高考数学真题与模拟训练汇编专题14 基本不等式(教师版)

专题14  基本不等式

第一部分 真题分类

1．（2021·江苏高考真题）已知奇函数是定义在上的单调函数，若正实数，满足则的最小值是（    ）

A． B． C．2 D．4

【答案】B

【解析】解：因为，所以，

因为奇函数是定义在上的单调函数，

所以，

所以，即，

所以，即，

所以

，

当且仅当，即时取等号，

所以的最小值是.

故选：B

2．（2021·全国高考真题）已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（    ）

A．13 B．12 C．9 D．6

【答案】C

【解析】由题，，则，

所以（当且仅当时，等号成立）．

故选：C．

3．（2021·浙江高考真题）已知是互不相同的锐角，则在三个值中，大于的个数的最大值是（    ）

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】C

【解析】法1：由基本不等式有，

同理，，

故，

故不可能均大于.

取，，，

则，

故三式中大于的个数的最大值为2，

故选：C.

法2：不妨设，则，

由排列不等式可得：

，

而，

故不可能均大于.

取，，，

则，

故三式中大于的个数的最大值为2，

故选：C.

4．（2021·全国高考真题（文））下列函数中最小值为4的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】对于A，，当且仅当时取等号，所以其最小值为，A不符合题意；

对于B，因为，，当且仅当时取等号，等号取不到，所以其最小值不为，B不符合题意；

对于C，因为函数定义域为，而，，当且仅当，即时取等号，所以其最小值为，C符合题意；

对于D，，函数定义域为，而且，如当，，D不符合题意．

故选：C．

5．（2019·北京高考真题（理））数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C：就是其中之一（如图）.给出下列三个结论：

①曲线C恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；

②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过；

③曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3.

其中，所有正确结论的序号是

A．① B．② C．①② D．①②③

【答案】C

【解析】由得,,,

所以可为的整数有0,-1,1,从而曲线恰好经过(0,1),(0,-1),(1,0),(1,1), (-1,0),(-1,1)六个整点,结论①正确.

由得,,解得,所以曲线上任意一点到原点的距离都不超过. 结论②正确.

如图所示,易知,

四边形的面积,很明显“心形”区域的面积大于,即“心形”区域的面积大于3,说法③错误.

故选C.

6．（2020·海南高考真题）已知a>0，b>0，且a+b=1，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABD

【解析】对于A，，

当且仅当时，等号成立，故A正确；

对于B，，所以，故B正确；

对于C，，

当且仅当时，等号成立，故C不正确；

对于D，因为，

所以，当且仅当时，等号成立，故D正确；

故选：ABD

7．（2021·天津高考真题）若，则的最小值为____________．

【答案】

【解析】，

，

当且仅当且，即时等号成立，

所以的最小值为.

故答案为：.

8．（2020·天津高考真题）已知，且，则的最小值为_________．

【答案】4

【解析】，,

，当且仅当=4时取等号，

结合,解得，或时，等号成立.

故答案为：

9．（2020·江苏高考真题）已知，则的最小值是_______．

【答案】

【解析】∵

∴且

∴，当且仅当，即时取等号.

∴的最小值为.

故答案为：.

10．（2019·天津高考真题（文）） 设，，，则的最小值为__________.

【答案】.

【解析】由，得，得

，

等号当且仅当，即时成立．

故所求的最小值为．

11．（2021·江苏高考真题）某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本万元与年产量吨之间的函数关系可以近似地表示为，已知此生产线的年产量最小为60吨，最大为110吨.

（1）年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低?并求最低平均成本;

（2）若每吨产品的平均出厂价为24万元，且产品能全部售出，则年产量为多少吨时，可以获得最大利润?并求最大利润.

【答案】（1）年产量为100吨时，平均成本最低为16万元；（2）年产量为110吨时，最大利润为860万元.

【解析】（1），

当且仅当时，即取“=”，符合题意；

∴年产量为100吨时，平均成本最低为16万元.

（2）

又，∴当时，.

答：年产量为110吨时，最大利润为860万元.

12．（2020·全国高考真题（文））设a，b，cR，a+b+c=0，abc=1．

（1）证明：ab+bc+ca<0；

（2）用max{a，b，c}表示a，b，c中的最大值，证明：max{a，b，c}≥．

【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析.

【解析】（1），

.

均不为，则，；

（2）不妨设，

由可知，，

，.

当且仅当时，取等号，

，即.

第二部分 模拟训练

一、单选题

1．已知定义在上的函数是奇函数，当时，，则不等式的解集为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】因为函数是定义在上的奇函数，

所以函数的图像关于点中心对称，且，

当时，，

则，

当且仅当时取等号，

故，函数在上单调递增，

因为函数的图像关于点中心对称，

所以函数在上单调递增，

不等式可化为或，

，即，解得，

，即，解得，

故不等式的解集为，

故选：D

2．已知椭圆方程为，是上､下顶点，为椭圆上的一个动点，且的最大值为120°，若，则的最小值为（    ）

A．9 B．3 C． D．

【答案】D

【解析】由题可得，椭圆焦点在轴上，且当为左右顶点时，取最大值为120°，

则，又，则，

又为椭圆焦点，则，

则

，

当且仅当时等号成立，

则的最小值为.

故选：D.

3．已知正数m，n满足,则的最小值为（    ）

A．24 B．18 C．16 D．12

【答案】A

【解析】由可得，所以，

，当且仅当，时取等号.

故选：A

4．已知，为双曲线的左右焦点，过的直线l与双曲线的左右两支分别交于A，B两点，若△为等边三角形，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由双曲线定义知，又，故

由双曲线定义知，得，

在中，，

由余弦定理得即，

，

，当且仅当即时取等号.

故选：D.

5．已知平面向量，的夹角为，且，则的最小值为（    ）

A．1 B． C．2 D．

【答案】D

【解析】平面向量，的夹角为，

，

，

则，

当且仅当时取等号，

故的最小值为，

故选：．

6．设函数，若函数的图象在处的切线与直线垂直，则的最小值为（    ）

A．1 B． C． D．

【答案】D

【解析】解：函数的导数为，

可得函数的图象在处的切线斜率为，

由切线与直线垂直，可得，，

则，

当且仅当即时，取得等号，

则的最小值为，

故选：．

7．已知三内角的对边分别为，且，若角的平分线交于点，且，则的最小值为(    )

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由及正弦定理，得，

因为，，所以，即，

因为，所以.

如图，，

所以，

所以，即，

∴，

当且仅当，，即时，等号成立，

所以的最小值为.

故选：C.

8．在梯形中，，，，则的最大值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】设，则，.

取的中点，延长到点，使，连接，.

由平面几何知识，易知，.

设，.

在中，，

在中，，

∴，在中，，

又∵，∴，

∴的最大值为.

故选：B

二、填空题

9．设曲线上任意一点的切线为l，若l的倾斜角的取值范围是，则实数a=______.

【答案】

【解析】，，

，当且仅当时等号成立，

l的倾斜角的取值范围是，

，解得.

故答案为：.

10．对于任意的正实数，，则的取值范围为___________.

【答案】

【解析】法一：转化为斜率

先把化作，故可看作

与两点的斜率

其中点在上，数形结合（如下图），

故最小值为相切时取得，

设，联立

由解得（舍）

当时，（极限思想）

故的取值范围是.

法二：令，则，

再令，则原式，

当且仅当时取等号，

再令，则，

当且仅当时取等号，故原式，

又时，，

所以的取值范围是.

故答案为：

11．已知向量|，若，且，则的最大值为____.

【答案】

【解析】解：∵，且，

∴与的夹角为，

设，则，

∵，

∴，

又，

∴，化简得，

∴，当且仅当时，等号成立，

∴．

故答案为：．

12．在正项等比数列中，，前三项的和为7，若存在，使得，则的最小值为__________.

【答案】

【解析】依题意，

依题意存在，使得，

即，即，

所以，

所以.

当且仅当时等号成立.

所以的最小值为.

故答案为：

三、解答题

13．已知函数的最小值为1．

（1）求不等式的解集﹔

（2）若，求的最大值．

【答案】（1）；（2）3．

【解析】解：（1）∵，

当且仅当时，取得最小值．

又∵的最小值为1，∴．

∵，∴．

∴，等价于．

当时，所求不等式等价于，解得，符合题意；

当时，所求不等式等价于，解得，与条件矛盾；

当时，所求不等式等价于，解得，符合题意．

综上，原不等式的解集为．

（2）∵，∴．

∴．

∴．

当且仅当时，取得最大值3．

14．已知函数，，且关于的不等式的解集为，设.

（1）若存在，使不等式成立，求实数的取值范围；

（2）若方程有三个不同的实数解，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【解析】解：（1）∵不等式的解集为，

∴是方程的两个根，

∴，解得，

∴.

∴.

∴存在，使不等式成立，

等价于在上有解，

而，

当且仅当，即时等号成立，

∴的取值范围为；

（2）原方程可化为，

令，则，则有两个不同的实数解，

其中，或，

记，

则①，解得，

或②，不等式组②无实数解，

∴实数的取值范围为.

15．已知．

（1）求不等式的解集；

（2）若的最小值是，且，求的最小值．

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）.

当时，，解得，此时；

当时，恒成立，此时；

当时，，解得，此时.

综上所述，不等式的解集为；

（2）由绝对值三角不等式可得，

所以的最小值为，即．

所以

当且仅当，时，等号成立，

因此，的最小值为.

16．设，其中常数.

（1）判断函数的奇偶性，并说明理由；

（2）若不等式在区间上有解，求实数的取值范围；

（3）已知：若对函数定义域内的任意，都有，则函数的图象有对称中心.利用以上结论探究：对于任意的实数，函数是否都有对称中心？若是，求出对称中心的坐标(用表示)；若不是，证明你的结论.

【答案】（1）答案见解析；（2）；（3）有对称中心，对称中心为.

【解析】（1）当时，，

所以，为奇函数.

当时，，，

因为，所以既不是奇函数也不是偶函数.

（2）原问题可化为在区间有解，则，

因为函数在区间单调递减，

所以，所以，

所以a的取值范围是.

（3）假设存在对称中心，则恒成立，

得恒成立

所以，

得，，

所以函数有对称中心.