2023年新疆乌鲁木齐七十中中考数学一模试卷（含解析）

2023年新疆乌鲁木齐七十中中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共9小题，共45.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的倒数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  如图是由个大小相同的小正方体摆成的几何体，它的俯视图是(    )

A.
B.
C.
D.

3.  计算：的结果是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  以下事件中，必然发生的是(    )

A. 打开电视机，正在播放体育节目 B. 通常情况下，水加热到沸腾
C. 正五边形的外角和为 D. 掷一次骰子，向上一面是点

5.  如图，直线，点在直线上，以点为圆心，适当长度为半径画弧，分别交直线、于、两点，连结、若，则的大小为(    )

A.
B.
C.
D.

6.  今年月某日自治区市各区县的最高气温如下表：

则这个区县该日最高气温的众数和中位数分别是(    )

A. ， B. ， C. ， D. ，

7.  关于的一元二次方程的根的情况是(    )

A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根 D. 无法确定

8.  如图，与正五边形的边、分别相切于点、，则劣弧所对的圆心角的大小为(    )

A.
B.
C.
D.

9.  如图，反比例函数的图象交的斜边于点，交直角边于点，点在轴上，若的面积为，：：，则的值为(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）

10.  研究表明，全球每年大约有的水从海洋和陆地转化为大气中的水汽，这个数据用科学记数法可以表示为______．

11.  解不等式组的解集为        ．

12.  某十字路口的交通信号灯每分钟红灯亮秒，绿灯亮秒，黄灯亮秒，当你抬头看信号灯时，是绿灯的概率为______．

13.  如图，圆锥的底面半径长为，母线长为，则这个圆锥侧面展开图的圆心角为______度．

14.  如图，数学实习小组在高米的山腰即米处进行测量，测得对面山坡上处的俯角为，对面山脚处的俯角，已知，点，，，，在同一个平面上，点，，在同一条直线上，且，则，两点间的距离为______ 米．

15.  如图，边长为的正方形的对角线与交于点，将正方形沿直线折叠，点落在对角线上的点处，折痕交于点，则______．

三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
计算：．

17.  本小题分
解分式方程：．

18.  本小题分
有一块长，宽的长方形铁皮，如果在铁皮的四个角上截去四个相同的小正方形，然后把四边折起来，做成一个底面面积为的无盖的盒子，求截去的小正方形的边长．

19.  本小题分
已知：如图，在矩形中，、分别是边、的中点，、分别是线段、的中点．
求证：≌；
判断四边形是什么特殊四边形，并证明你的结论．

20.  本小题分
随着社会经济的发展，汽车逐渐走入平常百姓家某数学兴趣小组随机抽取了我市某单位部分职工进行调查，对职工购车情况分类：车价万元以上；：车价在万元；：车价在万元以下；：暂时未购车进行了统计，并将统计结果绘制成以下条形统计图和扇形统计图请结合图中信息解答下列问题：
调查样本人数为        ，样本中类人数百分比是        ，其所在扇形统计图中的圆心角度数是        ；
把条形统计图补充完整；
该单位甲、乙两个科室中未购车人数分别为人和人，现从中选人去参观车展，用列表或画树状图的方法，求选出的人来自不同科室的概率．
 

21.  本小题分
某景区商店销售一种纪念品，这种商品的成本价元件，市场调查发现，该商品每天的销售量件与销售价元件之间满足一次函数的关系如图所示．
求与之间的函数关系式；
若该商店每天可获利元，求该商品的售价；
已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种商品的销售价不高于元件，求每天的销售利润元与销售价元件之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？

22.  本小题分
如图，已知是的直径，直线与相切于点，平分．
求证：；
若的半径，，求的长．

23.  本小题分
如图，已知抛物线经过点、和，垂直于轴，交抛物线于点，垂直于轴，垂足为，直线是该抛物线的对称轴，点是抛物线的顶点．
求出该二次函数的表达式及点的坐标；
若沿轴向右平移，使其直角边与对称轴重合，再沿对称轴向上平移到点与点重合，得到，求此时与矩形重叠部分图形的面积；
若沿轴向右平移个单位长度得到，与重叠部分图形的面积记为，求与之间的函数表达式，并写出自变量的取值范围．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的倒数是，
故选：．
根据乘积为的两个数互为倒数，可得答案．
本题考查了倒数，分子分母交换位置是求一个数的倒数的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：从上面看下来，上面一行是横放个正方体，左下角一个正方体．
故选：．
根据俯视图是从上面看到的图象判定则可．
本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．
 

3.【答案】 

【解析】解：原式．
故选：．
单项式除以单项式分为三个步骤：系数相除；同底数幂相除；对被除式里含有的字母直接作为商的一个因式．
本题考查了整式的除法运算，属于基础题，掌握整式的除法运算法则是关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：、打开电视机，可能播放体育节目、也可能播放戏曲等其它节目，是随机事件，故此选项不符合题意；
B、通常情况下，水加热到沸腾，符合物理学原理，是必然事件，故此选项符合题意；
C、任何正多边形的外角和是，正五边形的外角和为是不可能事件，故此选项不符合题意；
D、掷一次骰子，向上一面可能是，，，，，，中的任何一个，是随机事件，故此选项不符合题意．
故选：．
根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念可区别各类事件．
本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
 

5.【答案】 

【解析】解：点为圆心，适当长度为半径画弧，分别交直线、于、，
，
，
，
，
，
故选：．
根据平行线的性质解答即可．
此题考查平行线的性质，关键是根据平行线的性质解答．
 

6.【答案】 

【解析】解：这个区县的该日最高气温出现次数最多的是，共出现次，因此众数是，
将这个区县的该日最高气温从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为，因此中位数是，
故选：．
根据中位数、众数的定义，找出出现次数最多的数，以及从小到大排列后处在中间位置的两个数的平均数即可．
本题考查中位数、众数，理解中位数、众数的定义，掌握中位数、众数的计算方法是正确解答的前提．
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了一元二次方程的根的判别式，解题关键是能够判断与的大小。
先计算判别式得到，因为，所以，然后根据根的判别式判断根的情况．
【解答】
解：，
为任意实数时，恒有，
，

即，即，
方程没有实数根．
故选C．  

8.【答案】 

【解析】解：五边形是正五边形，
．
、与相切，
，
，
故选：．
根据正多边形内角和公式可求出、，根据切线的性质可求出、，从而可求出的度数．
本题主要考查了切线的性质、正五边形的性质、多边形的内角和公式、熟练掌握切线的性质是解决本题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：过点作轴的垂线交轴于点，如图：

的面积和的面积相等，都等于，
的面积为，
的面积，
：：，
：：，
，
∽，
，
即，
解得：，
故选：．
根据反比例函数系数的几何意义以及相似三角形的性质得出，，，进而求出即可．
本题考查反比例函数的综合运用，关键是掌握反比例函数图象上的点和坐标轴构成的三角形面积的特点以及根据面积转化求出的值．
 

10.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值是易错点，由于有位，所以可以确定．
此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定与值是关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：，
由得：，
由得：，
一元一次不等式的解集为：，
故答案为：．
根据一元一次不等式组的解法即可求出答案．
本题考查一元一次不等式组，解题的关键是熟练运用一元一次不等式组的解法，本题属于基础题型．
 

12.【答案】 

【解析】解：抬头看信号灯时，是绿灯的概率为．
故答案为：．
随机事件的概率事件可能出现的结果数所有可能出现的结果数，据此用绿灯亮的时间除以三种灯亮的总时间，求出抬头看信号灯时，是绿灯的概率为多少即可．
此题主要考查了概率公式的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：随机事件的概率事件可能出现的结果数所有可能出现的结果数．必然事件不可能事件．
 

13.【答案】 

【解析】解：圆锥底面周长，
扇形的圆心角的度数圆锥底面周长．
故答案为：．
先由半径求得圆锥底面周长，再由扇形的圆心角的度数圆锥底面周长计算．
本题考查了圆锥的计算，解决本题的关键是根据圆锥的底面周长得到扇形圆心角的表达式子．
 

14.【答案】 

【解析】解：由题意得：，， 
，
，
，
，
为直角三角形，
在直角中，．
在直角中，．
、两点之间的距离为米，
故答案为：．
在直角中，根据三角函数即可求得的长，然后在直角中利用三角函数即可求解．
本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念，正确利用三角函数是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：四边形是正方形，
，，，
，
，
将正方形沿直线折叠，点落在对角线上的点处，
，，
，，
，
在与中，
，
≌，
，
故答案为：．
根据正方形的性质得到，，，求得，得到，根据折叠的性质得到，，求得，根据全等三角形的性质即可得到结论．
本题考查了翻折变换折叠问题，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，正确的识别图形是解题的关键．
 

16.【答案】解：


． 

【解析】先计算乘方、零次幂、绝对值和特殊角的三角函数值，再计算乘法，最后计算加减．
此题考查了实数的混合运算能力，关键是能准确理解运算顺序，并能进行正确地计算．
 

17.【答案】解：去分母得：，
解得：，
检验：把代入得：，
分式方程的解为． 

【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
 

18.【答案】解：设截去的小正方形的边长为，根据题意列方程，得
．
整理，得．
解得，．
不合题意，舍去．
答：截去的小正方形的边长为． 

【解析】设截去的小正方形的边长为，从而得出这个长方体盒子的底面的长是，宽是，根据矩形的面积的计算方法即可表示出矩形的底面面积，得出方程求出即可．
此题主要考查了一元二次方程的应用，对于面积问题应熟记各种图形的面积公式学会通过图形求出面积是解题关键．
 

19.【答案】证明：四边形是矩形，
，，
是的中点，
，
在和中，，
≌；
解：四边形是菱形；理由如下：
由得：≌，
，
、分别是线段、的中点，
，，
，
又是的中点，
、是的中位线，
，，
，
四边形是菱形． 

【解析】由矩形的性质得出，，再由是的中点，根据即可证明≌；
先由得出，再由已知条件证出，、是的中位线，即可证出，得出四边形是菱形．
本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定、正方形的判定；熟练掌握矩形的性质以及菱形、正方形的判定方法，证明三角形全等是解决问题的关键．
 

20.【答案】     

【解析】解：调查样本人数为人，
样本中类人数百分比，
类人数所在扇形统计图中的圆心角度数是
故答案为：，，．
如图，样本中类人数人

画树状图为：

共有种可能的结果数，其中选出选出的人来自不同科室占种，
所以选出的人来自不同科室的概率．
根据调查样本人数类的人数除以对应的百分比．样本中类人数百分比类人数除以总人数，类人数所在扇形统计图中的圆心角度数类人数的百分比．
先求出样本中类人数，再画图．
画树状图并求出选出的人来自不同科室的概率．
此题主要考查了条形统计图，扇形统计图及树状图求概率，根据题意了解统计表中的数据是解决问题的关键．
 

21.【答案】解：设与之间的函数关系式为：，
把，代入得：，
解得：．
故与之间的函数关系式为：；
由题意可得：，
整理得：，
解得：，，
，
．
答：每件销售价为元时，每天的销售利润为元；
根据题意知，

，
，
当时，随的增大而增大，
，
当时，取得最大值，最大值为，
答：每件销售价为元时，每天的销售利润最大，最大利润是元． 

【解析】首先利用待定系数法求出一次函数解析式，进而得出答案；
根据已知表示出利润，进而解方程得出答案；
根据“总利润每件的利润销售量”可得函数解析式，将其配方成顶点式，利用二次函数的性质进一步求解可得．
本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及根据相等关系列出二次函数解析式及二次函数的性质．
 

22.【答案】证明：连接．
直线与相切于点，
，
，
，
又平分，
，

；

解：连接．
是直径，
，
，
，
，
直角中，． 

【解析】连接，则，然后证明即可；
连接，在直角中，利用三角函数求得的度数，即可求得的值，然后在直角中利用三角函数即可求解．
本题考查了切线的性质以及三角函数，正确利用三角函数求得的度数是关键．
 

23.【答案】解：抛抛线经过点、和，
抛物线的解析式为，
点在抛物线上，
，
，
抛物线的解析式为：，
垂直于轴，，
令，
解得，或，
点的坐标为；

如图所示，设交于点，交于点，
点是抛物线的顶点，
，
，
，
∽，
，
，
解得，，
与矩形重叠部分的图形是梯形，



；

当时，如图所示，设交于点，
，
∽，
，
，
，
；

当时，如图所示，设交于点，交于点，
将点代入，
得，，
，
将点，代入，
得，，
解得，，，
直线的解析式为：，
联立与，
得，，
解得，，
两直线交点坐标为，
故点到的距离为，
，
∽，
，
，
，



；

与的函数关系式为：． 

【解析】将点、和代入即可求出该二次函数表达式，因为垂直于轴，所以令，求出的值，即可写出点坐标；
设交于点，交于点，求出顶点坐标，证∽，求出的长，因为与矩形重叠部分的图形是梯形，所以，即可求出结果；
当时，设交于点，证∽，求出，可直接求出；当时，设交于点，交于点，分别求出直线与直线的解析式，再求出其交点的坐标，证∽，求出，由
可求出与的函数表达式．
本题考查了待定系数法求解析式，相似三角形的判定与性质，三角形的面积等，解题关键是能够根据题意画图，知道有些不规则图形的面积可转化为几个规则图形的面积和或差来求出．