高中数学高考课时跟踪检测（十一） 函数的图象及其应用 作业

课时跟踪检测（十一）  函数的图象及其应用

一、综合练——练思维敏锐度

1．(2021·贵阳模拟)函数f(x)＝的图象大致为(　　)

解析：选C　因为y＝x2－1与y＝e|x|都是偶函数，所以f(x)＝为偶函数，排除A、B；又由x→＋∞时，f(x)→0，x→－∞时，f(x)→0，排除D，故选C.

2．若函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝－f(x＋1)的图象大致为(　　)

解析：选C　要想由y＝f(x)的图象得到y＝－f(x＋1)的图象，需要先将y＝f(x)的图象关于x轴对称得到y＝－f(x)的图象，然后向左平移1个单位长度得到y＝－f(x＋1)的图象，根据上述步骤可知C正确．

3．(多选)函数f(x)＝的图象可能是(　　)

解析：选ABC　由题可知，函数f(x)＝，

当a＝0时，f(x)＝＝，定义域为x≠0，选项C可能；

当a＞0时，取a＝1，f(x)＝，则函数的定义域为R，且是奇函数，x≠0时函数可化为f(x)＝，选项B可能；

当a＜0时，取a＝－1，f(x)＝，定义域为x≠±1且是奇函数，选项A可能．故不可能是选项D，故选A、B、C.

4.如图所示的函数图象对应的函数可能是(　　)

A．y＝2x－x2－1　 B．y＝

C．y＝(x2－2x)ex  D．y＝

解析：选C　A选项中，当x＝－1时，y＝2x－x2－1＝－1－1＝－<0，不符题意；B选项中，当x＝－时，y＝＝＝－<0，不符题意；D选项中，当x<0时，y＝无意义，不符题意．故选C.

5．(2021·杭州高三月考)函数f(x)＝的图象是(　　)

解析：选A　f(3)＝＝ln 2>0，故排除D；f(－1)＝－ln 2<0，故排除C；f＝ln<0，故排除B，选A.

6．下列函数中，其图象与函数y＝ln x的图象关于直线x＝1对称的是(　　)

A．y＝ln(1－x)　　　　　 B．y＝ln(2－x)

C．y＝ln(1＋x)  D．y＝ln(2＋x)

解析：选B　法一：设所求函数图象上任一点的坐标为(x，y)，则其关于直线x＝1的对称点的坐标为(2－x，y)，由对称性知点(2－x，y)在函数f(x)＝ln x的图象上，所以y＝ln(2－x)．故选B.

法二：由题意知，对称轴上的点(1,0)既在函数y＝ln x的图象上也在所求函数的图象上，代入选项中的函数表达式逐一检验，排除A、C、D，故选B.

7．(2021·山西四校联考)已知函数f(x)＝|x2－1|，若0<a<b且f(a)＝f(b)，则b的取值范围是(　　)

A．(0，＋∞)  B．(1，＋∞)

C．(1，)  D．(1,2)

解析：选C　作出函数f(x)＝|x2－1|在区间(0，＋∞)上的图象如图所示，作出直线y＝1，交f(x)的图象于B点，由x2－1＝1可得xB＝，结合函数图象可得b的取值范围是(1，)，故选C.

8．(多选)小菲在学校选修课中了解到艾宾浩斯遗忘曲线，为了解自己记忆一组单词的情况，记录了随后一个月的有关数据，绘制成图象(如图)，拟合了记忆保持量f(x)与时间x(天)之间的函数关系f(x)＝

某同学根据小菲拟合后的信息得到以下结论，正确的有(　　)

A．随着时间的增加，小菲的单词记忆保持量降低

B．9天后，小菲的单词记忆保持量低于40%

C．26天后，小菲的单词记忆保持量不足20%

D．30天后，小菲的单词记忆保持量高于20%

解析：选ABD　由函数解析式可知f(x)随着x的增加而减少，故A正确；当1<x≤30时，f(x)＝＋x，则f(9)＝＋×9＝0.35，即9天后，小菲的单词记忆保持量低于40%，故B正确；f(26)＝＋×26>，故C错误；f(30)＝＋×30>，故D正确．故选A、B、D.

9.如图所示，定义在[－1，＋∞)上的函数f(x)的图象由一条线段及抛物线的一部分组成，则f(x)的解析式为________________________．

解析：当－1≤x≤0时，设解析式为f(x)＝kx＋b(k≠0)，

则得∴当－1≤x≤0时，f(x)＝x＋1.

当x＞0时，设解析式为f(x)＝a(x－2)2－1(a≠0)，

∵图象过点(4,0)，∴0＝a(4－2)2－1，∴a＝.

故函数f(x)的解析式为f(x)＝

答案：f(x)＝

10．已知函数f(x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx.若方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是________．

解析：先作出函数f(x)＝|x－2|＋1的图象，如图所示，当直线g(x)＝kx与直线AB平行时斜率为1，当直线g(x)＝kx过A点时斜率为，故当f(x)＝g(x)有两个不相等的实根时，k的取值范围为.

答案：

11．作出下列函数的图象．

(1)y＝eln x；

(2)y＝|x－2|·(x＋1)．

解：(1)因为函数的定义域为{x|x>0}且y＝eln x＝x(x>0)，所以其图象如图所示．

(2)当x≥2，即x－2≥0时，y＝(x－2)·(x＋1)＝x2－x－2＝2－；

当x<2，即x－2<0时，y＝－(x－2)(x＋1)＝－x2＋x＋2＝－2＋.

所以y＝

这是分段函数，每段函数的图象可根据二次函数图象作出(其图象如图所示)．

12．已知函数f(x)＝2x，x∈R.

(1)当m取何值时方程|f(x)－2|＝m有一个解？

(2)若不等式[f(x)]2＋f(x)－m>0在R上恒成立，求m的取值范围．

解：(1)令F(x)＝|f(x)－2|＝|2x－2|，G(x)＝m，画出F(x)的图象如图所示．由图象看出，当m＝0或m≥2时，函数F(x)与G(x)的图象只有一个交点，原方程有一个解，故m的取值范围是{0}∪[2，＋∞)．

(2)令f(x)＝t(t>0)，H(t)＝t2＋t，因为H(t)＝2－在区间(0，    ＋∞)上是增函数，所以H(t)>H(0)＝0.因此要使t2＋t>m在区间(0，＋∞)上恒成立，应有m≤0，即所求m的取值范围是(－∞，0]．

二、自选练——练高考区分度

1.函数f(x)＝的图象如图所示，则下列结论成立的是(　　)

A．a>0，b>0，c<0

B．a<0，b>0，c>0

C．a<0，b>0，c<0

D．a<0，b<0，c<0

解析：选C　函数定义域为{x|x≠－c}，结合图象知－c>0，

∴c<0.

令x＝0，得f(0)＝，又由图象知f(0)>0，∴b>0.

令f(x)＝0，得x＝－，结合图象知－>0，∴a<0.

故选C.

2.如图所示，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6 cm，BC＝8 cm，点P以1 cm/s的速度沿A→B→C的路径向C移动，点Q以2 cm/s的速度沿B→C→A的路径向A移动，当点Q到达A点时，P，Q两点同时停止移动．记△PCQ的面积关于移动时间t的函数为S＝f(t)，则f(t)的图象大致为(　　)

解析：选A　当0≤t≤4时，点P在AB上，点Q在BC上，此时PB＝6－t，QC＝8－2t，则S＝f(t)＝QC·PB

＝(8－2t)×(6－t)＝t2－10t＋24；

当4<t≤6时，点P在AB上，点Q在CA上，

此时AP＝t，P到AC的距离为t，QC＝2t－8，

则S＝f(t)＝QC×t＝(2t－8)×t＝(t2－4t)；当6<t≤9时，点P在BC上，点Q在CA上，

此时CP＝14－t，QC＝2t－8，则S＝f(t)＝QC·CPsin∠ACB＝(2t－8)(14－t)×＝(t－4)(14－t)．

综上，函数f(t)对应的图象是三段抛物线，依据开口方向得出A中的图象，故选A.

3．已知函数f(x)＝若f(x)在区间[m,4]上的值域为[－1,2]，则实数m的取值范围为________．

解析：作出函数f(x)的图象，当x≤－1时，函数f(x)＝log2单调递减，且最小值为f(－1)＝－1，则令log2＝2，解得x＝－8；当x>－1时，函数f(x)＝－x2＋x＋在(－1,2)上单调递增，在[2，＋∞)上单调递减，则最大值为f(2)＝2，又f(4)＝<2，f(－1)＝－1，故所求实数m的取值范围为[－8，－1]．

答案：[－8，－1]

4．设f(x)是定义在R上的偶函数，F(x)＝(x＋2)3f(x＋2)－17，G(x)＝－，若F(x)的图象与G(x)的图象的交点分别为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)，则(xi＋yi)＝________.

解析：∵f(x)是定义在R上的偶函数，∴g(x)＝x3f(x)是定义在R上的奇函数，其图象关于原点中心对称，∴函数F(x)＝(x＋2)3f(x＋2)－17＝g(x＋2)－17的图象关于点(－2，－17)中心对称．

又函数G(x)＝－＝－17的图象也关于点(－2，－17)中心对称，

∴F(x)和G(x)的图象的交点也关于点(－2，－17)中心对称，

∴x1＋x2＋…＋xm＝×(－2)×2＝－2m，

y1＋y2＋…＋ym＝×(－17)×2＝－17m，

∴(xi＋yi)＝(x1＋x2＋…＋xm)＋(y1＋y2＋…＋ym)＝－19m.

答案：－19m