高中数学高考课后限时集训55 双曲线 作业

　　　　　　　双曲线建议用时：45分钟一、选择题1．(2019·浙江高考)渐进线方程为x±y＝0的双曲线的离心率是(　　)A.　　　B．1　　　C.　　　D．2C　[根据渐进线方程为x±y＝0的双曲线，可得a＝b，所以c＝a则该双曲线的离心率为e＝＝，故选C.]2．若实数k满足0＜k＜9，则曲线－＝1与曲线－＝1的(　　)A．离心率相等   B．虚半轴长相等C．实半轴长相等   D．焦距相等D　[由0＜k＜9，易知两曲线均为双曲线且焦点都在x轴上，由＝，得两双曲线的焦距相等．]3．(2019·天津高考)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l.若l与双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别交于点A和点B，且|AB|＝4|OF|(O为原点)，则双曲线的离心率为(　　)A.  B.  C．2  D.D　[l的方程为x＝－1，双曲线的渐近线方程为y＝±x，故得A(－1，)，B(－1，－)，所以＝，＝4，b＝2a，所以e＝＝＝，故选D.]4．已知点A(－1，0)，B(1，0)为双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右顶点，点M在双曲线上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则该双曲线的标准方程为(　　)A．x2－＝1   B．x2－＝1C．x2－＝1   D．x2－y2＝1D　[由题意知a＝1.不妨设点M在第一象限，则由题意有|AB|＝|BM|＝2，∠ABM＝120°.过点M作MN⊥x轴于点N，则|BN|＝1，|MN|＝，所以M(2，)，代入双曲线方程得4－＝1，解得b＝1，所以双曲线的方程为x2－y2＝1，故选D.]5．已知△ABC的顶点A(－5，0)，B(5，0)，△ABC内切圆的圆心在直线x＝2上，则顶点C的轨迹方程是(　　)A.－＝1(x＞2)    B.－＝1(y＞2)C.－＝1   D.－＝1A　[如图，△ABC与内切圆的切点分别为G，E，F.|AG|＝|AE|＝7，|BF|＝|BG|＝3，|CE|＝|CF|，所以|CA|－|CB|＝7－3＝4.根据双曲线定义，所求轨迹是以A，B为焦点，实轴长为4的双曲线的右支，方程为－＝1(x＞2)．]6．(2019·福州模拟)过双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别作双曲线的两条渐近线的平行线，若这4条直线所围成的四边形的周长为8b，则该双曲线的渐近线方程为(　　)A．y＝±x   B．y＝±xC．y＝±x   D．y＝±2xA　[由双曲线的对称性得该四边形为菱形，因为该四边形的周长为8b，所以菱形的边长为2b，由勾股定理得4条直线与y轴的交点到x轴的距离为＝，又4条直线分别与两条渐近线平行，所以＝，解得a＝b，所以该双曲线的渐近线的斜率为±1，所以该双曲线的渐近线方程为y＝±x，故选A.]7．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，左、右焦点分别为F1，F2，点A在双曲线C上，若△AF1F2的周长为10a，则△AF1F2的面积为(　　)A．2a2   B．a2C．30a2   D．15a2B　[由双曲线的对称性不妨设A在双曲线的右支上，由e＝＝2，得c＝2a，∴△AF1F2的周长为|AF1|＋|AF2|＋|F1F2|＝|AF1|＋|AF2|＋4a，又△AF1F2的周长为10a，∴|AF1|＋|AF2|＝6a，又∵|AF1|－|AF2|＝2a，∴|AF1|＝4a，|AF2|＝2a，在△AF1F2中，|F1F2|＝4a，∴cos ∠F1AF2＝＝＝.又0<∠F1AF<π，∴sin ∠F1AF2＝，∴S△AF1F2＝|AF1|·|AF2|·sin ∠F1AF2＝×4a×2a×＝a2.]二、填空题8．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线为2x＋y＝0，一个焦点为(，0)，则a＝________；b＝________．1　2　[由2x＋y＝0，得y＝－2x，所以＝2.又c＝，a2＋b2＝c2，解得a＝1，b＝2.]9．若双曲线中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为，且过点(4，－)，则该双曲线的标准方程为________．－＝1　[依题意，e＝⇒a＝b.设方程为－＝1，则－＝1，解得m＝6.∴－＝1.]10．设双曲线x2－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，若点P在双曲线上，且△F1PF2为锐角三角形，则|PF1|＋|PF2|的取值范围是________．(2，8)　[如图，由已知可得a＝1，b＝，c＝2，从而|F1F2|＝4，由对称性不妨设P在右支上，设|PF2|＝m，则|PF1|＝m＋2a＝m＋2，由于△PF1F2为锐角三角形，结合实际意义需满足解得－1＋<m<3，又|PF1|＋|PF2|＝2m＋2，∴2<2m＋2<8.]1．(2019·全国卷Ⅰ)双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线的倾斜角为130°，则C的离心率为(　　)A．2sin 40°   B．2cos 40°C．   D．D　[由题意可得－＝tan 130°，所以e＝＝＝＝＝.故选D.]2．(2019·全国卷Ⅱ)设F为双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2交于P，Q两点．若|PQ|＝|OF|，则C的离心率为(　　)A.  B.  C．2  D.A　[如图，由题意，知以OF为直径的圆的方程为＋y2＝①，将x2＋y2＝a2记为②式，①－②得x＝，则以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2的相交弦所在直线的方程为x＝，所以|PQ|＝2.由|PQ|＝|OF|，得2＝c，整理得c4－4a2c2＋4a4＝0，即e4－4e2＋4＝0，解得e＝，故选A.]3．已知焦点在x轴上的双曲线＋＝1，它的焦点到渐近线的距离的取值范围是________．(0，2)　[对于焦点在x轴上的双曲线－＝1(a>0，b>0)，它的焦点(c，0)到渐近线bx－ay＝0的距离为＝b.双曲线＋＝1，即－＝1，其焦点在x轴上，则解得4<m<8，则焦点到渐近线的距离d＝∈(0，2)．]4．已知离心率为的双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，M是双曲线C的一条渐近线上的点，且OM⊥MF2，O为坐标原点，若S△OMF2＝16，则双曲线的实轴长是________．16　[由题意知F2(c，0)，不妨令点M在渐近线y＝x上，由题意可知|F2M|＝＝b，所以|OM|＝＝a.由S△OMF2＝16，可得ab＝16，即ab＝32，又a2＋b2＝c2，＝，所以a＝8，b＝4，c＝4，所以双曲线C的实轴长为16.]1．已知椭圆M：＋＝1(a>b>0)，双曲线N：－＝1.若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为________；双曲线N的离心率为________．－1　2　[设椭圆的右焦点为F(c，0)，双曲线N的渐近线与椭圆M在第一象限内的交点为A，由题意可知A，由点A在椭圆M上得，＋＝1，∴b2c2＋3a2c2＝4a2b2，∵b2＝a2－c2，∴(a2－c2)c2＋3a2c2＝4a2(a2－c2)，∴4a4－8a2c2＋c4＝0，∴e－8e＋4＝0，∴e＝4±2，∴e椭＝＋1(舍去)或e椭＝－1，∴椭圆M的离心率为－1.∵双曲线的渐近线过点A，∴渐近线方程为y＝x，∴＝，故双曲线的离心率e双＝＝2.]2．已知椭圆＋＝1与双曲线x2－＝1的离心率分别为e1，e2，且有公共的焦点F1，F2，则4e－e＝________，若P为两曲线的一个交点，则|PF1|·|PF2|＝________．0　3　[由题意得椭圆的半焦距满足c＝4－m，双曲线的半焦距满足c＝1＋n，又因为两曲线有相同的焦点，所以4－m＝1＋n，即m＋n＝3，则4e－e＝4×－(1＋n)＝3－(m＋n)＝0.不妨设F1，F2分别为两曲线的左、右焦点，点P为两曲线在第一象限的交点，则解得 则|PF1|·|PF2|＝3.]