高中数学高考专题01 集合与常用逻辑用语——2020年高考真题和模拟题理科数学分项汇编（教师版含解析）

专题01  集合与常用逻辑用语

1．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】设集合A={x|x2–4≤0}，B={x|2x+a≤0}，且A∩B={x|–2≤x≤1}，则a=

A．–4 B．–2

C．2 D．4

【答案】B

【解析】

【分析】

由题意首先求得集合A,B，然后结合交集的结果得到关于a的方程，求解方程即可确定实数a的值.

【详解】求解二次不等式可得，

求解一次不等式可得.

由于，故，

解得.

故选B．

【点睛】本题主要考查交集的运算，不等式的解法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

2．【2020年高考全国Ⅱ卷理数】已知集合U={−2，−1，0，1，2，3}，A={−1，0，1}，B={1，2}，则

A．{−2，3}  B．{−2，2，3}

C．{−2，−1，0，3}  D．{−2，−1，0，2，3}

【答案】A

【解析】

【分析】

首先进行并集运算，然后计算补集即可.

【详解】由题意可得，则.

故选A

【点睛】本题主要考查并集、补集的定义与应用，属于基础题.

3．【2020年高考全国Ⅲ卷理数】已知集合，，则中元素的个数为

A．2  B．3

C．4  D．6

【答案】C

【解析】

【分析】

采用列举法列举出中元素的即可.

【详解】由题意，中的元素满足，且，

由，得，

所以满足的有，

故中元素的个数为4.

故选C．

【点晴】本题主要考查集合的交集运算，考查学生对交集定义的理解，是一道容易题.

4．【2020年高考天津】设全集，集合，则

A． B．

C．  D．

【答案】C

【解析】

【分析】

首先进行补集运算，然后进行交集运算即可求得集合的运算结果.

【详解】由题意结合补集的定义可知，则.

故选C．

【点睛】本题主要考查补集运算，交集运算，属于基础题.

5．【2020年高考北京】已知集合，，则

A．  B．

C．  D．

【答案】D

【解析】

【分析】

根据交集定义直接得结果.

【详解】，

故选D．

【点睛】本题考查集合交集概念，考查基本分析求解能力，属基础题.

6．【2020年高考天津】设，则“”是“”的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】

首先求解二次不等式，然后结合不等式的解集即可确定充分性和必要性是否成立即可.

【详解】求解二次不等式可得：或，

据此可知：是的充分不必要条件.

故选A．

【点睛】本题主要考查二次不等式的解法，充分性和必要性的判定，属于基础题.

7．【2020年新高考全国Ⅰ卷】设集合A={x|1≤x≤3}，B={x|2<x<4}，则A∪B=

A．{x|2<x≤3} B．{x|2≤x≤3}

C．{x|1≤x<4} D．{x|1<x<4}

【答案】C

【解析】

【分析】

根据集合并集概念求解.

【详解】.

故选C

【点睛】本题考查集合并集，考查基本分析求解能力，属基础题.

8．【2020年高考浙江】已知集合P=，Q=，则PQ=

A．  B．

C．  D．

【答案】B

【解析】

【分析】

根据集合交集定义求解

【详解】.

故选B.

【点睛】本题考查交集概念，考查基本分析求解能力，属基础题.

9．【2020年高考浙江】已知空间中不过同一点的三条直线l，m，n．“l ，m，n共面”是“l ，m，n两两相交”的

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】

将两个条件相互推导，根据能否推导的结果判断充分必要条件.

【详解】依题意，是空间不过同一点的三条直线，

当在同一平面时，可能，故不能得出两两相交.

当两两相交时，设，根据公理可知确定一个平面，而，根据公理可知，直线即，所以在同一平面.

综上所述，“在同一平面”是“两两相交”的必要不充分条件.

故选B.

【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查公理和公理的运用，属于中档题.

10．【2020年高考北京】已知，则“存在使得”是“”的

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】

【分析】

根据充分条件，必要条件的定义，以及诱导公式分类讨论即可判断.

【详解】(1)当存在使得时，

若为偶数，则；

若为奇数，则；

(2)当时，或，，即或，

亦即存在使得．

所以，“存在使得”是“”的充要条件.

故选C．

【点睛】本题主要考查充分条件，必要条件的定义的应用，诱导公式的应用，涉及分类讨论思想的应用，属于基础题.

11．【2020年高考江苏】已知集合，则_____.

【答案】

【解析】

【分析】

根据集合的交集即可计算.

【详解】∵,，

∴.

故答案为.

【点睛】本题考查了交集及其运算，是基础题型．

12．【2020年高考全国Ⅱ卷理数】设有下列四个命题：

p1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内．

p2：过空间中任意三点有且仅有一个平面．

p3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行．

p4：若直线l平面α，直线m⊥平面α，则m⊥l．

则下述命题中所有真命题的序号是__________．

① ② ③ ④

【答案】①③④

【解析】

【分析】

利用两交线直线确定一个平面可判断命题的真假；利用三点共线可判断命题的真假；利用异面直线可判断命题的真假，利用线面垂直的定义可判断命题的真假.再利用复合命题的真假可得出结论.

【详解】对于命题，可设与相交，这两条直线确定的平面为；

若与相交，则交点在平面内，

同理，与的交点也在平面内，

所以，，即，命题为真命题；

对于命题，若三点共线，则过这三个点的平面有无数个，

命题为假命题；

对于命题，空间中两条直线相交、平行或异面，

命题为假命题；

对于命题，若直线平面，

则垂直于平面内所有直线，

直线平面，直线直线，

命题为真命题.

综上可知，，为真命题，，为假命题，

真命题，为假命题，

为真命题，为真命题.

故答案为①③④.

【点睛】本题考查复合命题的真假，同时也考查了空间中线面关系有关命题真假的判断，考查推理能力，属于中等题.

1．【2020·四川省高三二模(理)】已知集合，，若，则

A．或  B．或 

C．或  D．或

【答案】B

【解析】因为,所以,所以或.

若，则,满足.

若，解得或.若，则，满足.若，显然不成立，综上或，故选B．

2．【2020·湖南省高三二模(理)】设，，则

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】由题得，，所以.

故选B．

【点睛】本题考查集合的运算，二次不等式求解，准确计算是关键，是基础题.

3．【2020届山西省高三高考考前适应性测试数学(理)试题】已知集合，，则中元素的个数是

A． 0  B． 1 

C． 2  D． 3

【答案】C

【解析】，解得或，故中有两个元素.故选C．

4．【重庆市巴蜀中学2019-2020学年高三下学期高考适应性月考(六)数学(理)试题】已知集合，集合，则

A．  B．

C．  D．

【答案】D

【解析】先利用一元二次不等式的解法化简集合A，B，再用交集的定义求解.

，或，

所以，

故选：D．

5．【2020届辽宁省葫芦岛市普通高中高三上学期学业质量监测(期末)数学(理)】，，则

A．  B． 

C．  D．

【答案】C

【解析】由，，

所以.

故选：C．

6．【2020届安徽省芜湖市高三下学期教育教学质量监测理科数学试题】已知集合，6，则

A．  B．

C．  D．

【答案】A

【解析】由题意，

，

所以.

故选：A．

 7．【2020届山东省淄博市高三网考数学试题】 命题“”的否定是

A．   B．

C．   D．

【答案】A．

【解析】由特称命题的否定为全称命题可知，所求命题的否定为，故选A。

8．【甘肃省天水市一中2020届高三一轮复习第一次模拟考试(理)】设函数(e为自然底数)，则使成立的一个充分不必要条件是

A．  B． 

C．  D．

【答案】A

【解析】，

解得：；

又“”可以推出“”，

但“”不能推出“”，

所以“”是“” 充分不必要条件.

故选：A．

【点睛】本题主要考查了等价转化思想及充分、必要条件的概念，属于基础题.

9．【2020届陕西省咸阳市高三第三次高考模拟数学(理)试题】“”是“方程表示双曲线”的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】若方程表示双曲线，则，所以，

即“”是“方程 表示双曲线”的充分不必要条件.

故选：A．

10．【2020·安徽省高三二模(理)】已知平面内一条直线l及平面，则“”是“”的

A．充分必要条件 B．充分不必要条件

C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】由面面垂直的定义知，当“l⊥β”时，“α⊥β”成立，

当时，不一定成立，

即“”是“”的充分不必要条件，

故选：B．

【点睛】本题考查命题充分性和必要性的判断，涉及线面垂直和面面垂直的判定，属基础题.

11．【2020·天津高三其他】已知直线，和平面，若，，则“”是“”的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】由线面垂直的判定定理得：若，，则“”不能推出“”，

由“”，根据线面垂直的性质定理，可得“”，

即“”是“”的必要不充分条件，   

故选B．

【点睛】本题主要考查了必要不充分条件的判定，以及线面垂直的判定定理和性质定理的应用，其中解答中熟记线面垂直的判定定理和性质定理，合理利用充分条件和必要条件的判定方法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．

12．【2020·河北省正定中学高三月考(理)】命题“，”的否定是

A．， B．，

C．， D．，

【答案】C

【解析】因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“，”的否定是：

“，”，故选C.

【点睛】本题主要考查了全称命题的否定，属于基础题.

13．【2020·江西省高三其他(理)】命题“，”的否定是

A．， B．，

C．， D．，

【答案】B

【解析】根据命题否定的定义可得结果为：，，故选B.

14．【2020·安庆市第二中学高三期末(理)】设，则“”是“直线与直线平行”的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分又不必要条件

【答案】A

【解析】当时，两条直线的方程分别为：，，此时两条直线平行；

若两条直线平行，则，所以或，经检验，两者均符合，

综上，“”是“直线与直线平行” 的充分不必要条件，故选A.

【点睛】充分性与必要性的判断，可以依据命题的真假来判断，若“若则”是真命题，“若则”是假命题，则是的充分不必要条件；若“若则”是真命题，“若则”是真命题，则是的充分必要条件；若“若则”是假命题，“若则”是真命题，则是的必要不充分条件；若“若则”是假命题，“若则”是假命题，则是的既不充分也不必要条件.

15．【2020·山东省高三一模】南北朝时代的伟大数学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础上提出祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.其含义是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等，如图，夹在两个平行平面之间的两个几何体的体积分别为，被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面的面积分别为，则“总相等”是“相等”的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】根据祖暅原理，当总相等时，相等，所以充分性成立；

当两个完全相同的四棱台，一正一反的放在两个平面之间时，此时体积固然相等但截得的面积未必相等，所以必要性不成立.

所以“总相等”是“相等”的充分不必要条件.

故选A.

16．【2020·银川三沙源上游学校高三二模(理)】已知命题：“，”，命题：“，””若“”是真命题，则实数的取值范围是

A．       B． 

C．       D．

【答案】A

【解析】若命题：“，，为真命题，

则，

若命题：“，”为真命题，

则，解得，

若命题“”为真命题，

则，都是真命题，

则，

解得：．

故实数的取值范围为．

故选A．

【点睛】本题主要考查复合命题与简单命题之间的关系，利用条件先求出命题，的等价条件是解决本题的关键．

17．【2020·天津高三其他】下列命题中错误的是

A．若为假命题，则与均为假命题

B．已知向量，，则是的充分不必要条件

C．命题“若，则”的逆否命题是“若，则”

D．命题“，”的否定是“，”

【答案】B

【解析】若“”为假命题，则p与q均为假命题，正确；

已知向量，，则“”可得，解得或，所以“”是“”的必要不充分条件，所以B不正确；

命题“若，则的逆否命题为“若，则”，满足逆否命题的形式，正确；

命题“，”的否定是“，”满足命题的否定形式，正确；

故选B．

【点睛】本题考查亩土地真假的判断与应用，四种命题的逆否关系，复合命题的真假，充要条件等知识，是基本知识的考查．