考向37圆锥曲线中的范围、最值问题（重点）-备战2023年高考数学一轮复习考点微专题（全国通用）（学生版）

考向37 圆锥曲线中的范围、最值问题

8.（2022·浙江卷T21）如图，已知椭圆．设A，B是椭圆上异于的两点，且点在线段上，直线分别交直线于C，D两点．


（1）求点P到椭圆上点的距离的最大值；
（2）求的最小值．
【答案】（1）； （2）．
【解析】
（1）设是椭圆上任意一点,,则
，当且仅当时取等号，故的最大值是.
（2）设直线,直线方程与椭圆联立,可得,设，所以，
因为直线与直线交于,
则,同理可得,.则


，
当且仅当时取等号，故的最小值为.
【点睛】本题主要考查最值的计算，第一问利用椭圆的参数方程以及二次函数的性质较好解决，第二问思路简单，运算量较大，求最值的过程中还使用到柯西不等式求最值，对学生的综合能力要求较高，属于较难题．


1.解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面
(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围．
(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系．
(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围．
(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围．
(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．　　
2.几何方法求解圆锥曲线中的最值问题，即通过圆锥曲线的定义、几何性质将最值转化，利用平面几何中的定理、性质，结合图形的直观性求解最值问题，常用的结论有：
(1)两点间线段最短；
(2)点到直线的垂线段最短．　　


1.已知椭圆的一个顶点A(0，－1)，焦点在x轴上，离心率为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设直线y＝kx＋m(k≠0)与椭圆交于不同的两点M，N.当|AM|＝|AN|时，求m的取值范围．
2.已知直线l：x－y＋1＝0与焦点为F的抛物线C：y2＝2px(p＞0)相切．
(1)求抛物线C的方程；
(2)过焦点F的直线m与抛物线C分别相交于A，B两点，求A，B两点到直线l的距离之和的最小值．
3.设圆x2＋y2＋2x－15＝0的圆心为A，直线l过点B(1,0)且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.
(1)证明|EA|＋|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程；
(2)设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围．
4.已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)过点M(2,3)，点A为其左顶点，且AM的斜率为.
(1)求C的方程；
(2)点N为椭圆上任意一点，求△AMN的面积的最大值．
5.已知点A(0，－2)，椭圆E：＋＝1(a>b>0)的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．
(1)求E的方程；
(2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程．
6.已知椭圆C：＋y2＝1的右焦点为F，过点F的直线(不与x轴重合)与椭圆C相交于A，B两点，直线l：x＝2与x轴相交于点H.求四边形OAHB(O为坐标原点)面积的最大值．


1．（2022·河南河南·模拟预测（理））过椭圆上任意一点作直线
(1)证明:;
(2)若为坐标原点，线段的中点为，过作的平行线与交于两点，求面积的最大值.
2．（2022·上海·模拟预测）设有椭圆方程，直线，下端点为A，M在l上，左、右焦点分别为.

(1)，AM的中点在x轴上，求点M的坐标；
(2)直线l与y轴交于B，直线AM经过右焦点，在中有一内角余弦值为，求b；
(3)在椭圆上存在一点P到l距离为d，使，随a的变化，求d的最小值.
3．（2022·湖北省仙桃中学模拟预测）已知椭圆，和一条过定点且不与轴重合的直线相交于两点，线段的中点为点，
(1)求点的轨迹方程；
(2)射线交椭圆于点，为直线上一点，且为的等比中项，过点作圆 的两条切线，切点为 ，求面积的最小值 .
4．（2022·上海奉贤·二模）椭圆上有两点和，．点A关于椭圆中心的对称点为点，点在椭圆内部，是椭圆的左焦点，是椭圆的右焦点．
(1)若点在直线上，求点坐标；
(2)是否存在一个点，满足，若满足求出点坐标，若不存在请说明理由；
(3)设的面积为，的面积为，求的取值范围．
5．（2022·上海闵行·二模）已知点分别为椭圆的左､右焦点，直线与椭圆有且仅有一个公共点，直线，垂足分别为点.

(1)求证：；
(2)求证：为定值，并求出该定值；
(3)求的最大值.
6．（2022·上海·位育中学模拟预测）如图， 椭圆 的右焦点为，过点的一动直线 绕点转动，并且交椭圆于两点，为线段的中点.

(1)求点的轨迹的方程;
(2)在的方程中， 令，.
①设轨迹的最高点和最低点分别为和，当为何值时， 为正三角形?
②确定的值， 使原点距直线 最远， 此时， 设与轴交点为，当直线 绕点转动到什么位置时， 的面积最大， 并求出面积的最大值?

1.【2021年乙卷】 已知抛物线焦点为，且与圆上点的距离的最小值为．
（1）求；
（2）若点在上，是的两条切线，是切点，求面积的最大值．
2.（2020·江苏卷）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，点A在椭圆E上且在第一象限内，AF2⊥F1F2，直线AF1与椭圆E相交于另一点B．

（1）求△AF1F2的周长；
（2）在x轴上任取一点P，直线AP与椭圆E的右准线相交于点Q，求的最小值；
（3）设点M在椭圆E上，记△OAB与△MAB的面积分别为S1，S2，若S2=3S1，求点M的坐标．
3.（2020·山东卷）已知椭圆C：过点M（2，3）,点A为其左顶点，且AM的斜率为 ，
（1）求C的方程；
（2）点N为椭圆上任意一点，求△AMN的面积的最大值.
4.（2020·浙江卷）如图，已知椭圆，抛物线，点A是椭圆与抛物线的交点，过点A的直线l交椭圆于点B，交抛物线于M（B，M不同于A）．

（Ⅰ）若，求抛物线的焦点坐标；
（Ⅱ）若存在不过原点的直线l使M为线段AB的中点，求p的最大值．
5.【2019新课标2】已知点，动点满足直线和的斜率之积为，记的轨迹为曲线.
（1）求的方程，并说明什么曲线；
（2）过坐标原点的直线交于两点，点在第一象限，轴，垂足为，连结 并延长交于点.
①证明：是直角三角形；
②求的面积的最大值.


1.【答案】（1）＋y2＝1；（2）.
【解析】(1)设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)，联立
解得故椭圆的标准方程为＋y2＝1.
(2)设P(x0，y0)为弦MN的中点，M(x1，y1)，N(x2，y2)．
联立得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4(m2－1)＝0.
则x1＋x2＝，x1x2＝.
Δ＝(8km)2－16(4k2＋1)(m2－1)＞0，所以m2＜1＋4k2. ①
所以x0＝＝－，y0＝kx0＋m＝.
所以kAP＝＝－.
又|AM|＝|AN|，所以AP⊥MN，
则－＝－，即3m＝4k2＋1. ②
把②代入①得m2＜3m，解得0＜m＜3.
由②得k2＝＞0，解得m＞.
综上可知，m的取值范围为.
2.【答案】（1）y2＝4x；（2）
【解析】(1)∵直线l：x－y＋1＝0与抛物线C：y2＝2px(p＞0)相切，
联立消去x得y2－2py＋2p＝0，从而Δ＝4p2－8p＝0，解得p＝2或p＝0(舍去)．
∴抛物线C的方程为y2＝4x.
(2)由于直线m的斜率不为0，
可设直线m的方程为ty＝x－1，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
联立消去x得y2－4ty－4＝0，∵Δ＞0，
∴y1＋y2＝4t，即x1＋x2＝4t2＋2，
∴线段AB的中点M的坐标为(2t2＋1,2t)．
设点A到直线l的距离为dA，点B到直线l的距离为dB，点M到直线l的距离为d，
则dA＋dB＝2d＝2·＝2|t2－t＋1|＝2，
∴当t＝时，A，B两点到直线l的距离之和最小，最小值为.
3.【答案】（1）证明见解析；（2）[12,8)
【解析】(1)因为|AD|＝|AC|，EB∥AC，
故∠EBD＝∠ACD＝∠ADC，
所以|EB|＝|ED|，
故|EA|＋|EB|＝|EA|＋|ED|＝|AD|.
又圆A的标准方程为(x＋1)2＋y2＝16，从而|AD|＝4，所以|EA|＋|EB|＝4.
由题设得A(－1,0)，B(1,0)，|AB|＝2，由椭圆定义可得点E的轨迹方程为＋＝1(y≠0)．
(2)当l与x轴不垂直时，设l的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)．
由得(4k2＋3)x2－8k2x＋4k2－12＝0.
Δ＞0恒成立，则x1＋x2＝，x1x2＝，
所以|MN|＝|x1－x2|＝.
过点B(1,0)且与l垂直的直线m：y＝－(x－1)，
点A到m的距离为，所以|PQ|＝2＝4.
故四边形MPNQ的面积S＝|MN||PQ|＝12.
可得当l与x轴不垂直时，四边形MPNQ面积的取值范围为(12,8)，当l与x轴垂直时，其方程为x＝1，|MN|＝3，|PQ|＝8，四边形MPNQ的面积为12.
综上，四边形MPNQ面积的取值范围为[12,8).
4.【答案】（1）＋＝1；（2）18
【解析】　(1)由题意可知直线AM的方程为y－3＝(x－2)，即x－2y＝－4.
当y＝0时，解得x＝－4，所以a＝4.
由椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)过点M(2,3)，可得＋＝1，解得b2＝12.
所以C的方程为＋＝1.
(2)设与直线AM平行的直线方程为x－2y＝m.
如图所示，当直线与椭圆相切时，与AM距离比较远的直线与椭圆的切点为N，此时△AMN的面积取得最大值．

联立可得3(m＋2y)2＋4y2＝48，
化简可得16y2＋12my＋3m2－48＝0，所以Δ＝144m2－4×16(3m2－48)＝0，
即m2＝64，解得m＝±8，与AM距离比较远的直线方程为x－2y＝8，
点N到直线AM的距离即两平行线之间的距离，即d＝＝，
由两点之间的距离公式可得
|AM|＝＝3.
所以△AMN的面积的最大值为×3×＝18.
5.【答案】（1）＋y2＝1；（2）2y±x＋4＝0
【解析】　(1)设F(c,0)，由条件知，＝，得c＝.
又＝，所以a＝2，b2＝a2－c2＝1.故E的方程为＋y2＝1.
(2)当l⊥x轴时不合题意，故设l：y＝kx－2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)．
将y＝kx－2代入＋y2＝1，得(1＋4k2)x2－16kx＋12＝0.
当Δ＝16(4k2－3)>0，即k2>时，x1,2＝.
从而|PQ|＝|x1－x2|＝.
又点O到直线PQ的距离d＝.
所以△OPQ的面积S△OPQ＝·d·|PQ|＝.
设＝t，则t>0，S△OPQ＝＝≤1.
当且仅当t＝2，即k＝±时等号成立，且满足Δ>0.
所以当△OPQ的面积最大时，l的方程为2y±x＋4＝0.
6.【答案】
【解析】由题意得，F(1,0)，设直线AB：x＝my＋1(m∈R)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由消去x，得(m2＋2)y2＋2my－1＝0.
则Δ＝4m2＋4(m2＋2)>0，y1＋y2＝－，y1y2＝－，
∴|y1－y2|＝＝＝
∴四边形OAHB的面积S＝|OH|·|y1－y2|＝|y1－y2|＝.
令＝t，则t≥1，S＝＝.
∵t＋≥2(当且仅当t＝1，即m＝0时取等号)，∴0