高中数学高考专题14 平面向量B卷（第二篇）（解析版）

这是一份高中数学高考专题14 平面向量B卷（第二篇）（解析版），共28页。试卷主要包含了已知正六边形中，是的中点，则等内容，欢迎下载使用。

1．如图，在平行四边形ABCD中，M是BC的中点，且AD=DM，N是线段BD上的动点，过点N作AM的垂线，垂足为H，当最小时，
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
因为，且确定向量的夹角时需平移向量使两向量共起点，所以
，而在中，，
所以，
所以当最小时，线段最长，由图象可知点N与点D重合时，线段MH最长，此时最小，
因为，所以点H是AM的中点，
则
，
故选C．
2．已知正三角形的边长为，是边的中点，动点满足，且，其中，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
如图所示：以为原点，为轴建立直角坐标系

设，则得到 设
得到

当时有最大值，此时，有最大值
故答案选D
3．在平行四边形中，点在对角线上(包含端点)，且，则有（）
A．最大值为，没有最小值B．最小值为，没有最大值
C．最小值为，最大值为D．最小值为，最大值为
【答案】C
【解析】
如图所示：
，所以
（1）当点在上，设，
因为，所以；
（2）当点在上，设，
；
综上， 的最小值为，最大值为，故选C．
4．为所在平面上动点，点满足, ,则射线过的（ ）
A．外心B．内心C．重心D．垂心
【答案】B
【解析】


因为和分别是和的单位向量
所以是以和为邻边的平行四边形的角平分线对应的向量
所以的方向与的角平分线重合
即射线过的内心
故选B
5．在中，，，，是外接圆上一动点，若，则的最大值是（ ）
A．1B．C．D．2
【答案】C
【解析】
以的中点O为原点，以为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
则外接圆的方程为，
设M的坐标为，，
过点作垂直轴，
，
，，
，
，，
，，，
，，，，
，，，，
，，
，，
，其中，，
当时，有最大值，最大值为，
故选C．
6．已知点为线段上一点，为直线外一点，是的角平分线，为上一点，满足，，，则的值为（ ）
A．B．C．4D．5
【答案】B
【解析】
由可得，
所以I在∠BAP的角平分线上，由此得I是△ABP的内心，
过I作IH⊥AB于H，I为圆心，IH为半径，作△PAB的内切圆，
如图，分别切PA，PB于E，F，
，则，
，
在直角三角形BIH中,，
所以.
故选：B.
7．已知正六边形中，是的中点，则
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
作出图形如下图所示，设直线、相交于点，则点为这两条线段的中点，
由图形可知，，
所以，，①
，②
，③
联立②③，得，解得，
代入①，
得，
故选C．
8．自平面上一点引两条射线，，点在上运动，点在上运动且保持为定值（点，不与点重合），已知，，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
设，则
其中，则
当时，原式取最大值：

本题正确选项：
9．已知菱形ABCD边长为2，∠B＝，点P满足＝λ，λ∈R，若·＝－3，则λ的值为( )
A． B．－C． D．－
【答案】A
【解析】
法一：由题意可得·＝2×2cs＝2，
·＝(＋)·(－)
＝(＋)·[(－)－]
＝(＋)·[(λ－1)·－]
＝(1－λ) 2－·＋(1－λ)··－2
＝(1－λ)·4－2＋2(1－λ)－4
＝－6λ＝－3，
∴λ＝，故选A.
法二：建立如图所示的平面直角坐标系，
则B(2,0)，C(1，)，D(－1，)．
令P(x,0)，由·＝(－3，)·(x－1，－)＝－3x＋3－3＝－3x＝－3得x＝1.
∵＝λ，∴λ＝.故选A.
10．是平行四边形所在的平面内一点，,则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
解:如图所示,分别取AB，CD的中点E，F，
则，
∴三点E，O，F共线，
作，
以AM，AB为邻边作平行四边形ABNM.
则，
，
延长EF交直线MN与点P.
则，
所以，
所以，
所以,
,
即, 即，
又,所以,
所以,
故,
故选C.
11．在同一平面内，已知A为动点，B，C为定点，且∠BAC=，，BC=1，P为BC中点．过点P作PQ⊥BC交AC所在直线于Q，则在方向上投影的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
建立如图所示的平面直角坐标系，则B（-，0），C（，0），P（0，0），
由可知，ABC三点在一个定圆上，且弦BC所对的圆周角为，所以圆心角为.圆心在BC的中垂线即轴上，且圆心到直线BC的距离为，即圆心为，半径为.
所以点A的轨迹方程为：，则 ，则 ，
由在方向上投影的几何意义可得：在方向上投影为|DP|=|x|，
则在方向上投影的最大值是，
故选C．
12．已知||=||=，动点满足，且，则在方向上的投影的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
由已知有=（）•（）=-+（μ-λ）=2λ-2μ，
又2=（）2=4（λ2+μ2+λμ），
又2λ+μ=2，所以μ=2-2λ，
则在方向上的投影为==，
令t=3λ-2，则，
则f（t）=，
①当t＞0时，f（t）==≤2，即0＜f（t）≤2；
②当t=0时，f（t）=0，
③当t＜0时，f（t）=-，即-＜f（t）＜0，
综合①②③得＜f（t）≤2，
即∈（]，
故选A．
13．设非零向量与的夹角是，且，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．1
【答案】B
【解析】
对于，和的关系，根据平行四边形法则，如图
，，,
，，
，，
，
化简得
当且仅当时，的最小值为
答案选B
14．已知边长为2的菱形中，点为上一动点，点满足，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
由题意知：，设

以与交点为原点，为轴，为轴建立如下图所示的平面直角坐标系：
，，设
则，

当时，
本题正确选项：
15．如图所示，设为所在平面内的一点，并且，则与的面积之比等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
延长AP交BC于点D，因为A、P、D三点共线，
所以，设
代入可得
即
又因为，即，且
解得
所以可得
因为与有相同的底边，所以面积之比就等于与之比
所以与的面积之比为
故选D
16．在锐角△ABC中，AC=BC=2，=x+y（其中x+y=1），若函数f（λ）=|-λ|的最小值为，则||的最小值为（ ）
A．1B．C．2D．
【答案】B
【解析】
由,
因为的最小值为，
即恒成立，即恒成立，
当且仅当时等号成立，
代入函数中得到，所以，
所以
，
当且仅当时，取得最小值，
所以的最小值为，故选B．
17．已知为椭圆上一个动点，过点作圆的两条切线，切点分别是，，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
如图，的夹角为2α，
则．
∴．
令，
则，当且仅当，即
时等号成立，
∴的最小值为．
又点在椭圆的左端点时，的值最大，此时，
∴.
∴的最大值为.
∴的取值范围为[2－3，]．
故选C．
18．已知，，，平面区域是由所有满足的点组成的区域，则区域的面积是（ ）．
A．8B．12C．16D．20
【答案】C
【解析】
解：由，，，
得，，
因为
所以，解得
又因为
代入化简得
画出不等式组代表的平面区域如图中阴影部分，且阴影部分为平行四边形
由直线方程解出点，，，
点到直线的距离，
所以阴影部分面积为
故选C.
19．设非零向量，夹角为，若，且不等式对任意恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
不等式等价于：，
即，①
其中，，
将其代入①式整理可得：，
由于是非零向量，故：恒成立，
将其看作关于的一次不等式恒成立的问题，由于，故：
，解得：；
且：，解得：；
综上可得，实数的取值范围为.
本题选择A选项.
20．已知双曲线： 的左右焦点分别为，， 为双曲线上一点， 为双曲线C渐近线上一点， ， 均位于第一象限，且，，则双曲线的离心率为（ ）
A．8B．C．D．
【答案】B
【解析】
由题意得，双曲线在第一、三象限的渐近线为，设点Q坐标为，
则，
∵，
∴，
∴．
设，由得，
∴，
∴，
∵点在双曲线上，
∴，
∴，
∴，
解得或，
∴双曲线的离心率为2．选B．
21．在等边三角形中,是上一点，,是上一点，,则( )
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
以的中点为原点，为轴正方向，设等边三角形边长为，
则，
，
设坐标为 是上一点，则
，
由可得，即
解得，

，，
，故选B项.
22．已知矩形ABCD，，，点P为矩形内一点，且，则的最大值为
A．0B．2C．4D．6
【答案】B
【解析】
以点A为原点，AB所在直线为为x轴，以AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系
因为，所以点P在第一象限内的单位圆上
则
所以根据三角函数定义，设P ，
则
所以


当 时，取得最大值为2
所以选B
23．若平面向量满足，，，，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
设向量的夹角为θ，
则，
∴，．
于是可设，令，
则，
由题意得，表示点在以为圆心，半径为的圆上．
又，
∴，表示圆上的点与点间的距离，
∴的最大值为．
故选D．
24．已知，，为平面上三个不共线的定点，平面上点满足（是实数），且是单位向量，则这样的点有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．无数个
【答案】C
【解析】
以为原点建立坐标系，设、，
则，
因为，所以，
所以
所以
所以，
因为是单位向量，所以
因为为平面上三个不共线的三点，
所以，显然有两解，故满足条件的有两个，故选C．
25．已知点P是椭圆E：上的任意一点，AB是圆C：的一条直径，则的最大值是
A．32B．36C．40D．48
【答案】A
【解析】
解：如图所示，
设，满足．
，，，，
，
，．
当且仅当时，．
的最大值是32．
故选A．
26．已知向量，满足，，若与的夹角为，则m的值为
A．2B．C．1D．
【答案】A
【解析】
，
又，
，
，
，
，
即，
得或（舍去），
故的值为2，故选A.
27．设单位向量，对任意实数都有，则向量，的夹角为
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
解：是单位向量，设的夹角为；
对两边平方得，；
整理得，，该不等式对任意实数恒成立；
；
；
；
又；
．
故选：D．
28．在直角梯形中， ， ， ， 分别为， 的中点，以为圆心， 为半径的圆交于，点在弧上运动（如图）.若，其中， ，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
解：建立如图所示的坐标系，
则A（0，0），B（2，0），D（0，1），C（2，2），E（2，1），F（1，1.5），
P（csα，sinα）（0≤α），
由λμ得，（csα，sinα）＝λ（2，1）+μ（﹣1，）
⇒csα＝2λ﹣μ，sinα＝λ
⇒λ，
∴6λ+μ＝6（）2（sinα+csα）＝2sin（）
∵，∴sin（）
∴2sin（）∈[2，2]，即6λ+μ的取值范围是[2，2]．
故选D．
29．若曲线和上分别存在点,使得是以原点为直角顶点的直角三角形，AB交y轴于C,且则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
设A（x1，y1），y1＝f（x1），B（x2，y2），y2＝g（x2）＝﹣x23+x22（x＜0），又，
则，x2＝﹣2x1，∴．
，，
由题意，，即0，
∴，
∵e﹣1＜x1＜e2﹣1，
∴，
则．
设h（x），则h′（x），令,则u′（x）==>0在e﹣1＜x＜e2﹣1恒成立，所以单增，所以>=>0，∴h′（x）＞0，
即函数h（x）在（e﹣1＜x＜e2﹣1）上为增函数，
则，
即4e-2＜a．
∴实数a的取值范围是．
故选：B．
30．已知点O是锐角△ABC的外心，a，b，c分别为内角A、B、C的对边，A= ，且，则λ的值为（ ）
A．B．﹣C．D．﹣
【答案】D
【解析】
如图所示：O是锐角△ABC的外心，
D、E分别是AB、AC的中点，且OD⊥AB，OE⊥AC，
设△ABC外接圆半径为R，则R，
由图得，，
则
，
同理可得，，
由得，
，
所以，
则，①
在△ABC中由正弦定理得：，
代入①得，，
则，②
由正弦定理得，、，
代入②得，2RsinCcsB+2RcsCsinB＝﹣λR；
所以2sin（C+B）＝﹣λ，即2sinλ，
解得λ，故选D．