高中数学高考考点27 基本不等式-备战2022年高考数学 考点一遍过(1)

这是一份高中数学高考考点27 基本不等式-备战2022年高考数学 考点一遍过(1)，共21页。试卷主要包含了基本不等式，基本不等式在实际中的应用等内容，欢迎下载使用。
考点27  基本不等式基本不等式：（1）了解基本不等式的证明过程.（2）会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题.一、基本不等式1．基本不等式：（1）基本不等式成立的条件：.（2）等号成立的条件，当且仅当时取等号．2．算术平均数与几何平均数设，则a、b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．3．利用基本不等式求最值问题（1）如果积xy是定值P，那么当且仅当时，x＋y有最小值是.(简记：积定和最小)（2）如果和x＋y是定值P，那么当且仅当时，xy有最大值是.(简记：和定积最大)4．常用结论（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）二、基本不等式在实际中的应用1．问题的背景是人们关心的社会热点问题，如物价、销售、税收等．题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解；2．经常建立的函数模型有正(反)比例函数、一次函数、二次函数、分段函数以及等．解答函数应用题中的最值问题时一般利用二次函数的性质，基本不等式，函数的单调性或导数求解．考向一   利用基本不等式求最值利用基本不等式求最值的常用技巧：（1）若直接满足基本不等式条件，则直接应用基本不等式．（2）若不直接满足基本不等式条件，则需要创造条件对式子进行恒等变形，如构造“1”的代换等．常见的变形手段有拆、并、配.①拆——裂项拆项对分子的次数不低于分母次数的分式进行整式分离——分离成整式与“真分式”的和，再根据分式中分母的情况对整式进行拆项，为应用基本不等式凑定积创造条件．②并——分组并项目的是分组后各组可以单独应用基本不等式，或分组后先由一组应用基本不等式，再组与组之间应用基本不等式得出最值．③配——配式配系数有时为了挖掘出“积”或“和”为定值，常常需要根据题设条件采取合理配式、配系数的方法，使配式与待求式相乘后可以应用基本不等式得出定值，或配以恰当的系数后，使积式中的各项之和为定值.（3）若一次应用基本不等式不能达到要求，需多次应用基本不等式，但要注意等号成立的条件必须要一致.注：若可用基本不等式，但等号不成立，则一般是利用函数单调性求解.典例1  若正数a，b满足，则的最小值为A．1    B．6 C．9    D．16【答案】B 【解析】解法一：因为，所以a＋b=ab⇒(a−1)·(b−1)=1，所以=2×3=6(当且仅当，b=4时取“=”).故的最小值为6.解法二：因为，所以a＋b=ab，所以(当且仅当，b=4时取“=”)．故的最小值为6.解法三：因为，所以，所以(当且仅当b=4时取“=”)．故的最小值为6.【名师点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．1．函数的最大值为______，此时的值为______.考向二   基本不等式的实际应用有关函数最值的实际问题的解题技巧：（1）根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值．（2）设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数．（3）解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围．（4）在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解.典例2  2017年，在国家创新驱动战略下，北斗系统作为一项国家高科技工程，一个开放型的创新平台，1400多个北斗基站遍布全国，上万台设备组成星地“一张网”，国内定位精度全部达到亚米级，部分地区达到分米级，最高精度甚至可以达到厘米或毫米级.最近北斗三号工程耗资元建成一大型设备，已知这台设备维修和消耗费用第一年为元，以后每年增加元（是常数），用表示设备使用的年数，记设备年平均维修和消耗费用为，即 (设备单价设备维修和消耗费用）设备使用的年数．（1）求关于的函数关系式；（2）当，时，求这种设备的最佳更新年限．【解析】（1）由题意，设备维修和消耗费用构成以为首项，为公差的等差数列， 因此年平均维修和消耗费用为.于是有 （2）由（1）可知，当，时，，当且仅当.答：这种设备的最佳更新年限为15年．【名师点睛】利用基本不等式解决应用问题的关键是构建模型，一般来说，都是从具体的问题背景，通过相关的关系建立关系式.在解题过程中尽量向模型上靠拢.2．在城市旧城改造中，某小区为了升级居住环境，拟在小区的闲置地中规划一个面积为的矩形区域（如图所示），按规划要求：在矩形内的四周安排宽的绿化，绿化造价为200元/，中间区域地面硬化以方便后期放置各类健身器材，硬化造价为100元/.设矩形的长为.（1）将总造价（元）表示为长度的函数；（2）当取何值时，总造价最低，并求出最低总造价.考向三   基本不等式的综合应用基本不等式是高考考查的热点，常以选择题、填空题的形式出现．通常以不等式为载体综合考查函数、方程、三角函数、立体几何、解析几何等问题．主要有以下几种命题方式：（1）应用基本不等式判断不等式是否成立或比较大小．解决此类问题通常将所给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解．（2）条件不等式问题．通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解．（3）求参数的值或范围．观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得到参数的值或范围.典例3  下列不等式一定成立的是A． B．C． D．【答案】C【解析】对于A：(当时，)，A不正确；对于B：，，B不正确；对于C：，C正确；对于D：，D不正确.故选C.【思路点拨】利用基本不等式判断不等关系及比较大小的思路：基本不等式常用于有条件的不等关系的判断、比较代数式的大小等.一般地，结合所给代数式的特征，将所给条件进行转换(利用基本不等式可将整式和根式相互转化)，使其中的不等关系明晰即可解决问题.3．设，，且恒成立，则的最大值是A．  B．C．  D．典例4  设正项等差数列的前项和为，若，则的最小值为______．【答案】【解析】因为，所以则即.所以.当且仅当时取等号.故答案为：.【名师点睛】条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值．4．已知向量，且为正实数，若满足，则的最小值为A．  B．C．  D．1．已知，，，则的最大值为A．1  B．C．  D．2．若直线过点，则的最小值等于A．3  B．4C．  D．3．已知，则的最小值是A．2  B．3C．4  D．54．当时，不等式恒成立，则的取值范围是A．  B．C．  D．5．已知正数满足，则A．有最大值 B．有最小值C．有最大值10 D．有最小值106．已知，则取到最小值时，A． B．C． D．7．用篱笆围一个面积为的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，则最短的篱笆是A．30 m  B．36 mC．40 m  D．50 m8．下列式子的最小值等于4的是A． B．，C．， D．9．已知，，满足，则的最小值是A．  B．C．  D．10．中，角的对应边分别为，若成等差数列，则角的取值范围是A．  B．C．  D．11．已知，则的最小值为A．  B．6C．  D．12．已知实数，是与的等比中项，则的最小值是______．13．已知正数、满足，则的最大值为__________．14．已知直线被圆截得的弦长为，则的最大值为________.15．设实数满足条件，若目标函数的最大值为12，则的最小值为________.16．已知函数.（1）解关于的不等式；（2）若，令，求函数的最小值.           17．为了加强“平安校园”建设，有效遏制涉校案件的发生，保障师生安全，某校决定在学校门口利用一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面为24平方米，且背面靠墙的长方体形状的校园警务室.由于此警务室的后背靠墙，无需建造费用，甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米300元，屋顶和地面以及其他报价共计14400元．设屋子的左右两面墙的长度均为米．（1）当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？并求出最低报价．（2）现有乙工程队也要参与此警务室的建造竞标，其给出的整体报价为元，若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求的取值范围．          1．（2017山东理科）若，且，则下列不等式成立的是A．              B．C．             D．2．（2018天津理科）已知，且，则的最小值为             . 3．（2017江苏）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则的值是___________．4．（2018江苏）在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点D，且，则的最小值为___________．5．（2019年高考天津卷理数）设，则的最小值为__________．6．（2017年高考天津卷理数）若，，则的最小值为___________．1．【答案】−3    2【解析】因为，又，所以，当且仅当时取等号.此时.即的最大值为，此时.【名师点睛】本题主要考查求函数的最值，熟记基本不等式即可，属于常考题型.求解时，先将原式化为，再由基本不等式，即可求出结果.2．【答案】（1），；（2）当时，总造价最低为元.【解析】（1）由矩形的长为m，得矩形的宽为m，则中间区域的长为m，宽为m，则，定义域为.整理得，.（2），当且仅当，即时取等号.所以当时，总造价最低为元.【名师点睛】本题主要考查了函数的表示方法，以及基本不等式的应用.在利用基本不等式时保证“一正二定三相等”，属于中等题.（1）根据题意得矩形的长为m，则矩形的宽为m，中间区域的长为m，宽为m，列出函数关系式即可.（2）根据（1）的结果利用基本不等式求解即可.3．【答案】B【解析】等价于，而，当且仅当，即时取等号，故得到，则的最大值是3.故答案为B.【名师点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.4．【答案】A【解析】由题意得，因为，为正实数，则，当且仅当，即时取等号.所以选择A.【名师点睛】本题主要考查了向量的数量积以及基本不等式，在用基本不等式时要满足“一正二定三相等”.属于中等题.1．【答案】D【解析】因为，，，所以有，当且仅当时取等号，故本题选D.【名师点睛】本题考查了基本不等式的应用，掌握公式的特征是解题的关键.求解时，直接使用基本不等式，可以求出的最大值.2．【答案】C【解析】将代入直线方程得到，，当时等号成立.故选C.【名师点睛】本题考查了直线方程，均值不等式，1的代换是解题的关键.求解时，将代入直线方程得到，利用均值不等式得到的最小值.3．【答案】D【解析】由题意知，，因为，所以，则（当且仅当，即时取“=”），故的最小值是5.故答案为D.【名师点睛】本题考查了基本不等式的运用，要注意“=”取得的条件，属于基础题.4．【答案】A【解析】∵，∴，∴，当且仅当，即时取等号，∵当时，不等式恒成立，∴只需．故选A．【名师点睛】本题主要考查基本不等式，解题的关键是得出，属于一般题.5．【答案】A【解析】由不等式的性质有：（）2，当且仅当时等号成立，即（）2≤50，又m＞0，n＞0，所以，即m，故选A．【名师点睛】本题考查了基本不等式及其应用，转化化归能力，注意等号成立的条件，属中档题.6．【答案】D【解析】由，可得，且.所以，当且时等号成立，解得.所以取到最小值时.故选D.【名师点睛】本题考查基本不等式取得最值的条件，多次用不等式求最值时要注意不等式取等的条件要同时满足.7．【答案】C【解析】设矩形的长为，则宽为，设所用篱笆的长为，所以有，根据基本不等式可知：（当且仅当，即时取等号），故本题选C.【名师点睛】本题考查了基本不等式的应用，由已知条件构造函数，利用基本不等式求出最小值是解题的关键.8．【答案】C【解析】选项A，设，当时，，当且仅当时，取等号；当时，，当且仅当时，取等号，故函数没有最小值；选项B，，令，，函数在时单调递减，故当时是单调递减函数，所以，没有最小值；选项C，，当且仅当时取等号，故符合题意；选项D，令，令，而函数在时是单调递增函数，故当时，函数也单调递增，所以，不符合题意，所以本题选C.【名师点睛】本题考查了基本不等式和函数的单调性，利用基本不等式时，一定要注意三点：其一，必须是正数；其二，要有定值；其三，要注意等号成立的条件，简单记为一正二定三相等.9．【答案】D【解析】正实数，满足，，，当且仅当时取等号，的最小值为，故选D.【名师点睛】本题考查了基本不等式的应用问题，解题的关键是，使它能利用基本不等式，是基础题目．10．【答案】C【解析】由成等差数列，可得，即，则（当且仅当时取等号）；由于在三角形中，且在上为减函数，所以角的取值范围是：.故选C.【名师点睛】本题考查余弦定理，等差数列的性质，以及基本不等式的应用，求解时，由成等差数列，可得，然后利用余弦定理表示出，进行化简后，利用基本不等式即可求出的最小值，根据的范围以及余弦函数的单调性，即可求出角的取值范围.11．【答案】B【解析】∵，∴，∵，，∴，当且仅当，即时等号成立.故选B.【名师点睛】本题主要考查均值定理的应用，构造均值定理的结构，利用均值定理求解最小值.使用均值定理求解最值时，一要注意每一项必须为正实数，二是要凑出定值，三是要验证等号成立的条件，三者缺一不可，尤其是等号不要忘记验证.12．【答案】【解析】∵实数是与的等比中项，，即．则，当且仅当，即时取等号．故答案为:．【名师点睛】本题考查了等比中项，均值不等式，1的代换是解题的关键.求解时，通过是与的等比中项得到，利用均值不等式求得最小值.13．【答案】【解析】，，当即时等号成立.故答案为.【名师点睛】本题考查了均值不等式，意在考查学生的计算能力.14．【答案】【解析】圆可化为，则圆心为，半径为，又因为直线被圆截得的弦长为，所以直线过圆心，即，化为，，当且仅当，即时取等号，的最大值为，故答案为.【名师点睛】本题主要考查圆的方程与性质以及基本不等式的应用，考查了转化思想的应用，属于中档题.转化是数学解题的灵魂，合理的转化不仅使问题得到了解决，还可以使解决问题的难度大大降低，本题将弦长问题转化为直线过圆心是解题的关键.15．【答案】【解析】由可行域可得，当，时，目标函数取得最大值，，即，.当且仅当，即时取等号，故答案为.【名师点睛】本题考查了通过目标函数的最大值，得到参数之间的等式，求不等式最小值问题，关键是正确得到参数之间的等式.16．【答案】（1）见解析；（2）.【解析】（1）①当时，不等式的解集为，②当时，不等式的解集为，③当时，不等式的解集为.（2）当时，令（当且仅当，即时取等号）.故函数的最小值为.【名师点睛】本题考查了解不等式，均值不等式，函数的最小值，意在考查学生的综合应用能力.17．【答案】（1）4米时，28800元；（2）．【解析】（1）设甲工程队的总造价为元，则，．当且仅当，即时等号成立．即当左右两侧墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低为28800元．（2）由题意可得，对任意的恒成立． 即，从而恒成立，令，则，又在时为单调增函数，故．所以．【名师点睛】本题主要考查基本不等式的应用，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.（1）设甲工程队的总造价为元，先求出函数的解析式，再利用基本不等式求函数的最值得解；（2）由题意可得，对任意的恒成立，从而恒成立，求出左边函数的最小值即得解.1．【答案】B【解析】因为，且，所以 ，所以选B.2．【答案】【解析】由可知，且，因为对于任意x，恒成立，结合基本不等式的结论可得：.当且仅当，即时等号成立.综上可得的最小值为.【名师点睛】利用基本不等式求最值时，要灵活运用以下两个公式：①，当且仅当时取等号；②，，当且仅当时取等号．解题时要注意公式的适用条件、等号成立的条件，同时求最值时注意“1的妙用”．3．【答案】30【解析】总费用为，当且仅当，即时等号成立．【名师点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误．4．【答案】9【解析】由题意可知，,由角平分线性质和三角形面积公式得，化简得，因此当且仅当时取等号，则的最小值为.5．【答案】【解析】方法一：.因为，所以，即，当且仅当时取等号成立.又因为，当且仅当，即时取等号，结合可知，可以取到3，故的最小值为.方法二：.当且仅当时等号成立，故的最小值为.【名师点睛】使用基本不等式求最值时一定要验证等号是否能够成立.6．【答案】【解析】，（前一个等号成立的条件是，后一个等号成立的条件是，两个等号可以同时成立，当且仅当时取等号）．【名师点睛】利用均值不等式求最值时要灵活运用以下两个公式：①，当且仅当时取等号；②，，当且仅当时取等号．解题时要注意公式的适用条件、等号成立的条件，同时求最值时注意“1的妙用”．