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第8讲《图形的变换与视图》第2课时（教案）2023年人教版中考数学一轮复习
展开第八讲 图形的变换与视图 [教学内容]第八讲“ 图形的变换与视图”.（第二课时）［教学目标］知识技能1.会对图形进行平移、旋转、折叠，掌握图形平移、旋转、折叠的性质，并能够熟练应用； 2.了解中心投影和平行投影的概念，会画常见几何体的主视图、左视图、俯视图； 3.理解图形相似的性质，够熟练应用三角形全等、相似的性质和判定解题. 数学思考 在研究图形平移、旋转的过程中，进一步发展空间观念，经历运用图形的轴对称、中心对称思考问题的过程，初步建立几何直观；独立思考，体会图形的变换规律.问题解决经历从不同角度寻求分析问题和解决问题的方法的过程，体验解决问题方法的多样性，掌握分析问题和解决问题的一些基本方法.情感态度 感受成功的快乐，体验独自克服困难、解决数学问题的过程，有克服困难的勇气，具备学好数学的信心；敢于发表自己的想法、勇于质疑、敢于创新，养成认真勤奋、独立思考、合作交流等学习习惯，形成严谨求实的科学态度.[教学重点、难点]重点：图形的平移、旋转、轴对称、中心对称及相似.难点：图形的平移、旋转、轴对称、中心对称及相似的综合题型. [教学准备] 动画多媒体语言课件. 第二课时教学过程：教学路径学生互动方案说明探究类型之五 图形变换综合例6.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(－2，0)，等边三角形AOC经过平移或轴对称或旋转都可以得到△OBD．（1）△AOC沿x轴向右平移得到△OBD，则平移的距离是_ 2 __ _个单位长度；△AOC与△BOD关于直线对称，则对称轴是_ y轴_ ___；△AOC绕原点O顺时针旋转得到△DOB，则旋转角可以是 120° ___度； （2）连接AD，交OC于点E，求∠AEO的度数． 师:学生独立解题，老师适当给予学生提示.师提示：（1）根据平移的性质和等边三角形的性质可得.（2）根据旋转的性质和等腰三角形的性质可得.分两个题（1）答案：动画展示平移， 后答案出 2 下一步 动画展示翻折， 后答案 y轴 下一步 动画展示旋转120°，后答案出 120度（2）答案： 动画旋转，连接AD， △AOD涂色. 解：如图，连接AD.∵等边△AOC绕原点O顺时针旋转120°得到△DOB，∴OA=OD，∠AOC=∠BOD=∠DOC =60°， ∴OE为等腰△AOD的顶角的平分线，∴OE垂直平分AD，∴∠AEO=90°．师总结：当图形的变换与等边三角形相结合的时候，一定要抓住等边三角形三边相等与三角相等这一特殊性质. 巩固拓展6.如图所示，在△ABC中，AB＝4，BC＝6，∠B＝60°，将△ABC沿射线BC的方向平移，得到△A′B′C′，再将绕点A′逆时针旋转一定角度后，点B′恰好与点C重合，则平移的距离和旋转角的度数分别( ) A.4，30° B.2，60° C.1，30° D.3，60° 解析：动画展示平移旋转△A′B′C是等边三角形.7.如图所示，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点，将△ADE沿AE对折至△AFE，延EF交BC于点G，连接AG.（1）求证：△ABG≌△AFG；（2）求BG的长. 解析：动画展示折叠，涂不同色△ABG≌△AFG（HL）（1）AG＝AG，AB＝AF，△ABG≌△AFG（HL）. 下一步 Rt△CEG涂色（2）正方形ABCD边长为6,设BG=x，则CE=3，CG=6-x，GE=x+3. Rt△CEG中利用勾股定理，列方程求解. 8. 如图所示，将ABCD沿过点A的直线折叠，使点D落到AB边上的点处，折痕交CD边于点E，连接BE. （1）求证：四边形BCED′是平行四边形； （2）若BE平分∠ABC，求证：AB2=AE2+BE2. 答案：动画折叠，标角∠DAE=∠D′AE，∠DEA=∠D′EA，证明：（1）∵平行四边形ABCD沿过点A的直线l折叠.∴∠DAE=∠D′AE，∠DEA=∠D′EA，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∠DEA=∠D′AE，∠DAE=∠D′EA .∴AD∥ED′∥BC. ∴四边形BCED′是平行四边形， 下一步 三角形ABE涂色（2）∵平行四边形ABCD沿过点A的直线l折叠. ∴AE平分∠DAB， ∵BE平分∠ABC，四边形ABCD是平行四边形.∴∠EAB+∠EBA=90°，∴∠AEB=90°， ∴AB2=AE2+BE2． 9.如图所示，菱形OABC的顶点A的坐标为（2，0），∠COA＝600，将菱形OABC绕坐标原点O逆时针旋转1200得到菱形ODEF.（1）直接写出点F的坐标；（2）求线段OB的长及图中阴影部分的面积. 解析：动画展示旋转（1）点F（-2，0）， 下一步 连接OE，OB，过点B作BG⊥x轴于点G，（2）连接OE，OB，过点B作BG⊥x轴于点G.∵菱形OABC，∠COA＝600，∴∠BOA＝∠ABG＝300. ∵OA=AB=2，∴BG=，OB=2. 下一步 ∴OB，OE围成的面积 S扇形==4π， S阴影=S扇形-S菱形OABC=4π-． (选讲)在正方形ABCD中，对角线AC与BD交于点O；在Rt△PMN中，∠MPN90°.分步出（1）如图1，若点P与点O重合且PM⊥AD、PN⊥AB，分别交AD、AB于点E、F，请直接写出PE与PF的数量关系； 师:学生独立解题.师提示：根据正方形的性质和角平分线的性质解答即可；解析：动画四边形AFPE涂色∵∠MPN90°，PM⊥AD，PN⊥AB.∴四边形AFPE为正方形.答案：PE=PF.（2）将图中的Rt△PMN绕点O顺时针旋转角度α（0°<α<45°）.①如图2，在旋转过程中（1）中的结论依然成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；②如图2，在旋转过程中，当∠DOM15°时，连接EF，若正方形的边长为2，请直接写出线段EF的长；师:学生独立解题，老师适当给予学生提示.师提示：①根据正方形的性质和旋转的性质证明△FOA≌△EOD得答案；②作OG⊥AB于G，根据余弦的概念求出OF的长，根据勾股定理求值即可； 答案：动画△FOA≌△EOD不同色，证明① ∵AC、BD是正方形ABCD的对角线.∴OA=OD，∠FAO=∠EDO=45°，∠AOD=90°，∴∠DOE+∠AOE=90°.∵∠MPN=90°，∴∠FOA+∠AOE=90°，∴∠FOA=∠DOE，∴△FOA≌△EOD，∴OE=OF.即PE=PF. 下一步 动画 作OG⊥AB于G，△OGF涂色.解② 作OG⊥AB于G， ∵∠DOM15°，∴∠FOG=30°.∵正方形的边长为2.∴OG=1，FG=, OF=.∴OE=OF,∠MPN=90°∴EF= ③如图3，旋转后，若Rt△PMN的顶点P在线段OB上移动（不与点O、B重合），当BD3BP时，猜想此时PE与PF的数量关系，并给出证明；当BDm·BP时，请直接写出PE与PF的数量关系. 师:学生独立解题，老师适当给予学生提示.师提示：过点P作HP⊥BD交AB于点H.证明△PHF∽△PDE.根据相似三角形的判定和性质求出PE与PF的数量关系，根据解答结果总结规律得到当BDm·BP时，PE与PF的数量关系.答案： PE=2PF，PE=(m-1)·PF.证明：过点P作HP⊥BD交AB于点H 动画涂不同△PHF∽△PDE色， 如图，过点P作HP⊥BD交AB于点H，则△HPB为等腰直角三角形，∠HPD=90°，∴HP=BP，∵BD=3BP，∴PD=2BP，∴PD=2HP. 下一步∵∠HPF+∠HPE =90°，∠DPE+∠HPE =90°，∴∠HPF =∠DPE，∵∠BHP =∠EDP=45 °，∴△PHF∽△PDE， ∴PF:PE=PH:PD=1:2，即PE=2PF. ∴同理：当BDm·BP时，PE=(m-1)·PF. 师总结：在解图形的变换类题目的时候，一定要抓住图形变换前后的不变量，比如：对应角相等，对应线段相等；同时还要注意变的量，比如：平移距离、旋转角度等.而一般情况下图形的变换其中还包括图形的部分，搞清楚该几何图形的相关性质也是必不可少的. （选做）师：学生先独立完成，老师适当出示课件解析进行提示.已知点P是线段AB上与点A不重合的一点，且AP<PB．AP绕点A逆时针旋转角得到AP1，BP绕点B顺时针也旋转角得到BP2，连接PP1、PP2．分三题（1）如图1，当时，求的度数； 解析：动画线段AP，BP旋转，同时两个三角形涂不同色.利用旋转的性质以及等腰直角三角形得出答案； （2）如图2，当点P2在AP1的延长线上时，求证：∽.解析： △P2P1P∽△P2PA涂 不同色. 根据题意得出△PAP1和△PBP2均为顶角为α的等腰三角形，进而得出∠P1PP2=∠PAP2=α，证出△P2P1P∽△P2PA. （3）如图3，过BP的中点E作l1⊥BP ，过BP2的中点F作l2⊥BP2，l1与l2交于点Q，连接PQ，求证：P1P⊥PQ．解析：连结QB 连结QB，得到∠QPB =， 根据∠APP1=90°﹣，利用∠P1PQ=180°﹣∠APP1﹣∠QPB即可证出． 师总结：此题主要考查了几何变换综合以及相似三角形的判定和全等三角形的判定与性质等知识，得出Rt△QBE≌Rt△QBF是解题关键．课堂小结1.画几何三视图时注意几何体看得见部分的轮廓线画成实线，被其他部分遮挡而看不见的部分的轮廓线画成虚线.2.当折叠问题与几何图形相结合的时候，解答时既要考虑折叠的性质也要考虑该几何图形的性质.3. 当图形的变换与等边三角形相结合的时候，一定要抓住等边三角形三边相等与三角相等这一特殊性质.4.在解图形的变换类题目的时候，一定要抓住图形变换前后的不变量，比如：对应角相等，对应线段相等；同时还要注意变的量，比如：平移距离、旋转角度等.而一般情况下图形的变换其中还包括图形的部分，搞清楚该几何图形的相关性质也是必不可少的. 教案中课时划分只是一个参考，教师应该视自己情况而定. 答案中考“佳”题1. B2. 8π3. B4. C5. B6. B7. 解：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠B=∠D=90°，AD=AB. 由折叠的性质可知，AD=AF，∠AFE=∠D=90°，∴∠AFG=90°，AB=AF.∴∠AFG=∠B. 又∵AG=AG，∴△ABG≌△AFG（HL）. （2）∵△ABG≌△AFG，∴BG=FG. 设BG=FG= x，则GC=6-x, ∵E为CD的中点，∴CE=EF=DE=3，∴EG=， 在Rt△CEG中，由勾股定理，得x=2,∴BG=2.8. 证明：（1）∵平行四边形ABCD沿过点A的直线l折叠.∴∠DAE=∠D′AE，∠DEA=∠D′EA，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∠DEA=∠D′AE，∠DAE=∠D′EA .∴AD∥ED′∥BC. ∴四边形BCED′是平行四边形.（2）∵平行四边形ABCD沿过点A的直线l折叠. ∴AE平分∠DAB， ∵BE平分∠ABC，四边形ABCD是平行四边形.∴∠EAB+∠EBA=90°，∴∠AEB=90°， ∴AB2=AE2+BE2．9. 答案：（1）点F（-2，0）；（2）证明：连接OE，OB，过点B作BG⊥x轴于点G.∵菱形OABC，∠COA＝600，∴∠BOA＝∠ABG＝300. ∵OA=AB=2，∴BG=，OB=2. ∴OB，OE围成的面积 S扇形==4π， S阴影=S扇形-S菱形OABC=4π-．选作：（1）∠P1PP2=90°.（2）证明：由旋转的性质可知△PAP1和△PBP2均为顶角为α的等腰三角形， ∴∠APP1=∠BPP2=90°﹣， ∴∠P1PP2=180°﹣（∠APP1+∠BPP2）=180°﹣2（90°﹣）=α， 在△PP2P1和△P2PA中，∠P1PP2=∠PAP2=α， 又∵∠PP2P1=∠AP2P， ∴△P2P1P∽△P2PA．（3）证明：如图，连接QB． ∵l1，l2分别为PB，P2B的中垂线， ∴EB=BP，FB=BP2． 又BP=BP2， ∴EB=FB． 在Rt△QBE和Rt△QBF中，EB=FB,QB=QB.∴Rt△QBE≌Rt△QBF， ∴∠QBE=∠QBF=∠PBP2=， 由中垂线性质得：QP=QB， ∴∠QPB=∠QBE=， 由（2）知∠APP1=90°﹣， ∴∠P1PQ=180°﹣∠APP1﹣∠QPB=180°﹣（90°﹣）﹣=90°，即 P1P⊥PQ．
