第9讲《规律总结》第2课时（教案）2023年人教版中考数学一轮复习

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第九讲“规律总结”.（第二课时）
［教学目标］
知识与技能
1.了解中考四种常见的规律题型；
2.理解并熟练掌握四种常见的规律总结解题方法；
3.能够应用全等、勾股定理、相似等方法解决规律总结题目.
数学思考
通过观察、猜测、推理等活动，让学生发现图形或数字的排列规律，并联系所学知识、进行知识迁移、总结得到结论，从而整理得到解决规律题型的重要方法.
问题解决
1.培养学生的观察、操作及归纳推理能力；
2.培养学生的知识迁移意识；
3.培养学生发现和欣赏数学的美的意识.
情感态度
让学生积极参与到数学学习活动中，陪同学生经历"发现规律"、"理解规律"、"运用规律"的过程，增强他们对数学学习的好奇心与求知欲，利用所学内容，简化重难知识点的解题难度，提升学生攻坚重难点的信心.
[教学重点、难点]
教学重点：归纳四种规律总结题型的解法.
教学难点：全等、勾股定理、相似等方法在其中的应用.
[教学准备]
动画多媒体语言课件.
教学过程 第二课时
教学路径
教学说明
师：上节课我们一起学习了两种类型的规律题目，下面接着一起学习另外两种规律类型，幂次型与循环型，首先，我们先学习幂次型，我们先看例4.
探究类型之三 幂次型
例4 如图所示，将一张矩形纸片对折，可得到一条折痕(图中的虚线)，连续对折，对折时每次折痕与上次折痕保持平行，连续操作三次可以得到7条折痕，那么对折n次可得到折痕的条数是________．
解析： = 1 \* GB3 ①观察图示，计算不同n值时的折痕条数，n=1时，折痕有1条；
n=2时，折痕有3条；n=3时，折痕有7条；n=4，折痕有15条. 下一步
= 2 \* GB3 ②1、3、7、15… …，这组数列中相邻数字作差后得到的新数列恰好为2n.
(第 = 2 \* GB3 ②出示下图，并将2、4、8换颜色显示 “”)
答案：2n-1
师：哪位同学主动给大家说一说？
生：得出答案
师：同意他的方法吗？
生：同意
师：同学们注意观察在取不同的n时，对应的值与上节课我们学习的一次型、二次型的区别.可以看到，其值变化较快.所以，我们在遇到数值变化较快时，首先考虑幂次型.在本题中数列1、3、7、15...，虽然没有显著的特点，但是我们将相邻的数字作差后，得到的新数列就很容易看出规律来.这也是我们在做规律题目时重要的观察方式.
例5 如图，直线，点A1坐标为（1，0），过点A1作x轴的垂线交直线于点B1，以原点O为圆心，OB1长为半径画弧交x轴于点A2；再过点A2作x轴的垂线交直线于点B2，以原点O为圆心，OB2长为半径画弧交x轴于点A3，…，按此做法进行下去，点A4的坐标为（ ， ）；点An（ ， ）．
解析： = 1 \* GB3 ①注意与x轴的夹角度数，为30°；（在图像中体现30°角） 下一步
= 2 \* GB3 ②应用30°的Rt△性质得到边长之间的关系 ：下一步
OA2=OB1=；
（图中颜色显示，） 下一步
OA3=OB2=；
（图中颜色显示，）……下一步
OA4=OB3=；下一步
OAn=OBn-1=
答案：，
师：在直角坐标系中，如果遇到直线中的k等于，我们一般都会借助其与x轴的夹角度数，这样可以简化题目难度.
师：借助其角度，大家先独立思考1分钟.
师：谁思考好了？
生:可以得到每一个OA的长度，在根据长度求得坐标.
师：很好，（可以一起计算，利用课件）
师：同学们一起看下中考佳题中第5、6题.
中考佳题
5.如图，将△ABC沿着过AB中点D的直线折叠，使点A落在BC边上的A1处，称为第1次操作，折痕DE到BC的距离记为h1还原纸片后，再将△ADE沿着过AD中点D1的直线折叠，使点A落在DE边上的A2处，称为第2次操作，折痕D1E1到BC的距离记为h2；按上述方法不断操作下去，经过第2015次操作后得到的折痕D2014E2014到BC的距离记为h2015，若h1=1，则h2015的值为 （ ）
A. B. C. D.
解析： = 1 \* GB3 ①应用中位线性质，计算点A到折痕Dn-1En-1的距离an，而hn即为A到BC的距离2h1减去A到折痕Dn-1En-1的距离an，即：hn=2h1-an，并总结其规律，得到答案；（区分图形中的线段颜色）
下一步
= 2 \* GB3 ②（分两步出示下图，先出示）
下一步（补全下图）
答案：D
6.在平面直角坐标系中，正方形A1B1C1D1 、D1E1E2B2 、A2B2C2D2 、D2E3E4B3 、A3B3C3D3 ……按如图所示的方式放置，其中点B1在y轴上，点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3……在x轴上，已知正方形A1B1C1D1 的边长为1，∠B1C1O=60°，B1C1∥B2C2∥B3C3……则正方形A2015B2015C2015D2015的边长是 （ ）


解析：法一：应用30°的Rt△特点，可求出所求正方形边长，并总结规律；
法二：应用三角形相似，计算所求正方形边长，并总结规律；下一步
(题目出示与5题 = 2 \* GB3 ②一致)
师：对于这两个习题，哪位同学有思路了？可以主动站起来和大家分享.（说那个题目都可以）
生：第5题或第6题讲解
师：请其他同学点评.
师：总结，在规律题目中，我们可以间接的求解其规律，例如第5题，我们先求解an，在规律总结之前，也就是我们在求解每一个值时，常常应用勾股定理、相似或三角函数等.
探究类型之四 循环型
例6 在一次数学游戏中，老师在A、B、C三个盘子里分别放了一些糖果，糖果数依次为a0，b0，c0，记为G0=( a0，b0，c0). 游戏规则如下： 若三个盘子中的糖果数不完全相同，则从糖果数最多的一个盘子中拿出两个，给另外两个盘子各放一个（若有两个盘子中的糖果数相同，且都多于第三个盘子中的糖果数，则从这两个盘子字母序在前的盘子中取糖果），记为一次操作. 若三个盘子中的糖果数都相同，游戏结束.n次操作后的糖果数记为
Gn=( an，bn，cn).
（1）若G0=（4，7，10），则第_______次操作后游戏结束；
（2）小明发现：若G0=（4，8，18），则游戏永远无法结束，那么G2017=________．
解析：（1）G0=（4，7，10）第一次 G1=（5，8，8）第二次 G2=（6，6，9）
第三次 G3=（7，7，7）.
下一步
（2）G0=（4，8，18）第一次 G1=（5，9，16）第二次 G2=（6，10，14）
第三次 G3=（7，11，12）第四次 G4=（8，12，10）下一步(注意颜色区分)
第五次 G5=（9，10，11）第六次 G6=（10，11，9）第七次 G7=（11，9，10）
第八次 G8=（9，10，11）... ... 下一步
自G5、G6、G7 … …起，开始3个一循环，计算方法：（2017-4）÷3=671，整除，从而G2017= G7=（11，9，10）.
答案：（1）3；
（2）（11，9，10）
师：请一位同学来为大家读一下这道题目
生：读题
师：（先不要让该学生坐下）你能为大家说下，这道题目的题意吗？
生：回答（全或不全）
师：哪位同学能给他做补充.
生：回答补充
师：在请两位同学依次计算Gn，（黑板上写出来）
师：（一起观察其特点，并总结）在常见的规律中，循环型也是考察次数较多的题型，对于这类题目，一般情况我们需要计算出一些数值以便找到其循环次数与个数.
例7 如图，已知A1(1，0)，A2(1，1)，A3(－1，1)，A4(－1，－1)，
A5(2，－1)，则点A2017的坐标为________．
（点击解析时，图像中的红线显示）
解析：取第一象限内的A2 、A6、 A10 、A14 作为一个新数列，
n=1 A2 (1,1)
n=2 A6 (2,2)
n=3 A10 (3,3)
n=4 A14 (4,4) 下一步
n A4n-2 (n, n) 下一步
寻找一个n，使得(4n-2)最接近2017，可令n=505有A2018（505，505）,
下一步
A2017是A2018前一个点，故A2017（505，-504）.
答案：（505，-504）
中考佳题
7.如图，在矩形ABCD中，已知AB=4，BC=3，矩形在直线上绕其右下角的顶点B向右旋转90°至图①位置，再绕右下角的顶点继续向右旋转90°至图②位置，……，以此类推，这样连续旋转2015次后，顶点A在整个旋转过程中所经过的路程之和是 （ ）
A. 2015π B. 3019.5π C. 3018π D.3024π
解析：（先只出示下图依次显示每一个弧线，不显示弧长数）
下一步
由图示可看出每四次为一循环，其中前三次分别以AB、AC、AD为半径，旋转90°而形成弧，第四次A点没有移动，故路程为0，前四次路程和为6π.
下一步这样连续旋转2015次时，共有503个循环又余3次，故A点在整个旋转过程中所经过的路程之和503×6π+6π=3024π
答案：D
师：大家看矩形在旋转过程中点A所走的路程，很容易发现其每次的路程为一段弧，哪位同学能告诉大家每段弧长的值？
生：回答值
师：那哪位同学能够告诉大家，这个是不是循环呢，如果是，多少次为一个循环呢？
生：四次一个循环
师：大家同意他的看法吗？
生：同意
师：好，那马上计算一下，然后告诉老师答案.
师：（总结）上面就是我们在中考中常遇到的四种规律题型：一次型，二次型、幂次型、循环型，其中计算稍显复杂的为二次型，但同学们掌握好本节课中学习的关于二次型的计算方法后，相信会很大程度上简化其计算难度.
在讲解例4
后，教师可着重总结下例题后面的自我感悟“对于变化的整数来说
（分数单看分子和分母），在作一次差后，如果该差值为某一数的n次幂，则该数列为幂次型”
对应角度为30°、45°、60°教师重点说明自我感
悟，“在规律题目中，如果遇到的数列是有理数与无理数交替出现时，一般该数列为某一无理数的幂次型”.
例7,教师重点讲解两个方面
一是对于直角坐标系中的对称规律来说，不能总体考虑其规律特点，需要寻找到同一象限中的点
二是在同一象限中的点需要特别注意角标的变化情况，即：A2 、A6、 A10、A14、A4n-2
另外，教师也可选择第二、三、四象限讲解，方法一致