高中数学高考课后限时集训33 数列的概念与简单表示法 作业

　　　　　　　数列的概念与简单表示法建议用时：45分钟一、选择题1．数列0，1，0，－1，0，1，0，－1，…的一个通项公式an等于(　　)A.　 B．cos C．cosπ   D．cosπD　[令n＝1，2，3，…，逐一验证四个选项，易得D正确．]2．若Sn为数列{an}的前n项和，且Sn＝，则等于(　　)A.   B.C.   D．30D　[当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝，所以＝5×6＝30.]3．记Sn为数列{an}的前n项和．“任意正整数n，均有an>0”是“{Sn}是递增数列”的(　　)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件A　[∵“an>0”⇒“数列{Sn}是递增数列”，∴“an>0”是“数列{Sn}是递增数列”的充分条件．如数列{an}为－1，1，3，5，7，9，…，显然数列{Sn}是递增数列，但是an不一定大于零，还有可能小于零，∴“数列{Sn}是递增数列”不能推出“an>0”，∴“an>0”是“数列{Sn}是递增数列”的不必要条件．∴“an>0”是“数列{Sn}是递增数列”的充分不必要条件．]4．(2019·武汉5月模拟)数列{an}中，an＋1＝2an＋1，a1＝1，则a6＝(　　)A．32   B．62C．63   D．64C　[数列{an}中，an＋1＝2an＋1，故an＋1＋1＝2(an＋1)，因为a1＝1，故a1＋1＝2≠0，故an＋1≠0，所以＝2，所以{an＋1}为等比数列，首项为2，公比为2.所以an＋1＝2n即an＝2n－1，故a6＝63，故选C.]5．若数列{an}的前n项和Sn＝n2－10n(n∈N*)，则数列{nan}中数值最小的项是(　　)A．第2项   B．第3项C．第4项   D．第5项B　[∵Sn＝n2－10n，∴当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－11；当n＝1时，a1＝S1＝－9也适合上式．∴an＝2n－11(n∈N＋)．记f(n)＝nan＝n(2n－11)＝2n2－11n，此函数图象的对称轴为直线n＝，但n∈N＋，∴当n＝3时，f(n)取最小值．∴数列{nan}中数值最小的项是第3项．]二、填空题6．已知数列，，，，，…，则5是它的第________项．21　[数列，，，，，…中的各项可变形为，，，，，…，所以通项公式为an＝＝，令＝5，得n＝21.]7．若数列{an}满足a1＝1，a2＝3，an＋1＝(2n－λ)an(n＝1，2，…)，则a3等于________．15　[令n＝1，则3＝2－λ，即λ＝－1，由an＋1＝(2n＋1)an，得a3＝5a2＝5×3＝15.]8．在一个数列中，如果∀n∈N*，都有anan＋1an＋2＝k(k为常数)，那么这个数列叫做等积数列，k叫做这个数列的公积．已知数列{an}是等积数列，且a1＝1，a2＝2，公积为8，则a1＋a2＋a3＋…＋a12＝________．28　[∵a1a2a3＝8，且a1＝1，a2＝2.∴a3＝4，同理可求a4＝1，a5＝2.a6＝4，∴{an}是以3为周期的数列，∴a1＋a2＋a3＋…＋a12＝(1＋2＋4)×4＝28.]三、解答题9．(2019·洛阳模拟)已知数列{an}满足a1＝50，an＋1＝an＋2n(n∈N*)，(1)求{an}的通项公式；(2)已知数列{bn}的前n项和为an，若bm＝50，求正整数m的值．[解]　(1)当n≥2时，an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a3－a2)＋(a2－a1)＋a1＝2(n－1)＋2(n－2)＋…＋2×2＋2×1＋50＝2×＋50＝n2－n＋50.又a1＝50＝12－1＋50，∴{an}的通项公式为an＝n2－n＋50，n∈N*.(2)b1＝a1＝50，当n≥2时，bn＝an－an－1＝n2－n＋50－[(n－1)2－(n－1)＋50]＝2n－2，即bn＝.当m≥2时，令bm＝50，得2m－2＝50，解得m＝26.又b1＝50，∴正整数m的值为1或26.10．设数列{an}的前n项和为Sn.已知a1＝a(a≠3)，an＋1＝Sn＋3n，n∈N*，设bn＝Sn－3n，(1)求数列{bn}的通项公式；(2)若an＋1≥an，n∈N*，求a的取值范围．[解]　(1)依题意，Sn＋1－Sn＝an＋1＝Sn＋3n，即Sn＋1＝2Sn＋3n，由此得Sn＋1－3n＋1＝2(Sn－3n)，即bn＋1＝2bn，又b1＝S1－3＝a－3，所以数列{bn}的通项公式为bn＝(a－3)2n－1，n∈N*.(2)由(1)知Sn＝3n＋(a－3)2n－1，n∈N*，于是，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n＋(a－3)2n－1－3n－1－(a－3)2n－2＝2×3n－1＋(a－3)2n－2，an＋1－an＝4×3n－1＋(a－3)2n－2＝2n－2，当n≥2时，an＋1≥an⇒12×＋a－3≥0⇒a≥－9，又a2＝a1＋3＞a1(a≠3)．综上，a的取值范围是[－9，3)∪(3，＋∞)．1．已知数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝(n∈N*)，若bn＋1＝(n－λ)，b1＝－λ，且数列{bn}是递增数列，则实数λ的取值范围是(　　)A．(2，＋∞)   B．(3，＋∞)C．(－∞，2)   D．(－∞，3)C　[由an＋1＝，知＝＋1，即＋1＝2，所以数列是首项为＋1＝2，公比为2的等比数列，所以＋1＝2n，所以bn＋1＝(n－λ)·2n，因为数列{bn}是递增数列，所以bn＋1－bn＝(n－λ)2n－(n－1－λ)2n－1＝(n＋1－λ)2n－1＞0对一切正整数n恒成立，所以λ＜n＋1，因为n∈N*，所以λ＜2，故选C.]2．(2019·临沂三模)意大利数学家列昂那多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”： 1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…即F(1)＝F(2)＝1，F(n)＝F(n－1)＋F(n－2)(n≥3，n∈N*)，此数列在现代物理“准晶体结构”、化学等都有着广泛的应用．若此数列被2整除后的余数构成一个新数列{an}，则数列{an}的前2 019项的和为(　　)A．672   B．673C．1 346   D．2 019C　[由数列1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…各项除以2的余数，可得{an}为1，1，0，1，1，0，1，1，0，1，1，0，…，所以{an}是周期为3的周期数列，一个周期中三项和为1＋1＋0＝2，因为2 019＝673×3，所以数列{an}的前2 019项的和为673×2＝1 346，故选C.]3．(2019·晋城三模)记数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝3an＋2n－3，则数列{an}的通项公式为an＝________．an＝2－　[当n＝1时，S1＝a1＝3a1－1，解得a1＝；当n≥2时，Sn＝3an＋2n－3，Sn－1＝3an－1＋2n－5，两式相减可得，an＝3an－3an－1＋2，故an＝an－1－1，设an＋λ＝(an－1＋λ)，故λ＝－2，即an－2＝(an－1－2)，故＝.故数列{an－2}是以－为首项，为公比的等比数列，故an－2＝－·，故an＝2－.]4．已知数列{an}中，a1＝1，其前n项和为Sn，且满足2Sn＝(n＋1)an(n∈N*)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)记bn＝3n－λa，若数列{bn}为递增数列，求λ的取值范围．[解]　(1)∵2Sn＝(n＋1)an，∴2Sn＋1＝(n＋2)an＋1，∴2an＋1＝(n＋2)an＋1－(n＋1)an，即nan＋1＝(n＋1)an，∴＝，∴＝＝…＝＝1，∴an＝n(n∈N＋)．(2)由(1)知bn＝3n－λn2.bn＋1－bn＝3n＋1－λ(n＋1)2－(3n－λn2)＝2·3n－λ(2n＋1)．∵数列{bn}为递增数列，∴2·3n－λ(2n＋1)>0，即λ<.令cn＝，即＝·＝>1.∴{cn}为递增数列，∴λ<c1＝2，即λ的取值范围为(－∞，2)．1．(2019·烟台、菏泽高考适应性练习一)已知数列：，，…，(k∈N*)，按照k从小到大的顺序排列在一起，构成一个新的数列{an}：1，，，，，，…，则首次出现时为数列{an}的(　　)A．第44项   B．第76项C．第128项   D．第144项C　[观察分子分母的和出现的规律：2，3，4，5，…，把数列重新分组：，，，…，，可看出第一次出现在第16组，因为1＋2＋3＋…＋15＝120，所以前15组一共有120项；第16组的项为，所以是这一组中的第8项，故第一次出现在数列的第128项，故选C.]2．已知二次函数f(x)＝x2－ax＋a(a＞0，x∈R)有且只有一个零点，数列{an}的前n项和Sn＝f(n)(n∈N*)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设cn＝1－(n∈N*)，定义所有满足cm·cm＋1＜0的正整数m的个数，称为这个数列{cn}的变号数，求数列{cn}的变号数．[解]　(1)依题意，Δ＝a2－4a＝0，所以a＝0或a＝4.又由a＞0得a＝4，所以f(x)＝x2－4x＋4.所以Sn＝n2－4n＋4.当n＝1时，a1＝S1＝1－4＋4＝1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－5.所以an＝(2)由题意得cn＝由cn＝1－可知，当n≥5时，恒有cn＞0.又c1＝－3，c2＝5，c3＝－3，c4＝－，c5＝，c6＝，即c1·c2＜0，c2·c3＜0，c4·c5＜0，所以数列{cn}的变号数为3.