高中数学高考考点23 等差数列与等比数列基本量的问题（原卷版）

考点23 等差数列与等比数列基本量的问题【知识框图】【自主热身，归纳总结】1、(2019宿迁期末） 已知数列{an}的前n项和为Sn，an＋1－2an＝1，a1＝1，则S9的值为________．2、(2019通州、海门、启东期末）设{an}是公比为正数的等比数列，a1＝2，a3＝a2＋4，则它的前5项和S5＝________．3、(2019扬州期末）已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝7，S6＝63，则a1＝________．4、(2019镇江期末） 设Sn是等比数列{an}的前n项的和，若eq \f(a6,a3)＝－eq \f(1,2)，则eq \f(S6,S3)＝________．5、(2019南京、盐城二模） 等差数列{an}中，a4＝10，前12项的和S12＝90，则a18的值为________．6、(2017苏州暑假测试） 已知数列{an}满足a1＝1，a2＝eq \f(1,2)，且an(an－1＋an＋1)＝2an＋1an－1(n≥2)，则a2 015＝________.7、(2017镇江期末） Sn是等差数列{an}的前n项和，若eq \f(Sn,S2n)＝eq \f(n＋1,4n＋2)，则eq \f(a3,a5)＝________.8、(2017南京三模）若等比数列{an}的各项均为正数，且a3－a1＝2，则a5的最小值为 ．9、(2018南京学情调研）记等差数列{an}的前n项和为Sn.若am＝10，S2m－1＝110，则m的值为________．10、(2018苏州暑假测试） 等差数列{an}的前n项和为Sn，且an－Sn＝n2－16n＋15(n≥2，n∈N*)，若对任意n∈N*，总有Sn≤Sk，则k的值是________．【问题探究，开拓思维】题型一、等差数列与等比数列的基本量问题知识点拨：一是基本量法，即转化为a1，d(q)，n，an，Sn的方程组，解方程组即可；例1、(2019苏州期初调查）已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2，S6，S4成等差数列，则eq \f(a2＋a4,a6)的值为________．【变式1】(2019泰州期末） 已知数列{an}满足log2an＋1－log2an＝1，则eq \f(a5＋a3,a3＋a1)＝________．【变式2】(2019苏州期末）设Sn是等比数列{an}的前n项和，若eq \f(S5,S10)＝eq \f(1,3)，则eq \f(S5,S20＋S10)＝________．【变式3】(2019苏锡常镇调研（二））已知等比数列的前n项和为，若，则＝ ．【变式4】(2019苏北四市、苏中三市三调）已知是等比数列，前项和为．若，，则的值为 ．【变式5】(2019南京、盐城一模）已知等比数列{an}为单调递增数列，设其前n项和为Sn，若a2＝2，S3＝7，则a5的值为________．题型二 等差数列与等比数列的性质知识点拨： 在解数列填空题时，记住一些常见的结论可以大大提高解题速度．(1)在等差数列{an}中，若m，n，p，q∈N*，且m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq；(2)在等差数列{an}中，若公差为d，且m，n∈N*，则am＝an＋(m－n)d.，在等比数列中若m，n，p，q∈N*，且m＋n＝p＋q，则aman＝apaq；掌握等差数列和等比数列的性质在解题时不但能提升解题速度还能提高准确率。例2、(2019南通、泰州、扬州一调）已知数列{an}是等比数列，有下列四个命题：①数列{|an|}是等比数列；　　　　②数列{anan＋1}是等比数列；③数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是等比数列； ④数列{lgaeq \o\al(2,n)}是等比数列．其中正确的命题有________个．【变式1】(2018南京、盐城一模）设Sn为等差数列{an}的前n项和，若{an}的前2017项中的奇数项和为2018，则S2017的值为________．【变式2】(2018苏北四市期末）已知等差数列{an}满足a1＋a3＋a5＋a7＋a9＝10，aeq \o\al(2,8)－aeq \o\al(2,2)＝36，则a11的值为________．【变式3】(2017南京、盐城一模）设{an}是等差数列，若a4＋a5＋a6＝21，则S9＝________.【变式4】(2017南通、扬州、泰州、淮安三调）设等差数列的前n项和为．若公差，，则的值是 ．【变式5】(2016常州期末） 已知等比数列{an}的各项均为正数，且a1＋a2＝eq \f(4,9)，a3＋a4＋a5＋a6＝40，则eq \f(a7＋a8＋a9,9)的值为________．【变式6】(2015镇江期末）设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝7，S6＝63，则a7＋a8＋a9＝________.题型三 等差数列与等比数列的证明问题知识点拨：证明一个数列为等差数列或者等比数列常用定义法与等差、等比中项法，其他方法只用于选择、填空题中的判定；若证明某数列不是等差或等比数列，则只要证明存在连续三项不成等差或等比数列即可．而研究数列中的取值范围问题，一般都是通过研究数列的单调性来进行求解．例3、(2019苏州三市、苏北四市二调）已知数列{an}的各项均不为零．设数列{an}的前n项和为Sn，数列{aeq \o\al(2,n)}的前n项和为Tn，且3Seq \o\al(2,n)－4Sn＋Tn＝0，n∈N*.(1) 求a1，a2的值；(2) 证明：数列{an}是等比数列；(3) 若(λ－nan)(λ－nan＋1)0.设bn＝eq \f(an,3n) (n∈N*)﹒(1) 若λ＝3，求数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(bn))的通项公式；(2) 若λ≠1且λ≠3，设cn＝an＋eq \f(2,λ－3)×3n(n∈N*)，证明数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(cn))是等比数列；(3) 若对任意的正整数n，都有bn≤3，求实数λ的取值范围．【关联1】(2019镇江期末）已知等差数列{an}的公差为d(d≠0)，前n项和为Sn，且数列{eq \r(Sn＋n)}也是公差为d的等差数列，则d＝________．【关联2】(2015南京、盐城、徐州二模） 记等差数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))的前n项和为Sn，已知a1＝2，且数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\r(Sn)))也为等差数列，则a13＝________.【关联3】(2018南京学情调研）已知数列{an}的各项均为正数，记数列{an}的前n项和为Sn，数列{aeq \o\al(2,n)}的前n项和为Tn，且3Tn＝Seq \o\al(2,n)＋2Sn，n∈N*.(1) 求a1的值；(2) 求数列{an}的通项公式；(3) 若k，t∈N*，且S1，Sk－S1，St－Sk成等比数列，求k和t的值．