高中数学高考课后限时集训21 任意角、弧度制及任意角的三角函数 作业

　　　　　　　　　　　　　任意角、弧度制及任意角的三角函数建议用时：45分钟一、选择题1．角－870°的终边所在的象限是(　　)A．第一象限　　　　　　 B．第二象限C．第三象限   D．第四象限C　[由－870°＝－1 080°＋210°，知－870°角和210°角的终边相同，在第三象限．]2．已知角α的始边与x轴的正半轴重合，顶点在坐标原点，角α终边上的一点P到原点的距离为，若α＝，则点P的坐标为(　　)A．(1，)   B．(，1)C．(，)   D．(1，1)D　[设P(x，y)，则sin α＝＝sin ，∴y＝1.又cos α＝＝cos ，∴x＝1，∴P(1，1)．]3．已知角θ的终边经过点P(4，m)，且sin θ＝，则m等于(　　)A．－3   B．3C.   D．±3B　[sin θ＝＝，且m＞0，解得m＝3.]4．已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为(　　)A．2   B．4C．6   D．8C　[设扇形的半径为R，则×4×R2＝2，∴R＝1，弧度l＝4，∴扇形的周长为l＋2R＝6.]5．sin 2·cos 3·tan 4的值(　　)A．小于0   B．大于0C．等于0   D．不存在A　[∵sin 2＞0，cos 3＜0，tan 4＞0，∴sin 2·cos 3·tan 4＜0.]二、填空题6．若α＝1 560°，角θ与α终边相同，且－360°＜θ＜360°，则θ＝________．120°或－240°　[因为α＝1 560°＝4×360°＋120°，所以与α终边相同的角为360°×k＋120°，k∈Z，令k＝－1或k＝0可得θ＝－240°或θ＝120°.]7．已知扇形的圆心角为，面积为，则扇形的弧长等于________．　[设扇形半径为r，弧长为l，则解得]8．函数y＝的定义域为________．，k∈Z　[利用三角函数线(如图)，由sin x≥，可知2kπ＋≤x≤2kπ＋π，k∈Z.]三、解答题9．若角θ的终边过点P(－4a，3a)(a≠0)．(1)求sin θ＋cos θ的值；(2)试判断cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号．[解]　(1)因为角θ的终边过点P(－4a，3a)(a≠0)，所以x＝－4a，y＝3a，r＝5|a|，当a＞0时，r＝5a，sin θ＋cos θ＝－.当a＜0时，r＝－5a，sin θ＋cos  θ＝.(2)当a＞0时，sin θ＝∈，cos θ＝－∈，则cos(sin θ)·sin(cos θ)＝cos ·sin＜0；当a＜0时，sin θ＝－∈，cos θ＝∈，则cos(sin θ)·sin(cos θ)＝cos·sin ＞0.综上，当a＞0时，cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号为负；当a＜0时，cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号为正．10．已知sin α＜0，tan α＞0.(1)求角α的集合；(2)求终边所在的象限；(3)试判断tan sin cos 的符号．[解]　(1)因为sin α＜0且tan α＞0，所以α是第三象限角，故角α的集合为.(2)由(1)知2kπ＋π＜α＜2kπ＋，k∈Z，故kπ＋＜＜kπ＋，k∈Z，当k＝2n(n∈Z)时，2nπ＋＜＜2nπ＋，n∈Z，即是第二象限角．当k＝2n＋1(n∈Z)时，2nπ＋＜＜2nπ＋π，n∈Z，即是第四象限角，综上，的终边在第二或第四象限．(3)当是第二象限角时，tan ＜0，sin ＞0，cos ＜0，故tan sin cos ＞0，当是第四象限角时，tan ＜0，sin ＜0，cos ＞0，故tan sin cos ＞0，综上，tan sin cos 取正号．1．点P的坐标为(2，0)，射线OP顺时针旋转2 010°后与圆x2＋y2＝4相交于点Q，则点Q的坐标为(　　)A．(－，)   B．(－，1)C．(－1，)   D．(1，－)B　[由题意可知Q(2cos(－2 010°)，2sin(－2 010°))，因为－2 010°＝－360°×6＋150°，所以cos(－2 010°)＝cos 150°＝－，sin(－2 010°)＝sin 150°＝.∴Q(－，1)，故选B.]2.(2019·四川乐山、峨眉山二模)《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积＝(弦×矢＋矢2)，弧田由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”指半径长与圆心到弦的距离之差．现有圆心角为，半径长为4的弧田(如图所示)，按照上述公式计算出弧田的面积为________．4＋2　[由题意可得∠AOB＝，OA＝4.在Rt△AOD中，易得∠AOD＝，∠DAO＝，OD＝OA＝×4＝2，可得矢＝4－2＝2.由AD＝AOsin ＝4×＝2，可得弦＝2AD＝4.所以弧田面积＝(弦×矢＋矢2)＝×(4×2＋22)＝4＋2.]3.(亮点题)已知圆O与直线l相切于点A，点P，Q同时从A点出发，P沿着直线l向右，Q沿着圆周按逆时针以相同的速度运动，当Q运动到点A时，点P也停止运动，连接OQ，OP(如图)，则阴影部分面积S1，S2的大小关系是________．S1＝S2　[设运动速度为m，运动时间为t，圆O的半径为r，则＝AP＝tm，根据切线的性质知OA⊥AP，∴S1＝tm·r－S扇形AOB，S2＝tm·r－S扇形AOB，∴S1＝S2恒成立．]4．已知＝－，且lg(cos α)有意义．(1)试判断角α所在的象限；(2)若角α的终边上一点M(，m)，且|OM|＝1(O为坐标原点)，求m的值及sin α的值．[解]　(1)由＝－，得sin α＜0，由lg(cos α)有意义，可知cos α＞0，所以α是第四象限角．(2)因为|OM|＝1，所以()2＋m2＝1，解得m＝±.又α为第四象限角，故m＜0，∴m＝－，sin α＝＝＝－.1．已知sin α＞sin β，那么下列命题成立的是(　　)A．若α，β是第一象限的角，则cos α＞cos βB．若α，β是第二象限的角，则tan α＞tan βC．若α，β是第三象限的角，则cos α＞cos βD．若α，β是第四象限的角，则tan α＞tan βD　[如图，当α在第四象限时，作出α，β的正弦线M1P1，M2P2和正切线AT1，AT2，观察知当sin α＞sin β时，tan α＞tan β.]2.如图，在平面直角坐标系xOy中，角α的始边与x轴的非负半轴重合且与单位圆相交于A点，它的终边与单位圆相交于x轴上方一点B，始边不动，终边在运动．(1)若点B的横坐标为－，求tan α的值；(2)若△AOB为等边三角形，写出与角α终边相同的角β的集合；(3)若α∈，请写出弓形AB的面积S与α的函数关系式．[解]　(1)由题意可得B，根据三角函数的定义得tan α＝＝－.(2)若△AOB为等边三角形，则∠AOB＝，故与角α终边相同的角β的集合为.(3)若α∈，则S扇形＝αr2＝α，而S△AOB＝×1×1×sin α＝sin α，故弓形AB的面积S＝S扇形－S△AOB＝α－sin α，α∈.