2023年安徽省滁州市定远县九梓学校 中考数学一模试卷 (含答案)

安徽省滁州市定远县九梓学校2023年中考数学一模试卷（解析版）
一、选择题（本大题共10小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．2022年3月5日，十三届全国人大五次会议在京召开，国务院总理李克强做政府工作报告，今年主要预期目标粮食产量保持在1.3万亿斤以上，其中1.3万亿用科学记数法表示为（　　）
A．1.3×104 B．1.3×108 C．1.3×1012 D．13×1011
2．计算（2a2）3÷2（﹣a2）3的结果是（　　）
A．﹣3 B．﹣4 C．4 D．﹣1
3．若将两个立体图形按如图所示的方式放置，则所构成的组合体的主视图是（　　）

A． B．
C． D．
4．若a＝，b＝，c＝3，则a、b、c的大小关系为（　　）
A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．c＜a＜b D．c＜b＜a
5．如图，已知AB∥CD，小妍同学进行以下尺规作图：
①以点A为圆心，AC长为半径作弧，交射线AB于点E；
②以点E为圆心，小于线段CE的长为半径作弧，与射线CE交于点M，N；
③分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，交于点F，直线EF交CD于点G．若∠CGE＝α，则∠A的度数可以用α表示为（　　）

A．90°﹣α B． C．180°﹣4α D．2α
6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝2cm，BC＝1cm，点P，Q同时从A点出发，分别沿A→B→C、A→C运动，速度都是1cm/s，直到两点都到达点C即停止运动．设点P，Q运动的时间为t（s），△APQ的面积为S（cm2），则S与t的函数图象大致是（　　）

A． B．
C． D．
7．如图，将一副直角三角尺重叠摆放，使得60°角的顶点与等腰直角三角形的直角顶点重合，且DE⊥AB于点D，与BC交于点F，则∠FCE的度数为（　　）

A．60° B．65° C．75° D．85°
8．蚌埠市作为国家级“两区一点”城市，在智慧教育方面领先全国．据蚌埠市教育局微信公众号2022年3月20日发布的《2022年蚌埠市中小学智慧课堂教学抽样赛首次月汇总成绩公布》报道，今年2月25日﹣3月18日，市教育局每周五连续四周举行的蚌埠市初中语文、数学、英语、物理智慧课堂教学抽样赛成绩如表所示．若仅以表中数据为依据，则以下结论正确的是（　　）
县区
经开区
龙子湖区
蚌山区
禹会区
高新区
淮上区
局属
怀远县
固镇县
五河县
平均分
95.38
92.23
83.17
80.13
79.74
78.49
72.64
72.56
68.41
66.33
参赛教师数
1
2
3
3
3
3
3
2
3
1
A．这四次抽测所得数据的中位数x1一定满足75＜x1＜85
B．这四次抽测所得数据的平均数x2一定满足75＜x2＜85
C．这四次抽测所得数据的众数x3一定满足75＜x3＜85
D．这四次抽测所得数据的最大数与最小数的差一定是29.05
9．如图，直线y＝﹣x+b与x，y轴分别交于点A，B，与直线y＝kx（k＞0）交于点G，分别过点A，B作直线y＝kx的垂线，垂足分别为D，E．若OA＝10，OD＝6，则DE的长为（　　）

A．4 B．3 C．2 D．1
10．“闻起来臭，吃起来香”的臭豆腐是长沙特色小吃，臭豆腐虽小，但制作流程却比较复杂，其中在进行加工煎炸臭豆腐时，我们把“焦脆而不糊”的豆腐块数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，“可食用率”P与加工煎炸时间t（单位：分钟）近似满足的函数关系为：P＝at2+bt+c（a≠0，a，b，c是常数），如图记录了三次实验的数据．根据上述函数关系和实验数据，可以得到加工煎炸臭豆腐的最佳时间为（　　）

A．3.50分钟 B．4.05分钟 C．3.75分钟 D．4.25分钟
二、填空题（本大题共4小题，共20分）
11．（5分）在函数y＝中，自变量x的取值范围是 　 　．
12．（5分）在一个不透明的袋子里有1个红球，2个白球和若干个黑球．小宇将袋子中的球摇匀后，从中任意摸出一个，记下颜色后放回袋中，在多次重复以上操作后，小宇统计了摸到红球的频率，并绘制了如图折线图．则从袋子中随机摸出两个球，这两个球一红一白的概率为 　 　．
．
13．（5分）如图，A、B是第二象限内双曲线y＝上的点，A、B两点的横坐标分别是a、2a，线段AB的延长线交x轴于点C，若S△AOC＝6，则k的值为　 　．

14．（5分）七巧板是中国古代劳动人民发明的一种传统智力玩具，它由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成．（清）陆以活《冷庐杂识》卷中写道：近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余，体物肖形，随手变幻，盖游戏之具，足以排闷破寂，故世俗皆喜为之．如图是一个用七巧板拼成装饰图，放入长方形ABCD内，装饰图中的三角形顶点E，F分别在边AB，BC上，三角形①的边GD在AD上，则＝　 　．

三、解答题（本大题共9小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15．（8分）计算：
（1）计算：；
（2）先化简再从﹣1，0，1，2，选一个合适的数作为a的值代入求值．
16．（8分）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出△ABC，其顶点A，B，C均为网格线的交点．
（1）将ABC沿水平方向向右平移5个单位，再沿竖直方向向下平移4个单位，得到△A1B1C1，画出△A1B1C1；
（2）将△ABC以点C为中心，顺时针旋转90度，得到△A2B2C2，画出△A2B2C2；
（3）点A，A2之间的距离是 　 　．

17．（8分）国家规定“中小学生每天在校体育活动时间不低于1h”．为此，某市就“每天在校体育活动时间”的问题随机调查了辖区内部分初中学生．根据调查结果绘制成的统计图（部分）如图所示，其中分组情况是：
A组：t＜0.5h
B组：0.5h≤t＜1h
C组：1h≤t＜1.5h
D组：t≥1.5h

请根据以上信息解答下列问题：
（1）本次调查的人数是 　 　人；D组对应扇形的圆心角为 　 　°；
（2）根据题中信息补全条形统计图；
（3）本次调查数据的中位数落在 　 　组内；
（4）若该市辖区约有80000名初中学生，请估计其中达到国家规定的体育活动时间的学生有多少人．
18．（8分）如图1是自动卸货汽车卸货时的状态图，图2是其示意图．汽车的车厢采用液压机构、车厢的支撑顶杆BC的底部支撑点B在水平线AD的下方，AB与水平线AD之间的夹角是5°，卸货时，车厢与水平线AD成60°，此时AB与支撑顶杆BC的夹角为45°，若AC＝2米，求BC的长度．（结果保留一位小数）

（参考数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14，sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75，≈1.41）
19．（10分）2022年北京冬奥会开幕式主火炬台由96块小雪花形态和6块橄榄枝构成的巨型“雪花”形态，在数学上，我们可以通过“分形”近似地得到雪花的形状．
操作：将一个边长为1的等边三角形（如图①）的每一边三等分，以居中那条线段为底边向外作等边三角形，并去掉所作的等边三角形的一条边，得到一个六角星（如图②，称为第一次分形．接着对每个等边三角形凸出的部分继续上述过程，即在每条边三等分后的中段向外画等边三角形，得到一个新的图形（如图③），称为第二次分形．不断重复这样的过程，就得到了“科赫雪花曲线”．

【规律总结】（1）每一次分形后，得到的“雪花曲线”的边数是前一个“雪花曲线”边数的 　 　倍；每一次分形后，三角形的边长都变为原来的 　 　倍；
【问题解决】（2）试猜想第n次分形后所得图形的边数是 　 　；周长为 　 　（用含n的代数式表示）．
20．（10分）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为A（0，a），B（b，a），且a，b满足（a﹣3）2+|b﹣6|＝0，现同时将点A，B分别向下平移3个单位，再向左平移2个单位，分别得到点A，B的对应点C，D，连接AC，BD，AB．

（1）求点C，D的坐标及四边形ABDC的面积S四边形ABCD；
（2）在y轴上是否存在一点M，连接MC，MD，使S△MCD＝S四边形ABCD？若存在这样一点，求出点M的坐标，若不存在，试说明理由；
（3）点P是直线BD上的一个动点，连接PA，PO，当点P在BD上移动时（不与B，D重合），直接写出∠BAP，∠DOP，∠APO之间满足的数量关系．
21．（12分）直线l：y＝kx+4和抛物线y＝ax2﹣x+c都经过点A（2，0），且与y轴有相同的交点．
（1）求直线l及抛物线的解析式；
（2）点P是抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m，且﹣3≤m≤3，平移直线l使其经过点P得到直线l'，设直线l′与y轴的交点的纵坐标为n．求n关于m的函数解析式，以及n的最大值和最小值．
22．（12分）如图，AB是圆O的直径，C，D是圆上的点（在AB同侧），过点D的圆的切线交直线AB于点E．
（1）若AB＝2，BC＝1，求AC的长；
（2）若四边形ACDE是平行四边形，证明：BD平分∠ABC．

23．（14分）已知：如图1，△ABC中，∠CAB＝120°，AC＝AB，点D是BC上一点，其中∠ADC＝a（30°＜a＜90°），将△ABD沿AD所在的直线折叠得到△AED，AE交CB于F，连接CE．

（1）①当a＝60°时，∠CDE＝　 　．
②当∠ADC＝a（30°＜a＜90°）时，∠AEC＝　 　（用含a的代数式表示）；
（2）如图2，当a＝45°时，解决以下问题：
①已知AD＝2，求CE的值；
②证明：．


参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．2022年3月5日，十三届全国人大五次会议在京召开，国务院总理李克强做政府工作报告，今年主要预期目标粮食产量保持在1.3万亿斤以上，其中1.3万亿用科学记数法表示为（　　）
A．1.3×104 B．1.3×108 C．1.3×1012 D．13×1011
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数，当原数绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：1.3万亿＝13000亿＝1300000000000＝1.3×1012．
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
2．计算（2a2）3÷2（﹣a2）3的结果是（　　）
A．﹣3 B．﹣4 C．4 D．﹣1
【分析】先根据幂的乘方与积的乘方化简，再根据单项式除以单项式法则计算即可．
【解答】解：原式＝8a6÷[2•（﹣a6）]
＝8a6÷（﹣2a6）
＝﹣4．
故选：B．
【点评】本题考查了整式的除法，幂的乘方与积的乘方，掌握单项式除以单项式，把系数，同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式是解题的关键．
3．若将两个立体图形按如图所示的方式放置，则所构成的组合体的主视图是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】根据立体图形主视图的视图角度观察即可得到答案．
【解答】解：构成的组合体的主视图，下面是一个长方形，上面是一个正方形，其中正方形的正中间有一条竖着的棱可见，
故选：B．
【点评】本题考查了立体图形的三视图的判断，解题关键在于注意视图中可见的棱线画实线，不可见的棱线画虚线．
4．若a＝，b＝，c＝3，则a、b、c的大小关系为（　　）
A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．c＜a＜b D．c＜b＜a
【分析】先估算出与的值的范围，即可解答．
【解答】解：∵8＜20＜27，
∴2＜＜3，
∵9＜10＜16，
∴3＜＜4，
∴＜3＜，
∴a＜c＜b，
故选：A．
【点评】本题考查了实数大小比较，估算无理数的大小，熟练掌握估算无理数的大小是解题的关键．
5．如图，已知AB∥CD，小妍同学进行以下尺规作图：
①以点A为圆心，AC长为半径作弧，交射线AB于点E；
②以点E为圆心，小于线段CE的长为半径作弧，与射线CE交于点M，N；
③分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，交于点F，直线EF交CD于点G．若∠CGE＝α，则∠A的度数可以用α表示为（　　）

A．90°﹣α B． C．180°﹣4α D．2α
【分析】由作图可知：AC＝AE，CE⊥CE，所以∠ACE＝∠AEC，∠CEG＝90°，则∠CGE+∠ECG＝90°，所以∠ECG＝90°﹣α，再根据平行线的性质得∠AEC＝∠ECG＝90°﹣α，即可由三角形内角和定理求解．
【解答】解：由作图可知：AC＝AE，CE⊥CE，
∴∠ACE＝∠AEC，∠CEG＝90°，
∴∠CGE+∠ECG＝90°，
∴∠ECG＝90°﹣α，
∵AB∥CD，
∴∠ACE＝∠AEC＝∠ECG＝90°﹣α，
∴∠A＝180°﹣∠ACE﹣∠AEC＝180°﹣2∠AEC＝180°﹣2（90°﹣α）＝2α，故D正确．
故选：D．
【点评】本题考查作线段等于已知线段，经过上点作直线的垂线，平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握尺规基本作图和三角形内角和定理是解题的关键．
6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝2cm，BC＝1cm，点P，Q同时从A点出发，分别沿A→B→C、A→C运动，速度都是1cm/s，直到两点都到达点C即停止运动．设点P，Q运动的时间为t（s），△APQ的面积为S（cm2），则S与t的函数图象大致是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】分、、2＜t≤3三种情况，分别求出函数表达式，即可求解．
【解答】解：在Rt△ABC中，sinA＝＝，故∠A＝30°，则AC＝，
当时，S＝＝×t×＝t2；
当时，此时，点Q与点C重合，点P在AB上，

过点P作PH⊥AC于点H，则PH＝AP＝t，
则S＝AC•PH＝××t＝t；
当2＜t≤3时，此时，点Q与点C重合，点P在BC上，
同理可得：，
故选：D．
【点评】本题考查了动点问题的函数图象以及三角形的面积公式，分类求解得到函数表达式是解题的关键．
7．如图，将一副直角三角尺重叠摆放，使得60°角的顶点与等腰直角三角形的直角顶点重合，且DE⊥AB于点D，与BC交于点F，则∠FCE的度数为（　　）

A．60° B．65° C．75° D．85°
【分析】根据等腰三角形的两个底角相等，直角三角形的两个锐角互余解答即可．
【解答】解：∵DE⊥AB于点D，
∴∠ADF＝90°，
∵∠CDE＝45°，
∴∠ADC＝45°，
∵∠A＝90°，
∴∠ACD＝45°，
∵∠ACB＝60°，
∴∠DCB＝15°，
∵∠DCE＝90°，
∴∠FCE＝75°，
故选：C．
【点评】本题主要考查了等腰三角形和直角三角形，熟练掌握等腰三角形和直角三角形的性质是解题的关键．
8．蚌埠市作为国家级“两区一点”城市，在智慧教育方面领先全国．据蚌埠市教育局微信公众号2022年3月20日发布的《2022年蚌埠市中小学智慧课堂教学抽样赛首次月汇总成绩公布》报道，今年2月25日﹣3月18日，市教育局每周五连续四周举行的蚌埠市初中语文、数学、英语、物理智慧课堂教学抽样赛成绩如表所示．若仅以表中数据为依据，则以下结论正确的是（　　）
县区
经开区
龙子湖区
蚌山区
禹会区
高新区
淮上区
局属
怀远县
固镇县
五河县
平均分
95.38
92.23
83.17
80.13
79.74
78.49
72.64
72.56
68.41
66.33
参赛教师数
1
2
3
3
3
3
3
2
3
1
A．这四次抽测所得数据的中位数x1一定满足75＜x1＜85
B．这四次抽测所得数据的平均数x2一定满足75＜x2＜85
C．这四次抽测所得数据的众数x3一定满足75＜x3＜85
D．这四次抽测所得数据的最大数与最小数的差一定是29.05
【分析】根据中位数、平均数、众数和极差的定义逐项分析可得答案．
【解答】解：∵这是每个区教师的平均成绩，
∴不能得出所抽测数据中位数、众数和极差，
平均数为×（95.38+92.23×2+83.17×3+80.13×3+79.74×3+78.49×3+72.64×3+72.56×3+68.41×3+66.33）≈78.3，
故选：B．
【点评】本题考查中位数、平均数、众数和极差，熟练掌握中位数、平均数、众数和极差的定义是解题关键．
9．如图，直线y＝﹣x+b与x，y轴分别交于点A，B，与直线y＝kx（k＞0）交于点G，分别过点A，B作直线y＝kx的垂线，垂足分别为D，E．若OA＝10，OD＝6，则DE的长为（　　）

A．4 B．3 C．2 D．1
【分析】由一次函数解析式即可求得OA＝OB，根据勾股定理求得AD＝8，然后通过证得△AOD≌△OBE（AAS），得到OE＝AD＝8，即可求得DE＝OE﹣OD＝8﹣6＝2．
【解答】解：∵直线y＝﹣x+b与x，y轴分别交于点A，B，
∴A（b，0），B（0，b），
∴OA＝OB，
在Rt△ADO中，OA＝10，OD＝6，
∴AD＝＝8，
∵∠AOD+∠BOE＝90°，∠AOD+∠OAD＝90°，
∴∠BOE＝∠OAD，
在△AOD和△OBE中，
，
∴△AOD≌△OBE（AAS），
∴OE＝AD＝8，
∴DE＝OE﹣OD＝8﹣6＝2，
故选：C．
【点评】本题是两条直线相交问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，勾股定理的应用，三角形全等的判断和性质，求得OE的长度是解题的关键．
10．“闻起来臭，吃起来香”的臭豆腐是长沙特色小吃，臭豆腐虽小，但制作流程却比较复杂，其中在进行加工煎炸臭豆腐时，我们把“焦脆而不糊”的豆腐块数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，“可食用率”P与加工煎炸时间t（单位：分钟）近似满足的函数关系为：P＝at2+bt+c（a≠0，a，b，c是常数），如图记录了三次实验的数据．根据上述函数关系和实验数据，可以得到加工煎炸臭豆腐的最佳时间为（　　）

A．3.50分钟 B．4.05分钟 C．3.75分钟 D．4.25分钟
【分析】将图象中的三个点（3，0.8）、（4，0.9）、（5，0.6）代入函数关系p＝at2+bt+c中，可得函数关系式为：p＝﹣0.2t2+1.5t﹣1.9，再根据加工煎炸臭豆腐的最佳时间为抛物线顶点的横坐标，求出即可得结论．
【解答】解：将图象中的三个点（3，0.8）、（4，0.9）、（5，0.6）代入函数关系P＝at2+bt+c中，
，
解得，
所以函数关系式为：P＝﹣0.2t2+1.5t﹣1.9，
由题意可知：加工煎炸臭豆腐的最佳时间为抛物线顶点的横坐标：
t＝﹣＝﹣＝3.75，
则当t＝3.75分钟时，可以得到最佳时间．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数的应用，解决本题的关键是掌握二次函数的性质．
二、填空题（本大题共4小题，共20分）
11．（5分）在函数y＝中，自变量x的取值范围是 　x≥3　．
【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．
【解答】解：根据题意得：x﹣3≥0且x﹣2≠0，
解得x≥3
∴自变量x的取值范围是x≥3．
故答案为：x≥3．
【点评】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
12．（5分）在一个不透明的袋子里有1个红球，2个白球和若干个黑球．小宇将袋子中的球摇匀后，从中任意摸出一个，记下颜色后放回袋中，在多次重复以上操作后，小宇统计了摸到红球的频率，并绘制了如图折线图．则从袋子中随机摸出两个球，这两个球一红一白的概率为 　　．
．
【分析】根据摸到红球的频率，可以得到黑球的个数，进而可得袋子中一共有5个球；根据枚举法即可求摸出的两个球一红一白的概率．
【解答】解：观察折线统计图可知：摸到红球的频率稳定在0.2，
设袋子中有x个黑球，
所以＝0.2，
解得x＝2，
所以袋子中一共有5个球．
∴袋子中黑球的个数为2，
列表如下：

红
白
白
黑
黑
红

（白，红）
（白，红）
（黑，红）
（黑，红）
白
（红，白）

（白，白）
（黑，白）
（黑，白）
白
（红，白）
（白，白）

（黑，白）
（黑，白）
黑
（红，黑）
（白，黑）
（白，黑）

（黑，黑）
黑
（红，黑）
（白，黑）
（白，黑）
（黑，黑）

可能出现的结果有20种，并且它们出现的可能性相同．其中这两个球一红一白的结果有4种，
∴这两个球一红一白的概率为＝，
故答案为：．
【点评】此题主要考查了利用频率估计概率，本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据红球的频率得到相应的等量关系．
13．（5分）如图，A、B是第二象限内双曲线y＝上的点，A、B两点的横坐标分别是a、2a，线段AB的延长线交x轴于点C，若S△AOC＝6，则k的值为　﹣4　．

【分析】分别过点A、B作AF⊥y轴于点F，AD⊥x轴于点D，BG⊥y轴于点G，BE⊥x轴于点E，由于反比例函数的图象在第二象限，所以k＜0，由点A是反比例函数图象上的点可知，S△AOD＝S△AOF＝，再由A、B两点的横坐标分别是a、2a可知AD＝2BE，故点B是AC的二等分点，故DE＝a，CE＝a，所以S△AOC＝S梯形ACOF﹣S△AOF＝6，故可得出k的值．
【解答】解：分别过点A、B作AF⊥y轴于点F，AD⊥x轴于点D，BG⊥y轴于点G，BE⊥x轴于点E，
∵反比例函数y＝的图象在第二象限，
∴k＜0，
∵点A是反比例函数图象上的点，
∴S△AOD＝S△AOF＝，
∵A、B两点的横坐标分别是a、2a，
∴AD＝2BE，
∴点B是AC的二等分点，
∴DE＝a，CE＝a，
∴S△AOC＝S梯形ACOF﹣S△AOF＝（OE+CE+AF）×OF﹣＝×4a×﹣＝6，解得k＝﹣4，
故答案为：﹣4．

【点评】本题考查的是反比例函数系数k的几何意义，根据题意得出辅助线得出S△AOC＝S梯形ACOF﹣S△AOF＝6是解答此题的关键．
14．（5分）七巧板是中国古代劳动人民发明的一种传统智力玩具，它由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成．（清）陆以活《冷庐杂识》卷中写道：近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余，体物肖形，随手变幻，盖游戏之具，足以排闷破寂，故世俗皆喜为之．如图是一个用七巧板拼成装饰图，放入长方形ABCD内，装饰图中的三角形顶点E，F分别在边AB，BC上，三角形①的边GD在AD上，则＝　　．

【分析】设七巧板的边长为x，根据正方形的性质、矩形的性质分别表示出AB，BC，进一步求出的值．
【解答】解：设七巧板的边长为x，
则AB＝x+x，BC＝x+x+x＝2x，
∴＝＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了矩形的性质，七巧板，关键是熟悉七巧板的特征，表示出AB，BC的长．
三、解答题（本大题共9小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15．（8分）计算：
（1）计算：；
（2）先化简再从﹣1，0，1，2，选一个合适的数作为a的值代入求值．
【分析】（1）根据绝对值的性质、零指数幂的意义、特殊角的锐角三角函数值以及二次根式的性质即可求出答案．
（2）根据分式的加减运算以及乘除运算法则进行化简，然后将a的值代入原式即可求出答案．
【解答】解：（1）原式＝﹣1+1﹣2×+3
＝﹣+3
＝3．
（2）原式＝•
＝•
＝a+1，
由分式有意义的条件可知：a不能取0、±1，
故a＝2，
原式＝2+1
＝3．
【点评】本题考查绝对值的性质、零指数幂的意义、特殊角的锐角三角函数值、二次根式的性质、分式的加减运算以及乘除运算法则，本题属于基础题型．
16．（8分）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出△ABC，其顶点A，B，C均为网格线的交点．
（1）将ABC沿水平方向向右平移5个单位，再沿竖直方向向下平移4个单位，得到△A1B1C1，画出△A1B1C1；
（2）将△ABC以点C为中心，顺时针旋转90度，得到△A2B2C2，画出△A2B2C2；
（3）点A，A2之间的距离是 　2　．

【分析】（1）根据平移的性质即可将ABC沿水平方向向右平移5个单位，再沿竖直方向向下平移4个单位，得到△A1B1C1；
（2）根据旋转的性质即可将△ABC以点C为中心，顺时针旋转90度，得到△A2B2C2；
（3）根据网格利用勾股定理即可求出点A，A2之间的距离．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；

（2）如图，△A2B2C2即为所求；
（3）点A，A2之间的距离＝＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了作图﹣旋转变换，作图﹣平移变换，解决本题的关键是掌握旋转的性质．
17．（8分）国家规定“中小学生每天在校体育活动时间不低于1h”．为此，某市就“每天在校体育活动时间”的问题随机调查了辖区内部分初中学生．根据调查结果绘制成的统计图（部分）如图所示，其中分组情况是：
A组：t＜0.5h
B组：0.5h≤t＜1h
C组：1h≤t＜1.5h
D组：t≥1.5h

请根据以上信息解答下列问题：
（1）本次调查的人数是 　400　人；D组对应扇形的圆心角为 　36　°；
（2）根据题中信息补全条形统计图；
（3）本次调查数据的中位数落在 　C　组内；
（4）若该市辖区约有80000名初中学生，请估计其中达到国家规定的体育活动时间的学生有多少人．
【分析】（1）根据A组的人数和百分比即可求出总人数；先算出D组所占的百分比，再求出对应的圆心角；
（2）根据总人数和条形统计图即可求出C组人数；
（3）根据第200个和第201个数据所在的组即可求出中位数所在的组；
（4）根据优秀人数的百分比即可估算出全市优秀的人数．
【解答】解：（1）∵A组有40人，占10%，
∴总人数为（人），
D组所占的百分比为，
∴D组所对的圆心角为360°×10%＝36°，
故答案为：400；36；
（2）C组的人数为400﹣40﹣80﹣40＝240（人），
统计图如下：

（3）中位数为第200个数据和第201个数据的平均数，都在C组，
∴中位数在C组，
故答案为：C；
（4）优秀人数所占的百分比为×80000＝56000（人），
∴全市达到国家规定体育活动时间的学生人数大约为56000人．
【点评】本题主要考查统计图形的应用，最关键的是得出抽查人数，只需要看两个统计图里都已知的量即可，像中位数，众数，平均数这样的统计量中考比较爱考，要牢记它们的概念和计算公式．
18．（8分）如图1是自动卸货汽车卸货时的状态图，图2是其示意图．汽车的车厢采用液压机构、车厢的支撑顶杆BC的底部支撑点B在水平线AD的下方，AB与水平线AD之间的夹角是5°，卸货时，车厢与水平线AD成60°，此时AB与支撑顶杆BC的夹角为45°，若AC＝2米，求BC的长度．（结果保留一位小数）

（参考数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14，sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75，≈1.41）
【分析】直接过点C作CF⊥AB于点F，利用锐角三角函数关系得出CF的长，进而得出BC的长．
【解答】方法一：解：如图1，过点C作CF⊥AB于点F，
在Rt△ACF中，
∵sin∠CAB＝sin（60°+5°）＝sin65°＝，
∴CF＝AC•sin65°≈2×0.91＝1.82（米），
在Rt△BCF中，
∵∠ABC＝45°，
∴CF＝BF，
∴BC＝CF＝1.41×1.82＝2.5662≈2.6（米），
答：所求BC的长度约为2.6米．

方法二：解：如图2，过点A作AE⊥BC于点E，
在Rt△ACE中，∵∠C＝180°﹣65°﹣45°＝70°，
∴cosC＝cos70°＝，
即CE＝AC×cos70°≈2×0.34＝0.68（米），
sinC＝sin70°＝，
即AE＝AC×sin70°≈2×0.94＝1.88（米），
又∵在Rt△AEB中，∠ABC＝45°，
∴AE＝BE，
∴BC＝BE+CE＝0.68+1.88＝2.56≈2.6（米），
答：所求BC的长度约为2.6米．


【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确掌握锐角三角函数关系是解题关键．
19．（10分）2022年北京冬奥会开幕式主火炬台由96块小雪花形态和6块橄榄枝构成的巨型“雪花”形态，在数学上，我们可以通过“分形”近似地得到雪花的形状．
操作：将一个边长为1的等边三角形（如图①）的每一边三等分，以居中那条线段为底边向外作等边三角形，并去掉所作的等边三角形的一条边，得到一个六角星（如图②，称为第一次分形．接着对每个等边三角形凸出的部分继续上述过程，即在每条边三等分后的中段向外画等边三角形，得到一个新的图形（如图③），称为第二次分形．不断重复这样的过程，就得到了“科赫雪花曲线”．

【规律总结】（1）每一次分形后，得到的“雪花曲线”的边数是前一个“雪花曲线”边数的 　4　倍；每一次分形后，三角形的边长都变为原来的 　　倍；
【问题解决】（2）试猜想第n次分形后所得图形的边数是 　3×4n　；周长为 　　（用含n的代数式表示）．
【分析】（1）根据第一次分形后，得到的“雪花曲线”的边数是12，边长是，第二次分形后，得到的“雪花曲线”的边数是48，边长是，可得答案；
（2）由（1）可得第n次分形后所得图形的边数是3×4n，边长为（ ）n，所以周长为3×（）n．
【解答】解：（1）等边三角形的边数为3，边长为1，
第一次分形后，得到的“雪花曲线”的边数是12，边长是，
第二次分形后，得到的“雪花曲线”的边数是48，边长是，
…，
∴每一次分形后，得到的“雪花曲线”的边数是前一个“雪花曲线”边数的4倍；每一次分形后，三角形的边长都变为原来的倍．
故答案为：4，；
（2）第一次分形后，得到的“雪花曲线”的边数是12，边长是，
第二次分形后，得到的“雪花曲线”的边数是48，边长是，
…，
所以第n次分形后所得图形的边数是3×4n，边长为（）n，
所以周长为3×4n×（）n＝3×（）n．
故答案为：3×4n，3×（）n．
【点评】此题考查图形的变化规律，解题关键是找出图形之间的联系，得出运算规律．
20．（10分）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为A（0，a），B（b，a），且a，b满足（a﹣3）2+|b﹣6|＝0，现同时将点A，B分别向下平移3个单位，再向左平移2个单位，分别得到点A，B的对应点C，D，连接AC，BD，AB．

（1）求点C，D的坐标及四边形ABDC的面积S四边形ABCD；
（2）在y轴上是否存在一点M，连接MC，MD，使S△MCD＝S四边形ABCD？若存在这样一点，求出点M的坐标，若不存在，试说明理由；
（3）点P是直线BD上的一个动点，连接PA，PO，当点P在BD上移动时（不与B，D重合），直接写出∠BAP，∠DOP，∠APO之间满足的数量关系．
【分析】（1）根据非负数的性质分别求出a、b，根据平移规律得到点C，D的坐标，根据坐标与图形的性质求出S四边形ABCD；
（2）设M坐标为（0，m），根据三角形的面积公式列出方程，解方程求出m，得到点M的坐标；
（3）分点P在线段BD上、点P在DB的延长线上、点P在BD的延长线上三种情况，根据平行线的性质解答．
【解答】解：（1）∵（a﹣3）2+|b﹣6|＝0，
∴a﹣3＝0，b﹣6＝0，
，解得，a＝3，b＝6．
∴A（0，3），B（6，3），
∵将点A，B分别向下平移3个单位，再向左平移2个单位，分别得到点A，B的对应点C，D，
∴C（﹣2，0），D（4，0），
∴S四边形ABDC＝AB×OA＝6×3＝18；
（2）在y轴上存在一点M，使S△MCD＝S四边形ABCD，
设M坐标为（0，m）．
∵S△MCD＝S四边形ABDC，
∴×6|m|＝×18，
解得m＝±2，
∴M（0，2）或（0，﹣2）；
（3）①当点P在线段BD上移动时，∠APO＝∠DOP+∠BAP，
理由如下：如图1，过点P作PE∥AB，
∵CD由AB平移得到，则CD∥AB，
∴PE∥CD，
∴∠BAP＝∠APE，∠DOP＝∠OPE，
∴∠BAP+∠DOP＝∠APE+∠OPE＝∠APO；
②当点P在DB的延长线上时，同①的方法得，
∠DOP＝∠BAP+∠APO；
③当点P在BD的延长线上时，同①的方法得，
∠BAP＝∠DOP+∠APO．

【点评】本题考查的是非负数的性质、平移的性质、平行线的性质，掌握平移的性质、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．
21．（12分）直线l：y＝kx+4和抛物线y＝ax2﹣x+c都经过点A（2，0），且与y轴有相同的交点．
（1）求直线l及抛物线的解析式；
（2）点P是抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m，且﹣3≤m≤3，平移直线l使其经过点P得到直线l'，设直线l′与y轴的交点的纵坐标为n．求n关于m的函数解析式，以及n的最大值和最小值．
【分析】（1）利用待定系数法解得即可；
（2）由题意设长直线l′的解析式，利用抛物线的解析式表示出点P的坐标，将坐标代入直线l′的解析式，整理即可得出n关于m的函数解析式，再利用配方法和二次函数的性质以数形结合法即可得出结论．
【解答】解：（1）∵直线l经过点A（2，0），
∴2k+4＝0，
解得：k＝﹣2，
∴直线l的解析式为y＝﹣2x+4；
令x＝0，则y＝﹣4，
∴直线l与y轴的交点为（0，4），
∵抛物线和直线l与y轴有相同的交点，
∴将（2，0），（0，4）代入抛物线的解析式，
由题意得：
解得
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x+4；
（2）由题意得，直线l′的解析式为y＝﹣2x+n，
∵点P在抛物线上，点P的横坐标为m，
∴点P的纵坐标为m2﹣m+4，
即P（m，m2﹣m+4）．
∵直线l′过点P，
∴﹣2m+n＝m2﹣m+4，
∴n＝m2+m+4＝（m﹣1）2+，
∵＜0，﹣3≤m≤3，
∴当m＝1时，n最大，此时n＝；
当m＝﹣3时，n最小，此时n＝，
故n＝m2+m+4（﹣3≤m≤3），n的最大值为，最小值为．
【点评】本题主要考查了二次函数的性质，一次函数的性质，待定系数法，一次函数图象上点的坐标的特征，二次函数图象上点的坐标的特征，直线的平移的性质，函数的极值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
22．（12分）如图，AB是圆O的直径，C，D是圆上的点（在AB同侧），过点D的圆的切线交直线AB于点E．
（1）若AB＝2，BC＝1，求AC的长；
（2）若四边形ACDE是平行四边形，证明：BD平分∠ABC．

【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角可得∠ACB＝90°，然后在Rt△ABC中，利用勾股定理进行计算即可解答；
（2）连结OD，交AC于点F，利用切线的性质可得OD⊥ED，再利用平行四边形的性质可得ED∥AC，CD∥EA，从而可得OD⊥AC，进而可得OD∥BC，然后根据等腰三角形的性质，以及平行线的性质可得BD平分∠ABC，即可解答．
【解答】（1）解：∵AB是圆O的直径，
∴∠ACB＝90°，
在Rt△ABC中，AB＝2，BC＝1，
∴AC2＝AB2﹣BC2＝3，
∴AC＝或AC＝﹣（舍去），
∴AC的长为；
（2）证明：连结OD，交AC于点F，

∵ED与圆O相切于D点，
∴OD⊥ED，
∵四边形ACDE是平行四边形，
∴ED∥AC，CD∥EA，
∴OD⊥AC，
∴∠OFA＝90°，
∴∠OFA＝∠ACB＝90°，
∴OD∥BC，
∴∠ODB＝∠CBD，
∵OD＝OB，
∴∠ODB＝∠OBD，
∴∠OBD＝∠CBD，
∴BD平分∠ABC．
【点评】本题考查了勾股定理，切线的性质，圆周角定理，平行四边形的性质，熟练掌握切线的性质，以及平行四边形的性质是解题的关键．
23．（14分）已知：如图1，△ABC中，∠CAB＝120°，AC＝AB，点D是BC上一点，其中∠ADC＝a（30°＜a＜90°），将△ABD沿AD所在的直线折叠得到△AED，AE交CB于F，连接CE．

（1）①当a＝60°时，∠CDE＝　60°　．
②当∠ADC＝a（30°＜a＜90°）时，∠AEC＝　a　（用含a的代数式表示）；
（2）如图2，当a＝45°时，解决以下问题：
①已知AD＝2，求CE的值；
②证明：．

【分析】（1）①②由等腰三角形的性质可得∠ABC＝∠ACB＝30°，由旋转的性质可得∠ADB＝∠ADE＝180°﹣a，∠DAB＝∠DAE＝a﹣30°，AB＝AE＝AC，即可求解；
（2）①由等腰直角三角形的性质可求AH＝，由直角三角形的性质可求AC＝2，由等腰直角三角形的性质可求CE＝4；
②由“SAS”可证△ADE≌△AGC，可得DE＝CG，可得结论．
【解答】（1）解：①∵∠CAB＝120°，AC＝AB，
∴∠ABC＝∠ACB＝30°，
∵∠ADC＝60°，
∴∠DAB＝∠ADC﹣∠B＝60°﹣30°＝30°，∠ADB＝180°﹣60°＝120°，
∵将△ABD沿AD所在的直线折叠得到△AED，
∴∠ADB＝∠ADE＝120°，∠DAB＝∠DAE＝30°，AB＝AE＝AC，
∴∠CDE＝180°﹣a﹣a＝60°，
故答案为：60°；
②∵∠CAB＝120°，AC＝AB，
∴∠ABC＝∠ACB＝30°，
∵∠ADC＝a，
∴∠DAB＝∠ADC﹣∠B＝a﹣30°，∠ADB＝180°﹣a，
∵将△ABD沿AD所在的直线折叠得到△AED，
∴∠ADB＝∠ADE＝180°﹣a，∠DAB＝∠DAE＝a﹣30°，AB＝AE＝AC，
∴∠CDE＝180°﹣a﹣a＝180°﹣2a，∠CAE＝120﹣2（a﹣30°）＝180°﹣2a，
∴∠AEC＝[180°﹣（180°﹣2a）]＝a；
故答案为：a；
（2）①解：如图2，过点A作AH⊥BC于H，

∵∠ADC＝45°，AH⊥BC，
∴∠ADC＝∠DAH＝45°，
∴AH＝HD，
∵AD＝2，
∴AH＝HD＝，
∵∠ACB＝30°，
∴AC＝2AH＝2，
∵∠CDE＝180°﹣2α＝90°，∠AEC＝α＝45°，
∴∠ACE＝∠AEC＝45°，
∴AE＝AC＝2，
∴CE＝AC＝4；
②证明：如图3，过点A作AG⊥AD，交CD于G，

∵∠ADC＝45°，AG⊥AD，
∴∠ADC＝∠AGD＝45°，
∴AD＝AG，
∴DG＝AD，
∵∠DAG＝∠CAE＝90°，
∴∠CAG＝∠EAD，
又∵AC＝AE，AD＝AG，
∴△ADE≌△AGC（SAS），
∴DE＝CG，
∵CD＝CG+DG，
∴DC﹣DE＝AD．
【点评】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，折叠的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．