高中数学高考考点53 离散型随机变量的数字特征-备战2021年新高考数学一轮复习考点一遍过(1)

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考点53离散型随机变量的数字特征【命题解读】   离散型随机变量的数字特征是高考常考知识点之一，常常出现在客观题或主观题方面，这部分内容比较零散，知识点多，出题不好琢磨，复习中主要是夯实基础，掌握做题方法。【命题预测】预计2021年的高考离散型随机变量的数字特征大概率会在解答题中出题，要掌握计算公式和计算方法，注意分析问题，主要还是考查分析问题的能力。【复习建议】  1.理解离散型随机变量的分布列；2.掌握离散型随机变量的数字特征的计算。考向一　离散型随机变量的数字特征离散型随机变量的均值与方差一般地,若离散型随机变量X的分布列为Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn1.均值称E(X)= x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn为随机变量X的均值或数学期望.它反映了离散型随机变量取值的平均水平. 2.方差称D(X)=它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，并称其算术平方根为随机变量X的标准差. 1. 【2020浙江杭州市高一期末】将个球（形状相同，编号不同）随机地投入编号为、、、的个盒子，以表示其中至少有一个球的盒子的最小号码（表示第号，第号盒子是空的，第个盒子至少个球），则、分别等于（    ）A．、 B．、 C．、 D．、【答案】B【解析】由题意可知，随机变量的可能取值有、、、，，，，，所以，，因此，.故选：B.2. 【2020四川仁寿一中高三月考（理）】已知某7个数的期望为6，方差为4，现又加入一个新数据6，此时这8个数的期望为记为，方差记为，则（    ）A．， B．，C．， D．，【答案】B【解析】设原来7个数分别为由，则由则所以故选：B考向二  均值与方差的计算均值与方差的性质1.E(aX+b)= aE(X)+b.(a,b为常数) 2.D(aX+b)= a2D(X).(a,b为常数) 3.若随机变量X服从两点分布,则E(X)= p，D(X)= p(1-p). 4.若X~B(n,p),则E(X)= np，D(X)= np(1-p). 1. 【2020全国高三专题练习】已知随机变量服从二项分布，其期望，随机变量服从正态分布，若，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】由，则，则，则，故选：D.2. 【2020全国高二课时练习（理）】设随机变量的分布列为，则，的值分别是（    ）A．0和1 B．和 C．和 D．和【答案】D【解析】设随机变量的概率分布为，则，，，故选D.3. 【2020全国高三专题练习】从某班6名学生（其中男生4人，女生2人）中任选3人参加学校组织的社会实践活动，设所选三人中男生人数为，则数学期望______.【答案】2【解析】的可能值为，则；；.故分布列为：123故.故答案为：2. 题组一（真题在线）1. 【2019年高考浙江卷】设0＜a＜1，则随机变量X的分布列是 则当a在（0,1）内增大时，A．增大         B．减小C．先增大后减小       D．先减小后增大2. 【2019年高考江苏卷】已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是______________．3. 【2020年高考全国III卷理数】在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为，且，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是A． B．C． D．4. 【2020年高考浙江】盒中有4个球，其中1个红球，1个绿球，2个黄球．从盒中随机取球，每次取1个，不放回，直到取出红球为止．设此过程中取到黄球的个数为，则_______，_______．5. 【2019年高考天津卷理数】设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为．假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立．（1）用表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量的分布列和数学期望；（2）设为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件发生的概率．题组二1. 【2020浙江杭州市高一期末】若随机变量X的分布列是：则当实数a在内增大时，（    ）A．增大 B．减小C．先增大后减小 D．先减小后增大2. 【2020全国高三专题练习（理）】已知甲盒子有6个不同的小球，编号分别为1，2，3，4，5，6，从甲盒子中取出一个球，记随机变量是取出球的编号，数学期望为，乙盒子有5个不同的小球，编号分别为1，2，3，4，5，从乙盒子中取出一个球，记随机变量是取出球的编号，数学期望为，则（    ）A．且 B．且C．且 D．且3. 【2020浙江高三期中】袋中有5个球，其中3个白球，2个黑球，从袋中随机取球，每次取1个，取后放回，取3次，在这3次取球中，设取到黑球的次数为，则（    ）A． B． C． D．4. 【2020全国高二课时练习（理）】某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为A．100 B．200 C．300 D．4005. 【2020全国高二课时练习（理）】设随机变量的分布列为，则，的值分别是（    ）A．0和1 B．和 C．和 D．和6. 【2020全国高三专题练习】已知随机变量服从二项分布，则（    ）A． B．8 C． D．5 7. 【2020全国高三专题练习】已知随机变量的分布列为：1230.5 若，则________．8. 【2020全国高三专题练习】随机变量的取值为0,1,2，若，，则________.9. 【2020全国高三专题练习】某校从高三年级中选拔一个班级代表学校参加“学习强国知识大赛”，经过层层选拔，甲、乙两个班级进入最后决赛，规定回答1相关问题做最后的评判选择由哪个班级代表学校参加大赛．每个班级4名选手，现从每个班级4名选手中随机抽取2人回答这个问题．已知这4人中，甲班级有3人可以正确回答这道题目，而乙班级4人中能正确回答这道题目的概率每人均为，甲、乙两班级每个人对问题的回答都是相互独立，互不影响的．（1）求甲、乙两个班级抽取的4人都能正确回答的概率；（2）设甲、乙两个班级被抽取的选手中能正确回答题目的人数分别为，，求随机变量，的期望，和方差，，并由此分析由哪个班级代表学校参加大赛更好？10. 【2020陕西渭南市·高三月考（理）】过去五年，我园的扶贫工作进入了“精准扶贫”阶段.目前“精准扶贫”覆盖了全部贫困人口，东部帮西部，全园一盘棋的扶贫格局逐渐形成.到2020年底全国830个贫困县都将脱贫摘帽，最后4335万贫困人口将全部脱贫，这将超过全球其他国家过去30年脱贫人口总和.2020年是我国打赢脱贫攻坚战收官之年，越是到关键时刻，更应该强调“精准”.为落实“精准扶贫”政策，某扶贫小组，为一“对点帮扶”农户引种了一种新的经济农作物，并指导该农户于2020年初开始种植.已知该经济农作物每年每亩的种植成本为1000元，根据前期各方面调查发现，该经济农作物的市场价格和亩产量均具有随机性，且两者互不影响，其具体情况如下表：该经济农作物亩产量（kg）9001200该经济农作物市场价格（元/kg）1520概率概率（1）设2020年该农户种植该经济农作物一亩的纯收入为X元，求X的分布列；（2）2020年全国脱贫标准约为人均纯收入4000元.假设该农户是一个四口之家，且该农户在2020年的家庭所有支出与其他收入正好相抵，能否凭这一亩经济农作物的纯收入，预测该农户在2020年底可以脱贫？并说明理由.       题组一1.D【解析】方法1：由分布列得，则，则当在内增大时，先减小后增大．故选D．方法2：则，则当在内增大时，先减小后增大．故选D．2. 【解析】由题意，该组数据的平均数为，所以该组数据的方差是．3. B【解析】对于A选项，该组数据的平均数为，方差为；对于B选项，该组数据的平均数为，方差为；对于C选项，该组数据的平均数为，方差为；对于D选项，该组数据的平均数为，方差为.因此，B选项这一组标准差最大.故选：B.4. 【解析】因为对应事件为第一次拿红球或第一次拿绿球，第二次拿红球，所以，随机变量，，，所以.故答案为：.5. D【解析】（1）因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7：30之前到校的概率均为，故，从而．所以，随机变量的分布列为0123随机变量的数学期望．（2）设乙同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数为，则，且．由题意知事件与互斥，且事件与，事件与均相互独立，从而由（1）知．题组二1.D∵∴由二次函数的性质可知，在上递减，在上递增.故选：D.2.C【解析】由题，，，.故选：C3.C【解析】有放回的抽取时，取到黑球的次数的取值可能是0,1,2,3，由于每次取到黑球的概率均为，3次取球可以看成3次独立重复试验，则,,,.故选：C.4. B【解析】设没有发芽的种子数为，则，，所以故选：B5.D【解析】设随机变量的概率分布为，则，，，故选D.6.C【解析】因为随机变量服从二项分布，所以，所以，故选：C.7. 【解析】由E（ξ）＝1×0.5+2x+3y，整理得：2x+3y，由0.5+x+y＝1，即x+y，∴x，y，D（ξ）＝（1）2×0.5+（2）2（3）2，故答案为：．8. 【解析】设时的概率为，则，解得，故9. 见解析【解析】（1）甲、乙两个班级抽取的4人都能正确回答的概率；（2）甲班级能正确回答题目人数为，的取值分别为1，2，，，则，，乙班级能正确回答题目人数为，的取值分别为0，1，2，∵，∴，，由，可知，由甲班级代表学校参加大赛更好．10. 见解析【解析】（1）由题意知：，，，，所以X的所有可能取值为：23000，17000，12500.设A表示事件“作物产量为900kg”，则；B表示事件“作物市场价格为15元/kg”，则.则：，，，所以X的分布列为：X230001700012500P（2）由（1）知，2020年该农户种植该经济农作物一亩的预计纯收入为（元），凭这一亩经济农作物的纯收入，该农户的人均纯收入超过了国家脱贫标准，所以，能预测该农户在2020年底可以脱贫.