高中数学高考专题12 平面向量（解析版）

专题12 平面向量 命题规律内      容典     型１以平面图形为背景考查平面向量的线性运算2018年高考全国I卷２平面向量的垂直与平行2020年高考全国Ⅱ卷文数5３平面向量向量数量积2020年高考山东卷7４平面向量夹角计算2019年高考全国I卷文数５平面向量模的计算2019年高考全国II卷文数6平面向量综合问题2019年高考江苏卷命题规律一 以平面图形为背景考查平面向量线性运算【解决之道】结合平面图形，以所求向量为边构造三角形或平行四边形，利用向量加法或减法的三角形法则将所求向量表示出来，再将所用到的向量利用相同的方法用临近的向量表示出来，直到用已知向量表示出来，注意利用用实数与平面向量的积、中点公式得向量形式、三点共线的充要条件,可以简化计算.【三年高考】1.【2018年高考全国I卷文数】在中，为边上的中线，为的中点，则（   ）A．       B． C．       D．【答案】A【解析】根据向量的运算法则，可得 ，所以，故选A.命题规律二 平面向量的垂直与平行【解决之道】平面向量平行问题，利用向量平行的充要条件进行处理；平面向量垂直问题，利用向量数量积等于0求解.【三年高考】1.【2020年高考全国Ⅱ卷文数5】已知单位向量的夹角为60°，则在下列向量中，与垂直的是  （   ）A． B． C． D．【答案】D【解析】由已知可得：．A：∵，∴本选项不符合题意；B：∵，∴本选项不符合题意；C：∵，∴本选项不符合题意；D：∵，∴本选项符合题意．故选D．2.【2020年高考全国Ⅰ卷文数14】设向量，若，则         ．【答案】5【解析】由可得，又∵，∴，即，故答案为：．3.【2019年高考北京卷文数】已知向量=（–4，3），=（6，m），且，则m=__________．【答案】8【解析】向量则.4.【2018年高考全国III卷文数】已知向量，，．若，则________．【答案】【解析】由题可得，，，，即，故答案为.5.【2018年高考北京卷文数】设向量a=（1,0），b=（−1,m）,若，则m=_________.【答案】【解析】，，由得：，，即.命题规律三 平面向量数量积【解决之道】对平面向量的数量积，若不能向量不能用坐标表示，利用平行向量数量积的定义、几何意义求解，若给出向量的坐标或给出的平面图形易建立坐标系，对平面图形建立坐标系，求出相关向量的坐标，在利用数量积的坐标形式求解，若是最值问题，将其化为某个量的函数问题，在利用相关方法求其最值.【三年高考】1.【2020年高考山东卷7】已知是边长为的正六边形内的一点，则的取值范围是 （   ）A．            B．            C．             D．【答案】A【解析】解法一：的模为2，根据正六边形的特征，可以得到在方向上的投影的取值范围是，结合向量数量积的定义式，可知等于的模与在方向上的投影的乘积，所以的取值范围是，故选：A．解法二：如图，建立平面直角坐标系，由题意知，，，，设，则，∵，∴，∴的取值范围是．2.【2020年高考北京卷13】已知正方形的边长为，点满足，则 ________；__________．【答案】，【解析】分别以为轴，轴建立直角坐标系，则，，，．∵，∴，∴，∴，又∵，∴．3.【2020年高考天津卷15】如图，在四边形中，，，且，则实数的值为_________，若是线段上的动点，且，则的最小值为_________．【答案】        【解析】，，，，解得，以点为坐标原点，所在直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系，则，设，则（其中），，，，所以，当时，取得最小值4.【2018年高考全国II卷文数】已知向量，满足，，则（   ）A．4 B．3C．2 D．0【答案】B【解析】因为所以选B.5.【2018年高考天津卷文数】在如图的平面图形中，已知,则的值为（   ）A．  B． C．  D．0【答案】C【解析】如图所示，连结MN，由 可知点分别为线段上靠近点的三等分点，则，由题意可知：，，结合数量积的运算法则可得：，故选C.6.【2019年高考天津卷文数】在四边形中，，点在线段的延长线上，且，则_____________．【答案】【解析】建立如图所示的直角坐标系，∠DAB=30°，则，.因为∥，，所以，因为，所以，所以直线的斜率为，其方程为，直线的斜率为，其方程为.由得，，所以，所以.7.【2018年高考上海卷】在平面直角坐标系中，已知点、，、是轴上的两个动点，且，则的最小值为___________．【答案】-3【解析】根据题意，设E（0，a），F（0，b），∴，∴a=b+2，或b=a+2，且，∴，当a=b+2时，，∵b2+2b﹣2的最小值为，∴的最小值为﹣3，同理求出b=a+2时，的最小值为﹣3命题规律四 平面向量的夹角计算【解决之道】对平面向量的夹角问题，若不能向量不能用坐标表示，先求出相关向量的数量积及向量模，再利用平行向量夹角公式求解，利用向量的夹角公式计算，若给出向量的坐标或给出的平面图形易建立坐标系，对平面图形建立坐标系，求出相关向量的坐标，在利用向量夹角公式的坐标形式求解，若是最值问题，将其化为某个量的函数问题，在利用相关方法求其最值.【三年高考】1.【2020年高考浙江卷17】设，为单位向量，满足，，，设，的夹角为，则的最小值为       ．【答案】 【解析】，解得：，，设， 则，当时，，∴的最小值是2.【2019年高考全国I卷文数】已知非零向量a，b满足，且b，则a与b的夹角为（   ）A．   B． C．   D． 【答案】B【解析】因为b，所以=0，所以，所以=，所以a与b的夹角为，故选B．3.【2019年高考全国III卷文数】已知向量，则___________.【答案】【解析】．命题规律五 平面向量模的计算【解决之道】对平面向量模的计算问题，若不能向量不能用坐标表示，利用向量的模的平方等于向量的平方，利用向量数量积的运算性质求解，若给出向量的坐标或给出的平面图形易建立坐标系，对平面图形建立坐标系，求出相关向量的坐标，在利用向量模公式的坐标形式求解，若是最值问题，将其化为某个量的函数问题，在利用相关方法求其最值.【三年高考】1.【2020年高考江苏卷13】在中，，，，在边上，延长到，使得，若（为常数），则的长度是             ．【答案】【解析】由向量系数为常数，结合等和线性质可知，故，，故，故．在中，；在中，由正弦定理得，即．2.【2019年高考全国II卷文数】已知向量a=(2，3)，b=(3，2)，则|a-b|=（   ）A．  B．2C．5  D．50【答案】A【解析】由已知，，所以，故选A.3.【2018年高考浙江卷】已知a，b，e是平面向量，e是单位向量．若非零向量a与e的夹角为，向量b满足b2−4e·b+3=0，则|a−b|的最小值是（   ）A．−1 B．+1C．2 D．2−【答案】A【解析】设，则由得，由b2−4e·b+3=0得因此|a−b|的最小值为圆心到直线的距离减去半径1，为选A.命题规律六  平面向量综合问题【解决之道】平面向量中综合问题的2种解题思路(1)形化：利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断．(2)数化：利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决．【三年高考】1.【2020年高考上海卷12】已知是平面内两两互不相等的向量，满足且（其中），则的最大值为        ．【答案】6【解析】根据条件不妨设，，，，当，表示圆心为原点，半径为1的圆；，表示圆心为原点，半径为2的圆，如图这两个圆用红色线表示；当，表示圆心为，半径为1的圆；，表示圆心为，半径为2的圆，如图这两个圆用蓝色线表示，由条件可知点既要在红色曲线上，又要在蓝色曲线上，由图象可知，共有6个交点，即是最大值是6．故答案为：6．2.【2019年高考江苏卷】如图，在中，D是BC的中点，E在边AB上，BE=2EA，AD与CE交于点.若，则的值是___________．【答案】.【解析】如图，过点D作DF//CE，交AB于点F，由BE=2EA，D为BC的中点，知BF=FE=EA,AO=OD．，，得即故3.【2019年高考浙江卷】已知正方形的边长为1，当每个取遍时，的最小值是___________；最大值是___________．【答案】0；.【解析】以分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，如图.则,令0.又因为可取遍，所以当时，有最小值.因为和的取值不相关，或，所以当和分别取得最大值时，y有最大值，所以当时，有最大值.4.【2018年高考江苏卷】在平面直角坐标系中，为直线上在第一象限内的点，，以为直径的圆与直线交于另一点．若，则点的横坐标为___________．【答案】3【解析】设，则由圆心为中点得易得，与联立解得点的横坐标所以.所以，由得或，因为，所以