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    辽宁省沈阳市第一二六中学2022-2023学年九年级下学期开学考试数学试题
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    辽宁省沈阳市第一二六中学2022-2023学年九年级下学期开学考试数学试题

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    这是一份辽宁省沈阳市第一二六中学2022-2023学年九年级下学期开学考试数学试题,共32页。试卷主要包含了单选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    辽宁省沈阳市第一二六中学2022-2023学年九年级下学期开学考试数学试题
    学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

    一、单选题
    1.下列各数中,小于2的无理数是(    )
    A. B. C. D.
    2.如图,将一个长方体内部挖去一个圆柱,这个几何体的主视图是(    )

    A. B. C. D.
    3.下列计算结果正确的是(   )
    A. B.
    C.÷= D.
    4.将数45300000用科学记数法表示为(    )
    A. B. C. D.
    5.一组数据2,3,4,2,5的众数和中位数分别是(    )
    A.2,2 B.2,3 C.2,4 D.5,4
    6.如图,直线a,b被直线c所截,a//b,∠1=130°则∠2的度数是(   )

    A.130° B.60° C.50° D.40°
    7.如图,与相交于点G,且,则=(  )

    A.5:3 B.1:3 C.3:5 D.2:3
    8.如图,正比例函数与一次函数的图象交于点,则不等式的解集为(    )

    A. B. C. D.
    9.如图,四边形内接于,已知,则的大小是(    )

    A.80° B.100° C.60° D.40°
    10.二次函数的图象的一部分如图所示.已知图象经过点,其对称轴为直线.下列结论:①;②;③;④若抛物线经过点,则关于的一元二次方程的两根分别为,5,上述结论中正确结论的个数为(   )

    A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

    二、填空题
    11.分解因式:______.
    12.圆内接正六边形的边心距为3,则此圆内接正六边形的半径是______.
    13.函数 的自变量x的取值范围是 _____.
    14.如图,点A是反比例函数的图象上的一点,过点A作轴,垂足为B,点C为y轴上的一点,连接AC,BC.若的面积为1,则k的值是______.

    15.如图①,在正方形中,点是的中点,点是对角线上一动点,设,,图②是关于的函数图象,且图象上最低点的坐标为,则正方形的边长为______.

    16.在中,,,点D是线段上一点(点D不与点A,C重合),点E是射线上一动点,连接,将线段绕点D逆时针旋转,得到线段,若,,,则的长度______.

    三、解答题
    17.计算:.
    18.如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点,,点E是BC的中点,过点E作,交AB于点F.

    (1)求证:四边形AOEF是矩形;
    (2)若,矩形AOEF的面积为120,请直接写出的值.
    19.有甲、乙两个不透明的袋子,甲袋子中装有2个白球和1个红球,乙袋子中装有1个白球和1个红球,这些球除颜色外无其他差别.求下列事件的概率:
    (1)从甲袋子中随机摸出一个球,恰好是红球的概率是______;
    (2)从甲、乙两个袋子中分别随机摸出一个球,恰好一个是白球、一个是红球的概率.
    20.在“世界读书日”前夕,某校开展了“共享阅读,向上人生”的读书活动,活动中为了解学生对书籍种类(A:艺术类,B:科技类,C:文学类,D:体育类)的喜欢情况,学生会在全校范围内随机抽取若干名学生,进行问卷调查(每个被调查的学生必须选择并且只能在这四种类型中选择一项)将数据进行整理并绘制成下面两幅不完整的统计图.

    (1)这次调查中,一共调查了___名学生.
    (2)求扇形统计图中“D”所在扇形圆心角的度数,并补全条形统计图;
    (3)若全校有名学生,请估计喜欢B类书籍的学生约有多少名?
    21.为提高学生的阅读兴趣,某学校建立了共享书架,并购买了一批书籍.其中购买种图书花费了3000元,购买种图书花费了1600元,A种图书的单价是种图书的1.5倍,购买种图书的数量比种图书多20本.
    (1)求和两种图书的单价;
    (2)书店在“世界读书日”进行打折促销活动,所有图书都按8折销售学校当天购买了种图书20本和种图书25本,共花费多少元?
    22.如图,为的直径,点在外,的平分线与交于点,连接、,且.

    (1)求证:是的切线;
    (2)若,,的长等于______.
    23.如图1,在平面直角坐标系中,点A的坐标是(0,8),点B的坐标是(6,0),点C为AB的中点,动点P从点A出发,沿AO方向以每秒1个单位的速度向终点O运动,同时动点Q从点O出发,以每秒2个单位的速度沿射线OB方向运动;当点P到达点O时,点Q也停止运动.以CP,CQ为邻边构造▱CPDQ,设点P运动的时间为t秒.

    (1)点C的坐标为   ,直线AB的解析式为   .
    (2)当点Q运动至点B时,连结CD,求证:.
    (3)如图2,连结OC,当点D恰好落在△OBC的边所在的直线上时,求所有满足要求的t的值.
    24.在正方形中,,点为边上一点(不与点、重合),垂直于的一条直线分别交,,于点,,.

    (1)①如图1,判断线段与之间的数量关系,并说明理由;
    (2)如图2,若垂足为的中点,连接,交于点,连接,则______.
    (3)若垂足在对角线上,正方形的边长为.
    ①如图3,若,,则______;
    ②如图4,连接,将沿着翻折,点落在点处,的中点为,则的最小值为______.
    25.在平面直角坐标系中,已知二次函数的图象与轴交于,两点.如图,在平面直角坐标系中,抛物线()与轴交于,两点(点在点的左侧),与轴交于点,点,连接.

    (1)求抛物线的解析式;
    (2)点是线段上一点,过点作轴,交抛物线于点,交线段于点,点是直线上一点,连接,,当的周长最大时,点的坐标为,周长的最大值为______.
    (3)如图2,已知.将抛物线上下平移,设平移后的抛物线在对称轴右侧部分与直线交于点,连接,当是等腰三角形时,抛物线的平移距离d的值为______.

    参考答案:
    1.D
    【分析】根据题意对每个选项进行筛选,即可求解.
    【详解】解:A.>2,不符合题意;
    B.>2,不符合题意;
    C.不是无理数,不符合题意;
    D.<2,且是无理数,符合题意.
    故选:D.
    【点睛】本题考查了无理数的概念以及无理数的估算,掌握无理数的估算方法是解题的关键.
    2.A
    【分析】找到从正面看所得到的图形即可,注意所有的看到的棱都应表现在主视图中.
    【详解】解:从正面看易得主视图为长方形,中间有两条垂直地面的虚线.
    故选:A.
    【点睛】本题考查了三视图的知识,主视图是从物体的正面看得到的视图.
    3.A
    【分析】根据运算的性质,运用对应的运算法则计算判断即可
    【详解】∵,
    ∴选项A计算正确;
    ∵,
    ∴选项B计算错误;
    ∵÷=,
    ∴选项C计算错误;
    ∵不是同类项,无法计算,
    ∴选项D计算错误;
    故选A
    【点睛】本题考查了同类项,整式的除法,幂的乘方,分式的加减,熟练掌握各自的运算法则是解题的关键.
    4.C
    【分析】用科学记数法表示较大的数时,一般形式为,其中,为整数,据此判断即可.
    【详解】.
    故选C.
    【点睛】本题考查了科学记数法,科学记数法的表示形式为的形式,其中,为整数.确定的值时,要看把原来的数,变成时,小数点移动了多少位,的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值时,是正数;当原数的绝对值时,是负数,确定与的值是解题的关键.
    5.B
    【分析】根据众数的定义,出现次数最多的叫众数,易知2为众数;根据中位数的定义,把2,3,4,2,5由小到大排序,位于中间位置的就是中位数,即可得到所求中位数.
    【详解】解:∵ 该组数据2,3,4,2,5中2出现次数最多,
    ∴该组数据的众数为2;
    把2,3,4,2,5由小到大排序为2,2,3,4,5,
    ∴该组数据的中位数为3.
    故选B.
    【点睛】本题主要考查求众数和中位数,熟练掌握他们的定义,是解题的关键.
    6.C
    【详解】试题解析:如图,

    ∵a∥b,∠1=130°,
    ∴∠3=∠1=130°,
    ∴∠2=180°-∠3=50°.
    故选C.
    7.A
    【分析】先根据线段的和差求得,然后再根据平行线分线段成比例定理列出比例式即可解答.
    【详解】解:∵,
    ∴,
    ∵,
    ∴.
    故选:A.
    【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理的应用,灵活运用定理、找准线段的对应关系是解题的关键.
    8.B
    【分析】只需要找到一次函数图象在正比例函数图象上方时自变量的取值范围即可得到答案.
    【详解】解:∵正比例函数与一次函数的图象交于点,
    ∴,
    ∴,
    由函数图象可知当时,一次函数图象在正比例函数图象上方,
    ∴不等式的解集为,
    故选B.
    【点睛】本题主要考查了用图象法求不等式的解集,利用数形结合的思想求解是解题的关键.
    9.C
    【分析】根据圆内接四边形的性质求得,利用圆周角定理,得.
    【详解】∵四边形是的内接四边形,
    ∴,

    ∴.
    ∴.
    故选:C.
    【点睛】此题考查圆周角定理以及圆内接四边形的性质,得出的度数是解题关键.
    10.C
    【分析】根据二次函数的图象与性质进行逐项判断即可求解.
    【详解】解:①由图象可知,a<0,b>0,c>0,
    ∴abc<0,故①正确;
    ②∵对称轴为直线x= =1,且图象与x轴交于点(﹣1,0),
    ∴图象与x轴的另一个交点坐标为(3,0),b=﹣2a,
    ∴根据图象,当x=2时,y=4a+2b+c>0,故②错误;
    ③根据图象,当x=﹣2时,y=4a﹣2b+c=4a+4a+c=8a+c<0,故③正确;
    ④∵抛物线经过点,
    ∴根据抛物线的对称性,抛物线也经过点,
    ∴抛物线与直线y=n的交点坐标为(﹣3,n)和(5,n),
    ∴一元二次方程的两根分别为,5,
    故④正确,
    综上,上述结论中正确结论有①③④,
    故选:C.
    【点睛】本题考查二次函数的图象与性质,熟练掌握二次函数的图象与系数之间的关系是解答的关键.
    11.
    【分析】先提取公因式,再按公式法进行因式分解即可.
    【详解】解:
    【点睛】本题考查的是提公因式,公式法分解因式,掌握以上两种方法分解因式是解题的关键.
    12.
    【分析】分别画出圆的内接正六边形,依题意,,,利用勾股定理和垂径定理即可求得.
    【详解】解:如图所示,六边形是正六边形,

    ∴,,
    ∴是等边三角形,
    依题意,,
    ∴,
    ∴,


    解得:(负值舍去)
    故答案为:.
    【点睛】本题考查了圆内接正多边形的性质和计算,以及正三角形性质,正六边形性质,垂径定理等知识,牢固掌握圆内接正多边形的性质是解题的关键.
    13.
    【分析】根据二次根式有意义的条件,列出不等式,即可求解.
    【详解】解:根据题意得,,
    解得.
    故答案为.
    【点睛】本题主要考查函数的自变量取值范围,掌握二次根式有意义的条件,是解题的关键.
    14.2
    【分析】根据的面积为,可得到的面积也是,再根据反比例函数的几何意义和所在象限求解即可;
    【详解】连接,由题意可得轴,

    ∴,
    ∴,
    ∴,
    又∵函数图象位于第一象限,
    ∴;
    故答案为:2.
    【点睛】本题主要考查了反比例函数的几何意义,掌握反比例函数的几何意义是解题的关键.
    15.
    【分析】如图,点是点关于直线的对称点,连接交于点,则此时取得最小值,即,即可求解.
    【详解】解:如图,连接,

    则点是点关于直线的对称点,
    根据点的对称性,,则为最小,
    故,
    设正方形的边长为,则,
    在中,由勾股定理得:,
    即,
    解得:负值已舍去,
    故答案为:.
    【点睛】本题主要考查了正方形的性质、轴对称的性质、勾股定理和一元二次方程的求解,得出的长为最小值解题的关键.
    16.或
    【分析】当在线段上时,过点作交于点,证明得出,进而根据得出,由得出求得,进而即可求解,当点在的延长线时,同理可得,根据即可求解.
    【详解】解:当在线段上时,如图,

    过点作交于点
    ,,








    在中,





    ,,





    解得:,




    当点在的延长线时如图,

    同理可得,




    故答案为:或.
    【点睛】本题考查了旋转的性质,相似三角形的性质与判定,掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键.
    17.
    【分析】根据零指数幂,负整数指数幂,特殊角的三角函数值进行计算即可求解.
    【详解】原式.


    【点睛】本题考查了实数的混合运算,掌握零指数幂,负整数指数幂,特殊角的三角函数值是解题的关键.
    18.(1)证明见解析
    (2)

    【分析】(1)证是的中位线,得,则四边形是平行四边形,再证,即可得出结论;
    (2)由矩形的面积得出,再由勾股定理求出的长度,根据余弦的定义求解即可,.
    【详解】(1)证明:四边形是平行四边形,
    ,.
    点是的中点,
    是的中位线.
    ,.
    ,,
    四边形是平行四边形.
    ,,


    四边形是矩形.
    (2)解:∵四边形是平行四边形,
    ∴,
    ∵,
    ∴,
    ∴,
    ∵矩形AOEF的面积为120,
    ∴,
    ∵点是的中点,
    ∴点是的中点,
    ∴,
    在中,,
    ∴.
    【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、余弦的定义等知识,熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键.
    19.(1)
    (2)

    【分析】(1)利用概率公式进行计算即可;
    (2)利用列表法求概率.
    【详解】(1)解:P(红球);
    故答案为:;
    (2)解:由题意,列表如下:

    共有6种等可能的结果,摸出的两个球恰好一个是白球、一个是红球的结果有3种,
    ∴摸出的两个球恰好一个是白球、一个是红球的概率为:.
    【点睛】本题考查列表法求概率.熟练掌握列表法求概率是解题的关键.
    20.(1)
    (2),统计图见解析
    (3)估计喜欢B类书籍的学生约有人

    【分析】(1)利用A类的学生人数和人数占比即可求出总人数;
    (2)用乘以D类的人数占比即可求出对应的圆心角度数;先求出C类的学生人数,然后补全统计图即可;
    (3)用乘以样本中B类的人数占比即可得到答案.
    【详解】(1)解:人,
    ∴这次调查中,一共调查了名学生,
    故答案为:;
    (2)解:,
    ∴D所在的扇形圆心角的度数为,
    人,
    ∴C类的学生人数为人,
    补全统计图如下所示:

    (3)解:人,
    ∴估计喜欢B类书籍的学生约有人.
    【点睛】本题主要考查了条形统计图与扇形统计图信息相关联,用样本估计总体,正确读懂统计图是解题的关键.
    21.(1)种图书的单价为30元,种图书的单价为20元;(2)共花费880元.
    【分析】(1)设种图书的单价为元,则种图书的单价为元,根据数量=总价÷单价结合花3000元购买的种图书比花1600元购买的种图书多20本,即可得出关于的分式方程,解之经检验后即可得出结论;
    (2)根据总价=单价×数量,即可求出结论.
    【详解】(1)设种图书的单价为元,则种图书的单价为元,
    依题意,得:,
    解得:,
    经检验,是所列分式方程的解,且符合题意,
    ∴.
    答:种图书的单价为30元,种图书的单价为20元.
    (2)(元).
    答:共花费880元.
    【点睛】本题考查了分式方程的应用,找准等量关系,正确列出分式方程是解题的关键.
    22.(1)见解析
    (2)的长为

    【分析】(1)连接,证明,得出即可得证;
    (2)由圆周角定理得出,即可求得,得到是等边三角形,可求得半径为,的圆心角度数,再利用弧长公式求得结果即可.
    【详解】(1)解:证明:连接,

    是的平分线,

    又,




    是的切线;
    (2)解:,

    为的直径,



    是等边三角形,
    ,,
    的长:.
    【点睛】此题主要考查圆的切线的判定、等腰三角形的性质及圆周角定理的运用,求弧长,掌握切线的性质与判定是解题的关键.
    23.(1);(2)证明见解析;(3)t=4或或.
    【分析】(1)由中点坐标公式可求点C坐标,利用待定系数法可求解析式;
    (2)通过证明四边形ACDP是平行四边形,可得结论;
    (3)分三种情况讨论,利用平行四边形的性质可求解.
    【详解】解:(1)∵点A的坐标是(0,8),点B的坐标是(6,0),点C为AB的中点,
    ∴点C(3,4),
    设直线AB的解析式为:y=kx+b,
    由题意可得:,
    解得:,
    ∴直线AB的解析式为:y=﹣x+8;
    故答案为:(3,4),y=﹣x+8;
    (2)如图1,连接CD,

    ∵四边形CBDP是平行四边形,
    ∴CBPD,BC=PD,
    ∵点C为AB的中点,
    ∴AC=BC,
    ∴PD=AC,
    ∴四边形ACDP是平行四边形,
    ∴CDAP;
    (3)如图2,过点D作DF⊥AO于F,过点C作CE⊥BO于E,

    ∵四边形PCQD是平行四边形,
    ∴CQ=PD,PDCQ,
    ∴∠QCP+∠DPC=180°,
    ∵AOCE,
    ∴∠OPC+∠PCE=180°,
    ∴∠FPD=∠ECQ,
    又∵∠PFD=∠CEQ=90°,
    ∴△PDF≌△CQE(AAS),
    ∴DF=EQ,PF=CE,
    ∵点C(3,4),点P(0,8﹣t),点Q(2t,0),
    ∴CE=PF=4,EQ=DF=2t﹣3,
    ∴FO=8﹣t﹣4=4﹣t,
    ∴点D(2t﹣3,4﹣t),
    当点D落在直线OB上时,则4﹣t=0,即t=4,
    当点D落在直线OC上时,
    ∵点C(3,4),
    ∴直线OC解析式为:y=x,
    ∴4﹣t=(2t﹣3),
    ∴t=,
    当点D落在AB上时,
    ∵四边形PCQD是平行四边形,
    ∴CD与PQ互相平分,
    ∴线段PQ的中点(t,)在CD上,
    ∴=﹣t+8,
    ∴t=;
    综上所述:t=4或或.
    【点睛】本题考查待定系数法求一次函数的解析式、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、一元一次方程的解法等知识,是重要考点,难度较易,掌握相关知识是解题关键.
    24.(1);理由见解析
    (2)
    (3)①;②

    【分析】(1)过点作分别交、于点、,证出四边形为平行四边形,得出,证明得出,即可得出结论;
    (2)连接,过点作,分别交、于点、,证出是等腰直角三角形,,,证明得出,得出是等腰直角三角形,得出,即可得出结论;
    (3)①过点分别作垂足分别为,则,证明,设,根据,求得,即可得出;
    ②连接交于点,则的直角顶点在上运动,设点与点重合时,则点与点重合;设点与点重合时,则点的落点为,由等腰直角三角形的性质得出,当点在线段上运动时,过点作于点,过点作交延长线于点,连接,证明得出,证明得出,,由正方形的性质得出,易得出,得出,,得出,故,点在线段上运动;过点作,垂足为,即可得出结果.
    【详解】(1)∵四边形是正方形,
    ,,,
    过点作分别交、于点、,如图所示:

    四边形为平行四边形,






    在和中,

    (),


    (2)连接,过点作,分别交、于点、,如图所示:

    四边形是正方形,
    四边形为矩形,
    ,,,
    是正方形的对角线,

    是等腰直角三角形,,,
    是的垂直平分线,

    在和中,

    (),



    是等腰直角三角形,

    故答案为:.
    (3)①解:如图所示,

    过点分别作垂足分别为,则
    在正方形对角线上,
    ,是等腰直角三角形,


    又,



    设,

    ,,

    解得:,

    则,
    故答案为:.
    连接交于点,如图所示:

    则的直角顶点在上运动,
    设点与点重合时,则点与点重合;设点与点重合时,则点的落点为,
    ,,

    当点在线段上运动时,过点作于点,过点作交延长线于点,连接,
    点在上,

    在和中,

    (),











    ,,
    ,,
    由翻折性质得:,
    在和中,

    (),
    ,',
    是正方形的对角线,

    则,


    ,故,
    点在线段上运动;
    过点作,垂足为,
    点为的中点,
    ,则的最小值为.
    【点睛】本题考查了正方形的性质、翻折变换的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识;证明三角形全等是解题的关键.
    25.(1)抛物线的解析式为
    (2);
    (3)或或14

    【分析】(1)待定系数法求解析式即可求解;
    (2)过点Q作于点M,则,由得出,求得,进而根据二次函数的性质求得的最大值即可求解;
    (3)由题知:平移后的抛物线的解析式为.设,则.直线AD的解析式为,点N在AD上,根据是等腰三角形,分类讨论,建立方程,解方程即可求解.
    【详解】(1)∵抛物线与x轴交于、两点,
    ∴,
    解得,
    ∴抛物线的解析式为;
    (2)如图1,过点Q作于点M,则,

    ∵,,∴,
    ∵,,∴,,
    在中,由勾股定理得.
    ∵轴,
    ∴,
    ∴,
    ∴,
    ∴,
    ∴,,
    ∴,
    ∴当QE最大时,的周长最大.
    设,其中.
    ∵,,
    ∴直线AD的解析式为,∴,


    ∵,
    ∴时,QE有最大值,最大值为,
    ∴周长的最大为,此时点Q的坐标为;
    (3)由题知:平移后的抛物线的解析式为.
    设,则.
    又∵直线AD的解析式为,点N在AD上,
    ∴,
    ∴,
    ∴,
    ∵,,
    ∴.
    当是等腰三角形时,
    ①若,则,
    解得(舍去),,
    ∴;
    ②若,则,解得,
    ∴;
    ③若,则,
    解得(舍去),,
    ∴.
    综上,抛物线的平移距离d的值为或或14.
    【点睛】本题考查了二次函数综合问题,待定系数法求解析式,线段周长问题,余弦的定义,二次函数的平移,掌握二次函数的性质是解题的关键.

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