高中数学高考考点05 函数的基本性质-备战2022年高考数学 考点一遍过

这是一份高中数学高考考点05 函数的基本性质-备战2022年高考数学 考点一遍过，共40页。试卷主要包含了函数的单调性，函数的奇偶性，函数的周期性，函数的图象等内容，欢迎下载使用。
（1）理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义；结合具体函数，了解函数奇偶性的含义.
（2）会运用函数图象理解和研究函数的性质.
一、函数的单调性
1．函数单调性的定义
设，.若有或，则在闭区间上是增函数；若有或，则在闭区间上是减函数.此为函数单调性定义的等价形式.
2．单调区间的定义
若函数在区间上是增函数或减函数，则称函数在这一区间上具有（严格的）单调性，区间叫做函数的单调区间．
注意：（1）单调性是与“区间”紧密相关的概念，一个函数在不同的区间上，可以有不同的单调性，同一种单调区间用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接．
（2）函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论，所以求函数的单调区间，必须先求函数的定义域．
（3）“函数的单调区间是”与“函数在区间上单调”是两个不同的概念，注意区分，显然.
（4）函数的单调性是对某个区间而言的，所以要受到区间的限制．例如函数分别在(－∞，0)，(0，＋∞)内都是单调递减的，但不能说它在整个定义域，即(－∞，0)∪(0，＋∞)内单调递减，只能分开写，即函数的单调减区间为(－∞，0)和(0，＋∞)．
3．函数单调性的常用结论
（1）若均为区间A上的增(减)函数，则也是区间A上的增(减)函数；
（2）若，则与的单调性相同；若，则与的单调性相反；
（3）函数在公共定义域内与，的单调性相反；
（4）函数在公共定义域内与的单调性相同；
（5）奇函数在其关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在其关于原点对称的区间上单调性相反；
（6）一些重要函数的单调性：
①的单调性：在和上单调递增，在和上单调递减；
②（，）的单调性：在和上单调递增，在和上单调递减．
4．函数的最值
注意：（1）函数的值域一定存在，而函数的最值不一定存在；
（2）若函数的最值存在，则一定是值域中的元素；若函数的值域是开区间，则函数无最值，若函数的值域是闭区间，则闭区间的端点值就是函数的最值.
二、函数的奇偶性
1．函数奇偶性的定义及图象特点
判断与的关系时，也可以使用如下结论：如果或，则函数为偶函数；如果或，则函数为奇函数．
注意：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任意一个x，也在定义域内（即定义域关于原点对称）．
2．函数奇偶性的几个重要结论
（1）奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反．
（2），在它们的公共定义域上有下面的结论：
（3）若奇函数的定义域包括，则．
（4）若函数是偶函数，则．
（5）定义在上的任意函数都可以唯一表示成一个奇函数与一个偶函数之和．
（6）若函数的定义域关于原点对称，则为偶函数，为奇函数，为偶函数．
（7）掌握一些重要类型的奇偶函数：
①函数为偶函数，函数为奇函数．
②函数（且）为奇函数．
③函数（且）为奇函数．
④函数（且）为奇函数．
三、函数的周期性
1．周期函数
对于函数，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数为周期函数，称T为这个函数的周期．
2．最小正周期
如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做的最小正周期（若不特别说明，一般都是指最小正周期）.
注意：并不是所有周期函数都有最小正周期.
3．函数周期性的常用结论
设函数，.
①若，则函数的周期为；
②若，则函数的周期为；
③若，则函数的周期为；
④若，则函数的周期为；
⑤函数关于直线与对称，那么函数的周期为 ；
⑥若函数关于点对称，又关于点对称，则函数的周期是；
⑦若函数关于直线对称，又关于点对称，则函数的周期是；
⑧若函数是偶函数，其图象关于直线对称，则其周期为；
⑨若函数是奇函数，其图象关于直线对称，则其周期为.
四、函数的图象
1．函数图象的画法
（1）描点法作图
①研究函数特征
②列表(注意特殊点：与坐标轴的交点、极值点、端点)；
③描点(画出直角坐标系，准确画出表中的点)；
④连线(用平滑的曲线连接所描的点)．
（2）变换法作图
①平移变换
②对称变换
a．y＝f(x) y＝−f(x)；
b．y＝f(x) y＝f(−x)；
c．y＝f(x) y＝−f(−x)；
d．y＝ax(a>0且a≠1) y＝(a>0且a≠1).
③翻折变换
④伸缩变换
y＝f(x)y＝f(ax)．
y＝f(x)y＝af(x)．
2．函数图象的识别
有关图象辨识问题的常见类型及解题思路
(1)由实际情景探究函数图象．关键是将生活问题转化为我们熟悉的数学问题求解，要注意实际问题中的定义域问题．
(2)借助动点探究函数图象．解决此类问题可以根据已知条件求出函数解析式后再判断函数的图象；也可采用“以静观动”，即将动点处于某些特殊的位置处考察图象的变化特征，从而作出选择．
(3)由解析式确定函数图象．此类问题往往从以下几方面判断：
①从函数的定义域，判断图象左右的位置，从函数的值域，判断图象的上下位置；
②从函数的单调性，判断图象的变化趋势；
③从函数的奇偶性，判断图象的对称性；
④从函数的周期性，判断图象的循环往复．
利用上述方法，排除、筛选错误或正确的选项．
(4)同一坐标系下辨析不同函数图象．解决此类问题时，常先假定其中一个函数的图象是正确的，然后再验证另一个函数图象是否符合要求，逐项作出验证排查．
(5)利用函数性质探究函数图象，往往结合偶函数图象关于y轴对称，奇函数图象关于原点对称这一结论进行判断.
3．函数图象的应用
函数图象应用的常见题型及求解策略
(1)利用函数图象确定函数解析式，要注意综合应用奇偶性、单调性等相关性质，同时结合自变量与函数值的对应关系．
(2)利用函数图象研究两函数图象交点的个数时，常将两函数图象在同一坐标系内作出，利用数形结合求解参数的取值范围．
(3)利用函数的图象研究不等式
当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合求解．
(4)利用函数的图象研究方程根的个数
当方程与基本函数有关时，可以通过函数图象来研究方程的根，方程f(x)＝0的根就是函数f(x)的图象与x轴交点的横坐标，方程f(x)＝g(x)的根就是函数f(x)与g(x)图象交点的横坐标.
考向一 判断函数的单调性
1．判断函数单调性的方法：
（1）定义法，步骤为：取值，作差，变形，定号，判断．利用此方法证明抽象函数的单调性时，应根据所给抽象关系式的特点，对或进行适当变形，进而比较出与的大小．
（2）利用复合函数关系，若两个简单函数的单调性相同，则这两个函数的复合函数为增函数；若两个简单函数的单调性相反，则这两个函数的复合函数为减函数，简称“同增异减”．
（3）图象法：从左往右看，图象逐渐上升，则单调递增；图象逐渐下降，则单调递减．
（4）导数法：利用导函数的正负判断函数的单调性．
（5）利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，判断函数的单调性.
2．在利用函数的单调性写出函数的单调区间时，首先应注意函数的单调区间应是函数定义域的子集或真子集，求函数的单调区间必须先确定函数的定义域；其次需掌握一次函数、二次函数等基本初等函数的单调区间．
典例1 下列函数定义域为且在定义域内单调递增的是
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】根据题意，依次分析选项：
对于A，，为指数函数，其定义域为R，不符合题意；
对于B，，为对数函数，定义域为且在定义域内单调递增，符合题意；
对于C，，其定义域为，不符合题意；
对于D，，为对数函数，定义域为且在定义域内单调递减，不符合题意，
故选B．
【名师点睛】本题考查函数的定义域以及单调性的判定，涉及指数、对数、幂函数的性质，属于基础题．根据题意，依次分析选项中函数的定义域以及单调性，即可得答案．
典例2 已知函数，且.
（1）判断函数在上的单调性，并用定义法证明；
（2）若，求的取值范围.
【答案】（1）见解析；（2）.
【解析】（1）由已知得，，
∴.
∴.
任取，且，
则，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，即，即，
∴函数在上为单调增函数.
（2）∵，且由（1）知函数在上为单调增函数，
∴即，化简得，
∴的取值范围为（不写集合形式不扣分）.
【名师点睛】本题主要考查函数的单调性的定义和证明方法，属于基础题.求解时，（1）由，代入解析式即可得，进而得，从而可利用单调性定义证明即可；（2）由（1）知函数在上为单调增函数，所以得，求解不等式即可.用定义法证明函数的单调性的步骤：①取值；②作差；③变形；④确定符号；⑤下结论.关键是第三步的变形，一定要化为几个因式乘积的形式.
1．函数的单调递减区间是
A． B．
C． D．
考向二 函数单调性的应用
函数单调性的应用主要有：
（1）由的大小关系可以判断与的大小关系，也可以由与的大小关系判断出的大小关系．比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质转化到同一个单调区间上进行比较.
（2）利用函数的单调性，求函数的最大值和最小值．
（3）利用函数的单调性，求参数的取值范围，此时应将参数视为已知数，依据函数的单调性，确定函数的单调区间，再与已知单调区间比较，即可求出参数的取值范围．若函数为分段函数，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值．
（4）利用函数的单调性解不等式．首先根据函数的性质把不等式转化为的形式，然后根据函数的单调性去掉“f”号，转化为具体的不等式(组)，此时要注意与的取值应在外层函数的定义域内．
典例3 定义在上的函数满足：对任意的，（），有，则
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为对任意的，（），有，所以函数在上是减函数，因为，所以，故选D．
典例4 已知函数的定义域是，且满足，，如果对于，都有．
（1）求的值；
（2）解不等式.
【解析】（1）令，则，.
（2）解法一：由题意知为上的减函数，且，即.
∵，且，
∴可化为，即＝，
则，解得.
∴不等式的解集为．
解法二：由，
∴，
∴，即，
则，解得.
∴不等式的解集为．
2．已知函数在上是增函数，则的取值范围是
A．B．
C．D．
考向三 函数最值的求解
1．利用单调性求最值．应先确定函数的单调性，然后再由单调性求出最值．若函数在闭区间上是增函数，则在上的最小值为，最大值为；若函数在闭区间上是减函数，则在上的最小值为，最大值为.
2．求函数的最值实质上是求函数的值域，因此求函数值域的方法也用来求函数最值.
3．由于分段函数在定义域不同的子区间上对应不同的解析式，因此应先求出分段函数在每一个子区间上的最值，然后取各区间上最大值中的最大者作为分段函数的最大值，各区间上最小值中的最小者作为分段函数的最小值.
4．求函数最值的方法还有数形结合法和导数法.
典例5 已知函数，若在区间上，不等式恒成立，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【解析】要使在区间上，不等式恒成立，只需恒成立，设，只需小于在区间上的最小值，
因为，所以当时，，所以，所以实数的取值范围是.
典例6 已知函数，若x∈[t，t＋2]，求函数f(x)的最值．
【解析】易知函数的图象的对称轴为直线x＝1，
（1）当1≥t＋2，即时，f(x)max＝f(t)＝t2－2t－3，f(x)min＝f(t＋2)＝t2＋2t－3.
（2）当≤11，得1