2022-2023学年重庆市主城区七校高二上学期期末考试数学试题Word版含答案

  2022—2023学年（上）期末考试

高2024届数学试题

考试说明：1.考试时间：120分钟

        2.试题总分：150分

      3.试卷页数：4页

一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．已知等差数列的前n项和为，且，，则（    ）．

A．90 B．80 C．60 D．30

2．若，，则等于（    ）

A．5 B． C．7 D．

3．已知抛物线的焦点为,则为（    ）

A．             B．              C．          D．

4．已知点在双曲线上，若两点关于原点对称，过右焦点，且，则双曲线的离心率为（    ）

A． B． C． D．

5．等比数列为递减数列，若，，则（    ）

A． B． C． D．6

6．已知各棱长均为1的四面体ABCD中， E是AD的中点，P∈直线CE，则|BP|＋|DP|的最小值为（   ）

A．1＋         B．       C．         D．

7．分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学，它的研究对象普遍存在于自然界中，因此又被称为“大自然的几何学”．按照如图1所示的分形规律，可得如图2所示的一个树形图．若记图2中第n行黑圈的个数为，则=（    ）  

A．110 B．128 C．144 D．89

8．设椭圆的方程为，斜率为k的直线不经过原点O，且与椭圆相交于A，B两点，M为线段AB的中点，下列结论正确的是（    ）

A．直线与OM一定不垂直；          B．若直线方程为，则.

C．若直线方程为，则点M坐标为

D．若点M坐标为，则直线方程为

二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）

9．已知动直线与圆，则下列说法正确的是（    ）

A．直线过定点                       B．圆的圆心坐标为

C．直线与圆的相交弦的最小值为     D．直线与圆的相交弦的最大值为4

10．已知椭圆与双曲线，下列关于两曲线的说法正确的是（    ）

A．的长轴长与的实轴长相等 B．的短轴长与的虚轴长相等

C．焦距相等 D．离心率不相等

11．已知数列的前项和为，，，数列的前项和为，那么下列选项正确的是（    ）

A．数列是等比数列 B．数列的通项公式为

C． D．

12．已知为正四棱柱，底面边长为2，高为4，E，F分别为的中点．则下列说法错误的是（    ）

A．直线与平面所成角的正弦值为    B．平面平面

C．直线EF被正四棱柱的外接球截得的弦长为

D．以D为球心，为半径的球与侧面的交线长为

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13.以为圆心，且与直线相切的圆的标准方程是___________________.

14.线段,其中，过定点作直线与线段相交，则直线的斜率的取值范围是___________.

15.数列满足下列条件：,且恒有则__________.

16.圆锥曲线有良好的光学性质，光线从椭圆的一个焦点发出，被椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点（如左图）；光线从双曲线的一个焦点发出，被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点射出（如中图）.封闭曲线E（如右图）是由椭圆C1:=1和双曲线C2:在y轴右侧的一部分（实线）围成.光线从椭圆C1上一点P0出发，经过点F2，然后在曲线E内多次反射，反射点依次为若重合，则光线从到所经过的路程为 _________.

四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（10分）记为等差数列的前项和，已知，.

（1）求的通项公式；

（2）求，并求的最大值.

18.（12分）已知点,直线圆.

（1）若连接点与圆心的直线与直线垂直，求实数的值；

（2）若点为轴上一动点，求的最小值，并写出取得最小值时点的坐标.

19.（12分）在棱长为2的正方体中，分别为的中点.

（1）求证：

（2）求异面直线与所成角的余弦值.

20.（12分）已知数列的前项和满足条件，其中.

（1）求的通项公式

（2）设数列满足，又，对一切恒成立，求的取值范围.

21.（12分）已知四棱锥（如图），四边形为正方形，面,为中点.

（1）求证:;

（2）求直线与平面所成角的余弦值.

椭圆的两焦点分别为，，椭圆与轴正半轴交于点，.

（1）求曲线的方程；

（2）过椭圆上一动点（不在x轴上）作圆的两条切线，切点分别为，直线与椭圆交于两点，求的面积的取值范围.

2022—2023学年（上）期末考试

高2024届数学试题参考答案及评分标准

一、1-8单选择题  二、9-12多选题

三、填空题

13.     14.   15.248  16.

四、解答题

17.解：

.................1分

.................3分

又因为，所以,

所以.................5分

.................8分

所以时有最大值9，.................10分

18.解：（1）圆.................4分

.................5分

（2）点关于轴的对称点，................7分

则，.................9分

当且仅当三点共线时等号成立，

此时，则直线方程为：,即，.................11分

令,得，所以，.................12分

19.解：

（1）取中点,连接,则，.................2分

又因为，所以且，

所以四边形为平行四边形，所以，.................4分

又因为,所以，.................5分

（2）以为原点，分别为轴，建立空间直角坐标系

设，.................7分

设直线与所成角为

所以，.................9分

，.................11分

所以异面直线与所成角的余弦值为，.................12分

20.（1）,两式相减得

,，.................3分

又，.................5分

数列是以首项为3，公比为3的等比数列

，.................6分

（2）由（1）知，，.................7分

设

，.................9分

，.................11分

，.................12分

21.（1）证明：取中点连接,并过点作的平行线,交于,则，.................1分

为等边三角形，又为中点，,，.................2分

又面

，，.................3分

以为原点，所在直线分别为轴建立如图空间直角坐标系，因为

则

，.................5分

所以

所以，.................6分

（2）

设平面的一个法向量为，则有

令,得，.................8分

设直线与平面所成角为，则

，.................10分

所以直线与平面所成角的余弦值为，.................12分

22(1)

，.................4分

(2)，.................5分

，.................7分

.................8分

.................9分

又，所以

又，所以

所以 ，在上递增............10分

所以    .................12分