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江苏省苏州市振华中学2022-2023学年九年级下学期期初考数学试题
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这是一份江苏省苏州市振华中学2022-2023学年九年级下学期期初考数学试题，共35页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知A、B两地相距10km，在地图上相距10cm，则这张地图的比例尺是( )．
A．100000:1B．1000:1C．1:100000D．1:1000
2．已知的直径为5cm，线段cm，那么点A与的位置关系是（ ）
A．点A在外B．点A在上C．点A在内D．不能确定
3．下列说法正确的是（ ）
A．一组数据2，2，3，4，这组数据的中位数是2
B．了解一批灯泡的使用寿命的情况，适合抽样调查
C．小明的三次数学成绩是126分，130分，136分，则小明这三次成绩的平均数是131分
D．某日最高气温是，最低气温是，则该日气温的极差是
4．在一个不透明的口袋中装有4个红球，5个白球和若干个黑球，它们除颜色外其他完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在25%附近，则口袋中黑球可能有（ ）个．
A．10B．11C．12D．13
5．如图，某水库堤坝横断面迎水坡的坡度是，堤坝高cm，水平宽度的长度（ ）
A．100cmB．cmC．150cmD．cm
6．如图，过⊙O外一点P引⊙O的两条切线PA，PB，切点分别是A，B，OP交⊙O于点C，点D是上不与点A、点C重合的一个动点，连接AD，CD，若∠APB=80°，则∠ADC的度数是（ ）
A．15°B．20°C．25°D．30°
7．如图，⊙O的半径为3，边长为2的正六边形ABCDEF的中心与O重合，M、N分别是AB、FA的延长线与⊙O的交点，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．B．C．D．
8．如图，正方形中，E为上一点，于点F，已知，过C、D、F的圆与边交于点G，则（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
9．已知为锐角，且，则______°．
10．已知关于x的一元二次方程，若方程有一个根是，则m为______．
11．圆锥的底面圆周长为，侧面积为，则圆锥的母线长为____________．
12．若点C是线段的一个黄金分割点，AB=2，且，则_____（结果保留根号）．
13．一座石拱桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数关系为，当水面的宽度为16米时，水面离桥拱顶的高度为______m．
14．如图，在直角坐标系中，O为坐标原点，矩形，B点坐标为，A、C分别在y轴、x轴上；若D点坐标为，连结，点E、点F分别从A点、B点出发，在上相向而行，速度均为1个单位/每秒，当E、F两点相遇时，两点停止运动；过E点作交x轴于H点，交y轴于G点，连结、，在运动过程中，的最大面积为______．
15．如图，在平面直角坐标系中，半径为4的与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，D，连接，已知x轴上一点，点Q是上一动点，连接，点M为的中点，连接，则面积的最小值为______．
16．如图，抛物线与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其上方的部分记作，将向右平移得，与x轴交于点B、D．若直线与、共有2个不同的交点，则m的取值范围是______．
三、解答题
17．（1）解方程：．
（2）计算：．
18．如图，直角坐标系中一条圆弧经过网格点，，．
(1)该圆弧所在圆的圆心坐标为______．
(2)求弧ABC的长．
19．如图，在中，，点D是BC边上的一点，，，．
(1)求AC和AB的长；
(2)求的值．
20．2022年3月23日“天宫课堂”第二课在中国空间站正式开讲了，“太空教师”翟志刚、王亚平、叶光富又上了一堂精彩的太空科普课．某学校为了培养学生对航天知识的学习兴趣，将举办航天知识讲座．现决定从A，B，C，D四名志愿者中随机选取两名志愿者担任引导员．
(1)“B志愿者被选中”是______事件（填“随机”或“不可能”或“必然”）；
(2)请用列表或画树状图的方法求出抽到A，B两名志愿者的概率．
21．“秋风响，蟹脚痒”，正是食蟹好时节．某蟹农在今年五月中旬向自家蟹塘投放蟹苗1200只，为赶在食蟹旺季前上市销售，该蟹农于九月中旬在蟹塘中随机试捕了4次，获得如下数据：
(1)四次试捕中平均每只蟹的质量为____________；
(2)若蟹苗的成活率为，试估计蟹塘中蟹的总质量为____________；
(3)若第3次试捕的蟹的质量（单位：g）分别为：166，170，172，a，169，167．
①____________；
②求第3次试捕所得蟹的质量数据的方差．
22．每年的至月份是台风多发季节，某次台风来袭时，一棵大树树干（假定树干垂直于地面）被刮倾斜后折断倒在地上，树的顶部恰好接触到地面（如图所示），量得树干的倾斜角为，大树被折断部分和地面所成的角，米，求这棵大树原来的高度是多少米？（结果精确到个位，参考数据：，，）
23．如图，AB是的直径，点D，E在上，连接AE，ED，DA，连接BD并延长至点C，使得．
(1)求证：AC是的切线；
(2)若点E是的中点，AE与BC交于点F；
①求证：；
②当，时，请直接写出BF的长为______．
24．正方形与扇形有公共顶点O，分别以，所在直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系．如图所示．正方形两个顶点C、D分别在x轴、y轴正半轴上移动．设，，
(1)当时，正方形与扇形不重合的面积是______；此时直线对应的函数关系式是______；
(2)当直线与扇形相切时．求直线对应的函数关系式；
(3)当正方形有顶点恰好落在上时，求正方形与扇形不重合的面积．
25．定义：如果二次函数（，，，是常数）与（，，，是常数）满足，，，则这两个函数互为“N”函数．
（1）写出的“N”函数的表达式；
（2）若题（1）中的两个“N”函数与正比例函数的图像只有两个交点，求k的值；
（3）如图，二次函数y1与y2互为“N”函数，A、B分别是“N”函数y1与y2图象的顶点，C是“N”函数与y轴正半轴的交点，连接、、，若点且为直角三角形，求点C的坐标．
26．如图，直角坐标系中，已知两点，，点B在第一象限且为正三角形．的外接圆交y轴的正半轴于点C．
(1)点B的坐标是______，点C的坐标是______；
(2)过点C的圆的切线交x轴于点D，则图中阴影部分的面积是______；
(3)若于点H，点P在线段上．点Q在y轴的正半轴上，，与交于点M．
①求面积的最大值；
②当为等腰三角形时，求点Q的坐标．
27．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A和点B（1，0），与y轴交于点C（0，﹣3）．
(1)求抛物线的函数表达式．
(2)若点P为第三象限内抛物线上一动点，作PD⊥x轴于点D，交AC于点E，过点E作AC的垂线与抛物线的对称轴和y轴分别交于点F、G，设点P的横坐标为m．
①求PE+EG的最大值；
②连接DF、DG，若∠FDG＝45°，求m的值．
数量/只
平均每只蟹的质量/g
第1次试捕
4
166
第2次试捕
4
167
第3次试捕
6
168
第4次试捕
6
170
参考答案：
1．C
【分析】比例尺=图上距离：实际距离，根据题意可直接求得比例尺．
【详解】∵10km=1000000cm，
∴比例尺为10：1000000=1：100000．
故选C．
【点睛】掌握比例尺的计算方法，注意在求比的过程中，单位要统一．比例尺=图上距离：实际距离，图上距离在前，实际距离在后.
2．A
【分析】根据点到圆心的距离d与圆的半径r之间的数量关系进行判断即可．
【详解】解：由题意得：，，
故：，
∴点A在外，
故选：A．
【点睛】本题考查点与圆的位置关系：点到圆心的距离大于圆的半径时，点在圆外，点到圆心的距离等于圆的半径时，点在圆上，点到圆心的距离小于圆的半径时，点在圆内．
3．B
【详解】分析：直接利用中位数的定义以及抽样调查的意义和平均数的求法、极差的定义分别分析得出答案．
详解：A、一组数据2，2，3，4，这组数据的中位数是2.5，故此选项错误；
B、了解一批灯泡的使用寿命的情况，适合抽样调查，正确；
C、小明的三次数学成绩是126分，130分，136分，则小明这三次成绩的平均数是130分，故此选项错误；
D、某日最高气温是7℃，最低气温是-2℃，则改日气温的极差是7-（-2）=9℃，故此选项错误；
故选B．
点睛：此题主要考查了中位数、抽样调查的意义和平均数的求法、极差，正确把握相关定义是解题关键．
4．B
【分析】设黑球可能有个，根据摸到白球的频率稳定在25%附近得到口袋中摸到白球的概率为25%，根据概率公式即可求出黑球的个数．
【详解】解：设黑球可能有个
∵摸到白球的频率稳定在25%附近
∴口袋中摸到白球的概率为25%
∴
∴
经检验：x=11是原方程的解，也符合题意.
∴黑球可能有11个
故选：B．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率、根据概率公式计算概率等知识点，由频率估计概率是解答本题的关键．
5．D
【分析】根据坡度的定义可得，即可得的长．
【详解】解：的坡度是，
，
解得．
经检验，是原方程的解且符合题意，
水平宽度的长度为．
故选：D．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用坡度坡角问题，解题的关键是熟练掌握坡度的定义．
6．C
【详解】解；如图，连接OB，OA.
因为PA，PB是圆O的切线，
所以∠OBP=∠OAP=90°，PA=PB.
由四边形的内角和定理，得∠BOA=360°-90°-90°-80°=100°.
在△BPO和△APO中，
PB=PA，PO=PO，OB=OA，
所以△BPO≌△APO，
所以∠BOC=∠COA=∠AOB=50°.
由圆周角定理，得∠ADC=12∠AOC=25°.
故选C.
7．B
【分析】连接OM，ON，设OM交AB于点P，ON交BC于点Q，得，根据求解即可
【详解】连接OM，ON，设OM交AB于点P，ON交BC于点Q，如图，
由割补法原理可知
又∵
∴
∵
又∵
∴
∴
故选：B
【点睛】本题考查了扇形面积的计算，正六边形的性质，正确的识别图形是解题的关键．
8．D
【分析】连接、，由可得正方形边长，再由即可得到答案．
【详解】解：连接、，如图：
∵正方形中，，
∴，
∵
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
在中，，
∵，，
∴，
∵四边形是圆的内接四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】本题主要考查正方形的性质，相似三角形的判定与性质，圆周角定理等知识点，作出合理辅助线，找出对应的相似三角形是解决本题的关键．
9．60
【分析】根据特殊的三角函数值即可解出．
【详解】解： ∵
．
故答案为：60．
【点睛】本题主要考查了特殊的三角函数值，熟记三角函数值是解题关键．
10．
【分析】将代入方程，进行求解即可．
【详解】解：∵关于的一元二次方程有一个根是，
∴，
解得：；
故答案为：．
【点睛】本题考查一元二次方程的解．熟练掌握方程的解是使等式成立的未知数的值，是解题的关键．
11．
【分析】先根据周长求得半径，然后根据圆锥的侧面积公式得出，直接求出的值即可．
【详解】解：∵圆锥的底面圆周长为，
∴圆锥的底面的半径为，
∵
∴，
即圆锥的母线长为，
故答案为：．
【点睛】题主要考查了圆锥的侧面积公式，牢记圆锥侧面积公式是解决问题的关键．
12．##
【分析】根据黄金比是进行计算即可．
【详解】解：∵点C是线段AB上的一个黄金分割点，且AC> BC，
∴AC=AB=×2=，
故答案为：
【点睛】本题考查的是黄金分割的概念，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值叫做黄金比．
13．4
【分析】根据题意得到点B的横坐标为8，代入求出纵坐标的值，其绝对值就是的长．
【详解】解：根据抛物线的对称性，
∵，
∴，
令，则，
∴．
故答案为：4．
【点睛】本题考查二次函数图象性质的应用，解题的关键是掌握二次函数图象的性质．
14．
【分析】先求直线的解析式，进而设直线的解析式为，得出，即，利用得出，根据二次函数求最值的方法求解即可．
【详解】解：∵矩形，B点坐标为，
，
，
设直线的解析式为，
把D点坐标为代入，得，
解得，
∴直线的解析式为，
∵，
∴设直线的解析式为，
∴，
当时，，
，
，
，
，
，
，
，
∴的最大面积为，
故答案为: ．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数的解析式，一次函数图象上的点的坐标特征，矩形的性质，二次函数的最值，熟练掌握知识点是解题的关键．
15．##
【分析】连接，由三角形的中位线定理求得，得M点在以A点为圆心，2为半径的圆上运动，当M点为线段与的交点时，的面积最小，求出此时的面积便可．
【详解】解：连接，
由题意得，，
∴，
∵为直径，
∴，
由题意知，点M在以A为圆心，2为半径的上运动，
当M点为线段与的交点时，
点M到的距离最短为，
∴面积的最小值为：．
故选：．
【点睛】本题考查坐标与图形，点和圆的位置关系，勾股定理，三角形的中位线定理，关键在于确定M点的运动轨迹．
16．或者，或者
【分析】首先求出点A和点B的坐标，然后求出解析式，分别求出直线与抛物线，相切时m的值以及直线过点A、B时m的值，结合图形即可得到答案．
【详解】令，即，
解得或，
则点，，
抛物线：，，
由于抛物线向右平移两个长度单位得抛物线，
则抛物线解析式为，，
令，即，
解得或，
则点，
如图，
当与抛物线：相切时，
令，即，
根据相切可知方程有两个相等的解，即，
解得，
当过点时，即：，
解得，
当与抛物线：相切时，
令，即，
根据相切可知方程有两个相等的解，即，
解得，
当过点时，即：，
解得，
结合图象可知：直线与、共有2个不同的交点时，
则m的取值范围是，或者，或者，
故答案为：或者，或者．
【点睛】本题主要考查抛物线与x轴交点以及二次函数图象与几何交换的知识，解答本题的关键是正确画出图形，利用数形结合进行解题，此题有一定的难度．
17．（1），；（2）
【分析】（1）采用配方法即可求解；
（2）把特殊角的三角函数值代入后计算即可．
【详解】（1）
，
即：，，
（2）
．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法及特殊角的三角函数值，熟练运用配方法解一元二次方程是解决（1）题的关键；熟知特殊角的三角函数值是解决（2）题的关键．
18．(1)
(2)
【分析】（1）根据垂径定理结合网格的性质可得答案；
（2）借助网格求出圆心角度数和半径，再利用弧长公式进行计算即可．
【详解】（1）解：由垂径定理可知，圆心是AB、BC中垂线的交点，
由网格可得该点P(2，0)，
故答案为：(2，0)；
（2）解：连接AC，
根据网格可得，OP=CQ=2，OA=PQ=4，
∠AOP=∠PQC=90°，
由勾股定理得，
AP= =PC，
∵AP2=22+42=20，CP2=22+42=20，AC2=22+62=40，
∴AP2+CP2=AC2，
∴∠APC=90°，
∴弧ABC的长为，
答：弧ABC的长为π．
【点睛】本题考查弧长的计算、垂径定理，勾股定理及其逆定理等知识，掌握垂径定理以及网格特征是确定圆心坐标的关键，求出弧所在圆的半径和相应圆心角度数是求弧长的前提．
19．(1)8；
(2)
【分析】（1）解，求得，在中，勾股定理求得在中，在中，根据，即可求得的长，继而根据勾股定理即可得的长；
（2）过点作于点，等面积法求得的长，然后根据正弦的定义即可求解．
【详解】（1）解：∵在中，
∴，
∴在中，，
又∵在中，，
∴，
∴；
（2）解：如图，过点作于点，
∴，
∵
∴，
∴在中，．
【点睛】本题考查了解直角三角形，掌握直角三角形中的边角关系是解题的关键．
20．(1)随机
(2)
【分析】（1）由题意知“B志愿者被选中”是随机事件．
（2）列表或画树状图，按概率公式计算即可得到答案．
【详解】（1）解：随机；
（2）解：根据题意，画树状图如下：
根据上表，共有12种等可能的结果．即、、、、、、、、、、、．
符合“抽到A、B两名志愿者”记作事件E，共有2种结果，即和．
∴抽到A、B两名志愿者的概率为：．
答：抽到A、B两名志愿者的概率为．
【点睛】本题考查随机事件与概率，熟练掌握相关知识是解题的关键．
21．(1)168
(2)
(3)①164；②7
【分析】（1）用四次试捕中蟹的总质量除以蟹的数量，即可求解；
（2）用四次试捕中平均每只蟹的质量乘以成活的蟹的数量，即可求解；
（3）①用第3次试捕的蟹的总质量减去其它蟹的质量，可得a的值；②根据方差公式计算，即可求解．
【详解】（1）解：四次试捕中平均每只蟹的质量为
；
故答案为：168
（2）解：；
故答案为：
（3）解：①；
故答案为：164
②
【点睛】本题主要考查了求加权平均数，求方差，用样本估计总体，熟练掌握加权平均数，方差的求法是解题的关键．
22．米
【分析】过点作于点，由可求出的度数，在中由，可求出及的长度，在中由直角三角形的性质可得出，故可得出的长度，再利用锐角三角函数的定义可得出的长，进而可得出结论．
【详解】解：过点作于点，
，
，
，
在中，
，
，
，
，
，
在中，
，
，
，
，
，
米．
答：这棵大树原来的高度是10米．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
23．(1)见解析；
(2)①见解析；②3
【分析】（1）要想证明AC是⊙O的切线，只需证得AB⊥AC即可；
（2）①由圆周角、弧、弦间的关系即可推出CA＝CF；
②通过相似三角形（△ADC∽△BAC）的对应边成比例求得AC＝6．得出CA＝CF＝6，则DF＝CA﹣CD＝2，然后通过即可．
【详解】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°．
∴∠ABC+∠DAB＝90°．
∵∠DAC＝∠AED，∠AED＝∠ABC，
∴∠DAC+∠DAB＝90°，
∴AC是⊙O的切线．
（2）①证明：∵点E是的中点，
∴，
∴∠BAE＝∠DAE．
∵∠DAC+∠DAB＝90°，∠ABC+∠DAB＝90°，
∴∠DAC＝∠ABC．
∵∠CFA＝∠ABC+∠BAE，∠CAF＝∠DAC+∠DAE，
∴∠CFA＝∠CAF．
∴CA＝CF．
②解：∵∠BAC＝∠ADB＝90°，
∴∠ACD＝∠BCA，
∴△ADC∽△BAC．
∴．即AC2＝BC×CD＝（5+4）×4＝36．
解得AC＝6．
∴CA＝CF＝6，
∴DF＝CA﹣CD＝2，
，
故答案为3．
【点睛】本题考查了切线的判定、相似三角形的判定与性质．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．
24．(1)，
(2)
(3)或者
【分析】（1）利用扇形面积减去正方形的面积即可得不重合的面积，利用待定系数法即可求出直线对应的函数关系式；
（2）连接，交于点F，先证明直线与扇形相切，切点为正方形对角线交点F，由，可得正方形的边长，即有，，问题得解；
（3）分点E在扇形上和点C、D在扇形上两种情况讨论即可作答．
【详解】（1）当时，即正方形的边长为：，
则正方形的对角线长为：，
∴正方形在扇形内部，
∴正方形与扇形不重合的面积是：，
即：，
∵，
∴，，
设直线对应的函数关系式是，
∴，解得：，
直线对应的函数关系式是，
（2）连接，交于点F，如图，
∵正方形中，有，
又∵直线与扇形相切，
∴可知直线与扇形相切的切点为对角线交点F，
∵，
∴，
∴利用勾股定理，可得正方形的边长，
∴，，
同（1），利用待定系数法可得：直线对应的函数关系式；
（3）分两种情况讨论：
当点E在扇形上时，连接，如图，
此时可知正方形对角线的长度与扇形所在圆的半径相等，，
∴利用勾股定理，可得正方形的边长，
∴正方形在扇形内部，
∴正方形与扇形不重合的面积是：，
即：；
当点C、D在扇形上时，如图，
即有正方形的边长，
∴正方形在扇形外部，
∴正方形与扇形不重合的面积是：，
即：；
综上：正方形与扇形不重合的面积为：或者．
【点睛】本题考查了图形与坐标，一次函数，正方形的性质，扇形的面积计算，圆切线的性质，注意分类讨论的思想，是解答本题的关键．
25．（1）；（2）k的值为3或－1；（3）点C的坐标为（0，）或（0，5）．
【分析】（1）根据“N”函数的定义即可求得答案；
（2）根据中心对称的性质可得的图像与的图像只有一个交点，
由此联立方程即可求得答案；
（3）先根据中心对称的性质求得点B的坐标，进而可分别表示出y1与y2的函数关系式，以及点C的坐标，再根据为直角三角形分类讨论，利用直角三角形的勾股定理列出方程求解即可．
【详解】解：（1）∵，
∴，，，
∴，，，
∴的“N”函数的表达式为；
（2）
，
同理：，
∴与关于原点成中心对称，
又∵正比例函数的图像也是关于原点成中心对称，且题（1）中的两个“N”函数与正比例函数的图像只有两个交点，
∴的图像与的图像只有一个交点，
∴方程有两个相等的实数根，
∴，
整理，得：，
∴，
解得：，，
∴k的值为3或－1；
（3）由（2）可知，若二次函数y1与y2互为“N”函数，
则二次函数y1与y2的图像关于原点成中心对称，
∵A、B分别是“N”函数y1与y2的图像的顶点，点，
∴点，点O为AB的中点，
∴设（），则，
当时，，
∴点C（0，），
∵C是“N”函数与y轴正半轴的交点，
∴若为直角三角形，则∠ACB＝90°或∠BAC＝90°，
当∠ACB＝90°时，
又∵点O为AB的中点，
∴AB＝2OC，
∵AB＝，
∴OC＝，
∴点C的坐标为（0，），
当∠BAC＝90°时，则，
∴，
解得：，
∴，
∴点C的坐标为（0，5），
综上所述：点C的坐标为（0，）或（0，5）．
【点睛】本题考查了二次函数的图像性质，理解题意，能够发现二次函数y1与y2的图像关于原点成中心对称是解决本题的关键．
26．(1)，
(2)
(3)①，②点Q的坐标为，
【分析】（1）根据等边三角形的性质以及点A的坐标，过点B向边做垂线，即可求出B点的坐标；连接，根据圆的性质可得，利用三角函数即可求出点C的坐标．
（2）因为，所以是直径，为圆的切线，，所以，利用三角函数可求出的长，则．
（3）①设，则，利用三角函数求出的长，所以，最后用二次函数求出面积的最大值．②设点Q的坐标，求出的长，分三种情况：，分别求出点Q的坐标．
【详解】（1）过点B作的垂线，垂足为G，
∵，，
∴，
∵是正三角形，
∴，，
∴在中，由勾股定理得：
，
∴点B的坐标为．
连接AC，
则，
∴，
∴，
∴点C的坐标为．
（2）∵，
∴是直径，
∵是的中线，
∴点E为外接圆的圆心，且在上，
由（1）得，，
∴，，
∴，，
∵直线是的切线，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
，
（3）①设，
∵，
∴，
由（2）得，
∴，
过点P向作垂线，垂足为N，
∴，
∴，
∴，
即：，
∴当时，的面积最大，最大值为．
②设点Q的坐标为，
，，
（I）若，，
∴，
根据，可得：，
即，
过点P作，垂足为F，则，
∵Q的坐标为，，
∴，即，
又∵，，
即：，
根据，有：，
解得，即点Q的坐标为．
（II）若，
则，
∴，，
∴，
解得时，点Q的坐标为．
（III）若，，
此时，不满足题意,
综上：点Q的坐标为，．
【点睛】本题主要考查了正三角形和圆，涉及到等边三角形的性质、圆的性质，阴影面积的求法，综合性较强，熟练掌握知识点以及灵活运用是解题的关键．
27．(1)y＝x2+2x﹣3；
(2)①；②-1或
【分析】（1）运用待定系数法将B（1，0），C（0，﹣3）代入y＝x2+bx+c，解方程组求出b、c即可；
（2）①利用待定系数法求出直线AC的解析式，过点E作EK⊥y轴于点K，设P（m，m2+2m﹣3），则E（m，﹣m﹣3），从而得出EG，运用二次函数求最值方法即可；
②作EK⊥y轴于K，FM⊥y轴于M，直线EG与x轴交于点N．先证明△DGF∽△EGD，可得出DG2＝FG•EG＝×（﹣m）＝﹣2m，再运用勾股定理建立方程求解即可．
【详解】（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过点B（1，0），C（0，﹣3），
∴，
解得：，
∴抛物线的函数表达式为：y＝x2+2x﹣3；
（2）①当y＝0时，x2+2x﹣3＝0，
解得：x1＝﹣3，x2＝1，
∴A（﹣3，0），
设直线AC的解析式为y＝kx+n，
把A（﹣3，0），C（0，﹣3）代入，
得：，解得：，
∴直线AC的解析式为：y＝﹣x﹣3，
∵OA＝OC＝3，
∴∠OAC＝∠OCA＝45°，
过点E作EK⊥y轴于点K，
∵EG⊥AC，
∴∠KEG＝∠KGE＝45°，
∴EG＝＝EK＝OD，
设P（m，m2+2m﹣3），则E（m，﹣m﹣3），
∴PE＝﹣m﹣3﹣（m2+2m﹣3）＝﹣m2﹣3m，
∴PE+EG＝PE+2OD＝﹣m2﹣3m﹣2m＝﹣m2﹣5m＝﹣（m+）2+，
由题意有﹣3＜m＜0，且﹣3＜﹣＜0，﹣1＜0，
当m＝﹣时，PE+EG取最大值，PE+EG的最大值为；
②作EK⊥y轴于K，FM⊥y轴于M，记直线EG与x轴交于点N，
∵EK⊥y轴，PD⊥x轴，∠KEG＝45°，
∴∠DEG＝∠DNE＝45°，
∴DE＝DN．
∵∠KGE＝∠ONG＝45°，
∴OG＝ON，
∵y＝x2+2x﹣3的对称轴为直线x＝﹣1，
∴MF＝1，
∵∠KGF＝45°，
∴GF＝＝MF＝，
∵∠FDG＝45°，
∴∠FDN＝∠DEG．
又∵∠DGF＝∠EGD，
∴△DGF∽△EGD，
∴＝，
∴DG2＝FG•EG＝×（﹣m）＝﹣2m，
在Rt△ONG中，OG＝ON＝|OD﹣DN|＝|OD﹣DE|＝|﹣m﹣（m+3）|＝|﹣2m﹣3|，
OD＝﹣m，
在Rt△ODG中，
∵DG2＝OD2+OG2＝m2+（2m+3）2＝5m2+12m+9，
∴5m2+12m+9＝﹣2m，
解得m1＝﹣1，m2＝．
【点睛】本题考查二次函数解析式、线段和最短问题、相似三角形，能够灵活使用方程思想解决问题是解题的关键，常用勾股定理、相似比列方程．
一、单选题
1．已知A、B两地相距10km，在地图上相距10cm，则这张地图的比例尺是( )．
A．100000:1B．1000:1C．1:100000D．1:1000
2．已知的直径为5cm，线段cm，那么点A与的位置关系是（ ）
A．点A在外B．点A在上C．点A在内D．不能确定
3．下列说法正确的是（ ）
A．一组数据2，2，3，4，这组数据的中位数是2
B．了解一批灯泡的使用寿命的情况，适合抽样调查
C．小明的三次数学成绩是126分，130分，136分，则小明这三次成绩的平均数是131分
D．某日最高气温是，最低气温是，则该日气温的极差是
4．在一个不透明的口袋中装有4个红球，5个白球和若干个黑球，它们除颜色外其他完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在25%附近，则口袋中黑球可能有（ ）个．
A．10B．11C．12D．13
5．如图，某水库堤坝横断面迎水坡的坡度是，堤坝高cm，水平宽度的长度（ ）
A．100cmB．cmC．150cmD．cm
6．如图，过⊙O外一点P引⊙O的两条切线PA，PB，切点分别是A，B，OP交⊙O于点C，点D是上不与点A、点C重合的一个动点，连接AD，CD，若∠APB=80°，则∠ADC的度数是（ ）
A．15°B．20°C．25°D．30°
7．如图，⊙O的半径为3，边长为2的正六边形ABCDEF的中心与O重合，M、N分别是AB、FA的延长线与⊙O的交点，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．B．C．D．
8．如图，正方形中，E为上一点，于点F，已知，过C、D、F的圆与边交于点G，则（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
9．已知为锐角，且，则______°．
10．已知关于x的一元二次方程，若方程有一个根是，则m为______．
11．圆锥的底面圆周长为，侧面积为，则圆锥的母线长为____________．
12．若点C是线段的一个黄金分割点，AB=2，且，则_____（结果保留根号）．
13．一座石拱桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数关系为，当水面的宽度为16米时，水面离桥拱顶的高度为______m．
14．如图，在直角坐标系中，O为坐标原点，矩形，B点坐标为，A、C分别在y轴、x轴上；若D点坐标为，连结，点E、点F分别从A点、B点出发，在上相向而行，速度均为1个单位/每秒，当E、F两点相遇时，两点停止运动；过E点作交x轴于H点，交y轴于G点，连结、，在运动过程中，的最大面积为______．
15．如图，在平面直角坐标系中，半径为4的与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，D，连接，已知x轴上一点，点Q是上一动点，连接，点M为的中点，连接，则面积的最小值为______．
16．如图，抛物线与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其上方的部分记作，将向右平移得，与x轴交于点B、D．若直线与、共有2个不同的交点，则m的取值范围是______．
三、解答题
17．（1）解方程：．
（2）计算：．
18．如图，直角坐标系中一条圆弧经过网格点，，．
(1)该圆弧所在圆的圆心坐标为______．
(2)求弧ABC的长．
19．如图，在中，，点D是BC边上的一点，，，．
(1)求AC和AB的长；
(2)求的值．
20．2022年3月23日“天宫课堂”第二课在中国空间站正式开讲了，“太空教师”翟志刚、王亚平、叶光富又上了一堂精彩的太空科普课．某学校为了培养学生对航天知识的学习兴趣，将举办航天知识讲座．现决定从A，B，C，D四名志愿者中随机选取两名志愿者担任引导员．
(1)“B志愿者被选中”是______事件（填“随机”或“不可能”或“必然”）；
(2)请用列表或画树状图的方法求出抽到A，B两名志愿者的概率．
21．“秋风响，蟹脚痒”，正是食蟹好时节．某蟹农在今年五月中旬向自家蟹塘投放蟹苗1200只，为赶在食蟹旺季前上市销售，该蟹农于九月中旬在蟹塘中随机试捕了4次，获得如下数据：
(1)四次试捕中平均每只蟹的质量为____________；
(2)若蟹苗的成活率为，试估计蟹塘中蟹的总质量为____________；
(3)若第3次试捕的蟹的质量（单位：g）分别为：166，170，172，a，169，167．
①____________；
②求第3次试捕所得蟹的质量数据的方差．
22．每年的至月份是台风多发季节，某次台风来袭时，一棵大树树干（假定树干垂直于地面）被刮倾斜后折断倒在地上，树的顶部恰好接触到地面（如图所示），量得树干的倾斜角为，大树被折断部分和地面所成的角，米，求这棵大树原来的高度是多少米？（结果精确到个位，参考数据：，，）
23．如图，AB是的直径，点D，E在上，连接AE，ED，DA，连接BD并延长至点C，使得．
(1)求证：AC是的切线；
(2)若点E是的中点，AE与BC交于点F；
①求证：；
②当，时，请直接写出BF的长为______．
24．正方形与扇形有公共顶点O，分别以，所在直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系．如图所示．正方形两个顶点C、D分别在x轴、y轴正半轴上移动．设，，
(1)当时，正方形与扇形不重合的面积是______；此时直线对应的函数关系式是______；
(2)当直线与扇形相切时．求直线对应的函数关系式；
(3)当正方形有顶点恰好落在上时，求正方形与扇形不重合的面积．
25．定义：如果二次函数（，，，是常数）与（，，，是常数）满足，，，则这两个函数互为“N”函数．
（1）写出的“N”函数的表达式；
（2）若题（1）中的两个“N”函数与正比例函数的图像只有两个交点，求k的值；
（3）如图，二次函数y1与y2互为“N”函数，A、B分别是“N”函数y1与y2图象的顶点，C是“N”函数与y轴正半轴的交点，连接、、，若点且为直角三角形，求点C的坐标．
26．如图，直角坐标系中，已知两点，，点B在第一象限且为正三角形．的外接圆交y轴的正半轴于点C．
(1)点B的坐标是______，点C的坐标是______；
(2)过点C的圆的切线交x轴于点D，则图中阴影部分的面积是______；
(3)若于点H，点P在线段上．点Q在y轴的正半轴上，，与交于点M．
①求面积的最大值；
②当为等腰三角形时，求点Q的坐标．
27．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A和点B（1，0），与y轴交于点C（0，﹣3）．
(1)求抛物线的函数表达式．
(2)若点P为第三象限内抛物线上一动点，作PD⊥x轴于点D，交AC于点E，过点E作AC的垂线与抛物线的对称轴和y轴分别交于点F、G，设点P的横坐标为m．
①求PE+EG的最大值；
②连接DF、DG，若∠FDG＝45°，求m的值．
数量/只
平均每只蟹的质量/g
第1次试捕
4
166
第2次试捕
4
167
第3次试捕
6
168
第4次试捕
6
170
参考答案：
1．C
【分析】比例尺=图上距离：实际距离，根据题意可直接求得比例尺．
【详解】∵10km=1000000cm，
∴比例尺为10：1000000=1：100000．
故选C．
【点睛】掌握比例尺的计算方法，注意在求比的过程中，单位要统一．比例尺=图上距离：实际距离，图上距离在前，实际距离在后.
2．A
【分析】根据点到圆心的距离d与圆的半径r之间的数量关系进行判断即可．
【详解】解：由题意得：，，
故：，
∴点A在外，
故选：A．
【点睛】本题考查点与圆的位置关系：点到圆心的距离大于圆的半径时，点在圆外，点到圆心的距离等于圆的半径时，点在圆上，点到圆心的距离小于圆的半径时，点在圆内．
3．B
【详解】分析：直接利用中位数的定义以及抽样调查的意义和平均数的求法、极差的定义分别分析得出答案．
详解：A、一组数据2，2，3，4，这组数据的中位数是2.5，故此选项错误；
B、了解一批灯泡的使用寿命的情况，适合抽样调查，正确；
C、小明的三次数学成绩是126分，130分，136分，则小明这三次成绩的平均数是130分，故此选项错误；
D、某日最高气温是7℃，最低气温是-2℃，则改日气温的极差是7-（-2）=9℃，故此选项错误；
故选B．
点睛：此题主要考查了中位数、抽样调查的意义和平均数的求法、极差，正确把握相关定义是解题关键．
4．B
【分析】设黑球可能有个，根据摸到白球的频率稳定在25%附近得到口袋中摸到白球的概率为25%，根据概率公式即可求出黑球的个数．
【详解】解：设黑球可能有个
∵摸到白球的频率稳定在25%附近
∴口袋中摸到白球的概率为25%
∴
∴
经检验：x=11是原方程的解，也符合题意.
∴黑球可能有11个
故选：B．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率、根据概率公式计算概率等知识点，由频率估计概率是解答本题的关键．
5．D
【分析】根据坡度的定义可得，即可得的长．
【详解】解：的坡度是，
，
解得．
经检验，是原方程的解且符合题意，
水平宽度的长度为．
故选：D．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用坡度坡角问题，解题的关键是熟练掌握坡度的定义．
6．C
【详解】解；如图，连接OB，OA.
因为PA，PB是圆O的切线，
所以∠OBP=∠OAP=90°，PA=PB.
由四边形的内角和定理，得∠BOA=360°-90°-90°-80°=100°.
在△BPO和△APO中，
PB=PA，PO=PO，OB=OA，
所以△BPO≌△APO，
所以∠BOC=∠COA=∠AOB=50°.
由圆周角定理，得∠ADC=12∠AOC=25°.
故选C.
7．B
【分析】连接OM，ON，设OM交AB于点P，ON交BC于点Q，得，根据求解即可
【详解】连接OM，ON，设OM交AB于点P，ON交BC于点Q，如图，
由割补法原理可知
又∵
∴
∵
又∵
∴
∴
故选：B
【点睛】本题考查了扇形面积的计算，正六边形的性质，正确的识别图形是解题的关键．
8．D
【分析】连接、，由可得正方形边长，再由即可得到答案．
【详解】解：连接、，如图：
∵正方形中，，
∴，
∵
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
在中，，
∵，，
∴，
∵四边形是圆的内接四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】本题主要考查正方形的性质，相似三角形的判定与性质，圆周角定理等知识点，作出合理辅助线，找出对应的相似三角形是解决本题的关键．
9．60
【分析】根据特殊的三角函数值即可解出．
【详解】解： ∵
．
故答案为：60．
【点睛】本题主要考查了特殊的三角函数值，熟记三角函数值是解题关键．
10．
【分析】将代入方程，进行求解即可．
【详解】解：∵关于的一元二次方程有一个根是，
∴，
解得：；
故答案为：．
【点睛】本题考查一元二次方程的解．熟练掌握方程的解是使等式成立的未知数的值，是解题的关键．
11．
【分析】先根据周长求得半径，然后根据圆锥的侧面积公式得出，直接求出的值即可．
【详解】解：∵圆锥的底面圆周长为，
∴圆锥的底面的半径为，
∵
∴，
即圆锥的母线长为，
故答案为：．
【点睛】题主要考查了圆锥的侧面积公式，牢记圆锥侧面积公式是解决问题的关键．
12．##
【分析】根据黄金比是进行计算即可．
【详解】解：∵点C是线段AB上的一个黄金分割点，且AC> BC，
∴AC=AB=×2=，
故答案为：
【点睛】本题考查的是黄金分割的概念，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值叫做黄金比．
13．4
【分析】根据题意得到点B的横坐标为8，代入求出纵坐标的值，其绝对值就是的长．
【详解】解：根据抛物线的对称性，
∵，
∴，
令，则，
∴．
故答案为：4．
【点睛】本题考查二次函数图象性质的应用，解题的关键是掌握二次函数图象的性质．
14．
【分析】先求直线的解析式，进而设直线的解析式为，得出，即，利用得出，根据二次函数求最值的方法求解即可．
【详解】解：∵矩形，B点坐标为，
，
，
设直线的解析式为，
把D点坐标为代入，得，
解得，
∴直线的解析式为，
∵，
∴设直线的解析式为，
∴，
当时，，
，
，
，
，
，
，
，
∴的最大面积为，
故答案为: ．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数的解析式，一次函数图象上的点的坐标特征，矩形的性质，二次函数的最值，熟练掌握知识点是解题的关键．
15．##
【分析】连接，由三角形的中位线定理求得，得M点在以A点为圆心，2为半径的圆上运动，当M点为线段与的交点时，的面积最小，求出此时的面积便可．
【详解】解：连接，
由题意得，，
∴，
∵为直径，
∴，
由题意知，点M在以A为圆心，2为半径的上运动，
当M点为线段与的交点时，
点M到的距离最短为，
∴面积的最小值为：．
故选：．
【点睛】本题考查坐标与图形，点和圆的位置关系，勾股定理，三角形的中位线定理，关键在于确定M点的运动轨迹．
16．或者，或者
【分析】首先求出点A和点B的坐标，然后求出解析式，分别求出直线与抛物线，相切时m的值以及直线过点A、B时m的值，结合图形即可得到答案．
【详解】令，即，
解得或，
则点，，
抛物线：，，
由于抛物线向右平移两个长度单位得抛物线，
则抛物线解析式为，，
令，即，
解得或，
则点，
如图，
当与抛物线：相切时，
令，即，
根据相切可知方程有两个相等的解，即，
解得，
当过点时，即：，
解得，
当与抛物线：相切时，
令，即，
根据相切可知方程有两个相等的解，即，
解得，
当过点时，即：，
解得，
结合图象可知：直线与、共有2个不同的交点时，
则m的取值范围是，或者，或者，
故答案为：或者，或者．
【点睛】本题主要考查抛物线与x轴交点以及二次函数图象与几何交换的知识，解答本题的关键是正确画出图形，利用数形结合进行解题，此题有一定的难度．
17．（1），；（2）
【分析】（1）采用配方法即可求解；
（2）把特殊角的三角函数值代入后计算即可．
【详解】（1）
，
即：，，
（2）
．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法及特殊角的三角函数值，熟练运用配方法解一元二次方程是解决（1）题的关键；熟知特殊角的三角函数值是解决（2）题的关键．
18．(1)
(2)
【分析】（1）根据垂径定理结合网格的性质可得答案；
（2）借助网格求出圆心角度数和半径，再利用弧长公式进行计算即可．
【详解】（1）解：由垂径定理可知，圆心是AB、BC中垂线的交点，
由网格可得该点P(2，0)，
故答案为：(2，0)；
（2）解：连接AC，
根据网格可得，OP=CQ=2，OA=PQ=4，
∠AOP=∠PQC=90°，
由勾股定理得，
AP= =PC，
∵AP2=22+42=20，CP2=22+42=20，AC2=22+62=40，
∴AP2+CP2=AC2，
∴∠APC=90°，
∴弧ABC的长为，
答：弧ABC的长为π．
【点睛】本题考查弧长的计算、垂径定理，勾股定理及其逆定理等知识，掌握垂径定理以及网格特征是确定圆心坐标的关键，求出弧所在圆的半径和相应圆心角度数是求弧长的前提．
19．(1)8；
(2)
【分析】（1）解，求得，在中，勾股定理求得在中，在中，根据，即可求得的长，继而根据勾股定理即可得的长；
（2）过点作于点，等面积法求得的长，然后根据正弦的定义即可求解．
【详解】（1）解：∵在中，
∴，
∴在中，，
又∵在中，，
∴，
∴；
（2）解：如图，过点作于点，
∴，
∵
∴，
∴在中，．
【点睛】本题考查了解直角三角形，掌握直角三角形中的边角关系是解题的关键．
20．(1)随机
(2)
【分析】（1）由题意知“B志愿者被选中”是随机事件．
（2）列表或画树状图，按概率公式计算即可得到答案．
【详解】（1）解：随机；
（2）解：根据题意，画树状图如下：
根据上表，共有12种等可能的结果．即、、、、、、、、、、、．
符合“抽到A、B两名志愿者”记作事件E，共有2种结果，即和．
∴抽到A、B两名志愿者的概率为：．
答：抽到A、B两名志愿者的概率为．
【点睛】本题考查随机事件与概率，熟练掌握相关知识是解题的关键．
21．(1)168
(2)
(3)①164；②7
【分析】（1）用四次试捕中蟹的总质量除以蟹的数量，即可求解；
（2）用四次试捕中平均每只蟹的质量乘以成活的蟹的数量，即可求解；
（3）①用第3次试捕的蟹的总质量减去其它蟹的质量，可得a的值；②根据方差公式计算，即可求解．
【详解】（1）解：四次试捕中平均每只蟹的质量为
；
故答案为：168
（2）解：；
故答案为：
（3）解：①；
故答案为：164
②
【点睛】本题主要考查了求加权平均数，求方差，用样本估计总体，熟练掌握加权平均数，方差的求法是解题的关键．
22．米
【分析】过点作于点，由可求出的度数，在中由，可求出及的长度，在中由直角三角形的性质可得出，故可得出的长度，再利用锐角三角函数的定义可得出的长，进而可得出结论．
【详解】解：过点作于点，
，
，
，
在中，
，
，
，
，
，
在中，
，
，
，
，
，
米．
答：这棵大树原来的高度是10米．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
23．(1)见解析；
(2)①见解析；②3
【分析】（1）要想证明AC是⊙O的切线，只需证得AB⊥AC即可；
（2）①由圆周角、弧、弦间的关系即可推出CA＝CF；
②通过相似三角形（△ADC∽△BAC）的对应边成比例求得AC＝6．得出CA＝CF＝6，则DF＝CA﹣CD＝2，然后通过即可．
【详解】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°．
∴∠ABC+∠DAB＝90°．
∵∠DAC＝∠AED，∠AED＝∠ABC，
∴∠DAC+∠DAB＝90°，
∴AC是⊙O的切线．
（2）①证明：∵点E是的中点，
∴，
∴∠BAE＝∠DAE．
∵∠DAC+∠DAB＝90°，∠ABC+∠DAB＝90°，
∴∠DAC＝∠ABC．
∵∠CFA＝∠ABC+∠BAE，∠CAF＝∠DAC+∠DAE，
∴∠CFA＝∠CAF．
∴CA＝CF．
②解：∵∠BAC＝∠ADB＝90°，
∴∠ACD＝∠BCA，
∴△ADC∽△BAC．
∴．即AC2＝BC×CD＝（5+4）×4＝36．
解得AC＝6．
∴CA＝CF＝6，
∴DF＝CA﹣CD＝2，
，
故答案为3．
【点睛】本题考查了切线的判定、相似三角形的判定与性质．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．
24．(1)，
(2)
(3)或者
【分析】（1）利用扇形面积减去正方形的面积即可得不重合的面积，利用待定系数法即可求出直线对应的函数关系式；
（2）连接，交于点F，先证明直线与扇形相切，切点为正方形对角线交点F，由，可得正方形的边长，即有，，问题得解；
（3）分点E在扇形上和点C、D在扇形上两种情况讨论即可作答．
【详解】（1）当时，即正方形的边长为：，
则正方形的对角线长为：，
∴正方形在扇形内部，
∴正方形与扇形不重合的面积是：，
即：，
∵，
∴，，
设直线对应的函数关系式是，
∴，解得：，
直线对应的函数关系式是，
（2）连接，交于点F，如图，
∵正方形中，有，
又∵直线与扇形相切，
∴可知直线与扇形相切的切点为对角线交点F，
∵，
∴，
∴利用勾股定理，可得正方形的边长，
∴，，
同（1），利用待定系数法可得：直线对应的函数关系式；
（3）分两种情况讨论：
当点E在扇形上时，连接，如图，
此时可知正方形对角线的长度与扇形所在圆的半径相等，，
∴利用勾股定理，可得正方形的边长，
∴正方形在扇形内部，
∴正方形与扇形不重合的面积是：，
即：；
当点C、D在扇形上时，如图，
即有正方形的边长，
∴正方形在扇形外部，
∴正方形与扇形不重合的面积是：，
即：；
综上：正方形与扇形不重合的面积为：或者．
【点睛】本题考查了图形与坐标，一次函数，正方形的性质，扇形的面积计算，圆切线的性质，注意分类讨论的思想，是解答本题的关键．
25．（1）；（2）k的值为3或－1；（3）点C的坐标为（0，）或（0，5）．
【分析】（1）根据“N”函数的定义即可求得答案；
（2）根据中心对称的性质可得的图像与的图像只有一个交点，
由此联立方程即可求得答案；
（3）先根据中心对称的性质求得点B的坐标，进而可分别表示出y1与y2的函数关系式，以及点C的坐标，再根据为直角三角形分类讨论，利用直角三角形的勾股定理列出方程求解即可．
【详解】解：（1）∵，
∴，，，
∴，，，
∴的“N”函数的表达式为；
（2）
，
同理：，
∴与关于原点成中心对称，
又∵正比例函数的图像也是关于原点成中心对称，且题（1）中的两个“N”函数与正比例函数的图像只有两个交点，
∴的图像与的图像只有一个交点，
∴方程有两个相等的实数根，
∴，
整理，得：，
∴，
解得：，，
∴k的值为3或－1；
（3）由（2）可知，若二次函数y1与y2互为“N”函数，
则二次函数y1与y2的图像关于原点成中心对称，
∵A、B分别是“N”函数y1与y2的图像的顶点，点，
∴点，点O为AB的中点，
∴设（），则，
当时，，
∴点C（0，），
∵C是“N”函数与y轴正半轴的交点，
∴若为直角三角形，则∠ACB＝90°或∠BAC＝90°，
当∠ACB＝90°时，
又∵点O为AB的中点，
∴AB＝2OC，
∵AB＝，
∴OC＝，
∴点C的坐标为（0，），
当∠BAC＝90°时，则，
∴，
解得：，
∴，
∴点C的坐标为（0，5），
综上所述：点C的坐标为（0，）或（0，5）．
【点睛】本题考查了二次函数的图像性质，理解题意，能够发现二次函数y1与y2的图像关于原点成中心对称是解决本题的关键．
26．(1)，
(2)
(3)①，②点Q的坐标为，
【分析】（1）根据等边三角形的性质以及点A的坐标，过点B向边做垂线，即可求出B点的坐标；连接，根据圆的性质可得，利用三角函数即可求出点C的坐标．
（2）因为，所以是直径，为圆的切线，，所以，利用三角函数可求出的长，则．
（3）①设，则，利用三角函数求出的长，所以，最后用二次函数求出面积的最大值．②设点Q的坐标，求出的长，分三种情况：，分别求出点Q的坐标．
【详解】（1）过点B作的垂线，垂足为G，
∵，，
∴，
∵是正三角形，
∴，，
∴在中，由勾股定理得：
，
∴点B的坐标为．
连接AC，
则，
∴，
∴，
∴点C的坐标为．
（2）∵，
∴是直径，
∵是的中线，
∴点E为外接圆的圆心，且在上，
由（1）得，，
∴，，
∴，，
∵直线是的切线，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
，
（3）①设，
∵，
∴，
由（2）得，
∴，
过点P向作垂线，垂足为N，
∴，
∴，
∴，
即：，
∴当时，的面积最大，最大值为．
②设点Q的坐标为，
，，
（I）若，，
∴，
根据，可得：，
即，
过点P作，垂足为F，则，
∵Q的坐标为，，
∴，即，
又∵，，
即：，
根据，有：，
解得，即点Q的坐标为．
（II）若，
则，
∴，，
∴，
解得时，点Q的坐标为．
（III）若，，
此时，不满足题意,
综上：点Q的坐标为，．
【点睛】本题主要考查了正三角形和圆，涉及到等边三角形的性质、圆的性质，阴影面积的求法，综合性较强，熟练掌握知识点以及灵活运用是解题的关键．
27．(1)y＝x2+2x﹣3；
(2)①；②-1或
【分析】（1）运用待定系数法将B（1，0），C（0，﹣3）代入y＝x2+bx+c，解方程组求出b、c即可；
（2）①利用待定系数法求出直线AC的解析式，过点E作EK⊥y轴于点K，设P（m，m2+2m﹣3），则E（m，﹣m﹣3），从而得出EG，运用二次函数求最值方法即可；
②作EK⊥y轴于K，FM⊥y轴于M，直线EG与x轴交于点N．先证明△DGF∽△EGD，可得出DG2＝FG•EG＝×（﹣m）＝﹣2m，再运用勾股定理建立方程求解即可．
【详解】（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过点B（1，0），C（0，﹣3），
∴，
解得：，
∴抛物线的函数表达式为：y＝x2+2x﹣3；
（2）①当y＝0时，x2+2x﹣3＝0，
解得：x1＝﹣3，x2＝1，
∴A（﹣3，0），
设直线AC的解析式为y＝kx+n，
把A（﹣3，0），C（0，﹣3）代入，
得：，解得：，
∴直线AC的解析式为：y＝﹣x﹣3，
∵OA＝OC＝3，
∴∠OAC＝∠OCA＝45°，
过点E作EK⊥y轴于点K，
∵EG⊥AC，
∴∠KEG＝∠KGE＝45°，
∴EG＝＝EK＝OD，
设P（m，m2+2m﹣3），则E（m，﹣m﹣3），
∴PE＝﹣m﹣3﹣（m2+2m﹣3）＝﹣m2﹣3m，
∴PE+EG＝PE+2OD＝﹣m2﹣3m﹣2m＝﹣m2﹣5m＝﹣（m+）2+，
由题意有﹣3＜m＜0，且﹣3＜﹣＜0，﹣1＜0，
当m＝﹣时，PE+EG取最大值，PE+EG的最大值为；
②作EK⊥y轴于K，FM⊥y轴于M，记直线EG与x轴交于点N，
∵EK⊥y轴，PD⊥x轴，∠KEG＝45°，
∴∠DEG＝∠DNE＝45°，
∴DE＝DN．
∵∠KGE＝∠ONG＝45°，
∴OG＝ON，
∵y＝x2+2x﹣3的对称轴为直线x＝﹣1，
∴MF＝1，
∵∠KGF＝45°，
∴GF＝＝MF＝，
∵∠FDG＝45°，
∴∠FDN＝∠DEG．
又∵∠DGF＝∠EGD，
∴△DGF∽△EGD，
∴＝，
∴DG2＝FG•EG＝×（﹣m）＝﹣2m，
在Rt△ONG中，OG＝ON＝|OD﹣DN|＝|OD﹣DE|＝|﹣m﹣（m+3）|＝|﹣2m﹣3|，
OD＝﹣m，
在Rt△ODG中，
∵DG2＝OD2+OG2＝m2+（2m+3）2＝5m2+12m+9，
∴5m2+12m+9＝﹣2m，
解得m1＝﹣1，m2＝．
【点睛】本题考查二次函数解析式、线段和最短问题、相似三角形，能够灵活使用方程思想解决问题是解题的关键，常用勾股定理、相似比列方程．
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