【全套】中考数学专题第5关 以数字及图形规律探究问题为背景的选择填空题（解析版）

第5关 以数字及图形规律探究问题为背景的选择填空题
【考查知识点】探索规律的题目，通常按照一定的顺序给出一系列量，要求我们根据这些已知的量找出一般规律。这种类题型的题目主要考查了学生分析问题解决问题的能力，也考察了初中数学中的各种数学思想。
【解题思路】掌握探究规律的方法，可以通过具体到抽象、特殊到一般的方法，有时通过类比、联想，还要充分利用已知条件或图形特征进行透彻分析，从中找出隐含的规律；恰当合理的联想、猜想，从简单的、局部的特殊情况到一般情况是基本思路，经过归纳、提炼、加工，寻找出一般性规律，从而求解问题。解决规律探究性问题常常利用特殊值(特殊点、特殊数量、特殊线段、特殊位置等)进行归纳、概括,从特殊到一般,从而得出规律(符合一定的经验与事实的数学结论),然后验证或应用这一规律解题即可.解答时对分析问题、解决问题能力具有很高的要求.
【典型例题】
【例1】（2019·湖北中考真题）观察下列一组数的排列规律：
…
那么，这一组数的第2019个数是_____.
【答案】
【解析】数据可分组观察，每组中的数据数为组数，每组中分子为组中的序数号，分母为2n+1(n为组数)，根据这个规律计算即可得答案.
【详解】观察数据可得：第一组：=，
第二组：=，=，
第三组：，，，
第四组：，，，，
第五组：，，，，，
……
第n组：，，……
∴每组中的数据数为组数，每组中分子为组中的序数号，分母为2n+1(n为组数)，
设有n组分数和x个分数的和为2019，
∴+x=2019，
∵n为整数，=2016，=2080，
∴n=63，x=3，
∴第2019个数是第64组第3个数，
∴第2019个数为.
故答案为：
【名师点睛】
本题考查数字的变化类问题，把数据的分子、分母分别找出规律是解题关键.
【例2】（2019·辽宁中考真题）如图，直线l1的解析式是，直线l2的解析式是，点A1在l1上，A1的横坐标为，作交l2于点B1，点B2在l2上，以B1A1，B1B2为邻边在直线l1，l2间作菱形A1B1B2C1，分别以点A1，B2为圆心，以A1B1为半径画弧得扇形B1A1C1和扇形B1B2C1，记扇形B1A1C1与扇形B1B2C1重叠部分的面积为S1；延长B2C1交l1于点A2，点B3在l2上，以B2A2，B2B3为邻边在l1，l2间作菱形A2B2B3C2，分别以点A2，B3为圆心，以A2B2为半径画弧得扇形B2A2C2和扇形B2B3C2，记扇形B2A2C2与扇形B2B3C2重叠部分的面积为S2……按照此规律继续作下去，则________．（用含有正整数n的式子表示）

【答案】
【解析】过A1作轴于D，连接B1C1，B2C2，B3C3，B4C4，根据已知条件得到点，求得，，根据勾股定理得到，求得，得到，求得，推出是等边三角形，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】过A1作轴于D，连接B1C1，B2C2，B3C3，B4C4，

∵点A1在l1上，A1的横坐标为，点，
∴，，
∴，
∴在中，，
∴，
∵直线l2的解析式是，
∴，
∴，
∴，
∵交l2于点B1，
∴，
∴，
∴，
∵四边形A1B1B2C1是菱形，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，，，
同理，，
，
…
∴．
故答案为：．
【名师点睛】
本题考查了扇形的计算，规律型：点的坐标，菱形的性质，正确的识别图形是解题的关键．
【例3】（2019·内蒙古中考真题）如图，有一条折线，它是由过，，组成的折线依次平移8，16，24，…个单位得到的，直线与此折线有（且为整数）个交点，则的值为_____．

【答案】
【解析】观察可得，由直线与此折线恰有（且为整数）个交点，得点在直线上，故.
【详解】∵，，，，…，
∴．
∵直线与此折线恰有（且为整数）个交点，
∴点在直线上，
∴，
解得：．
故答案为：．
【名师点睛】
一次函数图象和点的坐标规律.数形结合分析问题，寻找规律是关键.
【例4】（2018·内蒙古中考真题）观察下列一组由★排列的“星阵”，按图中规律，第n个“星阵”中的★的个数是__．

【答案】
【解析】排列组成的图形都是三角形．第一个图形中有2+1×2=4个★，第二个图形中有2+2×3=8个★，第三个图形中有2+3×4=14个★，…，继而可求出第n个图形中★的个数．
【详解】∵第一个图形有2+1×2=4个，第二个图形有2+2×3=8个，第三个图形有2+3×4=14个，第四个图形有2+4×5=22个，…
∴第n个图形共有：2+n×（n+1）=n2+n+2．
故答案为：n2+n+2．
【名师点睛】
本题考查了规律型中的图形变化问题，解决此类探究性问题，关键在观察、分析已知数据，寻找它们之间的相互联系，探寻其规律．
【例5】（2018·山东中考真题）将从1开始的连续自然数按以下规律排列：
第1行




1




第2行



2
3
4



第3行


9
8
7
6
5


第4行

10
11
12
13
14
15
16

第5行
25
24
23
22
21
20
19
18
17

…
则2018在第_____行．
【答案】45
【解析】分析可得各行最大数依次为1、4、9、16、25，可得每行的最大数为行数的平方，接下来求得2018两边的平方数，再结合结论即可得到答案.
【详解】观察可知：各行最大数依次为1、4、9、16、25，可得每行的最大数为行数的平方.

因为1936＜2018＜2025，
所以2018是第45行的数.
故答案为45.
【名师点睛】
本题属于探究规律类题目，解答本题需掌握题目中数的排列规律，考虑从最大数与行数入手.
【方法归纳】
1.图形循环类问题,只要找到所求值在第几个循环,便可找出答案,一般难度不大;图形的变化规律计算问题,关键是根据题目中给出的图形,通过观察思考,归纳总结出规律,再利用规律解决问题,难度一般偏大,属于难题.
2.对于数式规律型问题,关键是根据已知的式子或数得出前后算式或前后数之间的变化关系和规律,然后再利用这个变化规律回到问题中去解决问题.
3.对于坐标变化规律问题,解决此类问题的关键是从点的变化中发现横坐标、纵坐标的变化规律.
4. 对于数形结合规律型问题，解决此类问题的关键是利用数形结合的思想发现运动的规律.综合其用勾股定理等知识点解出相应的问题.
【针对练习】
1．（2018·湖北中考真题）我们将如图所示的两种排列形式的点的个数分别称作“三角形数”（如1，3，6，10…）和“正方形数”（如1，4，9，16…），在小于200的数中，设最大的“三角形数”为m，最大的“正方形数”为n，则m+n的值为（　　）

A．33 B．301 C．386 D．571
【答案】C
【详解】由图形知第n个三角形数为1+2+3+…+n=，第n个正方形数为n2，
当n=19时，=190＜200，当n=20时，=210＞200，
所以最大的三角形数m=190；
当n=14时，n2=196＜200，当n=15时，n2=225＞200，
所以最大的正方形数n=196，
则m+n=386，
故选C．
2．（2019·山东中考真题）已知有理数，我们把称为a的差倒数，如：2的差倒数是，-1的差倒数是．如果，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数……依此类推，那么的值是（　　）
A．-7.5 B．7.5 C．5.5 D．-5.5
【答案】A
【详解】解：∵，
∴，，，……
∴这个数列以-2，，依次循环，且，
∵，
∴，
故选：A．
3．（2019·湖北中考真题）观察等式：；；已知按一定规律排列的一组数：、、、、、．若，用含的式子表示这组数的和是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】250＋251＋252＋…＋299＋2100
＝a＋2a＋22a＋…＋250a
＝a＋(2＋22＋…＋250)a，
∵，
，
，
…，
∴2＋22＋…＋250＝251－2，
∴250＋251＋252＋…＋299＋2100
＝a＋(2＋22＋…＋250)a
＝a＋(251－2)a
＝a＋(2 a－2)a
＝2a2－a ，
故选C.
4．（2018·重庆中考真题）下列图形都是由同样大小的黑色正方形纸片组成，其中第①个图中有3张黑色正方形纸片，第②个图中有5张黑色正方形纸片，第③个图中有7张黑色正方形纸片，…，按此规律排列下去第⑥个图中黑色正方形纸片的张数为（　　）

A．11 B．13 C．15 D．17
【答案】B
【详解】观察图形知：
第一个图形有3个正方形，
第二个有5=3+2×1个，
第三个图形有7=3+2×2个，
…
故第⑥个图形有3+2×5=13（个），
故选B．
5．（2017·江苏中考真题）如图所示，一动点从半径为2的上的点出发，沿着射线方向运动到上的点处，再向左沿着与射线夹角为的方向运动到上的点处；接着又从点出发，沿着射线方向运动到上的点处，再向左沿着与射线夹角为的方向运动到上的点处；…按此规律运动到点处，则点与点间的距离是( )

A．4 B． C． D．0
【答案】A
【详解】根据题意可知每六次循环一次，可知2017÷6=331……1，所以第2017次为A1位置，由此可知其到A0的距离正好等于直径的长4.
故选：A
6．（2018·山东中考真题）定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，F（n）=3n+1；②当n为偶数时，F（n）=（其中k是使F（n）为奇数的正整数）……，两种运算交替重复进行，例如，取n=24，则：

若n=13，则第2018次“F”运算的结果是（　　）
A．1 B．4 C．2018 D．42018
【答案】A
【详解】若n=13，
第1次结果为：3n+1=40，
第2次结果是：，
第3次结果为：3n+1=16，
第4次结果为：=1，
第5次结果为：4，
第6次结果为：1，
…
可以看出，从第四次开始，结果就只是1，4两个数轮流出现，
且当次数为偶数时，结果是1；次数是奇数时，结果是4，
而2018次是偶数，因此最后结果是1，
故选A．
7．（2019·四川中考真题）如图，过点作y轴的垂线交直线于点，过点作直线l的垂线，交y轴于点，过点作y轴的垂线交直线l于点，…，这样依次下去，得到，，，…，其面积分别记为，，，…，则（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【详解】∵点的坐标是，
∴，
∵点在直线上，
∴，，
∴，
∴，
∴，
得出，
∴，
∴，，
∵，
∵，
∴，
∴，
∴
故选D．
8．（2019·甘肃中考真题）观察下列图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第2019个图形中共有_____个〇．

【答案】6058
【详解】由图可得，
第1个图象中〇的个数为：，
第2个图象中〇的个数为：，
第3个图象中〇的个数为：，
第4个图象中〇的个数为：，
……
∴第2019个图形中共有：个〇，
故答案为：6058．
9．（2019·山东中考真题）如图，在以为直角顶点的等腰直角三角形纸片中，将角折起，使点落在边上的点（不与点，重合）处，折痕是．

如图，当时，；
如图，当时，；
如图，当时，；
……
依此类推，当（为正整数）时，_____．
【答案】
【详解】观察可知，正切值的分子是3，5，7，9，…，，
分母与勾股数有关系，分别是勾股数3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；…，，，中的中间一个．
∴.
故答案为．
10．（2019·贵州中考真题）将从1开始的自然数按以下规律排列，例如位于第3行、第4列的数是12，则位于第45行、第8列的数是__________．

【答案】2018
【详解】观察图表可知：第n行第一个数是n2，
∴第45行第一个数是2025，
∴第45行、第8列的数是2025﹣7=2018，
故答案为2018．
11．（2019·山东中考真题）观察下列各式：
，
，
，

请利用你发现的规律，计算：
，其结果为____．
【答案】．
【详解】


，
故答案为：．
12．（2019·浙江中考真题）砸“金蛋”游戏：把210个“金蛋”连续编号为1，2，3，…，210，接着把编号是3的整数倍的“金蛋”全部砸碎；然后将剩下的“金蛋”重新连续编号为1，2，3，…，接着把编号是3的整数倍的“金蛋”全部砸碎……按照这样的方法操作，直到无编号是3的整数倍的“金蛋”为止．操作过程中砸碎编号是“66”的“金蛋”共_____个．
【答案】3
【详解】∵，
∴第一次砸碎3的倍数的金蛋个数为70个，剩下个金蛋，重新编号为1，2，3，…，140；
∵，
∴第二次砸碎3的倍数的金蛋个数为46个，剩下个金蛋，重新编号为1，2，3，…，94；
∵，
∴第三次砸碎3的倍数的金蛋个数为31个，剩下个金蛋，
∵，
∴砸三次后，就不再存在编号为66的金蛋，故操作过程中砸碎编号是“66”的“金蛋”共有3个．
故答案为：3．
13．（2018·湖北中考真题）我国古代数学家杨辉发现了如图所示的三角形，我们称之为“杨辉三角”，从图中取一列数：1，3，6，10，…，记，，，，…，那么的值是__________．

【答案】11
【详解】由a1=1，a2=3，a3=6，a4=10，…，知an=1+2+3+…+n=，
∴a10==55、a11==66，
则a4+a11-2a10+10=10+66-2×55+10=-24，
故答案为-24．
14．（2019·湖南中考真题）探索与发现：下面是用分数（数字表示面积）砌成的“分数墙”，则整面“分数墙”的总面积是_____．

【答案】n-1
【详解】由题意“分数墙”的总面积，
故答案为．
15．（2017·湖北中考真题）观察下列图形：

它们是按一定规律排列的，依照此规律，第9个图形中共有______个点.
【答案】135
【详解】仔细观察图形：第一个图形有3=3×1=3个点，
第二个图形有3+6=3×（1+2）=9个点；
第三个图形有3+6+9=3×（1+2+3）=18个点；
…
第n个图形有3+6+9+…+3n=3×（1+2+3+…+n）=个点；
当n=9时，=135个点，
故答案为135．
16．（2019·贵州中考真题）下面摆放的图案，从第个起，每一个都是前一个按顺时针方向旋转得到，第个图案与第个至第个中的第___个箭头方向相同（填序号）．

【答案】3.
【详解】解：， 故第个图案中的指针指向与第个图案相同， 故答案为：
17．（2018·浙江中考真题）已知：2+=22×，3+=32×，4+=42×，5+=52×，…，若10+=102×符合前面式子的规律，则a+b=_____.
【答案】109
【详解】∵2+=22×，3+=32×，4+=42×，5+=52×，…， 10+=102×，
∴a=10，b=102-1=99，
∴a+b=10+99=109，
故答案为109.
18．（2019·山东中考真题）在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，如图所示，依次作正方形，正方形，正方形，正方形，…，点，，，，…在直线上，点，，，,…在轴正半轴上，则前个正方形对角线的和是_____.

【答案】
【详解】解：根据根据题意可得,,,
所以可得正方形的对角线为
正方形的对角线为
正方形的对角线为
正方形的对角线为
正方形的对角线为
所以前个正方形对角线的和为
=
故答案为.
19．（2017·山东中考真题）某广场用同一种如图所示的地砖拼图案.第一次拼成形如图1所示的图案，第二次拼成形如图2所示的图案，第三次拼成形如图3的图案，第四次拼成形如图4的图案……按照只有的规律进行下去，第次拼成的图案用地砖 块.
【答案】2n2+2n
【详解】第一次拼成形如图1所示的图案共有4块地砖，4=2×（1×2），
第二拼成形如图2所示的图案共有12块地砖，12=2×（2×3），
第三次拼成形如图3所示的图案共有24块地砖，24=2×（3×4），
第四次拼成形如图4所示的图案共有40块地砖，40=2×（4×5），
…
第n次拼成形如图1所示的图案共有2×n（n+1）=2n2+2n块地砖，
故答案为2n2+2n．
20．（2019·湖北中考真题）将被3整除余数为1的正整数，按照下列规律排成一个三角形数阵

则第20行第19个数是_____________________
【答案】625
【详解】由图可得，第一行1个数，第二行2个数，第三行3个数，…，则前20行的数字有：1+2+3+…+19+20=210个数，
∴第20行第20个数是：1+3（210-1）=628，
∴第20行第19个数是：628-3=625，
故答案为：625．
21．（2019·西藏中考真题）观察下列式子
第个式子：
第个式子：
第个式子：
……
请写出第个式子：_____．
【答案】．
【详解】第个式子：，即，
第个式子：，即，
第个式子：，即，
……
第个等式为：．
故答案为．
22．（2019·广西中考真题），…，是一列数，已知第1个数，第5个数，且任意三个相邻的数之和为15，则第2019个数的值是___．
【答案】6．
【详解】解：由任意三个相邻数之和都是15可知：
，
，
，
…
，
可以推出：，
，
，
所以，
则，
解得，
∵，
因此．
故答案为：6．
23．（2018·广西中考真题）如图，直线l为y=x，过点A1（1，0）作A1B1⊥x轴，与直线l交于点B1，以原点O为圆心，OB1长为半径画圆弧交x轴于点A2；再作A2B2⊥x轴，交直线l于点B2，以原点O为圆心，OB2长为半径画圆弧交x轴于点A3；……，按此作法进行下去，则点An的坐标为（_______）．

【答案】2n﹣1，0
【详解】∵直线l为y=x，点A1（1，0），A1B1⊥x轴，
∴当x=1时，y=，
即B1（1，），
∴tan∠A1OB1=，
∴∠A1OB1=60°，∠A1B1O=30°，
∴OB1=2OA1=2，
∵以原点O为圆心，OB1长为半径画圆弧交x轴于点A2，
∴A2（2，0），
同理可得，A3（4，0），A4（8，0），…，
∴点An的坐标为（2n﹣1，0），
故答案为：2n﹣1，0．
24．（2018·四川中考真题）已知，，，，，，…（即当为大于1的奇数时，；当为大于1的偶数时，），按此规律，__________.
【答案】
【详解】S1=，S2=-S1-1=--1=-，S3=，S4=-S3-1=-1=-，S5=，S6=-S5-1=（a+1）-1=a，S7=，…，
∴Sn的值每6个一循环．
∵2018=336×6+2，
∴S2018=S2=-．
故答案为：-．
25．（2019·辽宁中考真题）如图，在中，，，过点作，垂足为点，过点作交于点，得到；过点作，垂足为点，过点作交于点，得到；过点作，垂足为点，过点作交于点，得到；……按照上面的作法进行下去，则的面积为_____．（用含正整数n的代数式表示）

【答案】
【详解】由等腰三角形的性质得出，由含30°角直角三角形的性质得出，
解：，，
，
，
，
，
，
，
，
，
同理，，
，
同理，，
，
，
，
同理，，
，
，
…，
，
故答案为：．