高中数学高考课后限时集训26 正弦定理、余弦定理 作业

正弦定理、余弦定理建议用时：45分钟一、选择题1．已知△ABC中，A＝eq \f(π,6)，B＝eq \f(π,4)，a＝1，则b等于(　　)A．2　　　　B．1　　　　C.eq \r(3)　　　　D.eq \r(2)D　[由正弦定理eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)，得eq \f(1,sin \f(π,6))＝eq \f(b,sin \f(π,4))，所以eq \f(1,\f(1,2))＝eq \f(b,\f(\r(2),2))，所以b＝eq \r(2).]2．(2019·成都模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若asin Bcos C＋csin Bcos A＝eq \f(1,2)b，且a＞b，则B＝(　　)A.eq \f(π,6) B.eq \f(π,3) C.eq \f(2π,3) D.eq \f(5π,6)A　[由正弦定理得，sin Asin Bcos C＋sin Csin Bcos A＝eq \f(1,2)sin B，因为sin B≠0，所以sin Acos C＋sin Ccos A＝eq \f(1,2)，即sin(A＋C)＝eq \f(1,2)，所以sin B＝eq \f(1,2).已知a＞b，所以B不是最大角，所以B＝eq \f(π,6).]3．(2019·福建厦门一模)在△ABC中，cos B＝eq \f(1,4)，b＝2，sin C＝2sin A，则△ABC的面积等于(　　)A.eq \f(1,4) B.eq \f(1,2) C.eq \f(\r(3),2) D.eq \f(\r(15),4)D　[在△ABC中，cos B＝eq \f(1,4)，b＝2，sin C＝2sin A，由正弦定理得c＝2a；由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac·cos B＝a2＋4a2－2a·2a·eq \f(1,4)＝4a2＝4，解得a＝1，可得c＝2，所以△ABC的面积为S＝eq \f(1,2)acsin B＝eq \f(1,2)×1×2×eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))2)＝eq \f(\r(15),4).故选D.]4．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC的面积为eq \f(a2＋b2－c2,4)，则C＝(　　)A.eq \f(π,2) B.eq \f(π,3) C.eq \f(π,4) D.eq \f(π,6)C　[由题可知S△ABC＝eq \f(1,2)absin C＝eq \f(a2＋b2－c2,4)，所以a2＋b2－c2＝2absin C，由余弦定理a2＋b2－c2＝2abcos C，所以sin C＝cos C．因为C∈(0，π)，所以C＝eq \f(π,4).故选C.]5．在△ABC中，若eq \f(bcos C,ccos B)＝eq \f(1＋cos 2C,1＋cos 2B)，则△ABC的形状是(　　)A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形D　[由已知eq \f(1＋cos 2C,1＋cos 2B)＝eq \f(2cos2C,2cos2B)＝eq \f(cos2C,cos2B)＝eq \f(bcos C,ccos B)，所以eq \f(cos C,cos B)＝eq \f(b,c)或eq \f(cos C,cos B)＝0，即C＝90°或eq \f(cos C,cos B)＝eq \f(b,c).当C＝90°时，△ABC为直角三角形．当eq \f(cos C,cos B)＝eq \f(b,c)时，由正弦定理，得eq \f(b,c)＝eq \f(sin B,sin C)，所以eq \f(cos C,cos B)＝eq \f(sin B,sin C)，即sin Ccos C＝sin Bcos B，即sin 2C＝sin 2B.因为B，C均为△ABC的内角，所以2C＝2B或2C＋2B＝180°，所以B＝C或B＋C＝90°，所以△ABC为等腰三角形或直角三角形，故选D.]二、填空题6．在锐角△ABC中，角A，B所对的边分别为a，b，若2asin B＝eq \r(3)b，则角A＝ .eq \f(π,3)　[因为2asin B＝eq \r(3)b，所以2sin Asin B＝eq \r(3)sin B，得sin A＝eq \f(\r(3),2)，所以A＝eq \f(π,3)或A＝eq \f(2π,3).因为△ABC为锐角三角形，所以A＝eq \f(π,3).]7．(2019·郑州第二次质检)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且sin C＋2sin Ccos B＝sin A，C∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，a＝eq \r(6)，cos B＝eq \f(1,3)，则b＝ .eq \f(12,5)　[由正弦定理及题意可得c＋2c×eq \f(1,3)＝a，即a＝eq \f(5,3)c，又a＝eq \r(6)，所以c＝eq \f(3\r(6),5)，由余弦定理得b2＝6＋eq \f(54,25)－eq \f(12,5)＝eq \f(144,25)，所以b＝eq \f(12,5).]8．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝2，B＝eq \f(π,6)，C＝eq \f(π,4)，则△ABC的面积为 ．eq \r(3)＋1　[∵b＝2，B＝eq \f(π,6)，C＝eq \f(π,4)，由正弦定理eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)，得c＝eq \f(bsin C,sin B)＝eq \f(2×\f(\r(2),2),\f(1,2))＝2eq \r(2)，A＝π－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋\f(π,4)))＝eq \f(7π,12)，∴sin A＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋\f(π,3)))＝sin eq \f(π,4)cos eq \f(π,3)＋cos eq \f(π,4)sin eq \f(π,3)＝eq \f(\r(6)＋\r(2),4).则S△ABC＝eq \f(1,2)bc·sin A＝eq \f(1,2)×2×2eq \r(2)×eq \f(\r(6)＋\r(2),4)＝eq \r(3)＋1.]三、解答题9．(2019·北京高考)在△ABC中，a＝3，b－c＝2，cos B＝－eq \f(1,2).(1)求b，c的值；(2)求sin(B－C)的值．[解]　(1)由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，得b2＝32＋c2－2×3×c×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2))).因为b＝c＋2，所以(c＋2)2＝32＋c2－2×3×c×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2))).解得c＝5.所以b＝7.(2)由cos B＝－eq \f(1,2)得sin B＝eq \f(\r(3),2).由正弦定理得sin C＝eq \f(c,b)sin B＝eq \f(5\r(3),14).在△ABC中，∠B是钝角，所以∠C为锐角．所以cos C＝eq \r(1－sin2C)＝eq \f(11,14).所以sin(B－C)＝sin Bcos C－cos Bsin C＝eq \f(4\r(3),7).10．(2019·郑州一模)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为S，且满足sin B＝eq \f(b2,4S).(1)求sin Asin C；(2)若4cos Acos C＝3，b＝eq \r(15)，求△ABC的周长．[解]　(1)∵△ABC的面积为S＝eq \f(1,2)acsin B，sin B＝eq \f(b2,4S)，∴4×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)acsin B))×sin B＝b2，∴ac＝eq \f(b2,2sin2B).∴由正弦定理可得sin Asin C＝eq \f(sin2B,2sin2B)＝eq \f(1,2).(2)∵4cos Acos C＝3，sin Asin C＝eq \f(1,2).∴cos B＝－cos(A＋C)＝sin Asin C－cos Acos C＝eq \f(1,2)－eq \f(3,4)＝－eq \f(1,4)，∵b＝eq \r(15)，∴ac＝eq \f(b2,2sin2B)＝eq \f(b2,21－cos2B)＝eq \f(\r(15)2,2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,16))))＝8，∴由余弦定理可得15＝a2＋c2＋eq \f(1,2)ac＝(a＋c)2－eq \f(3,2)ac＝(a＋c)2－12，解得a＋c＝3eq \r(3)，∴△ABC的周长为a＋b＋c＝3eq \r(3)＋eq \r(15).1．(2019·武汉调研测试)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a＝eq \r(3)b，A－B＝eq \f(π,2)，则角C＝(　　)A.eq \f(π,12) B.eq \f(π,6) C.eq \f(π,4) D.eq \f(π,3)B　[因为在△ABC中，A－B＝eq \f(π,2)，所以A＝B＋eq \f(π,2)，所以sin A＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(B＋\f(π,2)))＝cos B，因为a＝eq \r(3)b，所以由正弦定理得sin A＝eq \r(3)sin B，所以cos B＝eq \r(3)sin B，所以tan B＝eq \f(\r(3),3)，因为B∈(0，π)，所以B＝eq \f(π,6)，所以C＝π－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋\f(π,2)))－eq \f(π,6)＝eq \f(π,6)，故选B.]2．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acos B－c－eq \f(b,2)＝0，a2＝eq \f(7,2)bc，b＞c，则eq \f(b,c)＝(　　)A.eq \f(3,2) B．2 C．3 D.eq \f(5,2)B　[由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B可得acos B＝eq \f(a2＋c2－b2,2c)，又acos B－c－eq \f(b,2)＝0，a2＝eq \f(7,2)bc，所以c＋eq \f(b,2)＝eq \f(\f(7,2)bc＋c2－b2,2c)，即2b2－5bc＋2c2＝0，所以有(b－2c)·(2b－c)＝0.所以b＝2c或c＝2b，又b＞c，所以eq \f(b,c)＝2.故选B.]3．在△ABC中，B＝30°，AC＝2eq \r(5)，D是AB边上的一点，CD＝2，若∠ACD为锐角，△ACD的面积为4，则sin A＝ ，BC＝ .eq \f(\r(5),5)　4　[依题意得S△ACD＝eq \f(1,2)CD·AC·sin∠ACD＝2eq \r(5)·sin∠ACD＝4，解得sin∠ACD＝eq \f(2\r(5),5).又∠ACD是锐角，所以cos∠ACD＝eq \f(\r(5),5).在△ACD中，AD＝eq \r(CD2＋AC2－2CD·AC·cos∠ACD)＝4.由正弦定理得，eq \f(AD,sin∠ACD)＝eq \f(CD,sin A)，即sin A＝eq \f(CD·sin∠ACD,AD)＝eq \f(\r(5),5).在△ABC中，eq \f(AC,sin B)＝eq \f(BC,sin A)，即BC＝eq \f(AC·sin A,sin B)＝4.]4．(2019·西安质检)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S，已知2acos2eq \f(C,2)＋2ccos2eq \f(A,2)＝eq \f(5,2)b.(1)求证：2(a＋c)＝3b；(2)若cos B＝eq \f(1,4)，S＝eq \r(15)，求b.[解]　(1)证明：由已知得，a(1＋cos C)＋c(1＋cos A)＝eq \f(5,2)b.在△ABC中，过B作BD⊥AC，垂足为D，则acos C＋ccos A＝b.所以a＋c＝eq \f(3,2)b，即2(a＋c)＝3b.(2)因为cos B＝eq \f(1,4)，所以sin B＝eq \f(\r(15),4).因为S＝eq \f(1,2)acsin B＝eq \f(\r(15),8)ac＝eq \r(15)，所以ac＝8.又b2＝a2＋c2－2accos B＝(a＋c)2－2ac(1＋cos B)，2(a＋c)＝3b，所以b2＝eq \f(9b2,4)－16×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,4)))，所以b＝4.1．(2019·郴州一模)在△ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2＋c2－eq \r(3)bc＝a2，bc＝eq \r(3)a2，则角C的大小是(　　)A.eq \f(π,6)或eq \f(2π,3) B.eq \f(π,3)C.eq \f(2π,3) D.eq \f(π,6)A　[由b2＋c2－eq \r(3)bc＝a2，得b2＋c2－a2＝eq \r(3)bc，则cos A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq \f(\r(3)bc,2bc)＝eq \f(\r(3),2)，则A＝eq \f(π,6)，由bc＝eq \r(3)a2，得sin Bsin C＝eq \r(3)sin2A＝eq \r(3)×eq \f(1,4)＝eq \f(\r(3),4)，即4sin(π－C－A)sin C＝eq \r(3)，即4sin(C＋A)sin C＝4sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(C＋\f(π,6)))sin C＝eq \r(3)，即4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)sin C＋\f(1,2)cos C))sin C＝2eq \r(3)sin2C＋2sin Ccos C＝eq \r(3)，即eq \r(3)(1－cos 2C)＋sin 2C＝eq \r(3)－eq \r(3)cos 2C＋sin 2C＝eq \r(3)，则－eq \r(3)cos 2C＋sin 2C＝0，则eq \r(3)cos 2C＝sin 2C，则tan 2C＝eq \r(3)，即2C＝eq \f(π,3)或eq \f(4π,3)，即C＝eq \f(π,6)或eq \f(2π,3)，故选A.]2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2－(b－c)2＝(2－eq \r(3))bc，sin Asin B＝cos2eq \f(C,2)，BC边上的中线AM的长为eq \r(7).(1)求角A和角B的大小；(2)求△ABC的面积．[解]　(1)由a2－(b－c)2＝(2－eq \r(3))bc，得a2－b2－c2＝－eq \r(3)bc，∴cos A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq \f(\r(3),2)，又0＜A＜π，∴A＝eq \f(π,6).由sin Asin B＝cos2eq \f(C,2)，得eq \f(1,2)sin B＝eq \f(1＋cos C,2)，即sin B＝1＋cos C，则cos C＜0，即C为钝角，∴B为锐角，且B＋C＝eq \f(5π,6)，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)－C))＝1＋cos C，化简得coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(C＋\f(π,3)))＝－1，解得C＝eq \f(2π,3)，∴B＝eq \f(π,6).(2)由(1)知，a＝b，在△ACM中，由余弦定理得AM2＝b2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))2－2b·eq \f(a,2)·cos C＝b2＋eq \f(b2,4)＋eq \f(b2,2)＝(eq \r(7))2，解得b＝2，故S△ABC＝eq \f(1,2)absin C＝eq \f(1,2)×2×2×eq \f(\r(3),2)＝eq \r(3).