x＝﹣2，
故选：B．
2．（3分）将0.000000018用科学记数法表示为（ ）
A．1.8×10﹣6 B．1.8×10﹣8 C．1.8×10﹣7 D．18×10﹣7
【解答】解：0.000000018＝1.8×10﹣8．
故选：B．
3．（3分）用3个大小相同的小正方体搭成的几何体，从三个方向看到的形状图如图所示，则这个几何体可能是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：在俯视图标出相应位置摆放小立方体的个数，如图所示：
则这个几何体可能是．
故选：B．
4．（3分）不等式3x+5＞8的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：∵3x+5＞8，
∴3x＞8﹣5，
∴3x＞3，
则x＞1，
故选：C．
5．（3分）如图，AB∥CD，∠1＝70°，则∠2＝（ ）
A．70° B．80° C．110° D．120°
【解答】解：∵∠1＝70°，
∴∠3＝∠1＝70°，
∵AB∥CD，
∴∠2＝180°﹣∠3＝180°﹣70°＝110°．
故选：C．
6．（3分）某数学兴趣小组调查了全班学生平均每天的阅读时间，统计结果如下表所示，则在本次调查中，全班学生平均每天阅读时间的中位数和众数分别是（ ）
每天阅读时间（小时）
0.5
1
1.5
2
人数
8
13
16
3
A．2，1 B．1.25，1.5 C．1，1.5 D．1，2
【解答】解：由统计表可知，每天阅读1.5小时的人数最多，为16人，所以众数为1.5，
共调查了8+13+16+3＝40人，因此中位数落在第二组，即中位数为1．
故选：C．
7．（3分）分式方程的解是（ ）
A．x＝5 B．x＝1 C．x＝﹣1 D．x＝2
【解答】解：＝1，
x﹣2＝3，
解得：x＝5，
经检验，x＝5是原方程的解．
故选：A．
8．（3分）如图，在矩形ABCD中，AD＝1，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转，得到矩形AEFG，点B的对应点E落在CD上，且DE＝EF，则四边形ABCE的面积为（ ）
A．2﹣1 B． C．﹣ D．﹣1
【解答】解：∵将矩形ABCD绕点A逆时针旋转，得到矩形AEFG，
∴BC＝EF＝AD＝1，AE＝AB，
∵DE＝EF＝1，
∴AE＝＝AB，
∴EC＝﹣1，
∴四边形ABCE的面积＝×（+﹣1）×1＝﹣，
故选：C．
9．（3分）若反比例函数y＝的图象经过点A（﹣3，4），则下列各点中也在这个函数图象的是（ ）
A．（﹣2，3） B．（4，﹣3） C．（﹣6，﹣2） D．（8，）
【解答】解：∵反比例函数y＝的图象经过点A（﹣3，4），
∴k＝xy＝（﹣3）×4＝﹣12，
∵﹣2×3＝﹣6≠﹣1，故选项A不符合题意，
∵4×（﹣3）＝﹣12，故选项B符合题意，
∵﹣6×（﹣2）＝12≠﹣12，故选项C不符合题意，
∵8×＝12≠﹣12，故选项D不符合题意，
故选：B．
10．（3分）如图，∠CBE和∠BCF是△ABC的两个外角，若∠A＝50°，则∠CBE+∠BCF的度数为（ ）
A．100° B．130° C．210° D．230°
【解答】解：∵∠CBE、∠BCF是△ABC的两个外角，
∴∠CBE+∠BCF＝360°﹣（180°﹣∠A）＝180°+∠A，
∵∠A＝50°，
∴∠CBE+∠BCF＝180°+50°＝230°，
故选：D．
11．（3分）小杰在一个高为h的建筑物顶端，测得一根高出此建筑物的旗杆顶端的仰角为30°，旗杆与地面接触点的俯角为60°，那么该旗杆的高度是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：如图，过A作AE⊥BC于E，则四边形ADCE是矩形，CE＝AD＝h．
∵在Rt△ACE中，CE＝h，∠CAE＝60°，
∴AE＝＝h．
∵在Rt△AEB中，AE＝h，∠BAE＝30°，
∴BE＝AE•tan30°＝h•＝h，
∴BC＝BE+CE＝h+h＝h．
即旗杆的高度为h．
故选：C．
12．（3分）如图，在△ABC中，点D和E分别是边AB和AC的中点，连接DE，DC与BE交于点O，若△DOE的面积为1，则△ABC的面积为（ ）
A．6 B．9 C．12 D．13.5
【解答】解：∵点D和E分别是边AB和AC的中点，
∴O点为△ABC的重心，
∴OB＝2OE，
∴S△BOD＝2S△DOE＝2×1＝2，
∴S△BDE＝3，
∵AD＝BD，
∴S△ABE＝2S△BDE＝6，
∵AE＝CE，
∴S△ABC＝2S△ABE＝2×6＝12．
故选C．
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）
13．（3分）因式分解：ab﹣ac＝ a（b﹣c） ．
【解答】解：ab﹣ac＝a（b﹣c）．
故答案为：a（b﹣c）．
14．（3分）如图，用六个全等的等边三角形可以拼成一个六边形，三角形的公共顶点为O，则该六边形绕点O至少旋转 60 °后能与原来的图形重合．
【解答】解：由题意可知该六边形是正六边形，
则可知正六边形每条边所对的圆心角为60°，
所以该六边形绕点O至少旋转60°后能与原来的图形重合．
故答案为：60．
15．（3分）如图，在∠AOB的内部有一点P，点M、N分别是点P关于OA，OB的对称点，MN分别交OA，OB于C，D点，若△PCD的周长为30cm，则线段MN的长为 30 cm．
【解答】解：∵点P关于OA、OB的对称点分别为C、D，
∴MC＝PC，ND＝PD，
∴MN＝CM+CD+ND＝PC+CD+PD＝30cm．
故答案为：30．
16．（3分）下列图案均是由边长相同的小正方形按一定的规律构成：第1个图中有1个小正方形，第2个图中有3个小正方形，…，依此规律，则第5个图中有 15 个小正方形，第n个图中有 n（n+1） 个小正方形（用含n的代数式表示）．
【解答】解：第1个图中有1个小正方形，
第2个图中有3个小正方形，
…，
第5个图中有 1+2+3+4+5＝15个小正方形，
……，
第n个图中有 n（n+1）个小正方形，
故答案为：15，
三、（本大题共6小题，17题12分，18、19、20题各10分，21、22题15分，本大题满分72分）
17．（12分）（1）计算：；
（2）分解因式：2m3n﹣32mn．
【解答】解：（1）原式＝
＝；
（2）原式＝2mn（m2﹣16）
＝2mn（m+4）（m﹣4）．
18．（10分）西溪中学计划对新教学楼外墙进行粉刷装饰．若甲、乙两个装饰公司合作施工，则共需要6天完成，学校总共需要支付9.6万元；若甲装饰公司先单独施工2天，则乙装饰公司单独完成剩下的装饰工作还需要8天，学校总共需要支付9.2万元．
（1）求甲、乙两个装饰公司平均每天分别收取的费用．
（2）若设甲装饰公司每天完成的工作量为a，乙装饰公司每天完成的工作量为b，现在仅指定一家装饰公司独立完成施工，选择哪家公司的总费用最低，并求出最低费用．
【解答】解：（1）设甲装饰公司平均每天收取x万元，乙装饰公司平均每天收取y万元．
根据题意得，，
解得，
答：甲装饰公司平均每天收取0.6万元，乙装饰公司平均每天收取1万元；
（2）根据题意得，
解得：，
经检验：是方程组的解，且符合题意，
甲家装饰公司独立完成施工的总费用为18×0.6＝10.8万元，乙家装饰公司独立完成施工的总费用为9×1＝9万元，
答：选择乙公司的总费用最低，求出最低费用为9万元．
19．（10分）疫情期间，学校开通了教育互联网在线学习平台．为了解学生使用电子设备种类的情况，小淇设计了调查问卷，对该校七（1）班和七（2）班全体同学进行了问卷调查，发现使用了三种设备：A（平板）、B（电脑）、C（手机），根据调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．请根据图中信息解答下列问题．
（1）此次被调查的学生总人数为 100 ；
（2）求扇形统计图中代表类型C的扇形的圆心角，并补全折线图；
（3）若该校七年级学生共有1000人，试根据此次调查结果，估计该校七年级学生中类型C学生约有多少人．
【解答】解：（1）由扇形统计图知B类型人数所占比例为58%，从折线图知B类型总人数＝26+32＝58（人），
所以此次被调查的学生总人数＝58÷58%＝100（人）；
（2）由折线图知A人数＝18+14＝32人，故A的比例为32÷100＝32%，
所以C类比例＝1﹣58%﹣32%＝10%，
所以类型C的扇形的圆心角＝360°×10%＝36°，
C类人数＝10%×100﹣2＝8（人），补全折线图如下：
（3）1000×10%＝100（人），
答：估计该校七年级学生中类型C学生约有100人．
20．（10分）如图，将一张矩形纸片ABCD沿直线MN折叠，使点C落在点A处，点D落在点E处，直线MN交BC于点M，交AD于点N．
（1）求证：CM＝CN；
（2）若△CMN的面积与△CDN的面积比为3：1，求的值．
【解答】（1）证明：∵将一张矩形纸片ABCD沿直线MN折叠，使点C落在点A处，
∴∠ANM＝∠CNM，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠ANM＝∠CMN，
∴∠CMN＝∠CNM，
∴CM＝CN；
（2）解：过点N作NH⊥BC于点H，
则四边形NHCD是矩形，
∴HC＝DN，NH＝DC，
∵△CMN的面积与△CDN的面积比为3：1，
∴＝＝＝3，
∴MC＝3ND＝3HC，
∴MH＝2HC，
设DN＝x，则HC＝x，MH＝2x，
∴CM＝3x＝CN，
在Rt△CDN中，DC＝＝2x，
∴HN＝2x，
在Rt△MNH中，MN＝＝2x，
∴＝＝2．
21．（15分）△ABC是边长为4的等边三角形，△ABF是等腰三角形，∠AFB＝120°，AF＝BF，以F为顶点作一个60°的角，角的两边分别交射线CA，BC于点D、E两点，连接DE．
（1）如图1，若D、E两点在线段CA，BC的延长线上．
①求证：FA⊥AC；
②试写出线段AD、BE、DE之间的数量关系，并说明理由；
（2）如图2，若D、E两点在线段CA，BC上，求△CDE的周长．
【解答】（1）①证明：∵△ABF是等腰三角形，AF＝BF，∠AFB＝120°，
∴∠FAB＝∠FBA＝30°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠CAB＝∠CBA＝60°，
∴∠CAF＝∠FAB+∠CAB＝30°+60°＝90°，
∴FA⊥AC；
②解：BE＝DE+AD，
理由：如图，在BE上截取BG＝AD，连接FG．
由①可知：∠CAF＝∠CBF＝90°，
∴∠FAD＝∠FBG＝90°，
在△ADF和△BGF中，
，
∴△ADF≌△BGF（SAS），
∴DF＝GF，∠AFD＝∠BFG，
∵∠AFB＝120°，∠DFE＝60°，
∴∠GFE＝∠AFB﹣（∠AFE+∠BFG）＝∠AFB﹣（∠AFE+∠AFD）＝120°﹣60°＝60°，
即∠GFE＝∠DFE，
在△DEF和△GEF中，
，
∴△DEF≌△GEF（SAS），
∴DE＝GE，
∵BE＝GE+BG，
∴BE＝DE+AD；
（2）解：如图：延长EB至点H，使BH＝AD，连接FH，
由（1）可知：∠CAF＝∠CBF＝90°，
∴∠DAF＝∠HBF＝90°，
在△ADF和△BHF中
，
∴△ADF≌△BHF（SAS），
∴DF＝HF，∠AFD＝∠BFH，
∵∠AFB＝120°，∠DFE＝60°，
∴∠AFD+∠BFE＝60°，
∴∠BFH+∠BFE＝60°，即∠EFH＝60°＝∠EFD，
在△DEF和△HEF中，
，
∴△DEF≌△HEF（SAS），
∴DE＝HE，
∵HE＝EB+BH＝EB+AD，
∴DE＝EB+AD，
∴△CDE的周长＝CD+DE+CE＝CD+AD+BE+CE＝CA+CB，
∵△ABC是边长为4的等边三角形，
∴CA＝CB＝4，
∴△CDE的周长＝8．
22．（15分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与坐标轴相交于A、B、C三点，其中A点坐标为（3，0），B点坐标为（﹣1，0），连接AC、BC．动点P从点A出发，在线段AC上以每秒个单位长度向点C做匀速运动；同时，动点Q从点B出发，在线段BA上以每秒1个单位长度向点A做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接PQ，设运动时间为t秒．
（1）求b、c的值．
（2）在P、Q运动的过程中，当t为何值时，四边形BCPQ的面积最小，最小值为多少？
（3）在线段AC上方的抛物线上是否存在点M，使△MPQ是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点A（3，0），B（﹣1，0），
则 ，
解得：；
（2）由（1）得：抛物线表达式为y＝﹣x2+2x+3，C（0，3），A（3，0），
∴△OAC是等腰直角三角形，
∴∠BAC＝45°，
由点P的运动可知：AP＝t，
过点P作PH⊥x轴，垂足为H，如图，
∴AH＝PH＝＝t，即H（3﹣t，0），
又Q（﹣1+t，0），
∴S四边形BCPQ＝S△ABC﹣S△APQ
＝
＝
＝（t﹣2）2+4，
∵当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，
AC＝，AB＝4，
∴0≤t≤3，
∴当t＝2时，四边形BCPQ的面积最小，最小值为4；
（3）存在．假设点M是线段AC上方的抛物线上的点，
如图，过点P作x轴的垂线，交x轴于E，过M作y轴的垂线，与EP交于F，连接MQ，MP．
∵△PMQ是等腰直角三角形，PM＝PQ，∠MPQ＝90°，
∴∠MPF+∠QPE＝90°，又∠MPF+∠PMF＝90°，
∴∠PMF＝∠QPE，
在△PFM和△QEP中，
，
∴△PFM≌△QEP（AAS），
∴MF＝PE＝t，PF＝QE＝4﹣2t，
∴EF＝4﹣2t+t＝4﹣t，
又OE＝3﹣t，
∴点M的坐标为（3﹣2t，4﹣t），
∵点M在抛物线y＝﹣x2+2x+3上，
∴4﹣t＝﹣（3﹣2t）2+2（3﹣2t）+3，
解得：t＝或（舍），
∴M点的坐标为（，）．
2023年海南省乐东县中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
1．（3分）代数式5x﹣7与13﹣2x互为相反数，则x的值是（ ）
A． B．2 C．﹣2 D．无法计算
2．（3分）将0.000000018用科学记数法表示为（ ）
A．1.8×10﹣6 B．1.8×10﹣8 C．1.8×10﹣7 D．18×10﹣7
3．（3分）用3个大小相同的小正方体搭成的几何体，从三个方向看到的形状图如图所示，则这个几何体可能是（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）不等式3x+5＞8的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（3分）如图，AB∥CD，∠1＝70°，则∠2＝（ ）
A．70° B．80° C．110° D．120°
6．（3分）某数学兴趣小组调查了全班学生平均每天的阅读时间，统计结果如下表所示，则在本次调查中，全班学生平均每天阅读时间的中位数和众数分别是（ ）
每天阅读时间（小时）
0.5
1
1.5
2
人数
8
13
16
3
A．2，1 B．1.25，1.5 C．1，1.5 D．1，2
7．（3分）分式方程的解是（ ）
A．x＝5 B．x＝1 C．x＝﹣1 D．x＝2
8．（3分）如图，在矩形ABCD中，AD＝1，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转，得到矩形AEFG，点B的对应点E落在CD上，且DE＝EF，则四边形ABCE的面积为（ ）
A．2﹣1 B． C．﹣ D．﹣1
9．（3分）若反比例函数y＝的图象经过点A（﹣3，4），则下列各点中也在这个函数图象的是（ ）
A．（﹣2，3） B．（4，﹣3） C．（﹣6，﹣2） D．（8，）
10．（3分）如图，∠CBE和∠BCF是△ABC的两个外角，若∠A＝50°，则∠CBE+∠BCF的度数为（ ）
A．100° B．130° C．210° D．230°
11．（3分）小杰在一个高为h的建筑物顶端，测得一根高出此建筑物的旗杆顶端的仰角为30°，旗杆与地面接触点的俯角为60°，那么该旗杆的高度是（ ）
A． B． C． D．
12．（3分）如图，在△ABC中，点D和E分别是边AB和AC的中点，连接DE，DC与BE交于点O，若△DOE的面积为1，则△ABC的面积为（ ）
A．6 B．9 C．12 D．13.5
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）
13．（3分）因式分解：ab﹣ac＝ ．
14．（3分）如图，用六个全等的等边三角形可以拼成一个六边形，三角形的公共顶点为O，则该六边形绕点O至少旋转 °后能与原来的图形重合．
15．（3分）如图，在∠AOB的内部有一点P，点M、N分别是点P关于OA，OB的对称点，MN分别交OA，OB于C，D点，若△PCD的周长为30cm，则线段MN的长为 cm．
16．（3分）下列图案均是由边长相同的小正方形按一定的规律构成：第1个图中有1个小正方形，第2个图中有3个小正方形，…，依此规律，则第5个图中有 个小正方形，第n个图中有 个小正方形（用含n的代数式表示）．
三、（本大题共6小题，17题12分，18、19、20题各10分，21、22题15分，本大题满分72分）
17．（12分）（1）计算：；
（2）分解因式：2m3n﹣32mn．
18．（10分）西溪中学计划对新教学楼外墙进行粉刷装饰．若甲、乙两个装饰公司合作施工，则共需要6天完成，学校总共需要支付9.6万元；若甲装饰公司先单独施工2天，则乙装饰公司单独完成剩下的装饰工作还需要8天，学校总共需要支付9.2万元．
（1）求甲、乙两个装饰公司平均每天分别收取的费用．
（2）若设甲装饰公司每天完成的工作量为a，乙装饰公司每天完成的工作量为b，现在仅指定一家装饰公司独立完成施工，选择哪家公司的总费用最低，并求出最低费用．
19．（10分）疫情期间，学校开通了教育互联网在线学习平台．为了解学生使用电子设备种类的情况，小淇设计了调查问卷，对该校七（1）班和七（2）班全体同学进行了问卷调查，发现使用了三种设备：A（平板）、B（电脑）、C（手机），根据调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．请根据图中信息解答下列问题．
（1）此次被调查的学生总人数为 ；
（2）求扇形统计图中代表类型C的扇形的圆心角，并补全折线图；
（3）若该校七年级学生共有1000人，试根据此次调查结果，估计该校七年级学生中类型C学生约有多少人．
20．（10分）如图，将一张矩形纸片ABCD沿直线MN折叠，使点C落在点A处，点D落在点E处，直线MN交BC于点M，交AD于点N．
（1）求证：CM＝CN；
（2）若△CMN的面积与△CDN的面积比为3：1，求的值．
21．（15分）△ABC是边长为4的等边三角形，△ABF是等腰三角形，∠AFB＝120°，AF＝BF，以F为顶点作一个60°的角，角的两边分别交射线CA，BC于点D、E两点，连接DE．
（1）如图1，若D、E两点在线段CA，BC的延长线上．
①求证：FA⊥AC；
②试写出线段AD、BE、DE之间的数量关系，并说明理由；
（2）如图2，若D、E两点在线段CA，BC上，求△CDE的周长．
22．（15分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与坐标轴相交于A、B、C三点，其中A点坐标为（3，0），B点坐标为（﹣1，0），连接AC、BC．动点P从点A出发，在线段AC上以每秒个单位长度向点C做匀速运动；同时，动点Q从点B出发，在线段BA上以每秒1个单位长度向点A做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接PQ，设运动时间为t秒．
（1）求b、c的值．
（2）在P、Q运动的过程中，当t为何值时，四边形BCPQ的面积最小，最小值为多少？
（3）在线段AC上方的抛物线上是否存在点M，使△MPQ是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
2023年海南省乐东县中考数学一模试卷
（参考答案与详解）
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
1．（3分）代数式5x﹣7与13﹣2x互为相反数，则x的值是（ ）
A． B．2 C．﹣2 D．无法计算
【解答】解：∵代数式5x﹣7与13﹣2x互为相反数，
∴5x﹣7+13﹣2x＝0，
∴3x+6＝0，
∴x＝﹣2，
故选：B．
2．（3分）将0.000000018用科学记数法表示为（ ）
A．1.8×10﹣6 B．1.8×10﹣8 C．1.8×10﹣7 D．18×10﹣7
【解答】解：0.000000018＝1.8×10﹣8．
故选：B．
3．（3分）用3个大小相同的小正方体搭成的几何体，从三个方向看到的形状图如图所示，则这个几何体可能是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：在俯视图标出相应位置摆放小立方体的个数，如图所示：
则这个几何体可能是．
故选：B．
4．（3分）不等式3x+5＞8的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：∵3x+5＞8，
∴3x＞8﹣5，
∴3x＞3，
则x＞1，
故选：C．
5．（3分）如图，AB∥CD，∠1＝70°，则∠2＝（ ）
A．70° B．80° C．110° D．120°
【解答】解：∵∠1＝70°，
∴∠3＝∠1＝70°，
∵AB∥CD，
∴∠2＝180°﹣∠3＝180°﹣70°＝110°．
故选：C．
6．（3分）某数学兴趣小组调查了全班学生平均每天的阅读时间，统计结果如下表所示，则在本次调查中，全班学生平均每天阅读时间的中位数和众数分别是（ ）
每天阅读时间（小时）
0.5
1
1.5
2
人数
8
13
16
3
A．2，1 B．1.25，1.5 C．1，1.5 D．1，2
【解答】解：由统计表可知，每天阅读1.5小时的人数最多，为16人，所以众数为1.5，
共调查了8+13+16+3＝40人，因此中位数落在第二组，即中位数为1．
故选：C．
7．（3分）分式方程的解是（ ）
A．x＝5 B．x＝1 C．x＝﹣1 D．x＝2
【解答】解：＝1，
x﹣2＝3，
解得：x＝5，
经检验，x＝5是原方程的解．
故选：A．
8．（3分）如图，在矩形ABCD中，AD＝1，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转，得到矩形AEFG，点B的对应点E落在CD上，且DE＝EF，则四边形ABCE的面积为（ ）
A．2﹣1 B． C．﹣ D．﹣1
【解答】解：∵将矩形ABCD绕点A逆时针旋转，得到矩形AEFG，
∴BC＝EF＝AD＝1，AE＝AB，
∵DE＝EF＝1，
∴AE＝＝AB，
∴EC＝﹣1，
∴四边形ABCE的面积＝×（+﹣1）×1＝﹣，
故选：C．
9．（3分）若反比例函数y＝的图象经过点A（﹣3，4），则下列各点中也在这个函数图象的是（ ）
A．（﹣2，3） B．（4，﹣3） C．（﹣6，﹣2） D．（8，）
【解答】解：∵反比例函数y＝的图象经过点A（﹣3，4），
∴k＝xy＝（﹣3）×4＝﹣12，
∵﹣2×3＝﹣6≠﹣1，故选项A不符合题意，
∵4×（﹣3）＝﹣12，故选项B符合题意，
∵﹣6×（﹣2）＝12≠﹣12，故选项C不符合题意，
∵8×＝12≠﹣12，故选项D不符合题意，
故选：B．
10．（3分）如图，∠CBE和∠BCF是△ABC的两个外角，若∠A＝50°，则∠CBE+∠BCF的度数为（ ）
A．100° B．130° C．210° D．230°
【解答】解：∵∠CBE、∠BCF是△ABC的两个外角，
∴∠CBE+∠BCF＝360°﹣（180°﹣∠A）＝180°+∠A，
∵∠A＝50°，
∴∠CBE+∠BCF＝180°+50°＝230°，
故选：D．
11．（3分）小杰在一个高为h的建筑物顶端，测得一根高出此建筑物的旗杆顶端的仰角为30°，旗杆与地面接触点的俯角为60°，那么该旗杆的高度是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：如图，过A作AE⊥BC于E，则四边形ADCE是矩形，CE＝AD＝h．
∵在Rt△ACE中，CE＝h，∠CAE＝60°，
∴AE＝＝h．
∵在Rt△AEB中，AE＝h，∠BAE＝30°，
∴BE＝AE•tan30°＝h•＝h，
∴BC＝BE+CE＝h+h＝h．
即旗杆的高度为h．
故选：C．
12．（3分）如图，在△ABC中，点D和E分别是边AB和AC的中点，连接DE，DC与BE交于点O，若△DOE的面积为1，则△ABC的面积为（ ）
A．6 B．9 C．12 D．13.5
【解答】解：∵点D和E分别是边AB和AC的中点，
∴O点为△ABC的重心，
∴OB＝2OE，
∴S△BOD＝2S△DOE＝2×1＝2，
∴S△BDE＝3，
∵AD＝BD，
∴S△ABE＝2S△BDE＝6，
∵AE＝CE，
∴S△ABC＝2S△ABE＝2×6＝12．
故选C．
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）
13．（3分）因式分解：ab﹣ac＝ a（b﹣c） ．
【解答】解：ab﹣ac＝a（b﹣c）．
故答案为：a（b﹣c）．
14．（3分）如图，用六个全等的等边三角形可以拼成一个六边形，三角形的公共顶点为O，则该六边形绕点O至少旋转 60 °后能与原来的图形重合．
【解答】解：由题意可知该六边形是正六边形，
则可知正六边形每条边所对的圆心角为60°，
所以该六边形绕点O至少旋转60°后能与原来的图形重合．
故答案为：60．
15．（3分）如图，在∠AOB的内部有一点P，点M、N分别是点P关于OA，OB的对称点，MN分别交OA，OB于C，D点，若△PCD的周长为30cm，则线段MN的长为 30 cm．
【解答】解：∵点P关于OA、OB的对称点分别为C、D，
∴MC＝PC，ND＝PD，
∴MN＝CM+CD+ND＝PC+CD+PD＝30cm．
故答案为：30．
16．（3分）下列图案均是由边长相同的小正方形按一定的规律构成：第1个图中有1个小正方形，第2个图中有3个小正方形，…，依此规律，则第5个图中有 15 个小正方形，第n个图中有 n（n+1） 个小正方形（用含n的代数式表示）．
【解答】解：第1个图中有1个小正方形，
第2个图中有3个小正方形，
…，
第5个图中有 1+2+3+4+5＝15个小正方形，
……，
第n个图中有 n（n+1）个小正方形，
故答案为：15，
三、（本大题共6小题，17题12分，18、19、20题各10分，21、22题15分，本大题满分72分）
17．（12分）（1）计算：；
（2）分解因式：2m3n﹣32mn．
【解答】解：（1）原式＝
＝；
（2）原式＝2mn（m2﹣16）
＝2mn（m+4）（m﹣4）．
18．（10分）西溪中学计划对新教学楼外墙进行粉刷装饰．若甲、乙两个装饰公司合作施工，则共需要6天完成，学校总共需要支付9.6万元；若甲装饰公司先单独施工2天，则乙装饰公司单独完成剩下的装饰工作还需要8天，学校总共需要支付9.2万元．
（1）求甲、乙两个装饰公司平均每天分别收取的费用．
（2）若设甲装饰公司每天完成的工作量为a，乙装饰公司每天完成的工作量为b，现在仅指定一家装饰公司独立完成施工，选择哪家公司的总费用最低，并求出最低费用．
【解答】解：（1）设甲装饰公司平均每天收取x万元，乙装饰公司平均每天收取y万元．
根据题意得，，
解得，
答：甲装饰公司平均每天收取0.6万元，乙装饰公司平均每天收取1万元；
（2）根据题意得，
解得：，
经检验：是方程组的解，且符合题意，
甲家装饰公司独立完成施工的总费用为18×0.6＝10.8万元，乙家装饰公司独立完成施工的总费用为9×1＝9万元，
答：选择乙公司的总费用最低，求出最低费用为9万元．
19．（10分）疫情期间，学校开通了教育互联网在线学习平台．为了解学生使用电子设备种类的情况，小淇设计了调查问卷，对该校七（1）班和七（2）班全体同学进行了问卷调查，发现使用了三种设备：A（平板）、B（电脑）、C（手机），根据调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．请根据图中信息解答下列问题．
（1）此次被调查的学生总人数为 100 ；
（2）求扇形统计图中代表类型C的扇形的圆心角，并补全折线图；
（3）若该校七年级学生共有1000人，试根据此次调查结果，估计该校七年级学生中类型C学生约有多少人．
【解答】解：（1）由扇形统计图知B类型人数所占比例为58%，从折线图知B类型总人数＝26+32＝58（人），
所以此次被调查的学生总人数＝58÷58%＝100（人）；
（2）由折线图知A人数＝18+14＝32人，故A的比例为32÷100＝32%，
所以C类比例＝1﹣58%﹣32%＝10%，
所以类型C的扇形的圆心角＝360°×10%＝36°，
C类人数＝10%×100﹣2＝8（人），补全折线图如下：
（3）1000×10%＝100（人），
答：估计该校七年级学生中类型C学生约有100人．
20．（10分）如图，将一张矩形纸片ABCD沿直线MN折叠，使点C落在点A处，点D落在点E处，直线MN交BC于点M，交AD于点N．
（1）求证：CM＝CN；
（2）若△CMN的面积与△CDN的面积比为3：1，求的值．
【解答】（1）证明：∵将一张矩形纸片ABCD沿直线MN折叠，使点C落在点A处，
∴∠ANM＝∠CNM，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠ANM＝∠CMN，
∴∠CMN＝∠CNM，
∴CM＝CN；
（2）解：过点N作NH⊥BC于点H，
则四边形NHCD是矩形，
∴HC＝DN，NH＝DC，
∵△CMN的面积与△CDN的面积比为3：1，
∴＝＝＝3，
∴MC＝3ND＝3HC，
∴MH＝2HC，
设DN＝x，则HC＝x，MH＝2x，
∴CM＝3x＝CN，
在Rt△CDN中，DC＝＝2x，
∴HN＝2x，
在Rt△MNH中，MN＝＝2x，
∴＝＝2．
21．（15分）△ABC是边长为4的等边三角形，△ABF是等腰三角形，∠AFB＝120°，AF＝BF，以F为顶点作一个60°的角，角的两边分别交射线CA，BC于点D、E两点，连接DE．
（1）如图1，若D、E两点在线段CA，BC的延长线上．
①求证：FA⊥AC；
②试写出线段AD、BE、DE之间的数量关系，并说明理由；
（2）如图2，若D、E两点在线段CA，BC上，求△CDE的周长．
【解答】（1）①证明：∵△ABF是等腰三角形，AF＝BF，∠AFB＝120°，
∴∠FAB＝∠FBA＝30°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠CAB＝∠CBA＝60°，
∴∠CAF＝∠FAB+∠CAB＝30°+60°＝90°，
∴FA⊥AC；
②解：BE＝DE+AD，
理由：如图，在BE上截取BG＝AD，连接FG．
由①可知：∠CAF＝∠CBF＝90°，
∴∠FAD＝∠FBG＝90°，
在△ADF和△BGF中，
，
∴△ADF≌△BGF（SAS），
∴DF＝GF，∠AFD＝∠BFG，
∵∠AFB＝120°，∠DFE＝60°，
∴∠GFE＝∠AFB﹣（∠AFE+∠BFG）＝∠AFB﹣（∠AFE+∠AFD）＝120°﹣60°＝60°，
即∠GFE＝∠DFE，
在△DEF和△GEF中，
，
∴△DEF≌△GEF（SAS），
∴DE＝GE，
∵BE＝GE+BG，
∴BE＝DE+AD；
（2）解：如图：延长EB至点H，使BH＝AD，连接FH，
由（1）可知：∠CAF＝∠CBF＝90°，
∴∠DAF＝∠HBF＝90°，
在△ADF和△BHF中
，
∴△ADF≌△BHF（SAS），
∴DF＝HF，∠AFD＝∠BFH，
∵∠AFB＝120°，∠DFE＝60°，
∴∠AFD+∠BFE＝60°，
∴∠BFH+∠BFE＝60°，即∠EFH＝60°＝∠EFD，
在△DEF和△HEF中，
，
∴△DEF≌△HEF（SAS），
∴DE＝HE，
∵HE＝EB+BH＝EB+AD，
∴DE＝EB+AD，
∴△CDE的周长＝CD+DE+CE＝CD+AD+BE+CE＝CA+CB，
∵△ABC是边长为4的等边三角形，
∴CA＝CB＝4，
∴△CDE的周长＝8．
22．（15分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与坐标轴相交于A、B、C三点，其中A点坐标为（3，0），B点坐标为（﹣1，0），连接AC、BC．动点P从点A出发，在线段AC上以每秒个单位长度向点C做匀速运动；同时，动点Q从点B出发，在线段BA上以每秒1个单位长度向点A做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接PQ，设运动时间为t秒．
（1）求b、c的值．
（2）在P、Q运动的过程中，当t为何值时，四边形BCPQ的面积最小，最小值为多少？
（3）在线段AC上方的抛物线上是否存在点M，使△MPQ是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点A（3，0），B（﹣1，0），
则 ，
解得：；
（2）由（1）得：抛物线表达式为y＝﹣x2+2x+3，C（0，3），A（3，0），
∴△OAC是等腰直角三角形，
∴∠BAC＝45°，
由点P的运动可知：AP＝t，
过点P作PH⊥x轴，垂足为H，如图，
∴AH＝PH＝＝t，即H（3﹣t，0），
又Q（﹣1+t，0），
∴S四边形BCPQ＝S△ABC﹣S△APQ
＝
＝
＝（t﹣2）2+4，
∵当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，
AC＝，AB＝4，
∴0≤t≤3，
∴当t＝2时，四边形BCPQ的面积最小，最小值为4；
（3）存在．假设点M是线段AC上方的抛物线上的点，
如图，过点P作x轴的垂线，交x轴于E，过M作y轴的垂线，与EP交于F，连接MQ，MP．
∵△PMQ是等腰直角三角形，PM＝PQ，∠MPQ＝90°，
∴∠MPF+∠QPE＝90°，又∠MPF+∠PMF＝90°，
∴∠PMF＝∠QPE，
在△PFM和△QEP中，
，
∴△PFM≌△QEP（AAS），
∴MF＝PE＝t，PF＝QE＝4﹣2t，
∴EF＝4﹣2t+t＝4﹣t，
又OE＝3﹣t，
∴点M的坐标为（3﹣2t，4﹣t），
∵点M在抛物线y＝﹣x2+2x+3上，
∴4﹣t＝﹣（3﹣2t）2+2（3﹣2t）+3，
解得：t＝或（舍），
∴M点的坐标为（，）．
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