高中数学高考命题卷（05） 决胜2021新高考数学命题卷（新高考地区专用）（解析版）

决胜2021新高考数学测试数学 命题卷（05）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，则（    ）A． B．C． D．【答案】C【解析】解：∵，∴，即集合.∵集合，∴，故选：C.2．已知复数与在复平面内对应的点关于虚轴对称，且，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】，又复数与在复平面内对应的点关于虚轴对称，所以.故选：C.3．已知命题，，则p是q的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】，所以，且，所以是的充分不必要条件．故选：A4．习近平总书记在安微考察时指出，长江生态环境保护修复，一个是治污，一个是治岸，一个是治渔.为了保护长江渔业资源和生物多样性，我市从2020年1月1号起全面实施长江禁渔10年的规定.某科研单位需要从长江中临灭绝的白豚、长江江豚、达氏鲟、白鲟、中华鲟这5种鱼中随机选出3种进行调查研究，则白鲟和中华鲟同时被选中的概率是（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】5种鱼中随机选出3种的取法：，白鲟和中华鲟同时被选中的取法：，所以白鲟和中华鲟同时被选中的概率.故选：B5．刘徽(约公元225年-295年)，魏晋时期伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基人之一.他在割圆术中提出的“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”，这可视为中国古代极限观念的佳作.割圆术的核心思想是将一个圆的内接正边形等分成个等腰三角形(如图所示)，当变得很大时，这个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积.运用割圆术的思想，估计的值为（ ）A． B． C． D．【答案】D【解析】将一个单位圆平均分成90个扇形，则每个扇形的圆心角度数均为，因为这90个扇形对应的等腰三角形的面积和近似于单位圆的面积，所以，所以，故选：D6．已知单位向量，满足，则的最小值为（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】由，得，两边平方，得，即，整理得，所以或因为，所以，所以，所以.故选:B.7．已知椭圆与双曲线的焦点相同，离心率分别为，，且满足，，是它们的公共焦点，P是椭圆和双曲线在第一象限的交点，若，则双曲线的离心率为（    ）A． B． C．2 D．【答案】C【解析】设 ， ，在椭圆：中，， ， 在双曲线：中， ， 即，则所以，又因为，所以，解得，故选：C.8．已知定义在上的函数是奇函数，当时，，则不等式的解集为（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为函数是定义在上的奇函数，所以函数的图像关于点中心对称，且，当时，，则，当且仅当时取等号，故，函数在上单调递增，因为函数的图像关于点中心对称，所以函数在上单调递增，不等式可化为或，，即，解得，，即，解得，故不等式的解集为，故选：D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．为了更好地支持“中小型企业”的发展，某市决定对部分企业的税收进行适当的减免，现调查了当地的100家中小型企业年收入情况，并根据所得数据画出了样本的频率分布直方图，则下面结论正确的是（    ）A．样本在区间内的频数为18B．如果规定年收入在300万元以内的企业才能享受减免税政策，估计有30%的当地中小型企业能享受到减免税政策C．样本的中位数小于350万元D．可估计当地的中小型企业年收入的平均数超过400万元（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表【答案】AB【解析】由图可得样本在区间内的频数为，故A正确；年收入在300万元以内的企业频率为，故B正确；则中位数在之间，设为则，故C不正确；年收入的平均数超过，故D不正确故选：AB10．如图，已知长方体中，四边形为正方形，，，，分别为，的中点.则（    ）A．B．点､､､四点共面C．直线与平面所成角的正切值为D．三棱锥的体积为【答案】BCD【解析】对于A，假设，由题意知平面，平面，，又，平面，由长方体性质知与平面不垂直，故假设不成立，故A错误；对于B，连接，，，由于，分别为，的中点，，又因为长方体，知，，所以点､､､四点共面，故B正确；对于C，由题意可知平面，为直线与平面所成角，在直角中，，，则，故C正确；对于D，连接，，，则，利用等体积法知：，故D正确故选：BCD11．函数的部分图像如图所示，将函数的图像向左平移个单位长度后得到的图像，则下列说法正确的是（    ）A．函数为奇函数B．函数的最小正周期为C．函数的图像的对称轴为直线D．函数的单调递增区间为【答案】BD【解析】由图象可知，，∴，则.将点的坐标代入中，整理得，∴，即.，∴，∴.∵将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象，∴.∴既不是奇函数也不是偶函数，故A错误；∴的最小正周期，故B正确.令，解得.则函数图像的对称轴为直线.故C错误；由，可得，∴函数的单调递增区间为.故D正确.故选：BD.12．已知直线分别与函数和的图象交于点，则下列结论正确的是(    )A． B．C． D．【答案】ABC【解析】函数与互为反函数，则与的图象关于对称，将与联立，则，由直线分别与函数和的图象交于点，作出函数图像：则的中点坐标为，对于A，由，解得，故A正确；对于B，，因为，即等号不成立，所以，故B正确；对于C，将与联立可得，即，设，且函数为单调递增函数，，，故函数的零点在上，即，由，则，，故C正确；对于D，由，解得，由于，则，故D错误；故选：ABC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知二项式的展开式的二项式的系数和为256，则展开式的常数项为___________.【答案】112【解析】二项式的展开式的二项式的系数和为256，可得，解得，则展开式的通项，令，解得，可得常数项为.故答案为：112.14．已知实数满足，则________．【答案】【解析】由可得，解得：，所以，故答案为：15．“康威圆定理”是英国数学家约翰·康威引以为豪的研究成果之一.定理的内容是这样的：如图，的三条边长分别为，，.延长线段至点，使得，以此类推得到点和，那么这六个点共圆，这个圆称为康威圆.已知，则由生成的康威圆的半径为___________.【答案】【解析】设是圆心，因为，因此到直线的距离相等，从而是直角的内心，作于，连接，则，，所以．故答案为：．16．已知正方体棱长为2，点是上底面内一动点，若三棱锥的外接球表面积恰为，则此时点构成的图形面积为________.【答案】.【解析】如图所示，设三棱锥的外接球为球，分别取、的中点、，则点在线段上，由于正方体的棱长为2，则的外接圆的半径为，设球的半径为，则，解得.所以，，则而点在上底面所形成的轨迹是以为圆心的圆，由于，所以，因此，点所构成的图形的面积为.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知是递增的等差数列，且是方程的两根.（1）求数列的通项公式；（2）记，数列的前项和为，求证：.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】（1）因为方程两根为或7，又､是方程的两根，数列是递增的等差数列，，，设公差为，则，解得，.（2）由（1）知，，∴18．从①a＝3，②，③3sinB＝2sinA这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中．若问题中的三角形存在，求出b的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在△ABC，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，3ccosB＝3a＋2b，________？注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答记分．【答案】答案见解析.【解析】解法1：由正弦定理，得3sinCcosB＝3sin[π-（B＋C）]＋2sinB，整理得3sinBcosC＋2sinB＝0．因为sinB≠0，所以．解法2：由3ccosB＝3a＋2b，得3accosB＝3a2＋2ab，由余弦定理，得3（a2＋c2-b2）＝6a2＋4ab，整理得3（-a2＋c2-b2）＝4ab，即3abcosC＋2ab＝0．所以．选①a＝3．由余弦定理可得c2＝a2＋b2-2abcos，所以b2＋4b-12＝0，解得b＝2或b＝-6（舍去），所以问题中的三角形存在．选②．，故ab＝9，由余弦定理可得c2＋a2＋b2-2abcosC，又a2＋b2≥2ab，所以，与ab＝9矛盾，所以问题中的三角形不存在．选③3sinB＝2sinA．由正弦定理得，3sinB＝2sinA3b＝2a，由余弦定理可得c2＝a2＋b2-2abcosC，所以b＝2或b＝-2（舍去），所以问题中的三角形存在．19．如图，在正六边形中，将沿直线翻折至，使得平面平面，O，H分别为和的中点.（1）证明：平面；（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）如图，取的中点G，连结.又因为H是的中点，所以，.又因为正六边形中，，，所以同，.又O为的中点，所以，，所以四边形为平行四边形，所以.因为平面，平面，所以平面.（2）由条件可知.分别以为x轴正方向､为y轴正方向､为z轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系.设正六边形的边长为2，则，，，，，所以，，，.设平面的法向量为，由得取，可得.设平面的法向量为，由得取，可得.设平面与平面所成锐二面角的大小为，则，所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为.20．2020年11月某市进行了高中各年级学生的“国家体质健康测试”.现有1500名(男生1200名，女生300名)学生的测试成绩，根据性别按分层抽样的方法抽取100名学生进行分析，得到如下统计图表：男生测试情况：抽样情况免试(病残等)合格合格良好优秀人数2101846x女生测试情况：抽样情况免试(病残等)合格合格良好优秀人数1311y2（1）现从抽取的100名且测试成绩为优秀的学生中随机挑选两名学生，求选出的这两名学生恰好是一男一女的概率；（2）若测试成绩为良好或优秀的学生为“体育达人”，其他成绩的学生(含病残等免试学生)为“非体育达人”.根据以上统计数据填写下面的列联表，并回答能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“是否为体育达人与性别有关？” 男性女性总计体育达人   非体育达人   总计   临界值表：0.100.050.0250.0100.0052.7063.8415.0246.6357.879附：【答案】（1）；（2）列联表见详解；在犯错误的概率不超过0.01的前提下可以认为“是否为体育达人与性别有关”.【解析】（1）由题意可得，用分层抽样抽取的男生人数为，抽取的女生人数为，所以，，则抽取的这100名学生中，男生优秀的有人，标记为，，，；女生优秀的有人，标记为，；从这人中随机抽取两名学生，所包含的基本事件有：，，，，，，，，，，，，，，，共个基本事件，选出的这两名学生恰好是一男一女，所包含的基本事件有：，，，，，，，，共个基本事件；所以选出的这两名学生恰好是一男一女的概率为；（2）由题中条件，完善列联表如下： 男性女性总计体育达人50555非体育达人301545总计8020100所以，因此在犯错误的概率不超过0.01的前提下可以认为“是否为体育达人与性别有关”.21．已知函数（，且）在处取得极值．（1）讨论函数的单调性；（2）判断是否存在实数使得函数的图像与直线相切，若存在，求出的值；若不存在，说明理由．【答案】（1）答案见解析；（2）存在，或.【解析】（1）因为，且，，得，，得，，当时， 增减增即函数单调递增区间为和，递减区间为．当时， 减增减即函数单调递增区间为，递减区间为和．（2）假设存在实数使得函数的图像与直线相切，设切点的坐标为（），可得，，消掉，可得，解得或．当时，得；当时，得；综上，存在实数或使得函数的图像与直线相切．22．如图，点为椭圆：的左焦点，点，分别为椭圆的右顶点和上顶点，点在椭圆上，且满足.（1）求椭圆的方程；（2）过定点且与轴不重合的直线交椭圆于，两点，直线分别交直线，于点，，求证：以为直径的圆经过轴上的两定点（用表示）.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】解：（1）由在椭圆：上得①，如图，由为的右顶点，为的上顶点可知，，因，所以，则②.联立①②得方程组解得故所求椭圆的方程为.（2）设，，又，所以直线的方程为，令，得，所以.同理.设是以为直径的圆上的任意一点，则，所以，令，得.设直线的方程为，与椭圆的方程联立，消去得，所以，，所以.所以，因为，所以.所以以为直径的圆经过轴上两定点，其坐标分别为和.