第6讲《圆》第1课时（教案）2023年人教版中考数学一轮复习

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第六讲“圆”.（第一课时）
［教学目标］
知识与技能
1.熟练掌握圆中的性质并准确计算弧长、扇形面积；
2.会解、证角与线段相关的几何问题；
3.会解与三角形、方程、函数等知识点结合、设计一类的与圆相关的中考试题.
数学思考
通过应用、计算、证明等学习，让学生深刻了解中考圆部分重难知识点考察内容，并能掌握与三角形、方程、函数等知识结合内容.
问题解决
1.培养学生的计算证明推理能力；
2.培养学生对知识综合运用能力.
情感态度
经历探索圆及其相关结论的过程，发展学生的数学思考能力；通过积极引导，帮助学生有意识地积累活动经验，获得成功的体验；利用课件中动画，设计具有挑战性的场景，激发学生求知、探索的欲望.
[教学重点、难点]
教学重点：圆心角，圆周角，直线、图形与圆的关系.
教学难点：方程、函数、三角形、四边形等与圆结合.
[教学准备]
动画多媒体语言课件.
教学过程 第一课时
教学路径
教学说明
课堂导入
相离：d>r
圆的性质

相交：d相切：d=r
直线和圆的位置关系
弧长：
圆
圆的计算
扇形面积：
师：（教师出示课堂导入）同学们，这堂课我们在一次学习圆的相关知识点，我们将进一步研究与圆相关的角度问题，比如圆周角，圆心角，也要更深入的学习直线与圆相离、相切、相交的三种位置关系，及弧长、扇形面积的计算等问题。闲话少叙，我们先一起学习下例1（出示例1）
佳题探究
探究类型之一 圆的有关性质
分两页出示
例1.如图，A、B是圆O上的两点，∠AOB=120°，C是AB弧的中点.
（1）求证：AB平分∠CAO；
A
P
O
B
C
解析：（1）求证四边形AOBC是菱形，
即可求得AB平分∠CAO；
答案：（1）证明：连接OC，AB动画连接
∵∠AOB=120°，C是AB弧的中点，下一步
∴∠AOC=∠BOC=60°，标记∠AOC=∠BOC=60°
∵OA=OC，
∴△ACO是等边三角形，
∴OA=AC，同理OB=BC，下一步
∴OA=AC=BC=OB，OA=AC=BC=OB四条边变为蓝色
∴四边形AOBC是菱形，
∴AB平分∠OAC.
例1.如图，A、B是圆O上的两点，∠AOB=120°，C是AB弧的中点.
（2）延长OA至P使得OA=AP，连接PC，若⊙O的半径R=1，求PC的长.
解析：（2）求得∠P=30°、∠PCO=90°即可
答案：（2）解：∵OA=AP且（1）中已证得△ACO为等边三角形，
∴OA=AP= AC=1 下一步
∴∠APC=∠ACP =30°，∠OCP=90°标记∠APC=∠ACP =30°
∴在Rt△OPC中可得PC=.
师：先请一位同学站起来为大家读一下例1.
生：读题目.
师：哪位同学有解此题好的想法，请起来为大家解释下？
生：回答.
师：（适当出示课件答案）总结，本题主要考察了弧中点的性质及勾股定理的应用，同学们解答的都很好，在这里不做更多的讲解了.
例2.如图，BD为⊙O的直径，AB＝AC，AD交BC于点E，AE＝1，ED＝2．
（1）求证：∠ABC＝∠D
（2）求AB的长；
解析：（1）由AB＝AC，得∠ABC＝∠C，
AB＝AC，∠ABC＝∠C作标记 下一步
再由同弧所对的圆周角相等得到∠C＝∠D，
等量代换即可得证. 及∠C、∠D作标记 下一步
（2）由（1）的结论与公共角相等，
得到△ABE与△ADB相似，由相似得比例，
即可求出AB的长. △ABE与△ADB标记涂色
答案：
（1）证明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∵∠C与∠D都对，
∴∠C=∠D，
∴∠ABC=∠D.
下一步
（2）解：∵∠ABC=∠D，∠BAE=∠DAB=90°，
∴△ABE∽△ADB，下一步
∴,即AB2=AE·（AE+ED）=3，
解得：AB=.
师：都读完题目了吧?
生：读完了
师：先请一位同学回答第（1）小问，（指定学生回答）
生：回答
师：都同意他的思路吗？
生：同意
师：好，我们按着这位同学解题思路，一起看看（出示解析1与答案1）
师：（1）的结论是否有助于（2）问的解答呢?
生：有，可以借助（1）中的结论得到相似。
师：非常好，（看学生的反应情况，如果比较热烈，请学生回答，如果回应的较少老师可讲解）总结：同学们在解圆中的线段长度时，尤为重要的方法是，勾股定理与相似，而在圆中应用相似时一般也都需要在直角三角形中进行.
师：下面各自看看习题中的1、2、5题，5分钟后，请同学回答（此时教师可以利用学生们处理1、2、5题时，下来巡视，看看是否有例1、2理解不好的学生，检查例1、2求解情况）
中考佳题
1.在半径为13的⊙O中，弦AB∥CD，弦AB和CD的距离为7，若AB=24，则CD的长为（ ）
A.10 B. C.10或 D.10或
解析：分两种情况讨论，如图1、2，EF=7,应用垂径定理求解.
图1、2标记EF=7
答案：D
2.如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB交于点D，则AD的长为（ ）
C
A
D
B
A． B． C． D．
解析：过点C作CH⊥AD于点H，利用等面积法（或相似）求得CH，应用垂径定理求得AD的长.
过点C作CH⊥AD于点H
答案：C
5.如图所示，我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”．已知点A、B、C、D分别是“果圆”与坐标轴的交点，抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3，AB为半圆的直径，则这个“果圆”被y轴截得的弦CD的长为 ．
解析：由抛物线解析式y=x2-2x-3，可得到D、A、B、M的坐标，从而可求得OD的长及⊙M的半径长.
动画在图中标记：先D(0,-3)、A(-1,0)、B(3,0)、M(1,0)，在标记连接MC，
最后标记Rt△MOC，标记C(0，)
答案：3+
师：（直接请学生讲解，若有的学生理解的不好，可以请两位学生分别各讲解一次，或者教师讲解）
师：刚才我到下面看了一下大家写的例1和例2，写的都非常不错的，有个别的人写的有点乱，步骤不大清晰，刚才说的写的不大完美的人，写好了后找时间给我看看. 也听了几位同学讲解的1、2、5题,也非常好.大家对上面的题目都明白了吧？
生：明白
师：那好，接下来我们继续学习例3，我们一起读一下例3.
探究类型之二 直线和圆的位置关系
分三页出示
例3.如图1，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，AB＝4，BC＝2，P是⊙O上半部分的一个动点，连接OP，CP．
(1)求△OPC的最大面积；
解析：（1）在△OPC中，底边OC长度不变，因此只要OC边上高最大，则△OPC的面积最大，观察图形，当OP⊥OC时满足要求. PH⊥OC动画体现P在弧AB上运动，PH与OP重合时即当OP⊥OC停止.
解答：（1）解：∵△OPC的边长OC是定值，
∴当OP⊥OC时，OC边上的高为最大值，此时△OPC的面积最大，
∵AB=4，BC=2
∴OP=OB＝2，OC＝OB＋BC＝4，
∴，
即△OPC的最大面积为4.
例3.如图1，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，AB＝4，BC＝2，P是⊙O上半部分的一个动点，连接OP，CP．
(2)求∠OCP的最大度数；
解析：（2）PC与⊙O相切时，∠OCP的度数最大.动画体现P在弧AB上运动，∠OCP的度数变化，当PC与⊙O相切时最大停止.
答案：（2）当PC与⊙O相切，∠OCP的度数最大.
在Rt△OPC，∠OPC＝90°，OC＝4，OP＝2，
∵，
∴∠OCP=30°，
即∠OCP的最大度数为30°.
例3.如图2，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，AB＝4，BC＝2，P是⊙O上半部分的一个动点，连接OP，CP．
(3)如图2，延长PO交⊙O于点D，连接DB．当CP＝DB时，
求证：CP是⊙O的切线．
解析：（3）连接AP，BP通过△ODB≌△BPC可得. 连接AP，BP，△ODB、△BPC涂色
解答：（3）连接AP，BP，
∵∠AOP=∠DOB，
∴AP＝DB.
∵CP=DB，
∴AP=CP，AP、DB、 CP三线颜色改变 下一步
∴∠A=∠C，
∵∠A=∠D，
∴∠C=∠D，∠A、∠C、∠D标记相同 下一步
在△PDB与△OCP中，
∵OC＝PD＝4，∠C=∠D，PC＝BD，
∴△PDB≌△OPC，
∴∠OPC=∠PBD，
∵PD是直径，
∴∠PBD=90°，
∴∠OPC＝90°，∠PBD=∠OPC＝90°角度标记直角符号 下一步
∴OP⊥PC，
又∵OP是圆⊙O的半径，
∴PC是⊙O的切线．
师：读完题目了，动点问题对于第（1）问，我们该怎么理解呢？哪位同学已经有想法了？
生：OP⊥OC时，△OPC的面积最大.
师：为什么？
生：底不变，高最大，面积就最大
师：嗯，有不同看法的吗？
生：没有
师：好，快速的计算一下最大面积是多少.
生：答案
师：很好，大家一起告诉我第（2）问的结果吧
生：回答
师：有不同答案的吗？
生：（有或没有）
师：总结，对于第（1）问，刚才这位同学讲的很正确了，底不变的情况下，高最大时，面积最大，第（2）问中，PC与圆相切时，所求角度最大.
师：我们一起来分析一下第（3）小问，这个问题的突破点在哪里呢？
生：求∠OPC＝90°.
师：很好，用什么方法求得∠OPC＝90°呢？
生：导角、全等（或其他的答案）
师：（注意看那位同学回答的比较贴近答案，可以请该同学站起来回答，回答后可在找刚才回答的不对的学生回答，看看学生理解错误的点在什么地方，之后重点讲解）总结：（3）问中，我们学习了在圆中一种特别重要的辅助线添加的方法“补全直径所对圆周角”在圆中的证明题目中，这种方法是我们的首选.大家不要忘记了.
师：我们在利用“补全直径所对圆周角”的方法，继续解决一道题目，请同学们看练习题中的第7题.
中考佳题
7.如图所示，直线l与半径为4的⊙O相切于点A，P是⊙O上的一个动点(不与点A重合)，过点P作PB⊥l，垂足为B，连接PA.设PA=x，PB=y，则(x-y)的最大值是________．
解析：作直径AC，连接CP，动画作AC,连接CP 下一步
得出△APC∽△PBA，利用=，得出y=x2，AP、AC同一种颜色表示，AP、BP同一种颜色表示（AP用两种颜色，画两道） 下一步
所以x﹣y=x﹣x2=﹣x2+x=﹣（x﹣4）2+2，当x=4时，x﹣y有最大值是2．
答案：2
师：如何应用“补全直径所对圆周角”？
生:回答
师：（总结）我们应用“补全直径所对圆周角”构造相似三角形，建立x与y的函数关系式，进而得到（x-y）的最大值.
师：每两排一组，看看哪组最快做出第9题
分两页体现
9.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径作⊙O交AB于D点，连接CD．
（1）求证：∠A=∠BCD；
解析：（1）导角即可得到结论
答案：证明：由题可知∠ACB=90°，∠ADC=90°标记90°符号 下一步
∴∠A+∠DCA=90°=∠DCA+∠BCD
∴∠A=∠BCD
按次序标记∠A小“”、∠DCA小“×”、∠BCD小“”符号
9.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径作⊙O交AB于D点，连接CD．
（2）若M为线段BC上一点，试问当点M在什么位置时，直线DM与⊙O相切？请说明理由．
解析：在BC边中点取点M,连接MD，连接OD，参照第（1）问方法导角可证得DM与⊙O相切
取点BC边中点M,连接MD，连接OD，第一问中的小“” 小“×”保留，
答案：（2）M为BC的中点时直线DM与⊙O相切. 下一步
证明：取BC的中点M，连接DM、OD，
∵∠BDC=90°，M为BC的中点
∴DM=CM
∴∠MDC=∠MCD 颜色标记DM=CM，∠MDC、∠MCD角标记小“”
下一步
又∵DO=OC
∴∠ODC=∠OCD
又∵∠MCD+∠OCD=90°
∴∠ODM=∠MDC+∠ODC=90°显示直角符号标记
∴DM与⊙O相切下一步
即：M为BC的中点时直线DM与⊙O相切.
师：（请学生直接回答）
师：观察学生讲解的方法，如有不正确地方，可请其他学生指正.
总结：本题一个比较重要的知识点“直角三角形斜边中线等于斜边一半”
另外，我们在处理圆中角度之间的关系时，“互余”非常重要.
师：大家看下例6，一会一起对下答案，看看大家的结果对不对.
探究类型之三 圆的计算问题
例6.如图，正方形ABCD中，扇形BAC与扇形CBD的弧交于点E，AB＝2cm．
求图中阴影部分的面积.
解析：半径相等BE=BC=CE=2cm，△BCE为等边三角形，
BE=BC=CE做颜色标记，标记∠BCE=60° 下一步
将阴影部分面积转化为扇形的面积.
将弓形BE，添补到弓形CE处后在整体突出扇形CED.
答案：
师：（请学生直接回答）
师：本节课我们学习了利用圆的性质、特殊四边形性质，更为重要的是勾股定理与相似为手段的计算方法及圆中重要辅助线的添加“补全直径所对圆周角”.大家稍作休息，几分钟后我们接着更深层次的学习下面的内容.
第一课时中，例1与例6比较简单，教师可以做简单分析，或请学生分析；习题中1、2、5、9也是较简单，学生可以自行处理，教师可以利用这部分的时间巡视学生书写的情况.
例2、例3、7题，用到相似的方法，教师可以稍加引导.