高中数学高考考点15 对数函数（原卷版）

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考点15  对数函数【命题解读】1、理解对数的概念及其运算性质，换底公式使用方法，对数函数的概念、图象与性质；2、对数函数图象常结合着零点问题、复合函数问题等综合考察，则为较难题【基础知识回顾】  1、对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象与性质底数a>10<a<1图象性质定义域：(0，＋∞)值域：R图象过定点(1，0)，即恒有loga1＝0当x>1时，恒有y>0；当0<x<1时，恒有y<0当x>1时，恒有y<0；当0<x<1时，恒有y>0在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数注意当对数函数的底数a的大小不确定时，需分a>1和0<a<1两种情况进行讨论 2、反函数指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．对数函数的图象与底数大小的比较3、如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数．故0＜c＜d＜1＜a＜b.由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大．1、函数f(x)＝log2(－x2＋2)的值域为(      )A. 　　　  B. C. 　　　　  D.  2、当a>1时，在同一坐标系中，函数y＝a－x与y＝logax的图象为(　　)3、不等式log(2x＋3)<log(5x－6)的解集为(　　)A.(－∞，3)           B.           C.           D.4、(2018苏州期末）已知4a＝2，logax＝2a，则正实数x的值为________．5、(2018盐城三模）．函数的定义域为   ▲   ．6、已知表中的对数值有且只有一个是错误的．x35689lg x2a－ba＋c－11＋a－b－c3(1－a－c)2(2a－b)试将错误的对数值加以改正为________． 考向一　对数函数的性质及其应用例1、（1）函数y＝的定义域是（    ）A.          B.        C.        D. ．（2）设函数f(x)＝若f(a)＞f(－a)，则实数a的取值范围是________．（3）若f(x)＝lg(x2－2ax＋1＋a)在区间(－∞，1]上递减，则a的取值范围为________．  变式1、（1）函数的定义域为（   ）A． B．C． D．（2）已知a＝log2e，b＝ln 2，c＝log，则a，b，c的大小关系为(　　)A．a＞b＞c　　　　　 B．b＞a＞cC．c＞b＞a  D．c＞a＞b（3）设函数f(x)＝若f(a)＞f(－a)，则实数a的取值范围是(　　)A．(－1，0)∪(0，1)  B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C．(－1，0)∪(1，＋∞)  D．(－∞，－1)∪(0，1)  变式2、（1）已知是偶函数，则（　　）A． B．C． D．（2）（2020·浙江衢州·期中）已知，，，则（    ）A． B． C． D．    方法总结：对数函数的性质有着十分广泛的应用，常见的有：比较大小，解不等式，求函数的单调区间和值域、最值等等．(1)对数值大小比较的主要方法：①化为同底数后利用函数的单调性；②化为同真数后利用图像比较；③借用中间量(0或1等)进行估值比较．(2)在利用指数函数的性质解决与指数函数相关的问题时，要特别注意底数a的取值范围，并在必要时须分底数0<a<1和a>1两种情形进行分类讨论，防止错解．考向二  对数函数的图像及其应用例1、（1）已知函数y＝loga(x＋c)(a，c为常数，其中a＞0，且a≠1)的图象如图，给出以下结论正确的是（    ）A．a＞1，c＞1            B．a＞1，0＜c＜1；C．0＜a＜1，c＞1         D．0＜a＜1，0＜c＜1．（2）当0＜x≤时，4x＜logax，则a的取值范围是（    ）A.              B.            C.           D. ．（3）若函数f(x)＝(a＞0，且a≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a的取值范围是________．   变式1、函数y＝ln(2－|x|)的大致图象为(　　) 变式2、关于函数下列描述正确的有　　A．函数在区间上单调递增 B．函数的图象关于直线对称 C．若，但，则 D．函数有且仅有两个零点 变式3、（2020·浙江月考）已知函数y=sinax+b(a>0)的图像如图所示，则函数y=loga(x+b)的图像可能是（    ）A． B．C． D． 方法总结：(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图像的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想求解．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图像问题，利用数形结合法求解．考向三  对数函数的综合及应用例3、关于函数f (x)＝ln ，下列说法中正确的有(　　 )A．f (x)的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)B．f (x)为奇函数C．f (x)在定义域上是增函数D．对任意x1，x2∈(－1,1)，都有f (x1)＋f (x2)＝f  变式1、(多选)已知函数f (x)的图象与g(x)＝2x的图象关于直线y＝x对称，令h(x)＝f (1－|x|)，则关于函数h(x)有下列说法，其中正确的说法为(　　 )A．h(x)的图象关于原点对称          B．h(x)的图象关于y轴对称C．h(x)的最大值为0                 D．h(x)在区间(－1,1)上单调递增变式2、已知函数f(x)＝3－2log2x，g(x)＝log2x．(1)当x∈[1,4]时，求函数h(x)＝[f(x)＋1]·g(x)的值域；(2)如果对任意的x∈[1,4]，不等式f(x2)·f()>k·g(x)恒成立，求实数k的取值范围．    变式3、已知函数f(x)＝log4(ax2＋2x＋3)．(1)若f(1)＝1，求f(x)的单调区间；(2)是否存在实数a，使f(x)的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．       方法总结：：高考对对数函数的考查多以对数与对数函数为载体，考查对数的运算和对数函数的图像和性质的应用，且常与二次函数、方程、不等式等内容交汇命题．解决此类问题的关键是根据已知条件，将问题转化为(或构造)对数函数或对数型函数，再利用图像或性质求解． 1、(2018全国卷Ⅲ)设，，则（  ）A．      B．C．      D．2、(2018全国卷Ⅲ)下列函数中，其图象与函数的图象关于直线对称的是（  ）A．  B．  C．  D．3、（2017新课标Ⅰ）已知函数，则A．在单调递增              B．在单调递减C．的图像关于直线对称   D．的图像关于点对称4、（2017新课标Ⅱ）函数的单调递增区间是A．        B．           C．      D．5、（2020全国Ⅱ理9）设函数，则 （   ）A．是偶函数，且在单调递增 B．是奇函数，且在单调递减C．是偶函数，且在单调递增 D．是奇函数，且在单调递减6、(2018全国卷Ⅰ)已知函数，若，则=________．7、(2018全国卷Ⅲ)已知函数，，则___．8、已知函数f(x)＝loga(x＋1)－loga(1－x)，a>0且a≠1．(1)求f(x)的定义域；(2)判断f(x)的奇偶性并予以证明；(3)当a>1时，求使f(x)>0的x的解集．